CC BY
4
УДК 533.6.011
Г. Б. Сизых
Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)
О линии торможения за отошедшим скачком уплотнения в плоских течениях
На примере идеальной несжимаемой жидкости показана ошибочность представления о том, что плоское течение можно рассматривать как предельное состояние пространственного течения. Тем самым обнаружена проблема теоретической аэродинамики, которая в последние годы считалась решенной. Это проблема строгого обоснования в рамках уравнений Эйлера возможности совпадения линии торможения с лидирующей линией тока для плоского стационарного течения идеального совершенного газа, сформированного в сверхзвуковом однородном набегающем потоке за отошедшим скачком уплотнения перед телом с гладкой выпуклой носовой частью в общем пространственном случае (несимметричное обтекаемое тело или симметричное тело под углом атаки). Эта проблема считалась решенной потому, что для пространственного течения (не вырожденного в плоское течение) факт совпадения линии торможения с лидирующей линией тока строго обоснован в 2019 году. Однако обнаруженная ошибочность представления о плоском течении как о предельном состоянии пространственного течения не позволяет считать этот факт доказанным для плоских течений. С использованием пакета программ, имеющего государственную регистрацию, проведены численные расчеты плоских течений, которые показали, что даже максимальная точность таких расчетов не позволяет дать утвердительный или отрицательный ответ на вопрос о совпадении линии торможения с лидирующей линией тока.
Ключевые слова: уравнения Эйлера, изоэнтальпийные течения, завихренность, линия торможения, лидирующая линия тока, отошедший скачок уплотнения
G. В. Sizykh
Moscow Institute of Physics and Technology
Stagnation line behind a detached bow shock wave in
plane flows
Using the example of an ideal incompressible fluid, the fallacy of the idea that a plane flow can be considered as a limiting state of a spatial flow is shown. Thus, the problem of theoretical aerodynamics, which in recent years is considered solved, is discovered. This is the problem of a rigorous substantiation, within the framework of the Euler equations, of the possibility of the stagnation line coinciding with the leading streamline (which intersects a shock along the normal) for a plane stationary flow of an ideal perfect gas formed in a supersonic homogeneous oncoming flow behind a detached shock wave in front of a body with a smooth convex nose in the general case (an asymmetric streamlined body or a symmetrical body at incidence). This problem is considered solved because for a three-dimensional flow (not degenerated into a flat flow), the fact that the stagnation line coincides with the leading streamline was strictly substantiated in 2019. However, the revealed erroneousness of the idea of a flat flow as a limiting state of a spatial flow does not allow us to consider this fact proven for flat flows. Using a state-registered software package, numerical calculations of plane flows are carried out, which shows that even the maximum accuracy of such calculations does not allow us to give an affirmative or negative answer to the question of whether the stagnation line coincides with the leading streamline.
Key words: Euler equations, isenthalpy flows, vorticity, stagnation line, leading streamline, detached shock wave
© Сизых Г. В., 2022
(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2022
1. Введение
В некотором смысле данная статья подобна |1|, в которой была поставлена (но не решена) задача о возможности существования стационарных винтовых решений уравнений Навьс Стокса. При этом автор |1| изложил несколько полезных идей, которые были использованы в |2| при решении этой задачи для частного случая закрученных оесеиммет-ричных течений, ив |2| было доказано, что такие винтовые течения невозможны. В данной статье задача также будет только поставлена и будут приведены некоторые соображения, которыми, возможно, воспользуются исследователи в будущем.
При обтекании однородным сверхзвуковым потоком тела с гладкой выпуклой носовой частью образуется отошедший головной скачок уплотнения. Поверхность этого скачка искривлена и выпукла в сторону набегающего потока. При переходе через скачок полная энтальпия не меняется и течение за ним остается изоэнегретическим (изоэнтальпийным), но не изоэнтропийным. Поэтому, согласно теореме Крокко |3|, течение сразу за скачком становится вихревым, кроме точки начала лидирующей линии (точка А, рис. 1).
Рис. 1. Гладкая выпуклая носовая часть в сверхзвуковом потоке: (а) — симметричное обтекание; (6) - несимметричное обтекание
Для общего пространственного случая показано |4|, что в течении за отошедшим скачком всюду, кроме лидирующей линии тока (линии тока, пересекающей скачок по нормали), завихренность отлична от нуля. При этом на самой лидирующей линии тока завихренность равна нулю. Последнее утверждение относится и к плоскому случаю, для которого оно вытекает из сохранения вдоль линий тока отношения завихренности к давлению (инвариант Крокко |5|). В |6| для пространственного случая доказано, что завихренность в передней точке торможения равна нулю, а лидирующая линия тока совпадает с линией торможения. Однако, как будет показано ниже, доказательство |6| не может быть применено в плоском случае, и вопрос о совпадении лидирующей линии тока и линии торможения (как это имеет место на рис. 1Ь) для несимметричного случая остается открытым. В данной статье показано, что этот вопрос представляет собой содержательную задачу. В частности, на примере несжимаемой жидкости показано, что плоские течения нельзя рассматривать как предельное состояние трехмерных течений.
2. Единственность передней точки торможения
После опубликования статьи |6| два студента МФТИ в статье |7| предложили новое доказательство совпадения лидирующей линии тока и линии торможения. Оба доказательства |6, 7| «начинаются» с обоснования равенства нулю завихренности в передней точке торможения (далее, для краткости, точки торможения). В плоском случае из равенства нулю сразу бы последовало (с использованием инварианта Крокко), что завихренность на линии торможения равна нулю и что лидирующая линия тока совпадает с линией торможения. Доказательства |6, 7| существенным образом опираются на единственность точки торможения, по крайней мере, в некоторой ее пространственной окрестности. В этом и состоит
проблема применения техники доказательств [6, 7] для плоских течений. Дело в том, что плоские течения более правильно называть плоекопараллельными, какими они и являются. Это совокупность плоских поверхностей тока, параллельных друг другу, в которых параметры течения не зависят от поперечной координаты. В таких течениях количество точек торможения бесконечно, и они не изолированы друг от друга. Поэтому предположение о единственности точки торможения в некоторой ее пространстве!той окрестности не выполняется. Этим объясняется невозможность применения техники доказательств [6, 7] для плоских те чений.
3. Предельный переход
На первый взгляд может показаться, что плоекопараллельное течение есть предельное состояние пространственного течения, когда головная часть обтекаемого тела из строго выпуклой «превращается» в цилиндрическую поверхность с образующими, перпендикулярными плоскости течения. Поэтому представляется вполне ожидаемым, что линия торможения и в плоекопараллельных течениях будет пересекать скачок по нормали, а завихренность в точке торможения будет равна нулю, как это имеет место в общем пространственном случае. Однако это рассуждение не является строгим математическим обоснованием. Более того, во всяком случае, для идеальной несжимаемой жидкости это рассуждение неверно, что вытекает из следующего примера.
В статье [8] техника доказательств [6, 7] была применена не к идеальному газу, а к идеальной жидкости. В частности, было получено (не для плоских течений), что завихренность в точке торможения равна нулю. Однако существует пример плоского течения в окрестности точки торможения, в котором завихренность в точке торможения не равна нулю.
Обозначим: и, v - компоненты вектора скорости V в прямоугольной декартовой системе координат Оху. Легко убедиться, что если и = х — 2у, a v = —у, то скорость V будет удовлетворять стационарному уравнению Эйлера (V-V) V = —Vp/p, где р = р0 = const -плотность, р = ро — р(х2 + у2)/2 - давление (положительная константа ро обеспечивает положительность давления в некоторой окрестности точки торможения (0, 0)), и уравнению неразрывности divpV = 0. Картина такого течения в окрестности точки торможения изображена на рис. 2. Завихренность скорости rotV всюду равна 2, то есть в точке торможения завихренность не равна нулю.
Рис. 2. Картина плоскопараллельного растекания несжимаемой жидкости по плоской стенке (у = 0) в окрестности точки торможения О. Стрелки показывают направление движения частиц жидкости
Этот пример показывает ошибочность представления о том, что плоекопараллельные течения могут рассматриваться как предельные состояния трехмерных обтеканий ограниченных тел при стремлении к бесконечности одного из поперечных размеров этих тел. В этом выводе (об ошибочности) состоит новизна настоящей статьи.
у
Этот вывод согласуется с выводом [9]: «...использование решения двумерных задач для моделирования пространственных вихревых течений в общем случае не может дать нужного результата - в них просто отсутствуют эффекты, характерные для пространственных течений».
4. Угол примыкания линии торможения к поверхности и один «замечательный» предел
В предложенном выше точном решении линия торможения лежит на прямой у = х (рис. 2), то есть она примыкает под острым углом к обтекаемой поверхности у = 0. В этой связи следует отметить следующее обстоятельство. Если бы удалось доказать, что угол примыкания линии торможения прямой, то из этого сразу бы последовало, что завихренность в точке торможения равна нулю. Для доказательсва достаточно рассмотреть течение в системе координат Оху, начало которой совпадает с точкой торможения, а ось у направлена по нормали к поверхности тела в точке О. То есть наличия прямого угла примыкания достаточно для вывода о нулевой завихренности в точке торможения (и для вывода о совпадении лидирующей линии тока и линии торможения), но оно не является необходимым для такого вывода. В настоящее время отсутствует доказательство того, что из неравенства угла примыкания прямому углу следует отличие от нуля завихренности в точке торможения. Эти факты следует учитывать при выборе направления исследований рассматриваемой задачи (которая сводится к вопросу о равенстве нулю завихренности в точке торможения).
Еще одно свойство, по мнению автора данной работы, может оказаться полезным при исследовании течения газа в окрестности точки торможения.
Используя общепринятые обозначения, запишем стационарное уравнение Эйлера в форме Громеки-Ламба: О х V = — ^ — V Умножим обе части этого уравнения скаляр-
но на V. Полним (точка означает скалярное произведение) кар1'-^^ 1п р + V•V= 0.
В итоге, с учетом равенства V•V 1п р = —divV, вытекающего из уравнения неразрывности, имеем
р1-к т ка =(у^ ^) • ^
Учитывая, что в точке торможения как числитель, так и знаменатель правой части (1) обращаются в нуль, а левая часть конечна и отлична от нуля, получаем «замечательный» предел: правая часть (1) стремится к положительной величине при приближении к точке торможения.
5. Численные эксперименты
Современное состояние вычислительной математики еще не позволяет рассматривать численные решения задач с нелинейными уравнениями в частных производных в качестве точных решений. Однако, допуская, что такие решения достаточно близки к точным, можно провести численные эксперименты с целью выявления наиболее перспективного направления теоретических исследований. Речь идет о выборе из двух направлений. Первое - искать строгое доказательство совпадения линии торможения и лидирующей линии. Второе -искать точное решение, в котором эти линии не совпадают. Именно с целью выбора одного из этих двух направлений были проведены численные расчеты.
В численных расчетах рассматривались три признака, выполнение которых подтверждает (а нарушение первых двух из них опровергает), что лидирующая линия тока совпадает с линией торможения. Первый признак - линия торможения должна пересекать скачок по нормали. Второй признак - давление торможения на поверхности тела должно быть минимальным (и равным значению за прямым скачком). Третий признак - примыкание линии торможения к поверхности тела по нормали (это достаточный признак, но не необходимый). Чтобы обнаружить эти признаки, результаты расчетов представлялись в
виде нолей давления торможения и линий тока. Все расчеты проведены с использованием расчетного модуля zFlare из состава пакета прикладных программ EWT-ЦАГИ. Расчетный модуль имеет государственную регистрацию [10] и прошел широкую валидацию [11 14]. Для расчетов построен набор вложенных структурированных гексаэдральпых сеток:
• mcshO самая подробная: 720 896 ячеек, около 48 ячеек между телом и отошедшей волной;
• mcshl первый уровень загрубления: 180 224 ячейки, около 24 ячеек между телом и отошедшей волной;
• mcsh2 второй уровень загрубления: 45 056 ячеек, около 12 ячеек между телом и отошедшей волной;
• mesh.3 третий уровень загрубления: 11 264 ячейки, 6 ячеек между телом и отошедшей волной.
Вблизи носика тела форма ячеек приблизительно квадратная. Поскольку решалась стационарная задача, использовался метод установления но неявной одностадийной схеме с локальным шагом но времени. Число Куранта варьировалось от 1 до 10.
С использованием уравнений Эйлера рассматривалось обтекание композиции прямоугольника 1м х 0.1 м с двумя половинами эллипса с отпошением осей 2:1. Эллипс был разрезан по короткой оси, длина которой 0.1 м. Половины эллипса примыкали к коротким сторонам прямоугольника (полная длина фигуры составила 1,2 м). В итоге, вся обтекаемая фигура была гладкая и выпуклая, а точки торможения во всех расчетах располагались на эллиптической части периметра фигуры. Во всех расчетах число Маха однородного (с параметрами стандартной атмосферы) набегающего потока было равно 3, а угол атаки был равен 10 градусам.
Сначала был проведен «пристрелочный» расчет на самой грубой сетке (mcsh3). Использовалось кусочно-постоянное представление решения в ячейке (пространственная реконструкция Годунова [15]). Было достигнуто стационарное решение с машинной точностью сходимости. На рис. 3 представлено поле числа Маха М.
_I_I_I_I_I_I_I_I_I_L
0 5 10
CoordinateX
Рис. 3. Расчет на грубой сетке пюбЬЗ
Затем была проведена серия основных расчетов. Во всех случаях достигнуто стационарное решение с машинной точностью сходимости. При этом реконструкция Годунова использовалась на сетках тсаЫ и тсаЬО. Более точная кусочно-линейная реконструкция Колгана [16] была использована в расчете на сетке тсаЫ. Результаты расчетов приведены на рис. 4-6, где давление торможения р0 (р_к>1а1) обезразмерено (отнесено к своему значению в набегающем потоке). На этих и других рисунках ниже изображены поля давления
торможения в окрестности носика тела, изолинии этих нолей (пунктирные линии) и линии тока (сплошные).
СоогсИпа1еХ
Рис. 4. Расчет на сетке шсбЫ при реконструкции Годунова
СоогсЛпа1еХ
Рис. 5. Расчет на сетке шсбЬО при реконструкции Годунова
Из рис. 4 6 видно, что с измельчением сетки решение при реконструкции Годунова уточняется. Однако за скачком возникают немонотонные «полосчатые» распределения ро из-за того, что сеточные линии не повторяют форму скачка. Этот эффект («полосчатые» распределения ро) гораздо сильнее проявляется при реконструкции Колгана, но изолинии р0 лучше следуют линиям тока, чем с реконструкцией Годунова (в точных решениях эти линии должны совпадать).
Другие (дополнительные) иллюстрации двух из этих же расчетов приведены на рис. 7 и 8. Голубым цветом выделены полосы, в которых давление торможения лежит в диапазоне ±1% от давления торможения за прямым скачком.
Как видно на рис. 7 и 8, решение с реконструкцией Колгана сильно «засорено» сеточными эффектами. Однако при этом вблизи теларо получается ближе к «теоретическому» значению (то есть к значению, равному значению за прямым скачком), чем при реконструкции
■0.1 -0.05 0 0.05
СоогсНпа1еХ
Рис. 6. Расчет на сетке пюбЫ при реконструкции Колгана
Рис. 7. Расчет на сетке пюбЬО при реконструкции Годунова. В голубой полосе давление торможения лежит в диапазоне ±1% от давления торможения за прямым скачком
Годунова (и это при том, что расчет но схеме Годунова проводился на вдвое более подробной сетке). Это означает, что течение вблизи точки торможения (и на поверхности тела) более точно описывается при реконструкции Колгана. После этого заключения был проведен дополнительный расчет на еще более мелкой сетке с использованием реконструкции Колгана.
На сетке тсаЬО (которая еще не применялась в предыдущих расчетах с реконструкцией Колгана) развились нестационарные волны на нижней поверхности тела (рис. 9). Однако на верхней поверхности давление торможения приблизилось к «теоретическому», но сравнению с расчетом но той же схеме на сетке тсаЫ.
Таким образом, проведенные расчеты показали, что с измельчением сетки решения становятся нестационарными в окрестности тела. Схемной вязкости становится недостаточно, чтобы сдерживать физическую неустойчивость течения. Поэтому пришлось остановиться на «компромиссной» области густоты сетки, где решение уже можно анализировать, но нестационарность еще не развилась. Хотя решения с реконструкцией Колгана замусорены
Рис. 8. Расчет на сетке шсбЫ при реконструкции Колгана. В голубой полосе давление торможения лежит в диапазоне ±1% от давления торможения за прямым скачком
Рис. 9. Расчет на сетке пюбЬО при реконструкции Колгана. В синей полосе давление торможения ±1%
сеточными эффектами, можно видеть, что при переходе от сетки тсаЫ к сетке тсаЬО прогнозируемое свойство (ро на теле равно ро за прямым скачком) выполняется более точно. Однако линия торможения пересекает скачок под углом, визуально несколько отличающимся от 90 градусов (рис. 8 и 9), что означает нарушение первого признака (см. начало этого раздела).
В итоге пришлось сделать вывод, что даже применение модуля, имеющих) государственную регистрацию и прошедших) широкую валидацию, не позволяет дать ответ на вопрос о совпадении лидирующей линии тока с линией торможения. II это при том, что в проведении расчетов автору помогал один из разработчиков и пользователей модуля А. И. Трошин.
6. Заключение
Показано, что в настоящее время нет строгих исследований, основанных на полных (без каких-либо упрощений) уравнениях Эйлера, дающих ответ на вопрос о совпадении лидирующей линии тока с линией торможения в плоских течениях идеального газа за отошедшим головным скачком. Показана ошибочность представления о том, что плоскопараллельные течения могут рассматриваться как предельные состояния трехмерных обтеканий ограниченных тел при стремлении к бесконечности одного из поперечных размеров этих тел. Последнее обстоятельство не позволяет использовать ранее доказанный факт совпадения лидирующей линии тока с линией торможения в существенно трехмерных течениях за отошедшим головным скачком.
Таким образом, задача о совпадении лидирующей линии тока с линией торможения в плоских течениях идеального газа за отошедшим головным скачком остается нерешенной и представляет собой одну из загадок аэродинамики. Ее решение будет полезно для верификации численных программных комплексов.
Автор выражает благодарность А. И. Трошину (ЦАГИ) за помощь в проведении численных расчетов.
Литература
1. Бюшгенс С. С. О винтовом потоке // Научн. записки Моск. гидромелиоративного института (МГМИ). 1948. Т. 17. С. 73-90.
2. Сизых Г.Б. Осесимметричные винтовые течения вязкой жидкости // Изв. вузов. Матем. 2019. № 17. С. 49-56.
3. Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. Москва : ИЛ, 1961.
4. Golubkin V.N., Sizykh G.B. On the Vorticitv Behind 3-D Detached Bow Shock Wave // Advances in Aerodynamics. 2019. V. 1, N 15.
5. Crocco L. Eine Neue Stromfunktion für die Erforschung der Bewegung der Gase mit Rotation // ZAMM-Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. 1937. V. 17, N 1. P. 1-7.
6. Сизых Г.Б. Значение энтропии на поверхности несимметричной выпуклой головной части при сверхзвуковом обтекании // ПММ. 2019. Т. 83, вып. 3. С. 377-383.
7. Миронюк И.Ю., Усов Л.А. Точки торможения на вихревых линиях в течениях идеального газа // Труды МФТИ. 2020. Т. 12, № 4. С. 171-176.
8. Миронюк И.Ю., Усов Л.А. Инвариант линии торможения при стационарном обтекании тела завихренным потоком идеальной несжимаемой жидкости // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2020. Т. 24, № 4. С. 780-789.
9. Гладков A.A. Поведение завихренности в неоднородных течениях сжимаемого газа // Уч. записки ЦАГИ. 1999. Т. 30, № 1-2. С. 68-76.
10. Власенко В.В., Михайлов С.В., Молев С.С., Трошин А.И., Ширяева A.A. Программа для численного моделирования трехмерных течений с горением в каналах прямоточных воздушно-реактивных двигателей в рамках подходов URANS и DES с применением моделей взаимодействия турбулентности с горением, технологии дробного шага по времени и метода пристеночных функций (zFlare). Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ № 2019610822 от 18.01.2019.
11. Troshin A., Bakhne V., Sabelnikov V. Numerical and Physical Aspects of Large-Eddv Simulation of Turbulent Mixing in a Helium-Air Supersonic Co-flowing Jet // Progress in Turbulence IX, Proceedings of the iTi Conference in Turbulence. Part of the Springer Proceedings in Physics book series. 2021. V. 267. P. 297-302.
12. Сабельников В.А., Власенко В.В., Молев С.С., Троими А.И., Бахнэ С. Объяснение роста скорости самоподдерживающейся детонации при её распространении вверх по потоку в канале с пограничными слоями // Горение и взрыв. 2020. Т. 13, № 4. С. 62-74.
13. Сабельников В.А., Троими, А.И., Бахнэ С., Молев С.С., Власенко В.В. Поиск определяющих физических факторов в валидационных расчетах экспериментальной модели ONERA LAPCAT II с учетом шероховатости стенок канала // Горение и взрыв. 2021. Т. 14, № 4.С. 55-67.
14. Balabanov R., Usov L.A., TroshAn A., Vlasenko V, Sabelnikov V. A Differential Subgrid Stress Model and its Assessment in Large Eddy Simulations of Non-premixed Turbulent Combustion // Applied Sciences. 2022. V. 12, I. 17.
15. Годунов C.K. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики // Математический сборник. 1959. Т. 47(89), № 3. С. 271-306.
16. Колган В.П. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечноразностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики // Ученые записки НАГИ. 1972. Т. 3, № 6. С. 68-77.
References
1. Biushgens S.S. About Screw FIowk) Scientific Notes of the Moscow Hydro-Reclamation Institute. 1948. V. 17. P. 73-90. (in Russian).
2. Sizykh G.B. Axisvmmetric Helical Flows of Viscous Fluid. Russian Mathematics. 2019. N 17. P. 49-56. (in Russian).
3. Mises R. Mathematical Theory of Compressible Fluid Flow. Moscow : IL, 1961. (in Russian).
4. Golubkin V.N., Sizykh G.B. On the Vorticitv Behind 3-D Detached Bow Shock Wave. Advances in Aerodynamics. 2019. V. 1, N 15.
5. Crocco L. Eine Neue Stromfunktion für die Erforschung der Bewegung der Gase mit Rotation. ZAMM-Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. 1937. V. 17, N 1. P. 1-7. (in German).
6. Sizykh G.B. Entropy Value on the Surface of a Non-Symmetric Convex Bow Part of a Body in the Supersonic Flow. Fluid Dynamics. 2019. V. 54, N 7. P. 377-383. (in Russian).
7. Mironyuk I.Yu., Usov L.A. Stagnation Points on Vortex Lines in Flows of an Ideal Gas. Proceedings of MIPT. 2020. V. 12, N 4. P. 171-176. (in Russian).
8. Mironyuk I. Yu., Usov L.A. The Invariant of Stagnation Streamline for a Stationary Vortex Flow of an Ideal Incompressible Fluid Around a Body. J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phvs. Math. Sei. 2020. V. 24, N 4. P. 780-789. (in Russian).
9. Gladkov A.A. Vorticitv Behavior in Inhomogeneous Flows of a Compressible Gas // Uchenve Zapiski TsAGI. 1999. V. 30, N 1-2. P. 68-76. (in Russian).
10. Vlasenko V.V., Mikhaylov S.V., Molev S.S., Troshin A.I., Shiryaeva A.A. Program for Numerical Simulation of Three-dimensional Flows with Combustion in the Channels of Ramjet Engines within the URANS and DES Approaches Using the Turbulence Combustion Interaction Models, Fractional Time Step Technology and Wall Functions (zFlare). Computer Programm Registration Certificate N. 2019610822 dated 01/18/2019. (in Russian).
11. Troshin A., Bakhne V., Sabelnikov V. Numerical and Physical Aspects of Large-Eddv Simulation of Turbulent Mixing in a Helium-Air Supersonic Co-flowing Jet. Progress in Turbulence IX, Proceedings of the iTi Conference in Turbulence. Part of the Springer Proceedings in Physics book series. 2021. V. 267. P. 297-302.
12. Sabelnikov V.A., Vlasenko V.V., Molev S.S., Troshin A.I., Bakhne S. Explanation of the Increase in the Velocity of Self-sustaining Detonation as it Propagates Upstream in a Channel with Boundary Layers. Combustion and Explosion. 2020. V. 13, N 4. P. 62-74. (in Russian).
13. Sabelnikov V.A., Troshin A.I., Bakhne S., Molev S.S., Vlasenko V.V. Search for Determining Physical Factors in Validation Simulations of the ONERA LAPCAT II Experimental Model, Taking into Account the Channel Wall Roughness. Combustion and Explosion. 2021. V. 14, N 4. P. 55-67. (in Russian).
14. Balabanov R., Usov L.A., Troshin A., Vlasenko V., Sabelnikov V. A Differential Subgrid Stress Model and its Assessment in Large Eddy Simulations of Non-premixed Turbulent Combustion. Applied Sciences. 2022. V. 12, I. 17.
15. Godunov S.K. Finite Difference Method for Numerical Computation of Discontinuous Solutions of the Equations of Fluid Dynamics. Mathematical Collection. 1959. V. 47(89), N 3. P. 271-306. (in Russian).
16. Kolgan V.P. Application of the Principle of Minimizing the Derivative to the Construction of Finite-difference Schemes for Computing Discontinuous Solutions of Gas Dynamics. Uchenvie zapiski TsAGI. 1972. V. 3, N 6. P. 68-77. (in Russian).
Поступим в редакцию 23.10.2022
