О локальной совместности систем линейных ограничений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 4, № 4, 1999

О ЛОКАЛЬНОЙ СОВМЕСТНОСТИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ

Д. М. УШАКОВ Институт систем информатики им. А. П. Ершова СО РАН

Новосибирск, Россия

The paper presents a simple criteria for a system of linear constraints to be locally consistent.

Определение 1. Вещественным интервальным вектором x назовем множество

x = [ x, x ] = { x e Rn | x < x < x},

где x, x e Rn и x < x. Множество всех вещественных интервальных векторов обозначим IRn. Вещественный отрезок [xi; x^] = x назовем i-й координатой вектора x. Интервальный вектор имеет ненулевую ширину, если хотя бы одна из его координат не является точечным отрезком.

Определим интервальную оболочку □S множества S С Rn следующим образом:

□S = р| x.

scxeiR"

Ограничением c(x) назовем формулу вида

f (x) N 0,

где f : Rn ^ R, Ne { =, =,<,>, <, > }. Интервальный вектор x назовем совместным с ограничением c(x), если

x С □{x e x | c(x)}.

Интервальный вектор x назовем локально совместным с системой ограничений C = { ci(x), ... , cm(x)}, если он совместен с каждым ограничением системы.

Известен факт [1], что любая система ограничений имеет наибольший (по включению) локально совместный с ней вектор. Этот интервальный вектор содержит все решения системы. Более того, существует алгоритм вычисления этого вектора для заданной системы ограничений. Такой алгоритм называется алгоритмом достижения локальной совместности. (Другое его название — метод недоопределенных вычислений.) Нам интересна следующая задача. Предположим, что система ограничений имеет единственное решение. Когда алгоритм достижения локальной совместности сходится к этому решению? Как следует из вышесказанного, можно поставить эквивалентный вопрос: когда любой локально совместный с данной системой ограничений вектор имеет нулевую ширину?

© Д.М. Ушаков, 1999.

Ввиду того, что общий ответ на этот вопрос дать довольно затруднительно, в настоящей работе ограничимся случаем систем линейных ограничений:

апх 1 + ... + а\пхп = Ьь

а21х1 + • • • + а2пхп = Ь2, (1)

ат1х1 + • • • + атпхп Ьт.

Мы хотим решить такую задачу:

Охарактеризовать класс матриц СС С ^тхп такой, что для любой матрицы А Е СС система линейных уравнений Ах = Ь имеет только точечные локально совместные векторы, т. е. ширина любого локально совместного интервального вектора равна нулю. Решение в первом приближении дает следующая лемма.

Лемма 1. Система ограничений (1) с непустым множеством решений имеет локально совместный вектор ненулевой ширины тогда и только тогда, когда существует вещественный вектор и Е Кп, и > 0, и = 0, такой, что

п

\агу\щ < ^ \агк\ик, г = 1 ] = 1 (2)

к=1,к=з

Для доказательства этой леммы необходимо доказать ряд вспомогательных утверждений.

Лемма 2. Интервальный вектор х совместен с ограничением f (х) = 0 тогда и только тогда, когда для любого г = 1,... , п

Хг > 1п£{ хг \ f (х) = 0},

х€х

Хг < 8Ир{ хг \ f (х) = 0}.

х€х

Следствие 1. Интервальный вектор х совместен с ограничением

п

агхг = Ь

г=1

тогда и только тогда, когда для любого г = 1,... , п

агхг > Ь — ^^ ах,

3=г

аг хг < Ь — ^^ аз Хз.

3=г

Вернемся теперь к доказательству леммы 1.

Пусть система (1) имеет локально совместный вектор х ненулевой ширины, т. е. согласно следствию 1

а%3 хз > Ьг ^ ^ агкхк ,

к=3

а%3 хз < Ьг ^ ^ агкхк к=3

78

Д. М. Ушаков

для любых г = 1,... ,т, ] = 1,... ,п. Тогда, положив и = х — х (понятно, что и > 0, и = 0) и замечая, что

агЗХ3 агЗХ3 \агЗ \и3 ,

комбинируем последнюю систему неравенств и получаем (2).

Наоборот, положим, что (2) выполняется. Пусть х* — произвольное решение системы (1). Тогда, определив х = [х* — и,х* + и] (понятно, что х имеет ненулевую ширину), получим

п

Ъг — ^ акхк = Ъг — ^(агкX* + \Oifc\ик) = Ъг — ^ агкХ*к + ачX* — ^ \ajfc\ик =

к= к=з к=1 к=з

ijXj ^ ^ \aik \uk < aijxj \aij \uj aijxj k=j

для всех i = 1,... ,m, j = 1,... ,n. Аналогично доказывается двойственное неравенство. Опираясь на следствие 1, получаем, что интервальный вектор x ненулевой ширины локально совместен с системой (1).

Таким образом, лемма 1 доказана.

К сожалению, условие, описанное в лемме 1, не является эффективной характеристикой класса LC. В работе [2] вводится понятие H-матриц. Ограниченное на случай точечных матриц, это определение (одно из ряда эквивалентных) звучит следующим образом. Квадратная матрица A G Rnxn называется H-матрицей, если для любого u G Rn, u > 0, из

\«ii\ui \uj, i = 1,...,n (3)

j=i

следует, что u = 0. Опираясь на это определение, мы можем сформулировать следующее предложение.

Предложение 1. Если существует перестановка (возможно, тождественная) строк (столбцов) невырожденной матрицы A G Rnxn, в результате которой получается H-матрица, то система линейных уравнений Ax = b сходится к своему единственному решению в результате применения алгоритма достижения локальной совместности.

Обратное, вообще говоря, неверно уже для размерности n = 2. Матрица

A = ( 12

не является H-матрицей, так как существует вектор u = (1,1/3)T, который нарушает условие 3. Для матрицы, получаемой из A перестановкой строк, таким вектором будет u = (1,1/2)T. В то же время нетрудно видеть, что для случая m = n = 2 условие леммы 1 имеет вид

\an\ui = \a12\u2, \a21\u1 = \a22\u2

и выполняется только в случае det \A\ = 0. Таким образом, на матрице A алгоритм достижения локальной совместности сходится к решению.

В заключение заметим, что существуют эффективные способы проверки того, является ли данная матрица H-матрицей [2]. К сожалению, свойство, сформулированное в предложении 1, невозможно эффективно проверить (надо перебрать n! вариантов перестановки строк (столбцов) исходной матрицы и для каждого из вариантов проверить принадлежность получившейся матрицы классу H-матриц).

Наши дальнейшие усилия будут направлены на нахождение эффективной характеристики класса LC и расширение этого понятия на матрицы с интервальными элементами.

Настоящая работа во многом есть результат плодотворной беседы автора с С. П. Ша-рым.

Список литературы

[1] ÜSHAKOV D. Some Formal Aspects of Subdefinite Models. Prepr. No. 49, A. P. Ershov In-te of Informat. Systems SB RAS, Novosibirsk, 1998.

[2] NEUMAIER A. Interval Methods for Systems of Equations. Cambridge University Press, 1990.

Поступила в редакцию 15 мая 1999 г.