О локальной устойчивости некоторых биологических моделей с распределённым запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

N(C, f)

Теорема 2. Если существует такое число k > ||4-1|| ■ ||4-1|| ■ ••• ■ l^-^, что для любой тючки x Є Br[x0] справедливо неравенство

R

\\C(xo) — f(x)II <k,

mo N(C,f) = 0^ Если же кроме этого dim(Ker(C)) > G, то N(C,f) П dBR[x0] = 0 и dim(N(C,f)) ^ dim(Ker(C))•

Доказательство данной теоремы основывается на теореме 1. Из теоремы 2 вытекают следующие утверждения.

Следствие!.. Пусть C : D(C) С E1 ^ En+1 — линейный сюръективный оператор, удовлетворяющий условиям теоремы 2, и f : E1 ^ En+1 — вполне непрерывное отображение. Если существуют числа а ^ G и в ^ G такие, что:

1) IIf(x)|| ^ а^Ц + в для любого x Є E1;

2) а ■||4-1 IIU-1^ ••• -l^1!! < 1

Тогда уравнение C(x) = f (x) имеет решение. Если же кроме этого dim(Ker(C)) > G, то dim(N(C,f)) ^ dim(Ker(C)) и для любого

R > вк

1 — к • а где

нлгчііі^їчі^ ... ,

существует точка х Є N (О,/) такая, ч то ||х|| = Е.

Следствие 2. Пусть О : 0(0) С Е1 ^ Еп+1 — линейный сюръективный оператор, удовлетворяющий условиям теоремы 2, и В : Е1 ^ Еп+1 — линейный вполне непрерывный оператор. Если

I| В| | -I | и-1 I | -I | и-1 | |-... -I | и-1 | | < 1,

то д,іш(Квт(0 + В) ^ д,іш(Квт(0)).

Доказательство этого следствия вытекает из следствия 1.

ЛИТЕРАТУРА

1.Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М: Наук, 1975.

2.Гельман Б.Д. Топологические свойства множества неподвижных точек многозначных отображений // Математический сборник. 1997. Т. 188, № 12. С. 33-56.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

Rydanova S. S. On one class of operator equations. In this paper we study the operator equation with a linear surjective operator A, which may be not closed, but posesses continuous mapping of right inverse mapping. We are interested in the existence of solutions and topological dimension of the set of solutions.

Key words: quasireversible operator; surjective operator; topological degree of maps.

Рыданова Светлана Сергеевна, Воронежский государственный педагогический университет, г. Воронеж, Российская Федерация, аспирант кафедры высшей математики, e-mail: [email protected].

УДК 517.929

О ЛОКАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕКОТОРЫХ БИОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

© Т.Л. Сабатулина

Ключевые слова: функционально-дифференциальное уравнение; распределенное запаздывание; экспоненциальная устойчивость; функция Коши.

В работе рассматриваются несколько нелинейных уравнений с распределенным запаздыванием, являющиеся моделями динамики популяций и кроветворения. Устойчивость решений данных уравнений исследуется по их линейному приближению, представляющему собой функционально-дифференциальное уравнение запаздывающего типа.

Пусть М = (—то, +то) , М+ = [0, +то) , А = {(£, в) £ М+2 : £ ^ 8}.

Математическая биология — интенсивно развивающаяся область приложений функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ). В данной работе исследуется локальная устойчивость обобщенных моделей Хатчинсона, Николсона, Дасоты-Важевски и Мэкки-Гласса [1], представляющих собой нелинейные ФДУ. Первые две модели используются для описания динамики популяций, вторые две — для описания процессов кроветворения. Нас будут интересовать условия стабилизации численности популяции (количества эритроцитов в крови) на достаточно больших временных интервалах, т. е. свойства асимптотической устойчивости соответствующих уравнений. Несмотря на существенные биологические различия моделей, исследование асимптотики рассматриваемых нелинейных уравнений сводится к изучению линейного ФДУ вида:

х(£)+ах(£)+ [ х(в) й3т(1,в) = /(£), £ £ М+. (1)

./о

Здесь т: А ^ М+ , функция т(-,в) локально суммируема, функция т(£, ■) не убывает при

каждом фиксированном £ , т(■, 0) = 0 , /0 с^т(Ь, в) = к ( к £ М+ ), / — локально суммируе-

мая функция. Интеграл понимается в смысле Римана-Стилтьеса. Будем считать, что при

х

Обозначим Н (£) = 8ир{в £ [0,£]: т(Ь' , в') = 0 Ш' ^ I, У в' ^ в} и

Нш8ир(£ — Н(£)) ^ ш. (2)

t^■<Ж

Под решением уравнения (1) понимается [2, с. 9] абсолютно непрерывная функция, удовлетворяющая данному уравнению почти всюду.

Для решения уравнения (1) справедливо представление [2, с. 84, теорема 1.1]

х(Ь) = С(I, 0)х(0) + / С(Ь,в)/(в) йв. (3)

Jo

Функция С называется функцией Коши; в силу формулы (2) она является основным объектом исследования при изучении уравнения (1).

Будем говорить, что уравнение (1) экспоненциально устойчиво, если при некоторых положительных N и 7 для любого £ и почти всех в, таких, что (I, в) £ А, справедлива оценка \С(£, в)| ^ Ne-l(t-s\

Для исследования экспоненциальной устойчивости воспользуемся т. н. методом test-уравнений. Суть метода заключается в следующем. По заданным параметрам а, к, ш уравнению (1) ставится в соответствие test-ypaвнeниe:

у(г) = —ау(г) — ку(г — ш), г е м+,

с начальным условием у(£) = 1 при £ ^ 0. Оказалось, что экспоненциальная устойчивость

(1)

решения test-ypaвнeния. Об этом факте говорит теорема 1.

Теорема!.. Пусть а + к > 0 , I — точка первого минимума, решения 1ез1-ура,внения. Тогда, если у(1) > —1, то уравнение (1) экспоненциально устойчиво при всех Н(г), удовлетворяющих условию (2).

Вопрос об оценке первого минимума решения test-ypaвнeния был решен В.В. Малыгиной в работе [3] при исследовании уравнений с сосредоточенным запаздыванием. Применяя результаты этой работы, можно получить признаки устойчивости для уравнения (1) в виде области на плоскости в координатах {аш,кш}.

В обобщенных моделях Хатчинсона, Николсона, Дасоты-Важевски и Мэкки-Гласса из биологического смысла параметров следует, что а > 0 и к > 0. В этом случае граница области экспоненциальной устойчивости имеет наиболее простой вид. Приведем соответствующий результат.

Введем функцию р следующим образом:

Теорема 2. Пусть а > 0,к > 0, е-аш > р( а). Тогда ура,вне ние (1) экспоненциально устойчиво.

Как показано в работе [3], для уравнений с сосредоточенным запаздыванием границы области экспоненциальной устойчивости являются точными. Поскольку уравнения с сосредоточенным запаздыванием являются частным случаем уравнения (1), то границы области являются точными и для уравнения (1).

Построенная область экспоненциальной устойчивости уравнения (1) является областью локальной экспоненциальной устойчивости для нелинейных уравнений, являющихся моделями Хатчинсона, Николсона, Дасоты-Важевски и Мэкки-Гласса.

and open problems // Appl. Math. Model. 2010. V. 34. № 6. P. 1405-1417.

2. Азбелев H.B., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.

3. Малыгина В.В. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений с последействием // Изв. вузов. Математика. 1993. № 5. С. 72-85.

paper some nonlinear equations with distributed delay are considered. The equations are models

means of linear approximation that is a delayed funcional-differential equation.

Key words: functional differential equation; distributed delay; exponential stability; the Cauchy function.

s G [0,1], s G (1, ж).

ЛИТЕРАТУРА

1. Berezansky L., Braverman E., Idels L. Nicholson’s blowflies differential equations revisited: Main results

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

Sabatulina T.L. On local stability of some biological models with distributed delay. In this

of population dynamics and hematopoiesis. Stability of solutions of the equations is studied by

Сабатулина Татьяна Леонидовна, Пермский государственный технический университет, г. Пермь, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры вычислительной математики и механики, e-mail: [email protected].

УДК 517.958

ОБ ОДНОЙ СИНГУЛЯРНОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ В

НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ

© А. Ю. Сазонов, Ю. Г. Фомичева

Ключевые слова: задача Дирихле; В-эллиитический сингулярный оператор; фундаментальное решение.

В работе расмотрена задача Дирихле для В-эллиптического оператора с краевыми условиями на гиперплоскости. Получено решение этой задачи в явном виде, определяемое весовым потенциалом двойного слоя и выраженное интегралом типа Пуассона.

Пусть Еп+1 действительное евклидово пространство точек X = (х\,...,хп,у) = (х',у). Рассматривается задача Дирихле вида:

Ви = 0 в облает и хп > 0,у > 0, (1)

ди

uIxn=0 = <p(xl,:;Xn-l,y),Qy |y=0 = G, (2)

где B = ^2 ij=l aij Qx>-dx ■ + yk dy (dd) ’ b У G j k У G , aj удовлетворяют определенному в B

Обозначим через A = det(aij) , Aij — алгебраическое дополнение элемента aij , ( = ((1, •••,(n,n) = (('^•Фундаментальное решение H(x',() уравнения (1) имеет еле-дующий ВИДІ

при y = G H(x\ () = pl-n-k , где p2 = YTij=l A-lAij((i — Xi)((j — Xj) +b-1 n2, а в области y У G H (x,() = Tfj H (x', () , где Tfj f = Ck fj sink-1 af (y/n2+y2—2qycoSia)d,a ,

г

'k+l'

Ск = ^ 2 > ,£ е Я1+1.

к аг (к)," +

Решение задачи (1)-(2) определяется весовым потенциалом двойного слоя, рассмотренным в [3]. Плотность весового потенциала удовлетворяет интегральному уравнению, ядро которого имеет слабую особенность и выражается интегралом типа Пуассона:

2 f+Ж Г + Ж

u(x) = A^AinXiBk ••• р(x)Ty p-n-k-lnk d^^JOn-ldn^

A

ЛИТЕРАТУРА

1. Киприянов И.А. О краевых задачах для уравнений в частных производных с дифференциальным оператором Бесселя // ДАН СССР. 1964. Т 158. № 2.