О методе аппроксимации экономических данных, основанном на задаче П. Л. Чебышёва и ее обобщении Текст научной статьи по специальности «Математика»

И. Ю. Выгодчикова. О методе аппроксимации экономических данных

УДК 005.521

О МЕТОДЕ АППРОКСИМАЦИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ДАННЫХ, ОСНОВАННОМ НА ЗАДАЧЕ П. Л. ЧЕБЫШЁВА И ЕЕ ОБОБЩЕНИИ

И. Ю. Выгодчикова

Саратовский государственный университет E-mail: VigodchikovaIY@info.sgu.ru

Статья посвящена равномерному методу аппроксимации динамики экономических показателей, основанному на исследованиях П. Л. Чебышева.

Ключевые слова: уравнение регрессии, аппроксимация, оценка, альтернанс, сжатие данных, прогнозирование.

About the Economic Indicator’s Approximation by Method Based at the P. L. Chebyshev’s Investigations and it’s Generalizing I. Y. Vigodchikova

This paper is devoted to the uniform method of economic indicator’s approximation based at the P. L. Chebyshev’s investigations.

Key words: regress equation, approximation, estimation, alternance, compression of the data, forecasting.

Эконометрическое моделирование и прогнозирование на основе построенных моделей вполне успешно применяется при анализе процессов с высоким уровнем риска, например при анализе динамики курсов валют, при оценке ожидаемых темпов инфляции и уровня безработицы, поскольку приемы эконометрики при современных информационных технологиях являются простыми в выполнении и наглядными для интерпретации.

Рассмотрим задачу наилучшей аппроксимации набора наблюдений (x., yt), i = 1, n линейным уравнением y = р0 +p1x . Точки (x., y{), i = 1, n не лежат в точности на линии регрессии, а точки (, yi), i = 1, n, где yt =во +ftx i, принадлежат этой линии, поэтому ошибки в i-ом наблюдении выражаются разностью между фактическим и расчетным значением зависимой переменной: 8г- = y{ — y{. Линейная регрессионная модель имеет вид yi = в0 + P1xi + 8j.

Поскольку измерить случайные ошибки 8 i невозможно, нужно оценить коэффициенты в0 , Pj по имеющимся данным (x i, y), i = 1, n. Чаще всего для этого применяют метод наименьших квадратов (МНК)1. В качестве оценок неизвестных параметров |30 , в1 берут такие значения |30 , (31, которые минимизируют сумму квадратов отклонений значений у. от у.:

Q(0’Р1 ):=Х(у/ -У/) = Х(у/-Р0-Р1Х1) ^ тш.

/=1 /=1 Р 0,Р1

(1)

Иногда применяется прогнозирование экономических показателей на основании ортогональных многочленов и построения моделей динамики, например методом максимального правдоподобия. Однако при анализе численности населения эти способы иногда приводят к искажению результата - первый по причине возможности незапланированных сбоев в поведении многочлена с ростом его степени, а второй вследствие недостаточно надежных вероятностных характеристик рассматриваемого явления.

В данной работе предлагается метод аппроксимации данных, основанный на исследованиях П. Л. Чебышёва2 о равномерном наилучшем приближении функции алгебраическим полиномом фиксированной степени и обобщении этого метода, который позволяет выявить дополнительные свойства динамического ряда. Исследование задачи П. Л. Чебышёва весьма интересно уже потому, что ее решение в линейном случае обладает симметричностью относительно входных данных. При рассмотрении обратной задачи (зависимая и независимая переменные меняются местами) решением будет прежняя линейная функция, естественно, если у = в0 +в1х, а х = ю0 +ю1 у, то Ю0 = -Р0 / в1, ю1 = 1/ р1, что особенно ценно при анализе перекрестных данных. Также немаловажен факт наличия перспектив исследования. Разработаны методы решения обобщений этой задачи3.

Указанный метод целесообразно применять для оценки сглаженных или достаточно стабильных данных, например динамики численности населения, числа работников на предприятии, объема инвестиций в экономику, индекса цен, процентных ставок крупных банков, объема ВВП, остаточной стоимости объектов жилого фонда и т. п.

Приведем формулировку задачи П. Л. Че-бышёва для дискретного случая. Пусть Т = Ц < ...< t к } - дискретная сетка

значений некоторой функции ук = у(1:к), к = 0,^, состоящая из «узлов» ^, к = 0,^, рп (А, 1) = а0+ а^ + ... + ап 1;п - алгебраический поли-

© Выгодчикова И. Ю., 2012

ном степени не выше п с вектором коэффициентов А = (ао,а1,...,ап) Яп+1, N и п - целые неотрицательные числа. Требуется минимизировать максимальное по всем узлам сетки Т уклонение алгебраического полинома от значений дискретной функции в этих узлах:

р(^):= тах

к =0, N

тт

Ле К

п+1

(2)

Решение такой задачи всегда существует вне зависимости от соотношений между N и п,

а при N > п оно единственно. Обозначим через

р := тіп р(А) минимальное значение целевой Ае Яп+1 функции задачи (2).

Решение этой задачи сводится к поиску так называемого экстремального базиса, то есть такого (п + 2) - точечного подмножества сетки Т

* Г * * * 1

а ={, <{ <к<}г,длякоторого

I- J0 Л Jn+1 J

выполняются соотношения

Рп (’ гЛс )= Улк +(- 1)к+1 • Ь , к = °п + 1 , (3)

причем р( ) = \к . В таком случае

Л* = (*,...,й*)е )+1 - решение задачи (2). Обычно для этих целей применяют алгоритмическую процедуру Вале - Пуссена, осуществляющую целенаправленный перебор базисов, начиная с произвольного.

Явление изменения знака уклонения фактических значений показателя от значений алгебраического полинома в (п + 2) различных узлах на одинаковую по модулю величину при переходе от одного узла к следующему по возрастанию, записанное математически в (3), часто называют альтернансом.

Соотношения (3) - это система с (п + 2) неизвестными - компонентами вектора

* і * * 1 п + 1

Л = йо ,•••,йп )е К и величиной И - и таким же числом уравнений. При N > п эта система всегда имеет единственное решение.

В данной работе рассматриваем случай п = 1. Система (3) запишется в виде (в целях упрощения обозначений берем базис а = {{ < ^ < ^2Iе Г , символы «*» и двойные индексы опускаем)

йо + а^к = У к + (- 1)к+1 • Ь, к = 0,2

(4)

Несложно отыскать решение системы (4):

- Ь • (1 + го)+ уо • г1 - у1 • го

йо =-

а, =

г1 - го у1 - уо + 2 •Ь

Ь = - — + —

2 2 12 -10 2 12 -10

Рассмотрим применение этого метода на примере аппроксимации динамики численности населения в России в 1991-2009 гг.4 Исходные данные представлены в табл. 1.

Таблица1

Исходные данные численности населения, тыс. чел.

Дата Городское Сельское Сумма

01.01.1991 109 405,1 38 868,6 148 274

01.01.1992 109 357,7 39 157 148 515

01.01.1993 108 668,4 39 893,3 148 562

01.01.1994 108 304,8 40 051,1 148 356

01.01.1995 108 321,7 40 138,2 148 460

01.01.1996 108 310,6 39 981 148 292

01.01.1997 108187,8 39 848 148036

01.01.1998 108 110,8 39 691,3 147 802

01.01.1999 108 053,2 39 486,2 147 539

01.01.2000 107 419,5 39 476 146 896

01.01.2001 107 071,3 39 261,9 146 333

01.01.2002 106 725,3 38 924 145 649

09.10.2002 106 420,9 38 737,7 145 159

01.01.2003 106 321,2 38 642,4 144 964

01.01.2004 105 818,4 38 349,8 144 168

01.01.2005 104 719,3 38 754,9 143 474

01.01.2006 104 104,8 38 648,7 142 754

01.01.2007 103 778,4 38442,6 142 221

01.01.2008 103 773 38 235,8 142 009

01.01.2009 103 690,4 38 213,6 141 904

01.01.2010 103 705 38 209 141 914

о

Сначала берем за условно нулевую дату 01.01.1991 и переводим значения дат в годы, прошедшие от нулевой даты. Далее рассматриваем задачу (2) для аппроксимации численности городского населения (ук , к = 0,19) в зависимости от года (гк , к = 0,19), при этом выбираем линейный полином, п = 1. В результате решения задачи (например с использованием алгоритма Вале -Пуссена) получена оценка зависимости численности населения от номера года от 01.01.1991 в линейной форме:

р1 (0 = у = 110 104,1198 - 349,76 г.

Экстремальным базисом оказались 3,8 и 15 годы. Если «убрать» из рассмотрения хотя бы одно из указанных наблюдений, решение задачи изменится, если же убирать любые другие наблюдения, решение останется прежним. Максимальная абсолютная ошибка аппроксимации 749,1 тыс. чел. Можно заметить, согласно полученной модели, что за рассматриваемый период городское население убывало приблизительно на 350 тыс. чел. в год (табл. 2).

78

Научный отдел

И. Ю. Выгодчикова. О методе аппроксимации экономических данных

Таблица 2

Вывод остатков по итогам применения алгоритма Вале - Пуссена

T (годы) Расчетное городское Расчетное фактическое Ошибка (%) Абсолютная ошибка

0,0000 110 104,1198 699,019781 0,64% 699,02

1,0000 109 754,3593 396,6593429 0,36% 396,66

2,0027 109 403,6407 735,2406571 0,68% 735,24

3,0027 109 053,8802 749,080219 0,69% 749,08

4,0027 108 704,1198 382,419781 0,35% 382,42

5,0027 108 354,3593 43,75934292 0,04% 43,759

6,0055 108 003,6407 - 184,1593429 - 0,17% 184,16

7,0055 107 653,8802 - 456,919781 - 0,42% 456,92

8,0055 107 304,1198 - 749,080219 - 0,69% 749,08

9,0055 106 954,3593 - 465,1406571 - 0,43% 465,14

10,0082 106 603,6407 - 467,6593429 - 0,44% 467,66

11,0082 106 253,8802 - 471,419781 - 0,44% 471,42

11,7781 105 984,6126 - 436,2874059 - 0,41% 436,29

12,0082 105 904,1198 - 417,080219 - 0,39% 417,08

13,0082 105 554,3593 - 264,0406571 - 0,25% 264,04

14,0110 105 203,6407 484,3406571 0,46% 484,34

15,0110 104 853,8802 749,080219 0,72% 749,08

16,0110 104 504,1198 725,719781 0,70% 725,72

17,0110 104 154,3593 381,3593429 0,37% 381,36

18,0137 103 803,6407 113,2406571 0,11% 113,24

19,0137 103 453,8802 - 251,119781 - 0,24% 251,12

749,08

При этом максимальная абсолютная ошибка аппроксимации составила 749,1 тыс. чел., или 0,72%.

Если использовать метод наименьших квадратов, получается следующая оценка: р1 (г) = у = 109 822,63 - 333,15г.

Максимальная по периодам абсолютная ошибка аппроксимации - 837,58, все коэффициенты и уравнение регрессии значимы.

Исключая из рассмотрения данные за 1999 г., по методу наименьших квадратов получаем у = 109 866,225895631 - 330,3255324?, вычисляем прогноз по этой модели на пропущенный год, получаем (1 = 18,0137) 103 915,841 тыс. чел., что на 225,441 тыс. чел. отличается от реальных данных. Решение по методу Чебышёва от исключения данных за 2009 г. не изменится, при этом прогноз на этот год 103 803,641 тыс. чел., что отличается от фактических данных всего на 113,241 тыс. чел. Так, конечно, бывает не во всех случаях, но даже этот пример говорит о праве метода равномерной аппроксимации данных на существование.

Используя метод наименьших модулей (рисунок), получаем следующую оценку: у = 109 672,63 - 313,8г.

Коэффициент Стандартная t-статистика P-значение ошибка

const 109 672 432,208 253,7 5,25e - 035

t -313,800 38,0855 - 8,239 1,08e - 07 ***

Медиана зависимой переменной 107 071,3 Стандартное отклонение зависимой переменной 1994,052 Сумма модулей ошибок 9184,583 Сумма квадратов остатков 5 333 762

Демонстрация результата метода наименьших модулей с применением программы Gretl

Также рассматривается задача построения экспоненциальной функции динамики городского населения:

yk = AexP(bt).

После логарифмирования этой функции получена оценка параметров ln и b этой модели по алгоритму Вале - Пуссена (исходные данные численности населения также предварительно прологарифмированы):

ук = 110 157,9709exp (0,003293693t).

Однако максимальная абсолютная ошибка отклонения расчетных данных от исходных здесь получилась 769,07 тыс. чел.

Наконец, рассмотрим линейный аналог задачи (2) с учетом авторегрессии 1-го порядка:

ф 1(А) := max \yk — ао — axtk — a2tk—11 ^ min . k =1,N ао, a1 a e R

(5)

Пользуясь для решения указанной задачи приближенным методом «Поиск решения» электронной таблицы MSExcel, получаем результат ук = 7669,784 - 323,4522 tk + 0,925 yk-1, к = 1,..,19.

При этом максимальная абсолютная ошибка аппроксимации составила 517,757 тыс.чел., или 0,48%.

Точное решение: ук = 41 775,62 - 146,39 tk + 0,619 yk-1, к = 1,..,19.

При этом максимальная абсолютная ошибка аппроксимации составила 536,037 тыс.чел., или 0,52%. Полученную зависимость можно интерпретировать следующим образом: темпы сокращения населения со временем замедляются (ежегодно приблизительно на 38,1%).

Если, опять же, использовать для оценки параметров авторегрессионной модели 1-го порядка классический метод наименьших квадратов, получаем модель

ук = 19 215,326 - 63,42tk + 0,823 yk-1, к = 1,..,19.

При этом максимальная абсолютная ошибка аппроксимации составила 744,06 тыс.чел., или 0,71%.

Управление

79

В ходе исследования выявлены следующие полезные свойства оценок, полученных путем применения задачи П. Л. Чебышёва и ее обобщения:

- информативность цели. Минимальное значение целевой функции несет информацию о максимальной абсолютной ошибке аппроксимации исходных данных;

- возможность сильного сжатия данных. При устойчивой динамике обширный набор данных заменяется двумя коэффициентами полинома наилучшего приближения (как, впрочем, и в методе наименьших квадратов, однако можно сократить объем исходных данных до 3 значений показателей, соответствующих экстремальному базису, для задачи (2) и до 4 узлов для задачи (5));

- зависимость решения от значений исследуемого показателя. Лишь в нескольких (для линейного случая - в трех) рассматриваемых точках при исключении из анализа остальных данных решение задачи и прогнозные значения показателя, как, впрочем, и ошибки аппроксимации, останутся прежними;

- наглядность проверки результата, математическая четкость и «красота» его интерпретации, что, несомненно, повышает привлекательность этого метода при внедрении в учебный процесс.

Примечания

1 См.: СеберДж. Линейный регрессионный анализ. М., 1980.

2 См.: Демьянов В. Ф., Малоземов В. Н. Введение в ми-нимакс. М., 1972.

3 См.: Выгодчикова И. Ю. Применение алгебраических полиномов к моделированию экономических процессов // Математическое и информационное обеспечение экономической деятельности : сб. науч. ст. Вып.1. Саратов, 2006. С.16-21.

4 См.: Демографический ежегодник России 2009. М., 2010. С. 24. ; Распределение населения Российской Федерации по полу и возрастным группам (на 1 января 2010 г.) (тыс. чел.). иЯЪ: Мрр^/’^^я^кБ.ги (дата обращения: 25.01.2012).

УДК 338

РАЗВИТИЕ СОВРЕМЕННЫХ РЫНОЧНЫХ ИНСТРУМЕНТОВ ^2

КАК ОСНОВА ПОВЫШЕНИЯ КОНКУРЕНТОСПОСОБНОСТИ КР

АВТОТРАНСПОРТНЫХ УСЛУГ ШМ

С. Н. Живайкин ДжООш

Саратовский институт (филиал) Российского \ЛК—vJ_

государственного технологического университета E-mail: szhivajkin@yandex.ru

В статье рассмотрено современное положение транспортного комплекса Российской Федерации и обоснована классификация рыночных инструментов, обеспечивающая повышение конкурентоспособности автотранспортных услуг. Доказана необходимость оптимального использования различных рыночных инструментов в целях поддержания и эффективного функционирования как отдельного автотранспортного предприятия, так и автотранспортной системы в целом.

Ключевые слова: рыночные инструменты, сфера услуг, автотранспортные услуги, классификация услуг, конкурентоспособность, метод, эффективность.

The Development of Modern Market-based Instruments as a Basis for Improving the Competitiveness of Road Transport Services

S. N. Zhivaykin

In article modern position of a transport complex of Russian Federation is considered and the classification of market tools providing increase of competitiveness motor transportation mustache-meadow is proved. Necessity of optimum use of various market instrument tools with a view of maintenance and effective functioning, both the separate motor transportation enterprise, and motor transportation system as a whole is proved.

Key words: market tools, sphere of services, motor transportation services, classification of services, competitiveness, method, effectiveness.

Переход к рыночной экономике ознаменовался радикальными изменениями в структуре народного хозяйства. Наиболее важными из них следует считать сокращение доли отраслей материального производства и возрастание удельного веса отраслей непроизводственной сферы. По мере развития общества, роста производительных сил происходит увеличение занятости в этой сфере, возрастание технической оснащенности труда, внедрение все более совершенных технологий.

Сфера услуг, включающая воспроизводство разнообразных видов услуг, оказываемых предприятиями, организациями, а также физическими лицами, имеет ряд специфических особенностей по сравнению с материальным производством.

Во-первых, услуги производятся и потребляются в основном одновременно и не подлежат хранению, что порождает проблему регулирования их спроса и предложения.

© Живайкин С. Н, 2012