CC BY
4
УДК 533.6.01
И. Ю. Мироток, Л. А. Усов
Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)
Точки торможения на вихревых линиях в течениях
идеального газа
С использованием уравнений Эйлера исследуются стационарные вихревые течения идеального газа. Рассматриваются течения, в которых постоянны либо энтропия, либо полная энтальпия. Для обоих типов течений доказывается, что если на некотором отрезке вихревой линии завихренность не обращается в нуль, то величина скорости газа на этом отрезке либо тождественно равна нулю, либо отлична от нуля во всех точках отрезка вихревой линии. С использованием полученного результата дается новое (более простое) доказательство известного свойства, состоящего в том, что в общем пространственном случае стационарного обтекания тела с гладкой выпуклой носовой частью завихренность в критической точке равна нулю.
Ключевые слова: уравнения Эйлера, изоэнергетические течения идеального газа, отошедший скачок уплотнения, точка торможения, критическая точка, вихревая линия.
I. Y. Mironyuk, L.A. Usov Moscow Institute of Physics and Technology
Stagnation points on vortex lines in flows of an ideal gas
In this paper, using the Euler equations, we investigate stationary vortex flows of an ideal gas. We consider flows in which either entropy or total enthalpy is constant. For both types of flows, we prove that if on a certain segment of the vortex line the vorticity does not turn to zero. Then the value of the fluid velocity in this segment is either identically-equal to zero or nonzero at all points of the segment of the vortex line. Using this result, a new (simpler) proof of the well-known property is given. This property implies that in the general spatial case of a stationary flow around a body with a smooth convex bow, the vorticity at the stagnation point is equal to zero.
Key words: Euler equations, isoenergetic flows of an ideal gas, detached shock wave, stagnation point, critical point, vortex line.
1. Введение
Во многих классических статьях и монографиях (например, в [1-7]) представлены закономерности, вытекающие из полных (без каких-либо упрощений) уравнений движения идеального газа и идеальной жидкости. Статьи и монографии последнего десятилетия [811] также свидетельствуют об интересе исследователей к закономерностям, математически строго вытекающим из уравнений Эйлера. К списку статей последних лет можно добавить работы [12-17], где обнаружены не известные ранее закономерности течений идеального газа, среди которых отдельное место занимают инварианты линий тока (это функции параметров течения и их производных, сохраняющие свои значения вдоль линий тока). Для ЗО-течений идеального газа известны два инварианта: полная энтальпия и энтропия (в
© Миронюк И. Ю., Усов Л. А., 2020
© Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2020
областях без скачков уплотнения). В плоских и незакрученных осесимметричных изоэнер-гетических течениях вдоль линий тока сохраняются соответственно отношение завихренности к давлению и отношение завихренности к произведению давления на расстояние до оси симметрии (инварианты Крокко [2]). Недавно найден инвариант линий тока закрученных изоэнергетических осесимметричных течений [13], и осесимметричный инвариант Крокко обобщен на случай течений за отошедшим головным скачком [15]. В статье [16] обнаружена закономерность линий тока изоэнергетических течений идеального газа, которую авторы [16] предложили назвать вихревой альтернативой. Эта закономерность состоит в том, что если на всем отрезке линии тока скорость отлична от нуля, то завихренность на отрезке либо тождественно рана нулю, либо отлична от нуля.
Перейдем к закономерностям, выполняющимся на вихревых линиях в течениях идеального газа. Из известной теоремы Крокко [4] следует, что в изоэнергетических течениях вдоль вихревых линий сохраняется энтропия. В общем ЗО-случае этим и исчерпывается запас известных инвариантов. Теорема [18], позволяющая из известного инварианта вихревых линий получить новый инвариант, по причине того, что единственный известный инвариант вихревых линий (энтропия) есть также и инвариант линий тока, не дает новых результатов. К числу известных закономерностей, которые не являются инвариантами, но связаны с вихревыми линиями, относятся теоремы Гельмгольца о вихрях и их аналоги [8], а также обнаруженное в [16] свойство замкнутости вихревых линий в течении за отошедшим скачком. Таким образом, количество известных закономерностей вихревых линий значительно меньше, чем для линий тока. Поэтому не только инварианты, но и любые другие легко обозримые закономерности, выполняющиеся на вихревых линиях в течениях идеального газа, представляются востребованными. Поиску таких закономерностей посвящена данная статья.
2. Уравнения движения
Рассмотрим область стационарного изоэнергетического течения идеального газа, в которой нет сильных (скачков) и слабых разрывов параметров течения. Обозначим через V — скорость, О = rotV — завихренность, р — давление, р — плотность. Давление р и плотность р связаны соотношением рр-1 = ст, где 7 — показатель адиабаты, а — энтропийная функция, которая постоянна вдоль линий тока, но может быть различной на различных линиях тока. Течение газа удовлетворяет уравнению неразрывности
div(pV) = 0 (1)
и динамическим уравнениям Эйлера, которые в данной работе запишем в форме Крокко [4]:
О х V = (7 - 1)-1pp-1V ln a -Vio, (2)
где io = 7^/(7 — 1)/р + V2/2 — полная энтальпия.
3. Изоэнергетические течения
В изоэнергетическом течении полная энтальпия одинакова во всех точках течения (Vio = 0) Поэтому уравнение (2) можно представить в виде (р-1О) х (pV) = (7—1)-1V ln а. Применение операции ротора к обеим частям этого равенства с учетом (1) и тождества divO = 0 дает
p(V ■V)(p-1O) — ((р-1О) ■ V)(pV) + pV((p-1O) ■V lnp) = 0.
Представим завихренность в виде: О = Qe, где |e| = 1, Q > 0. Тогда, если Q > 0, последнее уравнение равносильно следующему:
(e ■ V)(pV) = £[(pV ■ V)(p-1O) + pV((p-1O) ■ V lnp)].
(3)
Рассмотрим произвольно выбранную вихревую линию. Пусть I — переменная длина дуги вдоль этой вихревой линии, отсчитываемая так, что I растет в направлении е. Тогда все параметры течения в точках этой вихревой линии можно считать функциями длины I, и при этом (е ■ V)(pV) = (рУ).
Введем прямоугольную декартову систему координат Охуг. Обозначим: Ух, Уу, Уг и Ож, Оу, Ох — компоненты вектора скорости и завихренности соответственно. Для сокращения записи введем обозначение f = ((р-1&) ■ V 1пр). Тогда векторное уравнение (3) на рассматриваемой вихревой линии можно записать в матричном виде
d_ Jl
pVx pVy pVz
p ü
f + d(p-lüx)/dx d(p-lüy )/dx д (p-1üz )/dx
д (p-1üx)/dy f + д (p-1üy )/ду д (P-1nz )/ду
d(P-1üx)/dz
д (p -1üy )/дх
f + д (p-1üz )/дх
'pvx
pVy
_pvz_
Будем смотреть на коэффициенты матрицы как на заданные (непрерывные) функции
О > Оо > 0. Тогда из теоремы существования и единственности для систем обыкновенных дифференциальных уравнений [19] заключаем, что на выбранном отрезке вихревой линии либо |рУ| = 0, либо |рУ| = 0. Так как р > 0 и вышеприведенные рассуждения выполнены для любого Оо > 0, получаем основной результат данной статьи (о точках торможения на вихревой линии в изоэнергетических течениях).
Если на некотором отрезке вихревой линии стационарного изоэнергет/ического движения, идеального газа завихренность не обращается в нуль, то либо весь отрезок вихревой линии состоит из точек торможения, л,ибо во всех точках этого отрезка скорость газа от,лично, от, нуля.
4. Завихренность в критической точке
Рассмотрим обтекание гладкого выпуклого тела изоэнергетическим потоком идеального газа. Такие течения возникают, например, за отошедшим скачком уплотнения при сверхзвуковом обтекании затупленных тел или тел с большим углом наклона в передней угловой точке, превышающим предельный угол, до которого возможен присоединенный скачок. В статье [17] показано, что завихренность в критической точке равна нулю. При доказательстве наряду с течением (реального) газа рассматривается течение воображаемой жидкости и используется теорема Зоравского [20], что делает это доказательство достаточно сложным и громоздким. Предложим здесь новое и более простое доказательство, основанное на полученной в предыдущем разделе закономерности.
Рассматриваемое тело гладкое и выпуклое, поэтому существует проколотая окрестность критической точки, в которой скорость V отлична от нуля и все линии тока на поверхности тела (в этой окрестности) начинаются в критической точке. Однако данное утверждение исключает из рассмотрения плоскопараллельные течения, так как в них количество критических точек бесконечно (все эти точки лежат на линии перпендикулярной плоскости течения). Поэтому в данном разделе будем рассматривать неплоскопараллельные течения. Выбранную окрестность критической точки обозначим G, а ее проколотую окрестность — G (имеется в виду, что выколота критическая точка).
Вдоль любой линии тока энтропийная функция имеет постоянное значение, поэтому на всей поверхности тела в окрестности G энтропийная функция а равна своему значению в критической точке. Следовательно, вектор V а ортогонален поверхности тела. Кроме того, в любой точке поверхности тела, принадлежащей G, скорость V отлична от нуля и лежит в касательной плоскости. Тогда, учитывая равенство V г о = 0, из векторного уравнения (2) получим, что во всех точках G завихренность О также лежит в касательной к поверхности тела плоскости. В силу непрерывности, завихренность О лежит в касательной плоскости и в критической точке. Следовательно, если вихревая линия с ненулевой завихренностью
G
Предположим, что в критической точке модуль завихренности больше нуля. Тогда, в силу непрерывности, О отлична от нуля и в некоторой окрестности критической точки. Следовательно, на поверхности тела существует отрезок вихревой линии, содержащий критическую точку, на котором скорость равна нулю только в этой точке. Но это противоречит закономерности (о точках торможения на вихревой линии в изоэнергетических течениях), обнаруженной в предыдущем разделе. Полученное противоречие означает следующее.
Если тело с гладкой выпуклой носовой частью обтекается стационарным (не плоскопараллельным) изоэнергетическим потоком идеального газа, то завихренность в критической точке равна нулю.
5. Изоэнтропийные течения
Доказательство полученной в разделе 3 закономерности (о точках торможения на вихревой линии в изоэнергетических течениях) может быть применено и к изоэнтропий-ным течениям (которые могут быть неизоэнергетическими). К таким течениям относится, например, прямолинейное движение газа, в котором всюду плотность и давление постоянны, а скорость различна на различных линиях тока. В изоэнтропийном течении V а = 0, и (2) можно представить в виде (р-1О) х (pV) = —V i o- Ротация этого уравнения дает
p(V ■ V)(p-lO) - ((p-lO) ■ V)(pV) + pV((p-lO) ■ Vlnp) = 0.
(4)
чаем следующее матричное уравнение:
J J
pVx pVy pVz
P_ Q
'g + d( p- Qx)/dx d(p-lQy )/dx д(p-lQz )/dx
д(p-lQx)/dy g + d(p-lQy )/ду d(p-lQz )/ду
д (p-lQx)/dz d(p-lQy )/dz д + д( p-lQz )/dz
3 из (
pVx
pVy
pVz_
где д = (( р-1О) ■ V 1п р).
Опираясь на последнее уравнение, приходим к следующему выводу (о точках торможения, на вихревой линии в изоэнтропийных течениях).
Если на некотором отрезке вихревой линии стационарного изоэнтропийного движения, идеального газа завихренность не обращается в нуль, то либо весь отрезок вихревой линии состоит из точек торможения, л,ибо во всех точках отрезка скорость газа отлична от нуля.
6. Заключение
Исследованы стационарные течения идеального газа. Рассмотрено два типа течений. Неизоэнтропийные изоэнергетические и изоэнтропийные неизоэнергетические. Для обоих типов течений доказано, что если на некотором отрезке вихревой линии завихренность не обращается в нуль, то величина скорости газа на этом отрезке либо тождественно равна нулю, либо отлична от нуля во всех точках отрезка. Это свойство может быть использовано при верификации численных расчетов, а также при качественном исследовании течений идеального газа. В качестве примера использования нового свойства приведено более простое (по сравнению с [17]) доказательство того, что при обтекании тела с гладкой выпуклой носовой частью завихренность в критической точке равна нулю.
Литература
1. Hamel G. Ein allgemeiner Satz über den Druck bei der Bewegung volumbeständiger Flüssigkeiten // Monatshefte Math. Phvs. 1936. V. 43. P. 345-363.
2. Crocco L. Eine neue Stromfunktion für die Erforschung der Bewegung der Gase mit Rotation // Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. 1937. V. 17, I. 1. P. 1-7.
3. Truesdell С. The Kinematics of Vorticity. Bloomington: Indiana university publications, 1954.
4. Mises R. Mathematical Theory of Compressible Fluid Flow. New York : Academic Press, 1958.
5. Serrin J. Mathematical Principles of Classical Fluid Mechanics. Berlin-Gôttingen-Heidelberg : Springer-Verlag, 1959.
6. Bers L. Mathematical Aspects of Subsonic and Transonic Gas Dynamics. New York : John Wiley k, Sons Inc., 1958.
7. Arnold V.I. Sur la topologie des écoulements stationnaires des fluides parfaits // С. R. Acfd. Sci. Paris. 1965. V. 261, N 1. P. 17-20.
8. Markov V.V., Sizykh G.B. Vorticity Evolution in Liquids and Gases // Fluid Dvn. 2015. V. 50, N 2. P. 186-192.
9. Гайфуллин A.M. Вихревые течения. Москва : Наука, 2015.
10. Golubkin V.N., Markov V. V., Sizykh G.B. The Integral Invariant of the Equations of Motion of Viscous Gas 11 J. Appl. Math. Mech. 2015. V. 79, I. 6. P. 566-571.
11. Sizykh G.B. Vorticity Addition Method // Fluid Dvn. 2016. V. 51, N 3. P. 321-326.
12. Голубкин В.H., Сизых Г.Б. Экстремальные свойства давления в плоских дозвуковых течениях // Труды МФТИ. 2016. Т. 8, № 4. С. 149-154.
13. Голубкин В.Н., Мануйлович И. С., Марков В.В. Пятый инвариант линий тока для осе-симметричных закрученных течений газа // Труды МФТИ. 2018. Т. 10, № 2. С. 131-135.
14. Голубкин В.Н., Сизых Г.Б., Чернов C.B. Экстремальные свойства давления в осесим-метричных вихревых течениях газа // Ученые записки ЦАГИ. 2018. Т. 49, № 5. С. 2633.
15. Golubkin V.N., Sizykh G.B. Generalization of the Crocco Invariant for 3D Gas Flows Behind Detached Bow Shock Wave // Russian Mathematics. 2019. V. 63. P. 45-48.
16. Golubkin V.N., Sizykh G.B. On the Vorticity Behind 3-D Detached Bow Shock Wave // Advances in Aerodynamics. 2019. V. 1, I. 1. P. 1-6.
17. Sizykh G.B. Entropy Value on the Surface of a Non-Symmetric Convex Bow Part of a Body in the Supersonic Flow // Fluid Dvn. 2019. V. 54, I.*7. C. 907-911.
18. Голубинский А.И., Голубкин В.H. О некоторых свойствах сохранения в газовой динамике // ПММ. 1985. Т. 49, вып. 1. С. 115-119.
19. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 400 с.
20. Frim П., Truesdell С. A Derivation of Zorawski's Criterion for Permanent Vector-lines // Proc. Amer. Math. Soc. 1950. V. 1. P. 32-34.
References
1. Hamel G. A General Sentence About the Pressure During the Movement of Volumetric Liquids. Monthly notebooks Math. Phvs. 1936. V. 43. P. 345-363. (in German).
2. Crocco L. A New Stream Function for Researching the Movement of Gases with Rotation. Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1937. V. 17, I. l.P. 1-7. (in German).
3. Truesdell C. The Kinematics of Vorticity. Bloomington: Indiana university publications, 1954.
4. Mises R. Mathematical Theory of Compressible Fluid Flow. New York : Academic Press, 1958.
5. Serrin J. Mathematical Principles of Classical Fluid Mechanics. Berlin-GottingenHeidelberg : Springer-Verlag, 1959.
6. Bers L. Mathematical Aspects of Subsonic and Transonic Gas Dynamics. New York : John Wiley k, Sons Inc., 1958.
7. Arnold V.I. On the Topology of Stationary Flows of Perfect Fluids. C. R. Acfd. Sci. Paris. 1965. V. 261, N 1. P. 17-20. (in French).
8. Markov V. V., Sizykh G.B. Vorticitv Evolution in Liquids and Gases. Fluid Dvn. 2015. V. 50, N 2. P. 186-192.
9. Gaifullin A.M. Vikhrevvve techeniva. Moscow : Nauka, 2015. (in Russian).
10. Golubkin V.N., Markov V. V., Sizykh G.B. The Integral Invariant of the Equations of Motion of Viscous Gas. J. Appl. Math. Mech. 2015. V. 79, I. 6. P. 566-571.
11. Sizykh G.B. Vorticitv Addition Method. Fluid Dvn. 2016. V. 51, N 3. P. 321-326.
12. Golubkin V.N., Sizykh G.B. Property of the Extreme Pressure Values in Plane Subsonic Flows. Proceedings of MIPT. 2016. V. 8, N 4. P. 149-154.
13. Golubkin V. N., Manuylovich I.S., Markov V. V. Fifth Streamline Invariant to Axisvmmetric Swirling Gas Flows. Proceedings of MIPT. 2018. V. 10, N 2. P. 131-135. (in Russian).
14. Golubkin V.N., Sizykh G.B., Chernov S. V. Ekstremal'nyve svovstva davleniva v osesimmetrichnvkh vikhrevvkh techenivakh gaza. Uchenvve zapiski TSAGI. 2018. V. 49, N 5. P. 26-33.
15. Golubkin V.N., Sizykh G.B. Generalization of the Crocco Invariant for 3D Gas Flows Behind Detached Bow Shock Wave. Russian Mathematics. 2019. V. 63. P. 45-48.
16. Golubkin V.N., Sizykh G.B. On the Vorticitv Behind 3-D Detached Bow Shock Wave. Advances in Aerodynamics. 2019. V. 1, I. 1. P. 1-6.
17. Sizykh G.B. Entropy Value on the Surface of a Non-Symmetric Convex Bow Part of a Body in the Supersonic Flow. Fluid Dvn 2019. V. 54, I. 7. C. 907-911.
18. Golubinskii A.I., Golubkin V.N. O nekotorvkh svovstvakh sokhraneniva v gazovov dinamike. PMM. 1985. V. 49, I. 1. P. 115-119.
19. Pontryagin L.S. Obvknovennyve differentsial'nyye uravneniva. Izhevsk : NIC «Regulvarnava i khaoticheskava dinamika», 2001. 400 p.
20. Prim R., Truesdell C. A Derivation of Zorawski's Criterion for Permanent Vector-lines. Proc. Amer. Math. Soc. 1950. V. 1. P. 32-34.
Поступим в редакцию 06.08.2020
