Научная статья на тему 'Линейные интегральные уравнения Вольтерры 3 рода с запаздыванием'

Линейные интегральные уравнения Вольтерры 3 рода с запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
67
25
Поделиться

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Абдрахманов Валий Габдрауфович, Смолин Юрий Николаевич,

Текст научной работы на тему «Линейные интегральные уравнения Вольтерры 3 рода с запаздыванием»

Л, прибавления ее к і—й строке и умножения к—й строки на .

перестановка і—й и к—й строк есть результат прибавления к і—й строке к—й, умноженной на —1, прибавления получившейся строки к к—й строке, прибавления к новой і—й строке новой к—й строки, умноженной на —1, умножение получившейся і—й строки на —1.

ЛИТЕРАТУРА

1. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М.: Просвещение, 1967.

2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: ГИФМЛ, 1963.

3. Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования. Государствен-

ные требования к минимуму содержания и уровню подготовки выпускника педвуза по специальности «математика с дополнительной специализацией информатика». М., 2000.

4. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979.

Абдрахманов Валий Габдрауфович Уфимский государственный авиационный технический ун-т Россия, Уфа e-mail: abvil@yandex.ru

Смолин Юрий Николаевич Магнитогорский государственный ун-т Россия, Магнитогорск e-mail: smolin@masu.ru

Поступила в редакцию l0 мая 2007 г.

ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРЫ 3 РОДА

С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

© В. Г. Абдрахманов, Ю. Н. Смолин

По-видимому, интегральные уравнения 3 рода Фредгольма первым изучал Е. Пикар в своей работе «Sur les equations integrales de troisieme espece», опубликованной в 1910 году. Дальнейшие результаты по этой тематике для вольтерровских уравнений были получены немногими авторами [1,2]. Мы применили методику первого из них для рассмотрения интегральных уравнений Вольтерры 3 рода с запаздыванием.

Введем банахово пространство функций ф : [0,5] ^ R :

= {ф : V(i\t) = t1-iUi(t),i = 0,1,..., k},

где Ui — измеримые и ограниченные в существенном на [0,5] функции,

НфН = max\\Ui(t)\\bx. i

4G2

В пространстве Вк рассмотрим уравнение

ф(Ь)х(Ь) + [ К(Ь,8)х(Н(8))б8 = f (Ь), (1)

Jo

где К(0, 0) = 0, К(■, ■) имеет в некоторой окрестности точки (0, 0) суммируемые частные производные, причем в самой этой точке ее некоторая частная производная отлична от 0; ф, / £ Вк, "0(0) =0; Н : [0,5] ^ [0,5] — обратимая измеримая функция, удовлетворяющая условию согласования [3, с. 31].

Применим к интегралу в (1) формулу интегрирования по частям [4, с. 261] и положим у(Ь) = х(Н(8))б8, что позволит от уравнения (1) перейти к уравнению

Ау + Бу = /, (2)

где

Ау(Ь) = ф(Ь)у!(Ь) + К(Ь, Ь)у(Ь) — К'а(Ь, 8)у(8)68; (3)

Jo

Бу(Ь) = ф(Ь)К(Н-1(Ь)) — у'(Ь)]. (4)

Займемся уравнением (2), общим решением которого является у = ад + у, где Ш — общее решение уравнения Ау + Бу = 0, а у — частное решение уравнения (2). Показано, что

У(Ь) = £к=оук(t), (5)

где Ук — решение уравнения Ау = /к, причем Ук = —Б/к-1- Отметим, что ряд (5), вообще

говоря, расходится, и для нахождения его «суммы» следует применять методы суммирова-

ния расходящихся рядов [5].

Далее находим ш — общее решение уравнения Ау = 0, и, полагая Ш = и + Ш, приходим к уравнению

Аи + Би = —Бш (6)

относительно и. Оно представляет собой уравнение вида (2), способ решения которого изложен выше.

Для нахождения х — общего решения уравнения (1) — остается положить х = у'(Н-1). П р и м е р. Дано уравнение

Ь2х(Ь) — / [—(8 + 241п2)Ь + (18 + 361п 2)8]х(8/2)б8 = Ь2. (7)

./о

Здесь у(Ь) = х(8/2)6,8,

Ау(Ь) = Ь2у'(Ь) — (10 + 121п 2)Ьу(Ь) + / (18 + 361п 2)у(8)68,

■1о

Бу(Ь) = ^2(y/(2^) — у; (Ь)).

Ряд (5) в данном случае суммируем по Эйлеру [5, с. 305], и получаем частное решение

уравнения вида (2): у(Ь) = —1/(9 + 12 1п 2), что дает общее решение рассматриваемого

уравнения (7):

х(Ь) = еЬ (1 + 1п Ь) — (9 + 121п 2)-1.

ЛИТЕРАТУРА

1. Магницкий Н.А. Приближенные методы решения интегральных и функциональных уравнений Воль-терра 1-го рода: дис. ... канд. физ.-матем. наук. М., 1977.

2. Sato Т. Sur l’equation integrale // J. Math. Soc. Japan. 1953. V. 5, №2. P. 145-153.

3. Антоневич А.Б. Линейные функциональные уравнения. Операторный подход. Минск: Университетское, 1988.

4. Камке Е. Интеграл Лебега-Стилтьеса. М.: ГИФ.-МЛ, 1959.

5. Воробьев Н.Н. Теория рядов. М.: Наука, 1979.

Абдрахманов Валий Габдрауфович Уфимский государственный авиационный технический ун-т Россия, Уфа e-mail: abvil@yandex.ru

Смолин Юрий Николаевич Магнитогорский государственный ун-т Россия, Магнитогорск e-mail: smolin@masu.ru

Поступила в редакцию В мая 2007 г.

ФОРМАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ НЕРАВНОВЕСНЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ: МАТЕРИАЛОВЕДЧЕСКИЙ ПОДХОД

© В. Г. Бабаян

Ранее нами была предложена механическая модель экономических систем, выбор которой был связан с природой исследуемого феномена. При этом на первое место были поставлены факторы устойчивости и гибкости или способности трансформироваться [1]. Основными элементами модели являлись конформационно подвижные сегменты — малые предприятия, связанные длинными цепями в корпорации и т.п. С материалловедческой точки зрения такая модель напоминала базовую структуру эластомерных материалов. При этом устойчивость, как и для эластомеров, обеспечивалась появлением «сил реакции» энтропийной природы: «порядку», образуемому принудительной внешней деформацией, сопротивляются конформационно подвижные сегменты. После снятия деформации они возвращают систему в слабохаотическую область, а случайно возникший «порядок» исчезает. В пользу такой модели свидетельствовало большое количество малых предприятий в бурно развивающейся экономике Китая, а также громадное количество малых предприятий в экономике США и других развитых стран. Инноваторы обычно составляют значительную часть работников малых предприятий, демонстрируя при поддержке университетов, государственных и частных инвестиционных фондов большие возможности разработки новых продуктов и материалов. Крупные корпорации, обладающие достаточными организационными и финансовыми возможностями, выводят удачные разработки на рынок. Не рассматривались в этой модели процессы развития, становления, присущие эволюционирующим