CC BY
40
[2, с. 450]. В этой заметке предлагается более удобная схема построения кривой х = х(к), У = у (к) без предварительного вычерчивания графиков функций х = х(к),у = у (к). Схема изложена на примере
1 1
х = ^^2, У
к - к2 У к - к3
1. Найдена область изменения параметра к (пересечение областей определения функций х(к) и у (к).
2. Найдены интервалы монотонности абсциссы х = х(к), у = у (к).
3. Исследовано поведение абсциссы и ординаты на границах их интервалов монотонности.
4. Найдены асимптоты.
5. Определены интервалы выпуклости кривой.
6. Результаты исследования сведены в таблицу.
7. Построена кривая.
8. Полученную кривую для контроля сравниваем с изображением, полученным с помощью Мар1е 9.5, изображения совпадают.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. М.: Высшая школа, 1970. 590 е.
2. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу (предел, непрерывность, дифференцируемость). М.: Наука, 1984. 592 с.
Абдрахматов Валий Габдрауфович Уфимский государственный авиационный технический ун-т Россия, Уфа e-mail: abvil@yandex.ru
Рыкова Юлия Маратовна Уфимский государственный авиационный технический ун-т Россия, Уфа e-mail: slava40@mail.ru
Поступила в редакцию 8 мая 2007 г.
О МИФАХ, СВЯЗАННЫХ С НЕКОТОРЫМИ МАТЕМАТИЧЕСКИМИ ПОНЯТИЯМИ
© В. Г. Абдрахманов, Ю. Н. Смолин
Многолетний опыт преподавания математики в вузе показывает, что некоторые понятия, в частности математической индукции, определителя квадратной матрицы и другие, обрастают многочисленными мифами. От частого употребления того или иного понятия
мы перестаем вдумываться в него, глаз постепенно «замыливается», возникают неточности, которые постепенно становятся привычными, в конечном итоге подменяя собой это понятие. Так, в некоторых книгах читаем: «принцип наименьшего элемента равносилен аксиоме математической индукции» [1, с. 43], «определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю» [2, с. 41] (хотя определитель — это число и потому не имеет строк) и так далее. Конечно, все это отнюдь не способствует усвоению студентами излагаемого материала.
Приведем некоторые рекомендации по преодолению указанных мифов.
1. Утверждение о равносильности принципа наименьшего элемента и аксиомы математической индукции, по-видимому, возникло из теоремы о существовании натурального числа р — 1, предшествующего данному (см. [1, с. 43]), хотя она сама доказывается на основе аксиомы математической индукции. Любопытно, что это утверждение попало в Госстандарт по «Числовым системам» [3].
На самом деле принцип наименьшего элемента эквивалентен принципу полной (возвратной) индукции.
2. Некорректное обращение с терминологией в разделе «Матрицы и определители» обусловлено стремлением преподавателя лаконично изложить материал. Что касается свойств определителей, то здесь изложение можно без труда сделать и лаконичным и в то же время корректным. Например, можно сказать «Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками равен нулю» или «Разложение определителя матрицы по ее первой строке» и тому подобное. Иначе обстоит дело, когда мы переходим к понятию ранга матрицы. Здесь объективно возникают сложности при попытке лаконичного и одновременно корректного изложения материала. Например, выражение «базисный минор находится в левом верхнем углу матрицы» пришлось бы сформулировать как «подматрица, определителем которой является базисный минор, находится в левом верхнем углу матрицы» (согласитесь, что такую формулировку лаконичной не назовешь). Как видим, неудобства формулировок связаны с понятием минора матрицы.
Нам представляется, что эту ситуацию можно радикально изменить, отказавшись от самого понятия минора матрицы, тем более что студенты путают понятия минора элемента и минора матрицы. Вместо этого можно пользоваться известным понятием подматрицы (или субматрицы). При этом ранг матрицы следует понимать как наивысший порядок ее невырожденных (квадратных) подматриц. Разумеется, теорема о базисном миноре теперь должна называться теоремой о базисной подматрице.
Заметим, что такой подход позволяет корректно и кратко изложить и другие вопросы (элементарные преобразования матриц, теорему Кронекера-Капелли и так далее). Правда, понятие минора матрицы используется в теореме Лапласа, но без нее можно обойтись, поскольку в курсе алгебры она нужна только для доказательства утверждения об определителе произведения матриц. Последнее же можно доказать (причем более доступно) с помощью элементарных матриц [4, с. 236].
3. Чаще всего в книгах по линейной алгебре элементарными преобразованиями матрицы называются три:
умножение строки на отличное от нуля число,
прибавление к строке другой строки,
перестановка строк (то же для столбцов).
Однако элементарными (то есть простейшими,) преобразованиями достаточно назвать первые два, так как все нужные преобразования получаются их последовательным применением:
прибавление к г—й строке к—й строки, умноженной на число Л = 0 (иногда это действие также считают элементарным преобразованием), есть результат умножения к—й строки на
Л, прибавления ее к і—й строке и умножения к—й строки на .
перестановка і—й и к—й строк есть результат прибавления к і—й строке к—й, умноженной на —1, прибавления получившейся строки к к—й строке, прибавления к новой і—й строке новой к—й строки, умноженной на —1, умножение получившейся і—й строки на —1.
ЛИТЕРАТУРА
1. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М.: Просвещение, 1967.
2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: ГИФМЛ, 1963.
3. Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования. Государствен-
ные требования к минимуму содержания и уровню подготовки выпускника педвуза по специальности «математика с дополнительной специализацией информатика». М., 2000.
4. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979.
Абдрахманов Валий Габдрауфович Уфимский государственный авиационный технический ун-т Россия, Уфа e-mail: abvil@yandex.ru
Смолин Юрий Николаевич Магнитогорский государственный ун-т Россия, Магнитогорск e-mail: smolin@masu.ru
Поступила в редакцию 10 мая 2007 г.
ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРЫ 3 РОДА
С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
© В. Г. Абдрахманов, Ю. Н. Смолин
По-видимому, интегральные уравнения 3 рода Фредгольма первым изучал Е. Пикар в своей работе «Sur les equations integrales de troisieme espece», опубликованной в 1910 году. Дальнейшие результаты по этой тематике для вольтерровских уравнений были получены немногими авторами [1,2]. Мы применили методику первого из них для рассмотрения интегральных уравнений Вольтерры 3 рода с запаздыванием.
Введем банахово пространство функций ф : [0,5] ^ R :
= {ф : V(i\t) = t1-iUi(t),i = 0,1,..., k},
где Ui — измеримые и ограниченные в существенном на [0,5] функции,
НфН = max\\Ui(t)\\bx. i
