О математической модели нестационарного движения воды в створе реки Кубань Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.5.013

Н. В. Вандина, В. А. Козлов, Л. Ж. Паланджянц

О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ НЕСТАЦИОНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ ВОДЫ В СТВОРЕ РЕКИ КУБАНЬ

Аннотация. Изучается дифференциальное уравнение Риккати, возникшее из системы уравнений Сен-Венана, описывающей движение воды в открытых руслах. Исследуемое уравнение сводится к линейному дифференциальному уравнению второго порядка, и затем применяются методы теории мультипликативного интеграла. Проведено качественное исследование поведения интегральных кривых. Численные методы подтверждают полученные результаты. Ключевые слова: система уравнений Сен-Венана, уравнение Риккати, фундаментальная матрица, качественное исследование, численные методы.

Abstract. Riccati equation which has arisen from Saint-Venant equation system describing fluid motion in open channels is considered. The investigated equation is reduced to linear differential second-order equation, and then the methods of the theory of multiplicate integral are applied. The qualitative behavioral research of integral curves is constructed. Numerical methods confirm the received results.

Keywords: Saint-Venant equation system, Riccati equation, fundamental matrix, qualitative investigation, numerical methods.

Построение и изучение математических моделей, позволяющих осуществить расчет и прогноз характеристик речного стока, является одной из важных задач гидравлики открытых потоков. При этом движение жидкости в общем случае является неустановившемся и характеризуется изменением во времени параметров потока в любом створе русла.

Неустановившееся движение воды в открытых руслах описывается системой уравнений Сен-Венана, представляющей собой объединение уравнения динамического равновесия и уравнения неразрывности для потока движущейся жидкости [1, 2]:

V dv 1 dv dh _ , v2n2

g dl g dt dl ^ h4/3 ,

dh dv dh

v— + h— + — _ 0, dl dl dt

где t - время; l - пространственная координата, ориентированная по направлению движения; j - уклон дна русла; g - ускорение свободного падения; n - коэффициент шероховатости; v(l, t) - средняя по сечению скорость потока; h(l, t ) - глубина русла.

Рассмотрим данную систему применительно к створу реки, т.е. будем

dh 0 dv 0 П „ С

считать —_ 0 и —_ 0. При заданных условиях система уравнений Сен-dl dl

Венана в частных производных приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению в полных производных

л 2 2

dv gv n

Т_ gj'

dt h4/3

которое представляет собой математическую модель неустановившегося движения воды в гидрометрическом створе реки и является уравнением Риккати.

При установившемся движении глубина потока неизменна (h = const) в любой момент времени t. В этом случае общее решение данного уравнения выражается в элементарных функциях с помощью разделения переменных и имеет вид

= —л[]Н 3 th

2 (

2 Л

3V7 (t+C)

где C - произвольная постоянная.

Частное решение v = v(t ) может быть получено при заданном начальном условии v = Vq при t = to .

Рассмотрим створ реки Кубань в районе города Армавира. Коэффициент шероховатости n был найден по справочным таблицам, уклон j определен путем продольного нивелирования русла реки и представления эмпирической зависимости высоты русла над уровнем моря от длины реки с последующим ее дифференцированием [3], средняя глубина потока в периоды между паводками известна по данным измерений (n = 0,043, j = 0,00113, h = 2,6801 м).

При стационарном движении уравнение принимает следующий вид:

ÎL = 0,011082 - °'01839v23 . dt (2,6801)4'3

При заданном начальном условии v(0) = 1,4969 решением уравнения является функция

v(t) = 1,5084 • th(0,0073t + 2,777), графическая интерпретация которой представлена на рис. 1.

1,49720

1,49715

1,49710

1,49705

1,49700

1,49695

1,49690

1,49685

0

10000

20000

30000

40000

t, С

Рис. 1. График скорости установившегося движения жидкости

Качественная картина поведения решений с произвольными начальными данными представлена на рис. 2.

Рис. 2. Качественная картина поведения решений уравнения при установившемся движении жидкости

Наибольший интерес представляет случай неустановившегося движения, т.е. когда глубина h является функцией времени t.

Тогда уравнение Риккати запишется в виде

dv

dt

=

2 2 gv п

h(t)

Мы рассматриваем створ реки Кубань в районе города Армавира. Функция была найдена по результатам аппроксимации экспериментальных данных, полученных при прохождении паводковой волны в Управлении по делам ГО и ЧС, с коэффициентом детерминации Я2 = 0,9013.

Математическая модель нестационарного движения жидкости в данном створе описывается дифференциальным уравнением при начальном условии у(0) = 1,4969:

Ь 2

— = а——V , (1)

Л е^)

где а = 0,011074, Ь = 0,01568, е(0 = (-5,314 • 10-912 + 0,00019 • t + 2,6569)4/3 .

Решение этого уравнения является главной целью нашего исследования.

Сведем уравнение (1) к линейному дифференциальному уравнению второго порядка.

Замена г =1 приводит уравнение (1) к виду

'х 2 Ь

г + аг =-

(2)

2

ф , ф (ф )

Сделаем замену: г = —, г =-----------------—. Тогда уравнение (2) запишет-

аф аф аф2

ся в виде

Ф__ (ф02, а (фО

аф аф2

2 2 а ф

Ь

еЦ)

или

, аЬ

ф =^гф. е(t)

(3)

Таким образом, уравнение (1) с помощью замены V = сводится

ф

к линейному дифференциальному уравнению второго порядка (3).

Введем обозначения: а2 =-5,314 -10_9, а1 =0,00019, а0 =2,6569.

Тогда уравнение (3) запишется в виде

аЬ

ф =•

-ф .

(а2t2 + alt + а0)3

аф

Найдем начальные условия. Из соотношения V = — следует, что

ф

аф(0)

откуда в качестве начальных условий на решение ф можно

^0) = “(0) ф (0)

взять следующие условия: Введем обозначение:

ф(0) = v(0), ф'(0) = а .

аЬ

и =■

(4)

(a2t2 + alt + а0)3

Запишем уравнение (3) в виде системы с учетом обозначения (4):

(5)

Запишем решение системы (5) с помощью фундаментальной матрицы Ф:

= Ф

( ф0 ^ У0

(6)

где ф0 = ф(0) = v(0), У0 = ф'(0) = а .

Фундаментальная матрица линейной системы (6) (матрицант, или мультипликативный интеграл) имеет следующее дифференциальное представление (см., например, [4, с. 40]):

4

У2к+1 У2к-1

ф=Е

1 Vу2к+2 у2к )

к-1

(к -1)!

Отметим, что в общем случае имеет место равенство

(7)

(

у2к+1 у2к+2

) Vи 0) V

у2к

у2к

Таким образом, получаем последовательность у5, 5 = 1, 2,...:

0,1,1, 0, 0, и, и, и', - и- 2ии' + и2, 3и'' + и2, - и" - 4ии', - 4и" - 6ии'...

Вычисления показывают, что имеет место равенство

, 4 2а^ + а1

и =--------^----------и .

3 а2t + alt + а0

Это обстоятельство позволяет упростить ряд (7), поскольку производные от функции и можно заменить через функцию и.

Для удобства дифференцирования введем обозначение:

= 4 2a2t + а1

3

0^ + 0^11 + і

Тогда и = / • и , и' = (/' + /2) • и , и" = (/'’’ + 3/' + /3) • и , ..., где все производные будут рациональными функциями от t.

Подставив эти производные в равенство (7), после некоторых преобразований для фундаментальной матрицы Ф = (Фу), /, у = 1, 2, получаем ряд по

степеням t, коэффициенты которого зависят от и ^).

Следовательно, частное решение уравнения (1) представляется в следующем виде:

) = а • (фП • ^0) + Ф12 •а) ф21 •v(0) + Ф22 •а

Действительно, Фп(0) = 1, Ф12(0) = 0, Ф 21(0) = 0, Ф 22(0) = 1,

= а•(1 • v(0) + 0•а) = а^0) = v(0).

0 • v(0) + 1 а а

При построении графика решения с данными начальными условиями необходимо учесть то обстоятельство, что в зависимости от степени приближения знаменатель дроби может обратиться в нуль. Поэтому целесообразно построить график решения на некотором интервале вблизи начальных условий.

Проведем качественное исследование решений уравнения (1) (см., например, [5, с. 65-80]). Запишем уравнение (1) в виде

V = —

Л (

V —

Найдем функции, при которых производная решений обращается в нуль:

Область определения функций (8) представляет собой интервал, заключенный между корнями уравнения:

^21 + üjt + üq = 0.

Нетрудно посчитать, что t е (tj, t2), где tj ~ —1,075 • 104, t2 ~ 4,660 • 104 . За этим интервалом функции (8) не определены. На концах отрезка aj (tj) = a 2 (t2) = 0, в чем можно убедиться непосредственной проверкой. Имеют место неравенства:

0 <aj < mj, -mj <a2 < 0 .

Кривые aj и a2 достигают экстремума в точках с абсциссами

tmax = —-ü— ~ j,787 • Ю4 . При этом mj = maxaj ~ ^6 и —mj = mina2 ~ —^6. 2ü2

Область допустимых решений разбивается кривыми aj и a2 на три области, внутри которых решение является монотонной функцией.

Поведение решений определим по знаку производной:

aj < v, v < 0, v(t) - убывает на (tj, t^ ; a2 < v < aj, v' > 0, v(t) - возрастает на (tj, t2); v <a2, v' <0, v(t) - убывает на (tj, t2).

Для нахождения точек перегиба вторую производную решений приравняем нулю:

Отметим, что Р^1) = Р1(Г2) = 0, Р2 (*1) = Р2(*2) = 0 •

Кривые «1, а2, Р1, Р2 разбивают область допустимых значений решений на пять областей, в каждой из которых можно установить монотонность и выпуклость решений уравнения:

1) Р1 < V;

2) а1 < V <^;

3) а2 < V < а^

4) Р2 < V <а2;

5) V < Р2 •

На рис. 3 кривые о^, 02, Р1, Р2 изображены пунктирными линиями.

1. Рассмотрим решение у(^ ) уравнения (1) при условии

v(to) = т0 >Р1(0 при t > ^0 .

Пусть е>0 - малое число. Рассмотрим интервал (¿1 + £,^ -е). Обозначим 81 (е) = а1 (¿1 + е), 82 (е) = а1 (¿2 - е), 8(е) = ш1и(81,82).

Тогда имеет место оценка: 01 (¿) > 8(е) > 0 при t е (¿1 + е, ¿2 - е).

С учетом того, что 02 > -т1, получаем

0 < V - 01 < V - 8 и 0 < V -02 < V + т1,

откуда следует, что

(V -аl)(v -а2) < (V-8)^ + «1),

и, следовательно,

-—(V-01)^-а2)>-—(V-8)^ + т1). с с

Таким образом, если V = V ^) - решение уравнения

V = -—(V-8)(у +т1), V(¿0) = М0, с

то будет V/(t) > V (¿) , и, следовательно, при t > ¿0 имеем v(t) > V ^). Но из уравнения (9) находим

V =

( с Ж ^( ( с Ж ^

8 + п\ ехр -(«1 + 8)Ь Г-------- 1 - ехр -(«1 + 8)Ь Г------

V :с(() )Л V :с(()

(9)

/)

Оценим решение v (t ) с таким расчетом, чтобы не нарушить неравенство v(t) > v (t) .

Имеет место оценка: c(t) < max c(t) = cmax > 0 при t e (tj + e, t2 - e). dt ^ 1 c(t )

зований получаем следующую оценку для функции v (t) :

х-1

Следовательно, — > —1— (t - to), откуда после некоторых преобра-

J c(t) с

v >

8 + mjexp

(t - to)

/)

1 - exp

(( .mtM (t - to) ™

VV cmax jy)

Так как правая часть последнего неравенства стремится к +^ при t ^ ¿0 , то и V ^ +°° при t ^ ¿0 , и, следовательно, V ^ +°° при t ^ ¿0 ; и так как правая часть последнего неравенства стремится к 8 при t ^ ¿0 , то V ^ т при t ^ ¿0 , где т >8, и, следовательно, V ^ т > т при t ^ ¿0 .

2. Рассмотрим решение v(t) уравнения (1) при условии 01 < v(t) <Р1, v(to) = т0, где 01 < т0 < Р1 при t > ¿0 . В данной области решения остаются монотонно убывающими, но меняют выпуклость на кривой Р^). В дальнейшем семейство этих решений разделяется на два подсемейства в зависимости от того, пересекают ли интегральные кривые кривую Р^) один раз или два раза. В первом случае интегральные кривые стремятся к нулю, а во втором случае - к некоторой постоянной.

3. Внутри области 02 < V <01 интегральные кривые возрастают и на границах области достигают экстремумов. Учитывая знаки второй производной, выясняем, что на кривой 01 достигаются максимумы, а на кривой 02 — минимумы. При входе и после выхода из области 02 < V <01 интегральные кривые монотонно убывают.

Отметим, что численные расчеты, проведенные для уравнения (1) с начальными данными из этой области, подтверждают поведение решений. Случаи 4 и 5 аналогичны случаям 1 и 2.

Таким образом, качественная картина поведения решений уравнения (1) приведена на рис. 3.

Список литературы

1. Штеренлихт, Д. В. Гидравлика / Д. В. Штеренлихт. - М. : Энергоатомиздат, 1984. - 640 с.

2. Грушевский, М. С. Неустановившееся движение воды в реках и каналах / М. С. Грушевский. - Л. : Гидрометеоиздат, 1982. - 288 с.

3. Семенчин, Е. А. Метод расчета параметров потока на основе решения системы дифференциальных уравнений, описывающей нестационарное движение воды в русле реки / Е. А. Семенчин, Н. В. Вандина // Экологические системы и приборы. - 2009. - № 4. - С. 16-20.

4. Паланджянц, Л. Ж. Геометрия мультипликативного интеграла / Л. Ж. Па-ланджянц. - Майкоп : Качество, 1997. - 94 с.

5. Еругин, Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений / Н. П. Еругин. - Минск : Наука и техника, 1972. - 664 с.

Вандина Наталья Валерьевна аспирант, Ставропольский государственный университет

E-mail: [email protected]

Козлов Владимир Анатольевич

кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой математического анализа, Армавирский государственный педагогический университет

E-mail: [email protected]

Паланджянц Левон Жирайрович

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей математики и системного анализа, Майкопский государственный технологический университет

E-mail: [email protected]

Vandina Natalya Valeryevna Postgraduate student, Stavropol State University

Kozlov Vladimir Anatolyevich Candidate of physico-mathematical sciences, associate professor, head of sub-department of mathematical analysis, Armavir State Pedagogical University

Palandzhyants Levon Zhirayrovich Candidate of physico-mathematical sciences, associate professor, sub-department of higher mathematics and system analysis, Maykop State Technological University

УДК 532.5.013 Вандина, Н. В.

О математической модели нестационарного движения воды в створе реки Кубань / Н. В. Вандина, В. А. Козлов, Л. Ж. Паланджянц // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 1 (13). - С. 43-51.