CC BY
28
Несмотря на многочисленные приложения анализа, отсутствие нового исчисления привело к попыткам его построения на иных началах, отличных от подходов Ньютона и Лейбница. Так, Жо-зеф Луи Лагранж (1736-1813) пытался выполнить строгое построение анализа на основе разложения функций в ряды. Ему принадлежат термины производная и первообразная. Термин предел был известен в XVIII в., и Леонард Эйлер (1707-1783) считал необходимым строить анализ на этом понятии. Такой же точки зрения придерживался и Жан Леран Даламбер (1717-1783). Он первым определил бесконечно малую величину как переменную, имеющую предел, равный нулю.
Лишь в XIX в. были сформулированы и получили математическое решение проблемы, вытекающие из его логической сущности. Работа по перестройке анализа в этом направлении выпала главным образом на долю Огюстена Луи Коши (17891857) - великого французского математика. В работах 1821, 1823 гг. он первым дал строгое определение предела. Смысл определения ученого расширил (1853) Бернхард Риман (1826-1866). Итальянский математик Джузеппе Пеано (1858-1932) дал определение интеграла (1883), которое оказалось эквивалентным римановому.
После осознания значимости предельного перехода студенты перешли к решению одной из ключевых методических проблем: как раскрыть школьникам процесс перехода от приближенных вычислений площади фигуры к ее точному значению? Лучше, конечно, использовать компьютерные технологии. С их помощью выполняются рисунки, приводятся расчеты, готовится раздаточный материал. Они помогут раскрыть суть процесса предельного перехода на наглядно-интуитивном уровне.
Воссозданию картины научного поиска способствует конференция исторической направленности «Из истории интеграла». При подведении ее итогов учитель отмечает, что с конца XVII в. математический анализ получил мощный стимул не только для своего развития, но и оказал влияние на формирование исчисления конечных разностей, теории дифференциальных уравнений; вариационного исчисления и других.
К сожалению, в рамках статьи нельзя комплексно рассмотреть все возможности использования в школе историко-математического материала [3]. Актуально построение курса по выбору на основе цепочки профессиональных проблем, которая позволит студентам постепенно овладевать проектной технологией, предполагающей предварительное планирование последовательности действий, приводящих к решению проблемы, а затем их выполнение.
Таким образом, реализация компетентностного подхода потребовала переосмысления всей орга-
низации вузовского обучения: начиная от постановки цели, выбора соответствующих технологий, их использования и заканчивая ролью педагога в этой системе. При таком подходе приобретаются знания, умения; формируются навыки, накапливается необходимый опыт, развивается профессиональный интерес.
Примечания
1. Хуторской А. В. Ключевые компетенции как компонент личностно ориентированной парадигмы образования // Народное образование. 2003. № 2. С. 58-64.
2. Организация проектной деятельности в современной школе: сб. науч.-метод. тр. / под ред.
B. Л. Пестеревой. Пермь: ПГПУ, 2006.
3. Малых А. Е., Пестерева В. А. Использование исторических сведений в обучении математике // Ярославский педагогический вестник. Т. II (Психолого-педагогические науки). 2011. № 3.
C. 60-64.
УДК 371.124:004]:371.134:51
Е. А. Перминов
О МЕТОДОЛОГИИ РЕАЛИЗАЦИИ ДИСКРЕТНОЙ ЛИНИИ В ИНТЕГРАЦИИ
СОДЕРЖАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ И ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ПОДГОТОВКИ БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ ИНФОРМАТИКИ
В статье анализируется роль современной дискретной математики в формировании современного междисциплинарного научного направления исследований. На основе этого характеризуются методологические аспекты реализации дискретной линии в интеграции содержания математической и профессиональной подготовки будущих учителей информатики.
The article analyzes the role of modern discrete mathematics in the formation of the modern interdisciplinary scientific area of research. Proceeding from this the author outlines methodological aspects of implementing the discrete line in the integration of the contents of mathematical and vocational training of prospective teachers of informatics.
Ключевые слова: интеграция, математическая и профессиональная подготовка, будущий учитель информатики.
Keywords: integration, mathematical and vocational training, prospective teacher of informatics.
В последние десятилетия в подготовке студентов многих специальностей важную роль стала играть дискретная математика, т. е. математика дис-
© Перминов Е. А., 2012
кретных структур - «структур финитного (конечного) характера, которые возникают как в самой математике, так и в области ее приложений» [1]. Это связано с тем, что в математике значительно возросла роль работ по дискретизации непрерывных объектов, наблюдается бурный рост дискретной математики и ее приложений, в том числе в разработке систем компьютерной математики (СКМ) и компьютерных технологий (КТ).
Особенно возросла роль дискретной математики в подготовке будущих учителей информатики, несущих наибольшую ответственность за обучение школьников использованию потенциала современного компьютера и, в частности, СКМ и КТ. Охарактеризуем методологические аспекты реализации дискретной линии в интеграции содержания математической и профессиональной подготовки будущих учителей информатики. Для этого необходимо провести следующий предварительный анализ.
1. Анализ роли современной дискретной математики в формировании современного междисциплинарного научного направления исследований. Как известно, «сегодня наступает период развития информатики как междисциплинарного научного направления, которое будет выполнять интеграционные функции для многих направлений науки, как естественнонаучных, так и гуманитарных» [2]. Наступление этого периода развития информатики ускорил начавшийся процесс математизации наук, в результате которого возникли математические физика, химия, биология, география, экология, экономика, психология, история. Кроме того, методы математики и особенно математического моделирования с использованием СКМ и КТ стали интенсивно применяться также в зоологии, ботанике, физиологии, юриспруденции, лингвистике, физической культуре и даже в искусстве. Фактически здесь перечислены дисциплины, названия которых отражены в перечне соответствующих учебных предметов Проекта ФГОС среднего (полного) общего образования.
Анализ математического аппарата исследований с использованием СКМ и КТ в перечисленных дисциплинах показывает, что в формировании основ этого аппарата наряду с классической («непрерывной») фундаментальную роль играет дискретная математика. Метод конечных разностей решения дифференциальных уравнений в математической физике; молекулярные графы в математической химии; клеточные автоматы, отношения различной арности и элементы алгебры высказываний в биологии развития; алгебраические операции и логика предикатов в математической экономике и т. д. -вот лишь неполный перечень разделов и тем современной ДМ, так или иначе сыгравших свою междисицплинарную роль в формировании основ математического аппарата перечисленных дисцип-
лин. Поэтому ввиду обширности предметного поля дискретной математики в качестве ее синонима в этих и других дисциплинах стали использоваться также термин «конечная математика» и термины «дискретный анализ», «конкретная математика», названия которых отразили ее связи с классической («непрерывной») математикой.
Вследствие возрастания роли ДМ в междисциплинарных научных исследованиях с использованием СКМ и КТ предмет «Дискретная математика» («Основы дискретной математики») с 1995 г. постепенно был включен в государственные стандарты высшего профессионального образования по многим специальностям из подавляющего большинства направлений подготовки. Анализ стандартов показывает [3], что возникли следующие направления обучения ДМ, которые можно условно разделить на четыре группы:
1) обучение математиков, программистов и специалистов в области прикладной математики;
2) обучение на инженерно-технических специальностях (электротехнических, машиностроительных и т. д.);
3) обучение на экономических и управленческих специальностях;
4) обучение на гуманитарных (психология, филология и др.) специальностях.
Отметим, что сложившаяся система обучения ДМ будущих учителей не вписывается в рамки ни одного из указанных направлений в силу особой специфики педагогической специальности.
Анализ концептуальных особенностей существующих направлений обучения ДМ, а также содержания журналов «Дискретная математика», «Дискретный анализ и исследование операций», «Прикладная дискретная математика» и учебной литературы свидетельствует о фундаментальной роли современной дискретной математики в разработке и совершенствовании современных СКМ и КТ. В частности, в разработке и совершенствовании систем компьютерной математики определяющую роль играет раздел прикладной дискретной математики с названием «математические основы информатики и программирования», основным содержанием которого являются формальные языки и грамматики, алгоритмические системы, языки программирования, структуры и алгоритмы обработки данных, теория вычислительной сложности (см. тематику журнала «Прикладная дискретная математика»). В том числе в разработке и совершенствовании КТ (более узко - вычислительной техники) определяющую роль играют разделы «теория автоматов, теория функциональных систем, синтез и сложность управляющих систем» (см. тематику журнала «Дискретный анализ и исследование операций»). Поэтому дискретная математика играет фундаментальную роль в подготовке учителя информатики владению СКМ и КТ. В связи с этим
отметим, что стал использоваться новый термин «информатическая математика» [4], подчеркивающий роль СКМ и КТ в математической деятельности учителя информатики.
Далее будем исходить из того, что в содержательном направлении интеграции образования наиболее важными и широко известными являются подходы в интеграции на базе актуализации межпредметных (междисциплинарных) связей, на основе фундаментализации подготовки и в рамках компетентностного подхода. Отметим, что важная роль ДМ в интеграции математической подготовки будущих учителей математики, информатики и педагогов профессионального обучения на основе этих подходов обоснована в [5].
2. О методологических аспектах интеграции на базе актуализации междисциплинарных связей. Как следует из изложенного, в методологии реализации дискретной линии в интеграции содержания математической и профессиональной подготовки будущих учителей информатики важную роль играют следующие положения.
Во-первых, в основном содержании подготовки необходимо отразить базовые понятия и методы ДМ, играющие фундаментальную роль в изучаемых студентами областях информатики и обеспечивающие их обучение корректному использованию в них СКМ и КТ. В самом деле, «от того, кто хочет стать учителем, требуется в определенном смысле больше, чем, скажем, от инженера-разработчика ЭВМ или программиста - преподаватель должен знать практически все разделы информатики, владеть ее техническими средствами (СКМ и КТ. - Е. П.) на уровне высококвалифицированного пользователя и уметь передавать свои знания и навыки другим людям» [6].
Как известно [7] , в структуре предметной области информатики ведущую роль играет теоретическая информатика, в основы которой в учебном пособии В. Л. Матросова и др. [8] включены теории кодирования и автоматов, математическая кибернетика, формирующие у студентов педагогических специальностей необходимые им знания о математических моделях и методах, используемых при обработке информации. Поэтому к базовым понятиям и методам ДМ следует также отнести понятия языка доминирующих в ДМ алгебраических, порядковых структур и логических, комбинаторных и алгоритмических схем (в общенаучной терминологии средств, методов математического познания), играющих важную роль в исследованиях в теории кодирования, автоматов, математической кибернетике. Среди них - понятия алгебраической операции, и-арного отношения, автомата и многие другие.
Во-вторых, в вариативном содержании математической и профессиональной подготовки будущих учителей информатики необходимо отразить
также те понятия и методы ДМ, которые обеспечивают фундаментальность подготовки будущих учителей информатики к ведению предпрофильных и профильных курсов информатики. Для обеспечения преемственности обучения между школой и вузом при непосредственном отборе содержания следует исходить из концептуальных особенностей того ранее приведенного направления обучения ДМ, в рамках которого ведется подготовка по специальностям из выбранного учащимися профиля обучения. Поэтому, например, в содержании подготовки учителя информатики в классах социально-экономического профиля необходимо отразить понятия и методы ДМ, играющие фундаментальную роль в подготовке студентов экономических и управленческих специальностей [9].
В-третьих, в вариативном содержании этих видов подготовки будущих учителей информатики необходимо отразить понятия и методы ДМ, играющие важную роль математическом аппарате профильного предмета, изучаемого школьниками (см. в связи с этим перечисленные ранее дисциплины математические физика, химия, биология, география и др.). Действительно, вследствие расширения предметной области информатики «как фундаментальной естественной науки и общеобразовательной дисциплины» [10] возрастает роль «предметных» информатик, играющих фундаментальную роль в использовании СКМ и КТ в изучаемом школьниками профильном предмете. При этом важно учесть, что эти информатики базируются на разных наборах операций и процедур и поэтому существенно различаются между собой в разных видах деятельности (управление производственным процессом, системы проектирования, менеджмент и т. д.).
Эти положения характеризуют методологический уровень реализации дискретной линии в интеграции содержания математической и профессиональной подготовки, определяющий реализацию этой линии на внутрипредметном, внутрицикловом и межцикловом уровнях интеграции.
3. Интеграция содержания на основе фунда-ментализации математической и профессиональной подготовки. Под фундаментализацией образования обычно понимают один из принципов, подразумевающих приоритетность фундаментальных знаний, или, другими словами, направленность образования на создание цельного, обобщающего знания, являющегося ядром (основой) всех полученных студентом знаний, объединяющим эти знания в единую мировоззренческую систему. Принцип фундаментальности наряду с принципами профессионального развития и преемственности являются основными принципами, на основе которых регулируются внешние связи методической системы подготовки будущего учителя информатики [11].
Создание цельного, обобщающего знания предполагает изучение языка доминирующих в ДМ алгебраических, порядковых структур и логических, алгоритмических, комбинаторных схем. Фундаментальное значение языка этих структур и схем в интеграции математической и профессиональной подготовки будущих учителей информатики заключается в следующем.
Во-первых, в обучении языку этих структур и схем следует исходить из того, что они играют фундаментальную роль в качественном анализе проблем математического моделирования, в систематизации информации по интересующей проблеме, ее структуризации, представлении имеющихся знаний в виде, удобном для последующего решения проблем с использованием СКМ и КТ. Действительно, язык этих структур и схем играет фундаментальную роль в корректном использовании СКМ и КТ в реализации этапов математического (информационного) моделирования, особенно в оптимальном выборе языка и метода моделирования, разработке алгоритма, программы вычислений и в итоговом анализе всех возникающих погрешностей в реализации всех этапов моделирования. Незнание языка этих структур и схем порождает самые живучие ошибки моделирования - те, что остаются незамеченными в процессе итогового анализа и тестирования результатов моделирования и доходят до этапа внедрения его результатов - это ошибки пропущенной логики рассуждений, т. е. в использовании математического языка.
В подтверждение важности изучения языка доминирующих в ДМ структур схем достаточно упомянуть понятия рекуррентного соотношения, асимптотической оценки и приближения и их роль в анализе эффективности алгоритмов вычислений в самых различных областях исследований. Асимптотические оценки позволяют, например, приближенно оценить значениях функции, когда воспользоваться определением функции для вычисления точного ее значения с использованием СКМ при очень больших (или очень малых) значениях аргумента слишком трудно. Более того, определение функции может оказаться столь сложным, что для обычных значений переменной легче получить асимптотическую информацию о величине значения функции, чем любую другую.
Во-вторых, обязательное включение в содержание подготовки тех или иных математических структур и схем ДМ обеспечивает своеобразный стандарт подготовки, свидетельствующий о фундаментальном, опережающем практику обучении, позволяющем адекватно реагировать на изменения, постоянно происходящие в информатике. В-третьих, язык этих структур и схем играет фундаментальную роль в формировании у студентов представлений о математике как единой науке и о внутренней логике математики.
Язык структур и схем ДМ играет важную роль в устранении диспропорций между фундаментали-зацией подготовки студентов и чрезмерным увлечением информационно-коммуникационными технологиями, довольно часто порождающим много бесполезной, искаженной и даже ложной информации в содержании обучения (так называемые «информационные шумы»), что не способствует формированию умений корректной обработки и анализа информации. Не случайно А. П. Ершов подчеркивал базовую роль дискретной математики в доведении системы «законов обработки информации до той же степени стройности и заразительности, какой сейчас обладает курс математического анализа, читаемый в лучших университетах» [12]. К сожалению, «рекламный звон вокруг инструментов и методов - это чума индустрии ПО (программного обеспечения. - Е. П.)» [13].
4. Интеграция на основе реализации компе-тентностного подхода. Согласно классификации, примененной в проекте TUNING, в котором приняли участие более 100 университетов из 16 стран, подписавших Болонскую декларацию, было выделено две основные группы компетенций - общие и специальные (профессиональные). К общим компетенциям относят прежде всего когнитивные и методологические способности, в частности способность принятия решений и разрешения проблем. Роль ДМ в формировании общих компетенций будущих учителей информатики наиболее значимо проявляется в следующем.
Как обосновано в [14], обучение дискретной математике необходимо для развития у студентов способности критического отслеживания и осмысления развития теории и практики математического моделирования и вычислительных процессов с использованием СКМ и КТ. Поэтому обучение ДМ играет важную роль в выработке общих (полифункциональных, надпредметных, междисциплинарных и др. [15]) компетенций будущих учителей информатики, подразумевающих наличие умения гармонично сочетать в моделировании формальный язык математики, неформальный язык науки, в области которой проводится исследование, и возможности компьютера.
Роль ДМ в формировании специальных компетенций проявляется в следующем. Обучение дискретной математике в значительной мере способствует овладению студентами методами математического моделирования на основе дискретных и непрерывных моделей и выработке умений объяснять результаты этих исследований. Поэтому обучение ДМ способствует овладению ими методикой обучения школьников и студентов колледжей (техникумов) элементам математического моделирования, а также методикой изложения понятий ДМ, имеющих общеобразовательное и общекультурное значение. Стало быть, эле-
Е. А. Васенина. моделирование структуры взаимодействия участников образовательного процесса.
менты дискретной математики должны быть адекватно отражены в курсе методики обучения информатике.
Примечания
1. Математическая энциклопедия / гл. ред. И. М. Виноградов. Т 2. М.: Сов. энцикл., 1979. 1104 стб.: ил. С. 207.
2. Колин К. К. Философские проблемы информатики. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010: ил. С. 28.
3. Перминов Е. А. Методические основы обучения дискретной математике в системе «школа -вуз». Екатеринбург: Изд-во РГППУ, 2006.
4. Рагулина М. И. Компьютерные технологии в математической деятельности педагога физико-математического направления: автореф. дис. ... д-ра пед. наук. Омск, 2008.
5. Перминов Е. А. О методологических основах обучения дискретной математике студентов педагогических специальностей // Вестник Вятского гос. гуманит. ун-та. 2010. № 3(3). С. 80-82.
6. Могилев А. В., Пак Н. И, Хеннер Е. К. Информатика: учеб. пособие. М.: Изд. центр «Академия», 2004. С. 3.
7. Колин К. К. Философские проблемы информатики. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. С. 22.
8. Матросов В. А, Горелик В. А., Жданов С. А. Теоретические основы информатики: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений. М.: Изд. центр «Академия», 2009.
9. Москинова Г. И. Дискретная математика. Математика для менеджера в примерах и упражнениях: учеб. пособие. М.: Логос, 2002.
10. Колин К. К. Философские проблемы информатики. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010: ил. С. 16.
11. Абдуразаков М. М. Совершенствование содержания подготовки будущего учителя информатики в условиях информатизации образования: ав-тореф. дис. . д-ра пед. наук. М., 2007.
12. Ершов А. П. Избранные труды. Новосибирск: Сиб. издат. фирма, 1994. С. 294.
13. Гласс Р. Факты и заблуждения профессионального программирования / пер. с англ. СПб.: Символ-Плюс, 2007. С. 23.
14. Перминов Е. А. О методологических аспектах реализации культурологического подхода в математическом образовании // Педагогика. 2011. № 9. С. 49-55.
15. Абдуразаков М. М. Указ. соч.
УДК 371.311.1:519
Е. А. Васенина
МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРУКТУРЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ УЧАСТНИКОВ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА ПРИ ОБУЧЕНИИ ИНФОРМАТИКЕ
Статья посвящена вопросам моделирования структуры взаимодействия между участниками образовательного процесса по информатике, ориентированного на интеллектуальное развитие учащихся, в условиях применения средств информационных технологий.
Questions of modeling of structure of interaction between participants of educational process on the Informatics, focused on intellectual development of pupils in the conditions of application of means of information technologies are considered in this article.
Ключевые слова: взаимодействие в образовательном процессе по информатике, моделирование, компьютер, средства информационных технологий.
Keywords: interaction in educational process on Informatics, modeling, the computer, means of information technologies.
Эффективная организация образовательного процесса, ориентированного на интеллектуальное развитие учащихся, предполагает достижение оптимального сочетания самостоятельности учащихся в познании и педагогического руководства их познавательной деятельностью. Важным направлением педагогической поддержки познавательной деятельности школьников является налаженное взаимодействие между участниками образовательного процесса, прежде всего межличностное взаимодействие учителя и учащихся. Его активизации способствует применение средств ИКТ в образовательном процессе, что особенно актуально для информатики.
В обучении информатике активно используется компьютер, оказывающий влияние на традиционные виды взаимодействия (взаимодействие между учителем и учащимися, группами учащихся или классом как целостной структурой, а также личностное, внутригрупповое или межгрупповое взаимодействие между учащимися) и, в то же время, выступающий как своеобразный субъект образовательного процесса, интерактивный партнер (термин И. В. Роберт [Роберт И. В., Козлов О. А. Концепция комплексной, многоуровневой и мно-
© Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы» (соглашение 14.В37.21.1014)
© Васенина Е. А., 2012
