О методе расчета трехмерных конструкций сложной формы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.

Ф. С. Хайруллин, О. М. Сахбиев

О МЕТОДЕ РАСЧЕТА ТРЕХМЕРНЫХ КОНСТРУКЦИЙ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ

Ключевые слова: трехмерные конструкции, вариационный метод, напряженное состояние, аппроксимация.

В работе предлагается вариационный метод определения напряженно-деформированного состояния трехмерных конструкций, основанный на использовании функций с конечными носителями произвольной степени аппроксимации, позволяющих производить расчеты конструкций с криволинейными граничными поверхностями, а также составных конструкций.

Key words: three-dimensional constructions, variation method, tense condition, approximation.

In this article the variation method of definition of the tense-deformed condition of three-dimensional constructions is offered which based on using of functions with final carriers of any extent of approximation which allows to make calculations of constructions with curvilinear boundary surfaces, and also compound constructions.

В настоящее время расчет трехмерных конструкций сложной формы, а также составных конструкций производится в основном методом конечных элементов или методом суперэлементов [1-2]. В данной работе на основе функций с конечными носителями произвольной степени аппроксимации, предложенных в работе [3] для определения напряженно-деформированного

состояния тонких оболочек, излагается метод расчета трехмерных конструкций.

Рассматривается деформирование

трехмерной конструкции, ограниченной кусочно-гладкими поверхностями. Предполагается, что перемещения и деформации малы, материал тела изотропен, справедлив закон Гука.

Конструкция разбивается на подобласти Ук в виде шестигранников (рис.1) с криволинейными гладкими гранями О.,, / = 1,6, которые в декартовой системе координат х, у, г описываются уравнениями г = Р1(х, у), г = Р2 (х, у), у = Р3 (г, х), у = Р4 (г, х), х = Р5 (у, г), х = Рб(у, г), где р, / = 1,6 - однозначные функции класса С1. Причем уравнения граней задаются относительно соответствующих координатных плоскостей. Здесь

Рис. 1

и в дальнейшем для упрощения последующих записей у введенных величин упускаем индекс к , показывающий принадлежность к подобласти Ук.

На рисунке круглыми скобками показаны номера сторон, в кружечках - номера угловых точек (узлов) подобласти.

В подобласти Ук вводится локальная криволинейная система координат р 1, Р2, Р3, которая связана с системой координат х, у, г следующим образом:

х = Р5 (у^ г15 )(1 "р1)+ Р6 ^ г16 )р1 + х10 , у = Р (х13 )(1 -р2 ) + Р (г14, х14 )р2 + у10 , (1)

z

= F1( Х11 Уи)(1 -р3 )+ F2 (x12 ' У12 )р3

+ z.

10 •

где

У15 = <599(«9%))(1 - Р2) + <5,11 Ы«?^))Р2

+ (Р2, Рз),

z15 =

: /53 (93 («3% ))(1 - Рз) + <57 (97 («7°Р2))Р3 +

+ %2(Р2, Р3),

У16 = <6,10 (910 (®'70Р3 ))( -Р2 ) + + <6,12 (12 (2Р3 |Р2 + 961( Р3 ),

Z16 = <64 (94(«4%))(1 - Р3) + <68 (98 («8%))Р3 + + ^62 ( Р3),

x

10

= 911(Р1,Р2 )(1-Р3 )+ ^21 (Р1, Р2 )Р3

951 (Р2 , Р3 ) = [93 («3% )- У1 (1 - Р2 ) - У3Р21(1 - Р3 ) +

+ [97 («7Р2)-У5(1 -Р2)-У7Р2 J Р3,

952 (Р2, Р3 ) = [99 («9% )- Z1 (1 - Р3 ) - Z5Рз J (1 - Р2 ) +

+ [911 (51°Р3)-Z3(1 -Рз)-Z7РзJ Р2, 961 (Р2 , Рз ) = [94 («7 Р2 )- У2 (1 - Р2 ) - У4Р2 J (1 - Рз ) -

98 «

(«87 Р 2)-У 6 (1-Р2)

- У8Р2

Рз,

962 (Р2 , Рз ) = [910 («170Рз )- Z2 (1 - Рз ) - Z6Рз J (1 - Р2 )

+

912 («172Рз)-Z4 (1-Рз) - Z8Рз

Р2 . (2)

Здесь для сокращения записей приведены только соотношения, определяющие координату х в формулах (1). Для остальных координат эти соотношения записываются аналогично.

+

+

+

В соотношениях (2) а 1 = /у (а 2) -уравнения проекций граничных линий X у поверхностей О, на соответствующие координатные плоскости; а2 = gj (sj) - функции, определяющие координату точки на оси а 2 по соответствующей дуговой координате Sj на линии

Xу; s'j - длины дуг линий Xу; X|, у1 , z¡, l = 1,8 -координаты угловых точек подобласти Vу. В этих формулах величинами а1, а 2 обозначены координаты х, у или 2, которые выбираются в соответствии с задаваемой линией X у. Например, для линии X5 поверхности ^: координаты а1 = у, а2 = х, уравнение граничной линии У = /25 (х). Функция х = д 5 (5) для точки, находящейся на линии X5, имеющей дуговую координату s5 , определяет координату на оси Ох (рис.2).

Z А

* Х6 Рис. 2

Система координат р1, р2, р3 в

соответствии с соотношениями (1) - (2) выбрана таким образом, что в подобласти V" выполняются

условия 0 <Р 1, р2, р3 < 1, грани О, задаются уравнениями Р| = 0 или Р| = 1, I = 1,3; граничные линии Xу задаются одной из координат Р|, I = 1,3 . На гранях О, уравнения (1) переходят в уравнения этих граней. Например, если в эти уравнения подставить Р3 = 0 , то получаются уравнения, определяющие грань О1:

х = хц , у = Уц, 2 = Я,(11,Уц) (0 < Р1,Р2 < 1).(3)

На граничных линиях уравнения (1) переходят в уравнения этих линий. Например, если в уравнениях (3) задать Р1 = 1, то получается уравнение линии X 4 :

х = /14 (д4 )) , У = д4 ИР2 ),

2 = Я](х, у) (0 <Р2 < 1). При решении задач предполагается, что исследуемую трехмерную конструкцию можно

разбить на подобласти вида . Для определения напряженно-деформированного состояния

конструкции используется вариационный принцип Лагранжа [4], на основании которого должно выполняться условие

5Е =£8Ek(U)=I ¡(8Пк-8'Wk)dO = 0 , (4)

k=1

k=1 Ok

где Е - полная энергия конструкции, Ек - полная энергия подобласти V"; Пк, 5' №к - соответственно удельная потенциальная энергия деформации и вариация работы внешних сил единицы объема

подобласти V"; и = {, и2, и2 }г - вектор перемещений подобласти Ук в системе координат х, у, 2 ; К - количество подобластей .

В подобласти Ук компоненты перемещения аппроксимируются функциями, заданными в системе координат Р1, Р2, Р3 следующим образом:

M1 M2 M3

(5)

U(Vk)= I I IDkmm

m1=1 m2=1 m3=1 x m (P1 )tmi (P 2 )tm3 (ß 3 )

k

где Dmmim3 - вектор неизвестных постоянных; функции формы

t1(P1)=1-ß1. t2 (P1)P1,_

tm (P1) = t1(P1)[t2 (P1)]m-2 (m = 3, M) (6) На граничных поверхностях Ok подобласти Vk трехмерные полиномы (5) переходят в двумерные полиномы. Например, для грани O'k, где P3 = 0 ,

, ч M1 M2

U(ok)= I Iükmm21 m (P1)tm (P2). (7)

m1 =1 m2=1

На граничных линиях Xk двумерные полиномы вида (7) переходят в одномерные полиномы. Например, на линии Xk4 при P1 = 1

M2

" (8)

, ч M2

U()= Iükm21 m (P2).

m2 =1

Если, например, для линии X4 определить значения в угловых точках, то

" " (9)

U(xk4)| = ü2n, U(xk

v ' Ip=o 211 v ' IP=1

= Dk = ü221 .

Из формул вида (7) следует, что на каждой из поверхностей Ок искомые функции определяются двумерными полиномами, зависящими только от двух криволинейных координат из трех. Эти криволинейные координаты с учетом соотношений вида (3) зависят только от уравнений, задающих поверхность О". Это обеспечивает непрерывность искомых функций при переходе из одной подобласти на другую и позволяет легко выполнять геометрические

граничные условия и условия стыковки искомых функций на границах подобластей Vk .

Например, если граничная поверхность ^ (рис.1), которая является верхней гранью подобласти V, стыкуется с поверхностью ^, которая является нижней гранью подобласти V? , то для обеспечения непрерывности вектора перемещений U достаточно выполнить условия

Dm

= D2

""У*. m1 = 1М1 m2 = 1. М2 . Если на границе о!^ подобласти Vk заданы граничные условия U = 0 , то необходимо положить

D

m,1m3

= 0, m1 = 1, M1, m3 = 1, M3 .

Если требуется выполнить стыковку подобластей по некоторой линии, например,

11 граничная линия Х8 поверхности ^ подобласти

V совпадает с линией поверхности О2

подобласти V2, то достаточно в соответствии с формулами вида (8) удовлетворить условиям

D

2 m,2

= Dim21, m, = 1, M,.

Из всех неизвестных постоянных Dm1m2mз,

входящих в аппроксимирующую функцию (5), в соответствии с формулами вида (9) только

постоянные D>mhm2mъ. т1 = 1.2. т2 = 1.2. т3 = 1.2

имеют механический смысл. Они определяют перемещения угловых точек подобласти Vk, т.е. являются узловыми значениями. Некоторые из параметров определяют искомые функции на граничных поверхностях, остальные - внутри подобласти Vk.

Подставляя аппроксимирующие функции (5) в вариационное уравнение (4), удовлетворяя соответствующим граничным условиям и условиям стыковки подобластей, после численного интегрирования по некоторой квадратурной формуле получается система линейных уравнений

к

относительно неизвестных постоянных :

[К] D = Р, (10)

где [К] - матрица жесткости конструкции, D -вектор неизвестных постоянных, составленный соответствующим образом из векторов Dщm2mъ,

Р - вектор правой части, учитывающий действие внешних нагрузок.

Для исследования сходимости решения в таблице приводятся значения максимального перемещения итах , максимального растягивающего

тР

и максимального сжимающего ст.

напряжении

для кубика размерами

max

a,

представленного на рис.3. Одна грань кубика, задаваемая уравнением у = 0, жестко закреплена, на одной из перпендикулярных к ней граней (уравнение 2 = а) действует равномерно распределенная растягивающая нагрузка интенсивности д. Расчеты получены для следующих числовых параметров:

V = 0.3,

Е = 2 • 106 кГ/см2,

a = 1 см , q = 1 кГ/ см

2

Таблица 1

Рис. 3

Максимальные перемещения и

M1 = M2 = M3 3 4 5 6 Ansys

10 20

Umax •106, см 1,49 1,69 1,69 1,72 1,70 1,72

CTmax , МПа 0,263 0,45 0,498 0,596 0,415 0,54

CT m ax , МПа 0,314 0,522 0,606 0,735 0,494 0,667

Литература

1. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. - М.: Мир, 1984. - 428 с.

2. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир, 1975. - 511 с.

3. Хайруллин Ф.С. Метод расчета тонких оболочек сложной формы. // Известия РАН. Механика твердого тела. - 1998, № 3. - С. 30 - 33.

4. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. - М.: Наука, 1978. - 288 с.

5. Хайруллин Ф.С., Сахбиев О.М. Численный метод построения сглаживающих аппроксимирующих функций. Вестник Казанского технологического университета. № 8. Казань. 2011 г. С. 239 - 245.

6. Бережной Д.В., Сагдатуллин М.К. Трехмерный конечный элемент для расчета оболочек средней толцины. Вестник Казанского технологического университета. Т. 16, № 8. Казань. 2013 г. С. 256 - 262.

© Ф. С. Хайруллин, д-р физ.-мат. наук, доцент, проф. каф. «Теоретическая механика и сопротивление материалов» КНИТУ, [email protected]; О. М. Сахбиев, соискатель той же кафедры.

© F. S. Khayrullin, doctor of physico-mathematical sciences, docent, professor, department of theoretical mechanics and strength of materials, KNRTU; O. M. Sakhbiev, applicant in the same department.

max