О МИГРАЦИИ МЕЖЗЕРЕННЫХ ГРАНИЦ ОБЩЕГО ТИПА 3. Теоретическое обоснование приближенных разновидностей логарифмического закона роста зерен и особые случаи миграции межзеренных границ Текст научной статьи по специальности «Физика»

I СТРУКТУРОУТВОРЕННЯ. ОП1Р РУЙНУВАННЮ ТА Ф1ЗИКО-МЕХАН1ЧН1 ВЛАСТИ ВОСТ1

УДК 669.24:620.183

Д-р техн. наук В. Е. Ольшанецкий Национальный технический университет, г. Запорожье

О МИГРАЦИИ МЕЖЗЕРЕННЫХ ГРАНИЦ ОБЩЕГО ТИПА

3. Теоретическое обоснование приближенных разновидностей логарифмического закона роста зерен и особые случаи миграции межзеренных границ

Рассматриваются теоретические подходы к обоснованию экспоненциальных разновидностей общего логарифмического закона роста зерен, а также ряд особых случаев роста зерен, включающий "обратный" рост, рост зерен в условиях противодействия со стороны неподвижных и подвижных включений второй фазы и рост зерен с изолированными граничными контурами.

1 Теоретическое обоснование приближенного экспоненциального роста крупных изомерных зерен

В работах [1, 2, 3] были приведены экспериментальные результаты по исследованию роста зерен в высокочистых никеле и железе, а также чистых (относительно посторонних примесей) микролегированных системах, полученных на основе этих металлов. Построение зависимостей изменения приведенного (статистически усредненного) размера зерна от времени в полулогарифмических координатах показало, что, начиная с некоторого временного момента, логарифмы приведенных размеров, установленных с помощью экспериментальных оценок удельных поверхностей межзеренных границ, хорошо укладываются на прямые линии [1]. Такой момент всегда наступал, когда растущее зерно достигало достаточно большого размера. В этом случае рост крупного зерна гомогенной металлической системы во времени может быть описан с помощью следующей аппроксимирующей реальный физический процесс аналитической функции 1]

а = аоехр(кт), (1)

где а - текущий приведенный размер зерна, равный половине его среднего "диаметра", ао - начальный приведенный размер, равный половине среднего значения, определенного аналитичным способом "диаметра"; к - некоторая положительная константа ("крутизна" экспоненты), физический смысл которой будет понятен из изложенного ниже; т - время. Поскольку, как показал эксперимент, все зависимости вида

lna = lnaQ + кт (т.е. прямые линии в системе lna-т) имели крайне незначительный по отношению к оси т наклон (из-за чрезвычайно медленного роста изомерных крупных зерен), показатель кт в экспоненциальном выражении (1) является очень малым (кт << 1).

Тогда выражение (1) можно разложить в степенной ряд и ограничиться лишь его линейным членом

a2 - a0 = 2a0т . (2а)

Для удобства сравнения результата разложения с другими, используемыми в литературе уравнениями роста, обе части выражения (1) предварительно были возведены в квадрат.

Для прояснения физической сущности коэффициента к применим прием "конструирования" функции [4], который основан на вычленении линейных эффектов различных по степени приближения к точному закону функций, описывающих один и тот же физический процесс (если различие в виде функций связано лишь с эффектами второго и более высоких порядков малости, то линейные эффекты не должны заметно отличаться друг от друга). После сравнения уравнения роста (2а) с аналогичным и хорошо известным параболическим уравнением, которое в соответствии с принятой здесь смысловой интерпретацией размера зерна приобретает вид

a2 - a0 = 2даут , (26)

обнаруживаем, что их правые части как раз и представляют собой интересующие нас, тождественно рав-

© В. Е. Ольшанецкий, 2007 8

ные (по смыслу) линейные эффекты. Используя их равенство, получим для "крутизны" экспоненты искомое соотношение

к = т у / а о .

(3)

Теперь уравнение (1) преобразуется в следующее вполне законченное по форме (и ясное по своей физической сущности) экспоненциальное выражение:

а = а о ехр

( \

тух а О

(4)

Закон роста в форме (4) также относится к категории приближенных функций. И не только потому, что для его получения был использован метод математической аппроксимации экспериментальных данных. Приближенность этого закона прежде всего опреде-

ляется тем, что для него

^ 2 а

2

> 0, а не наоборот (т.е.

меньше нуля), так как процесс роста зерен является по характеру затухающим.

Однако это обстоятельство отнюдь не умаляет практическую значимость уравнения (4), особенно в плане его использования при совершенствовании методик определения некоторых важных характеристик, связанных с ростом зерен (например энергии активации этого процесса).

Покажем, что это по существу "сконструированное" уравнение, имеющее хорошее экспериментальное обоснование, может быть легко получено в своей конечной форме с помощью уже имеющейся модификации решения дифференциального уравнения роста ячеек-тетрагонов двумерной структурной модели (с

поправкой на трехмерный вариант), содержащей еще и определенный вид топологических дефектов [1]

' г ^

г0

- 2

'г _1Л

г0 у

= ехр

2тух

(

-2

\

-1

г0

(5)

и рассмотрим настолько узкий интервал изменения г (в случае очень крупного зерна время прохождения этого интервала радиусом г будет весьма заметным), что отношение г/го несколько больше единицы (т.е. г лишь крайне несущественно превосходит го) и, следователь-

но, --1 = 0 . Отбрасывая слагаемые вида 2

'г -

г0

в обеих частях полученного выражения (это, естественно, приводит к некоторому "ухудшению" формы кривой роста), сразу получаем

2 _ 2 г = го ехр

' 2тут ^ го

(6)

откуда следует экспоненциальный закон изменения радиуса каждого сегмента фронта роста во времени

г = го ехр

( \

тух

2 го

(7)

Заменяя г на а*, а го на а*, получаем уравнение роста кубических зерен

а = а о ехр

тух ( о)2

(8)

которое по форме точно соответствует формуле (4). Здесь а* - приведенный текущий размер кубического зерна, равный половине его ребра; а*о) - соответственно начальный приведенный размер зерна

(го = ао = а/2).

Таким образом, и достаточно строгий аналитический вывод закона роста ячеек (зерен), основанный на использовании специфической двумерной (трехмерной) модели структуры, и способ конструирования аналогичной функции, базирующийся на сугубо экспериментальных данных, приводят нас к совершенно одинаковому математическому результату, что лишний раз подчеркивает правильность исходных теоретических посылок, лежащих в основе развитого в работе подхода к анализу процессов роста ячеек или зерен. Некоторая приблизительность экспоненциального закона роста зерен в форме (4) с практической точки зрения является его полезной особенностью, т.к. позволяет оперативно устанавливать момент времени, когда этот закон начинает действовать (экспериментальные графические зависимости 1п а-т, начиная именно с этого момента, легко линеаризуются), и тем самым выделять при различных температурах стадии роста, практически подчиняющиеся экспоненциальному закону данного вида.

Стоит обратить внимание еще на такой интересный момент. В литературе отмечается (см., например, [5]), что получаемый в результате решения простейшего дифференциального уравнения параболический закон роста (2а) иногда выполняется (чаще всего в высокочистых системах). Одной из причин этого может служить просто хорошая выполняемость обсуждаемого здесь экспоненциального закона; особенно, если изомерные зерна структуры являются достаточно крупными. Параболический закон роста в такой ситуации просто выступает в качестве производной формы более точного экспоненциального или логарифмического закона (первоосновы приближенного экспоненциального закона).

Действительно, при большом значении го показатель экспоненты в формуле (6) для сравнительно короткой временной базы (как показывает эксперимент, это могут быть минуты и даже десятки минут) становится настолько малым, что экспоненциальный член уравнения роста может быть разложен в ряд по степеням

к

о

этого показателя. После отбрасывания всех малых (по сравнению с линейным) членов ряда получаем

2 _ 2 Г = г0

1 +

2тут

2~

Г0

(9)

аналитическое выражение, хотя бы в плане оценки степени его компактности и удобства для чисто практического использования. Допуская, что при исключительно медленном росте г несколько больше Го (т.е.

г / Го = 1), из базового уравнения сразу получаем

откуда сразу следует квадратичный закон роста

г 2 - Го2 = 2тут

2 2 а - а о = 8тут1

(10)

откуда

' г ^2

Го

- 2 = ехр

^ Зтут^

т,

(14)

где а и ао - соответственно текущий и начальный размеры высоты искаженного граничного зерна (типа усеченной тетрагональной пирамиды пространственной кубической модели структуры).

Отметим, что из общего уравнения роста [1] можно получить и более строгое выражение закона роста зерен, содержащее экспоненциальный член, чем формула (7). Для этого пренебрежем лишь вторым малым слагаемым в показателе экспоненты упомянутого уравнения, что мало скажется на точности его решения относительно радиуса г и сохранит при этом правильную тенденцию изменения г во времени, соответствующую реальной физической картине (рост Г будет по характеру затухающим). В результате упомянутое урав -нение перейдет в уравнение вида

2 _ 1 2 Г = 3го

ехр

^ Зтут^

Т

+ 2

(15)

Является совершенно очевидным, что последнее уравнение с любой точки зрения менее удобно, чем уравнение (6). Однако заметим, что и в этом случае мы можем перейти к квадратичному закону роста (причем уже для расширенной из-за очень медленного роста зерен временной базы), т.к. при весьма крупном

зерне отношение Зтут / Го2 будет достаточно долго оставаться много меньшим, чем единица.

Действительно, раскладывая экспоненциальный член выражения (15) в ряд (по степеням показателя экспоненты), будем иметь

' г ^2

- 2— + 2 - ехр Го

^ 2тут^

т

= о,

(11)

2 _ 1 2 Г =— го 3 о

Л

(

Л

^ | Зтут 3 + 2 2 = Го тут 1

V Го У V Го У

(16)

откуда

или

• = 1 +

Го

ехр

^ 2тут ^ 2

V Го У

-1

(12)

(второй корень не имеет физического смысла, т.к. г > Го).

Нетрудно видеть, что у(/) = ёг/ё является в этом случае убывающей функцией. Далее при

2тут / Го2 << 1 (крупные зерна) получаем соотношение для Г

г = го + Сл/т ; (с = V2ту), (13)

ясно указывающее на затухающий характер роста зерен во времени.

Экспоненциальный закон роста зерен в случае

практически равномерной структуры (а = Ъл/2), как мы уже убедились, имеет весьма компактную форму (уравнение (7)). Не вызывает сомнений, что при переходе к структуре, близкой к предельно равномерной

(а = Ъ>/?), можно также найти свой приближенный экспоненциальный закон, снова используя базовое логарифмическое уравнение [1]. Представляет также определенный интерес получить соответствующее

22 г - го = тут .

(17)

Используя (16), можно опять-таки вернуться к удоб -ной экспоненциальной форме закона роста зерен, но уже несколько отличного по виду от выражения (6)

22 г = Го ехр

( \ тут

т

(18)

2 Обратный ("отрицательный") рост зерен

Рассмотрение такого рода процесса проведем на примере дефектной тетрагональной ячейки [1]. Так как данный тип топологического дефекта не относится к категории "эллипсных" ячеек, уравнение-связка вида

Ъ2

г = а--[1] здесь, естественно, не работает. Одна-

К

ко для равноосных дефектных ячеек всегда К = Ъ, и это позволяет найти нужное соотношение между линейными параметрами а и Ъ. Запишем выражение для результирующей кривизны, заменив базовый радиус К линейным параметром Ъ

З

V Го У

г

Я — г Ь — г

Кг

Ьг

< о.

(19)

Поскольку и в этом случае г = а/2 (окружающие топологический дефект ячейки продолжают оставаться трапецевидными), то при (г*)-1= о (граничные сегменты имеют прямолинейную форму) Ь = г = а/2 , т.е., а = 2Ь (условие строго изомерной структуры). При выполнении указанного соотношения (чисто гипотетический случай) тетрагональная ячейка перестает быть дефектной и превращается в обычную, окруженную четырьмя такими же по форме тетрагональными ячейками.

Прежде всего отметим, что для топологических дефектов с малым (меньше шести) числом сторон отношение г/Я уже превосходит единицу. Далее рассмотрим локальную (во времени) структурную ситуацию, при которой г/Я = 3/2 (симметричный антипод случая, когда г/Я = 1/2) и топологический дефект имеет форму искаженного дитетрагона). Тогда г* = -3Я = -3Ь и,

поскольку г =

* о

г Я

*

г + Я

то — =

— 3Ь2

3

- = — Ь и а = 3Ь. Ь — 3Ь 2

Примем также, что полученное соотношение размерных параметров практически сохраняется в некотором малом временном интервале (т. е. изменение размеров всех контактирующих ячеек группы роста является согласованным и осуществляется достаточно медленно), а сами а и Ь имеют смысл начальных параметров, соответствующих "стартовой позиции" меняющейся структурной картины.

Составим теперь дифференцированное уравнение роста, снова ориентируясь на поведение во времени радиуса кривизны любого из исходных сегментов, существовавших до искривления граничного фронта, которое сформировало топологически дефектную ячейку и превратило четыре тетрагональные ячейки в "ожерелье" трапецевидных ячеек [1]. Только, в противоположность ранее рассмотренным случаям (см. ту же работу [1]), такой рост должен сопровождаться уменьшением всех трех радиусов кривизны (в условии (19)), а следовательно, и параметра Ь дефектной ячейки ("отрицательный" рост), что может, в конце концов, привести к ее полному устранению. Воспользовавшись базовыми соотношениями работы [1] и соотношением (19), получаем для уравнения отрицательного роста ячеек следующее выражение:

ёг Ь — г

— = те-

ёт Ьг

(2о)

Здесь, как и прежде, т - средняя микроскопическая подвижность мигрирующего граничного сегмента, а е - его удельная линейная энергия.

Далее, после преобразований и простановки пределов интегрирования уравнение роста приобретает вид

г гёг те т ,

I-=--I «т,

J г — Ь Ь { '

(21)

где го - начальный радиус граничного сегмента тетрагональной ячейки. Поскольку

гёг ,, г — Ь

■ = г — го + Ь 1п-

—Ь

го — Ь

то решение дифференциального уравнения (2о) отвечает логарифмической зависимости

, г — Ь г — го тет 1п-+-- =--—

(22)

го = а/2 будем иметь

го — Ь

При Ь = а/3

а . а а го

о < го — Ь =---= —.

о 2 3 3

Теперь решение (22) можно заменить следующим рабочим выражением:

г = ^ го 1ехр

9тет 3(г — гоо)

а

+ 2 >.

(23)

Для достаточно больших а и сравнимых между собой г и го это выражение упрощается к виду

1

г = 3го

ехр

' 9тет^

4го

+ 2

(24)

откуда получаем для (9те/)/(4го)2<<1

г = го

' , А 3 тет

V 4 го

= го ехр

' 1 А 3 тет

4 2

V 4 го

(25)

(на последнем этапе преобразований был реконструирован более компактный по форме экспоненциальный закон изменения г во времени).

Согласно уравнению (25), радиус г, как и ожидалось, уменьшается с течением времени. При этом, естественно, уменьшаются и остальные радиусы: Я и го; причем для сохранения отрицательного знака кривизны (г*)-1 (необходимое условие для исчезновения топологически дефектной ячейки) требуется, чтобы радиус Я убы-

вал не медленнее, чем г. Поскольку Я = г /

( \ 1—4

го

V

(см. соотношение (19)), а г* = —3Ь = 2гоо, сразу получаем для нашего случая сложный экспоненциальный закон уменьшения фактического размера ячейки-дефекта в виде

а

К = г,

о"

ехр

(~ \ 3 тех

■ = 2г,

( , Л 1 3 тет

-1 т,

(26)

/ *

(в выкладках Го - начальный радиус кривизны граничного сегмента трапециевидной ячейки).

При этом, как нетрудно убедиться, | — | /| | = —

V ёт У V ёт У 4

и, следовательно, радиус искривления граничного фронта (К) действительно убывает несколько быстрее, чем радиус кривизны граничного сегмента (Г).

Ранее было показано [1], что в условиях практически равномерной структуры топологические дефекты в виде двумерных ячеек эллипсного типа (сплюснутые многоугольники), как и окружающие их ячейки- тетрагоны, растут по приближенному экспоненциальному закону

К = 2г = 2го ехр

( \ атет

Го

(27)

где а - коэффициент структурной равномерности, зависящий от соотношения линейных размеров а и Ъ (при

а = лр2Ъ а = 1, а при а = 43ъ соответственно име-1 ,

ем а = —). 2

Преобразовывая (26) к виду

лены в объеме матрицы и имеют при этом одинаковые размеры. Тогда в процессе миграции некоторой гипотетической (с осредненными параметрами) межячеи-стой или межзеренной границы ей будет противодействовать практически постоянная термодинамическая сила ("противодавление") со стороны частиц второй фазы. Естественно, что в этой ситуации реальная движущая сила роста элементов структуры (ячеек или зерен) равна разности между термодинамической силой р, определяемой фактической кривизной границы раздела и средней силой сопротивления "сползанию" этой границы с частиц избыточной фазы (р^.

Благодаря фактору "противодавления" соотношение для движущей силы [1] несколько видоизменяет форму (в рассматриваемом случае будем продолжать оперировать с моделью кубических зерен)

Р = Р 7

2у

Г щ

1----

К 2

> о.

(29)

(при р > о , частицы выделений служат стопорами

- 3 В

границ). Здесь рм = 1/2р™х = уд, а q =--, где в -

2 Р

объемная доля частиц избыточной фазы; р - радиус частиц [1].

С учетом уравнения-связки [1] выражение (29) приобретает вид

Р =

X

гЪ 2

2г2 - г(2а + яЬ2 )+ 2Ъ2

(3о)

К = 2го ехр

3 тет

2 2 2 Го

(28)

(случай, когда г0 - невелико), получаем соотношение, аналогичное (26), но только с отрицательным и большим по модулю значением а в показателе экспоненциального множителя (а = -1,5).

Таким образом, при анализе изменения топологических дефектов во времени легко просматривается некая общая тенденция, касающаяся поведения равновеликих дефектных ячеек: малосегментные ячейки исчезают быстрее, чем увеличиваются в размерах многосегментные.

3 Макроскопический рост зерен в условиях

действия постоянной сдерживающей силы

Торможение границ неподвижными частицами второй фазы

Рассмотрим случай, когда сферические частицы избыточной фазы еще не настолько малы, чтобы перемещаться (путем диффузионной "перекачки" своей массы) в объеме матричной фазы вместе с мигрирующими границами. При этом будем полагать, что все такие частицы статистически равномерно распреде-

Далее, поскольку в нашем случае V = ёг / ёт = тр , то после подстановки (3о) и частичного интегрирования (по времени) получаем следующее решение дифференциального уравнения роста кубических зерен в неявной форме:

гёг

го

тут

2г2 - г(2а + яЬ2) + 2Ъ2 Ъ2 '

(31)

После выделения логарифмического члена это выражение переходит в уравнение

, 2г 2 - г (2а + аЬ2) + 2Ъ 2 1п----—--+

2го2 -го(2а + яЬ2) + 2Ъ2

+ (2а + яЬ2)

ёг 4даут

2г 2 - г (2а + дЪ 2) + 2Ъ 2 Ъ 2

(32)

в котором конкретное значение интегрального слагаемого будет определяться характером соотношения линейных параметров а и Ъ.

Как и прежде, попытаемся получить зависимость, описывающую поведение зерен в условиях стабили-

4

Г

г

зированного роста, т.е. в таких условиях, когда зерен-ная структура сплава (в процессе своей эволюции) стала уже практически равномерной). В этом случае, как

известно [1], а = ^2Ь и Ь2 — > о

4

а также

го = а/2 и Ь 2 = 2го2 . Тогда логарифмический член уравнения (32) упрощается к виду

ных преобразований окончательно получаем

1п

' г А2

го

■Чго

1 — чго

2 + чго

1 — чго

—1

2тут

+ (35)

1п

г 2 — гго (2 + дго ) + 2го2

го2 (1 + чго )

а для узкого интервала изменения г (когда г = го хотя г/го и несколько больше единицы) предыдущее выражение несколько упрощается

' г А2

1п-

го

■Чго

1 — чго

В свою очередь, второе слагаемое того же уравнения обращается в выражение вида

го

(2 + дго))

г — го 11 —

чго

г — го I 1 —

2

-. (33)

+ го

!(1 — Чго)

Здесь мы пренебрегли членом (1/4)-(чго)2, т.к. из соображений физической реальности чго < 1. Действительно, при го/Яо = 1/2 р = — (1 — дго) > о (см. уравне-

ние (29)), откуда всегда при наличии роста зерен чго < 1 После интегрирования (33) имеем

2 + Чго

г—

Чго

aгctg-

г — го|1 — ^

го

л/1—

- aгctg

Чго 2

Чго

г—

Чго

2 + Чго

1 — Чго

- — 1

го

(34)

' г А2

го

-Чго

1 — Чго

= ехр

2тут 2 + чго

тг+

г

1 — Чго

г

л

1—

V го у

. (36)

Легко видеть, что при ч = о и отношении г/го несколько большем единицы, последнее уравнение переходит в простой по форме экспоненциальный закон роста, установленный нами ранее (см. выражение (6)) для случая "свободной" (в отсутствии силы сопротивления со стороны включений) миграции границ.

Пренебрегая вторым слагаемым в показателе экспоненты уравнения роста (случай предельно медленного роста, когда отношение радиусов г/го лишь несколько превосходит единицу), приходим к следующему, более простому по форме выражению закона, описывающему поведение зерен в условиях сформировавшейся практически равномерной структуры:

' г А2

го

-Чго

1 — Чго

= ехр

' 2тут ^

(37)

Учитывая, что при достаточно больших го и относительно короткой временной базе т, показатель экспоненты уравнения (37) существенно мал (по крайней мере, меньше единицы), этому уравнению можно придать еще более компактный вид. Действительно, используя приближенное соотношение

ехр

' 2тут ^

т

= 1+

2тут

а также то, что в наших усло-

виях 1 — чго = 1/(1 + чго), нетрудно получить в рассматриваемом случае адекватное выражению (37) рабочее соотношение

поскольку при г = го и чго < 1 аргументы и функции (тангенсы) малы и приблизительно равны между собой

(так, например, ^^^ / /1—чг^ = (чг°) / 2 < 1, ибо толь-

^ . чго

1 — -

2

ко в этом случае из неравенства следует, что чго < 1). Таким образом, по завершении всех промежуточ-

г = го

1+-

2даут

(1 + чго )

го

1/2 ' А

тут

= го ехр 2 3

V го + чго у

(38)

учитывающее фактор включений ч. Чем больше величина этого фактора, тем медленнее происходит изменение г, а следовательно, и изменение приведенного текущего размера кубического (или реального) зерна.

Уравнение (38) по сути отражает собой полукуби-

г

го

г

и

ё

2

2

о

г

ческий закон роста зерен при наличии тормозящего влияния примесных частиц. Чтобы убедиться в этом, придадим приближенному экспоненциальному закону роста (38) обобщенную форму г = Го ехр(кт), где к -"крутизна" экспоненты, определяющая кинетику процесса. Тогда при кт < 1 (к = (дау)/(го2 + дго3))

r02 (1 + 2кт-1) r03 (1 + 3кт -1) тут -- + -- •

2

2 2 3 3

r2 -ro2 + qr -ro3

3

(39)

2

3

Последнее выражение и характеризует неполный кубический закон роста в присутствии нерастворимых примесей, равномерно распределенных в матрице.

Торможение роста зерен в случае увлечения частиц выделений движущимися границами

Как мы только что убедились, частицы выделений могут служить стопорами границ, если движущая (лап-ласова) сила миграции меньше эффективной величины силы сопротивления "сползанию" границ с включений. Однако если размер примесных включений (или частиц фаз выделений) не очень велик, то последние могут заметно увлекаться границами в процессе их миграции. Впервые на возможность увлечения частиц мигрирующими границами было указано Смитом [6]. Теоретические же аспекты такого поведения включений детально проанализированы в работе [7]. Как отмечается в этой работе, движение сферических частиц вместе с границами может быть, в частности, связано с диффузионными потоками вакансий от одной части поверхности сферы к другой. Соответствующая скорость такого увлечения определяется выражением

Dmm_ "кТ

P

рЧ

(40)

где Б - коэффициент объемной диффузии в матричной фазе; ю - атомный объем; к - постоянная Больц-мана; Т - температура по Кельвину; р - радиус частицы; р - движущая сила миграции свободной границы; п- поверхностная плотность частиц.

Скорость V, согласно (4о), определяется лишь общим объемом частиц, находящихся на единице площади поверхности границы, и не изменяется при их коалесценции.

В дальнейшем будем рассматривать кинетику миграции границ зерен, принимая в качестве исходной посылки именно соотношение (4о). Поскольку, в этом случае, второе базовое уравнение для движущей силы сохраняет свою форму, то с учетом уравнения-связки [1] движущая сила миграции, задаваемая двойной кривизной межзеренной границы, имеет тот же вид, что и в работе [1] (но только с измененным числовым коэф -

фициентом)

Ру

2у r

Г 2 , 2 А r - ar + b2

(41)

(кубическая модель).

Пусть частицы располагаются только на межзерен-ных границах. Тогда общее решение дифференциального уравнения роста ёг/ёт = /(т) может быть представлено в виде

r 2

с r dr Dm 4тсут

' ■ = a-

2

r - ar +

b2 кТ b 2p

(42)

где в = 4/3лр3пу - объемная доля частиц второй фазы,

а пу объемная плотность таких частиц ^пя = -3 пуг []];

а - коэффициент пропорциональности порядка единицы.

Интеграл в левой части полученного уравнения может быть легко приведен к следующему выражению:

r г r

J 2

r -a

r0

Г 2

a

+ -

2

a

r 2 - ar + b 2

— = r - r0 +— ln- 2

'■> 2 r - ar0 + b

-b2

dr

Jr0

22 r - ar + b

(43)

Будем снова рассматривать случай практически равномерной структуры, когда

r0 = a/2 и a = 42b .

Тогда общее решение дифференциального уравнения роста зерен принимает следующий частный вид (с учетом (43)):

r - r0 + ln r 2 - 2rr0 + 2r02

r0

= 2an

r0

Dm ут

(44)

кТ

r03p'

Если же допустить, что состоянию практически равномерной структуры соответствует достаточно крупный размер начального зерна, то вследствие того,

что в заметном по времени интервале роста г = го, окончательно получим

r = r0 exp

^anDroyT^ ro3PkT

(45)

Данная форма экспоненциального закона роста заметным образом отличается от экспоненциального

2

+

v

выражения (38) и прежде всего отсутствием в показателе экспоненты квадратичного размерного члена

(го2 ) . Последнее обстоятельство позволяет утверждать, что при определенных условиях экспоненциальный закон роста (45) может быть сведен к чисто куби-

пут

ческому закону. Действительно, пусть —— << 1 (здесь

го3Р

апБт кТ

), что будет всегда, если го достаточно ве-

лико, а объемная доля частиц р тоже весьма значительна (при не очень большой временной базе т). Тогда

3 _ 3

г = го

1 +

3иут го3Р

или

3 33 3иут

г — го =■

в

(46)

Интересно отметить, что последнее выражение полностью согласуется с утверждением (чисто эмпирического толка) Бека о том, что примесные частицы обычно заменяют параболический закон роста на кубический [8].

Отметим также и то, что показатели экспонент (точнее, множители при т) в выражениях (38) и (45) могут быть использованы для расчета энергетических (ак-тивационных) параметров миграции границ, при наличии эффекта "торможения" (в системах с включениями частиц второй фазы [9]).

4 Рост зерен в условиях действия переменной сдерживающей силы лапласового типа

Рост изолированных зерен в однофазной или двухфазной среде

При росте сферических зародышей рекристаллизации (случай однофазной среды) или зародышей новой фазы (двухфазная среда) в качестве движущей и противодвижущей термодинамических сил выступает разность удельных значений объемной свободной энергии (упругой или химической) по обе стороны фронта реакции (роста) и лапласового давления, обусловленного меняющейся во времени (т. е. в процессе роста) кривизной межзеренной (межфазной) границы раздела.

Выражение для скорости миграции такой границы в процессе роста сферической частицы с радиусом кривизны г будет иметь следующий вид:

ёг

v = — = т| р -ёт

2у г

(47)

где т - средняя микроскопическая подвижность границы, определяемая ее кристаллографической природой и характеристиками диффузии граничных атомов;

2у

р - движущая сила миграции; — - противодвижущая

г

сила (лапласово давление), при этом у - удельная поверхностная (межфазная) энергия; т, как и раньше, время.

Обозначая р/2у = а, преобразуем выражение (47) к виду, удобному для интегрирования по г и т (в пределах го - г и то - т)

г гёг х

I ОТ! = 21туёт.

го то

Здесь го - некоторое начальное значение радиуса зародыша, способного к самостоятельному росту (го >2у/р). После интегрирования получаем

1 . . 1 , аг -1 „

— (г — го) +-г1п-- = 2дау(т — то)

а а2 аго — 1

2у

(48)

(при этом учитывалось, что аг > 1, т.к. р--- > о (фиг

зическое условие роста).Перепишем полученное выражение так, чтобы его можно было анализировать:

1п

1

г--

а

го

1 = 2туа2( —То) — а(г -го).

(49)

Рассмотрим две крайние характерн^1е ситуации, отвечающие разным условиям роста. Пусть энергия у мала. а движущая сила р такова, что произведение тр(т - то) все время заметно превосходит разность г - го. Тогда, начиная с некоторого момента времени то а >>(1/го) 2у

(поскольку р >> —) и из (49) непосредственно следует го

экспоненциальный закон роста

2

г = го ехр

тр

( —то)

(5о)

Нетрудно видеть, что в этом случае радиус растущего зародыша будет изменяться тем быстрее, чем выше движущая сила роста и меньше удельная поверхностная энергия межзеренной (межфазной) границы раздела, определяющая собой величину силы сопротивления росту для каждого конкретного значения г из интервала т - то.

Теперь примем, что удельная энергия у, наоборот, достаточно велика, а движущая сила обеспечивает

2у

выполнение неравенства р--> о , начиная с любо-

а

го закритического значения г. Тогда для конечной стадии роста сферического центра, когда г будет велико и

мало отличаться от некоторого промежуточного раз*

мера радиуса г , принимаемого за его начальное значение, из (5о) получим

r = r0 + mp (т-т ).

(51)

Таким образом, для этой стадии процесса роста увеличение радиуса центра фактически будет происходить по линейному закону и определяться только величиной движущей силы, т. к. лапласова сила сопротивления росту зерна, достигшего большого размера, становится исчезающе малой.

Перечень ссылок

1. Ольшанецкий В.Е. О миграции межзеренных границ общего типа. 2. Законы роста и их эволюция для двумерных и трехмерных моделей зеренной структуры // Н^ матерiали i технологи в металургй та машинобу-дуванш. - 2оо6. - №2. - С. 8-19.

2. Ольшанецкий В.Е., Степанова Л.П., Коваль А.Д. Об оценке относительной зернограничной энергии в ни-

келе и железе, микролегированных лантаноидом или иттрием // Металлофизика, выпуск 64. - К.: Наукова думка, 1976. - С. 82-90.

3. Ольшанецкий В.Е., Степанова Л.П. Об оценке энергии активации роста зерен в металлических системах на основе никеля и железа // Металлофизика. - 1982. -Т. 4. - № 2. - С. 101-107;

4. О росте зерен в чистом и микролегированном иттрием никеле // Структура жидкости и фазовые переходы. -Днепропетровск: ДГУ, 1978. - С. 80-83.

5. Мак Лин Д. Границы зерен в металлах. - М.: Метал-лургиздат, 1960. - 322 с.

6. Smith C.S. - Trans. AIME, 1948, 175. - p. 15.

7. Кривоглаз М.А., Масюкевич А.М., Рябошапка К.П. О диффузионном увлечении частиц и пор движущейся границей // Физика металлов и металловедение. - 1967. -Т. 24. - Вып. 6. - С. 1129.

8. LËcke K., Rixen R. Rekristallisation und Korngroß e -Z. Metallkunde, 1968, 59, № 4, S. 321-333.

9. Ольшанецкий В.Е., Спицына Ю.И. О росте изомерных зерен в присутствии дисперсных частиц примесной фазы // Новi матерiали та технологи в металургй та машинобудуванш. - 1999. - № 1. - С. 5-10.

Одержано 11.06.2007

Обговорюються теоретичнi тдходи до обтрунтування експоненцшнихр1зновид1в загальногологарифмгчного закону росту зерен, а також низка особливих випадюв росту зерен, яка метить "зворотнш " picm, picm зерен за умов протидИ з боку нерухомих та рухомих вкраплень iншоi фази i рiст зерен з i-зольованими межовими контурами.

Theoretical approaches to the basis of exponential varieties of general logarithmic law of grain growth are desired, as well as row of special cases of grain growth including "reverse growth ", grain growth in the conditions of counteraction of immobile and mobile inclusions of the second phase, and grain growth with the isolated boundary contour.