CC BY
18
УДК 517.91
О ЛИНЕИНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
© 2003 г. М.И. Алексейчик
Путем некоторых элементарных преобразований исходная система линейных дифференциальных уравнений разрешается относительно выделенной части переменных. Исследуются взаимосвязи исходной и преобразованной систем. По рассмотренному кругу вопросов и форме изложения материала статья примыкает к работам [1 - 4]. Полученные результаты могут найти применение в различных задачах технической кибернетики и инженерной механики [1].
1. Скаляризация системы линейных дифференциальных уравнений
В и-мерном комплексном евклидовом пространстве Еп рассмотрим уравнение
x = Ax + f (t),
(1)
где /(() - функция класса Сп-1. Совокупность собственных значений ...,Xп матрицы А обозначим
а(л). Примем Лк = (- 1) ¡к , 1 < к < п , где
¡1 = ^А = ^ + ... + Хп,к, 1п = И =Х! Xп (2)
суть инварианты [5] матрицы А . Введем дифференциальные операторы
»(Б) = (Б - X). • • (Б - Хп)( Бп + ЛБп-1 + .•• + ]п ),(3) Ж (Б) = 1Бп-1 + (А + ]Х1 )Бп - 2 + .
+ ((п-1 + ЛАп-2 + . + }п-,1) .
(4)
Заменив в (3) и (4) оператор дифференцирования Б на комплексную переменную X, получим выражения »(Х) и Ж (X). Отметив, что
w(X) = \Х1 - A , W(X) = w(X)|X/ - A|"
(5)
можем констатировать, что »(X) есть характеристический полином для А , а Ж(X) есть матрица, присоединенная к XI - А (что позволяет Ж (Б) трактовать [4] как оператор, «присоединенный» к оператору 1Б - А ); к-ю строку матрицы Ж(X) обозначим кЖ(X).
Предложение 1 [4]. Каждое решение (1) удовлетворяет уравнению
ф )х( ) = Ж (Б)/(). (6)
Совокупность (п х т) -матриц обозначим М гхт. Наделим М пХт структурой (п х т) -мерного евклидова пространства. Положим М п = М пХп. Всякое замкнутое нигде не плотное подмножество Ет лебеговой
меры 0 будем называть [4] о-множеством (в пространстве Ет). Дополнение каждого о-множества будем называть О-множеством (в пространстве Ет ).
к -е скалярное уравнение в составе (6) имеет вид
w(D )xk (t )= kW (D )f (t).
(7)
Предложение 2 [4]. В М п существует О-множество, для любого элемента (матрицы) А которого справедливо следующее утверждение: каждому решению уравнения (7) (рассматриваемому при произвольном, но фиксированном к е {1,..., п}) можно поставить во взаимно однозначное соответствие такое решение уравнения (1), к-я координата которого совпадает с данным решением уравнения (7).
Предложение 3 [4].
о(Ж(Б)) = а(у(Б)) = о(/Б - А) = о(А).
Предложение 4 [4].
Ж (Б)(1Б - А) = 1»(Б) = (1Б - А)Ж (Б).
Предложение 5 [4]. Передаточные функции (XI - А)-1 и Ж (X) »(X) систем (1) и (6) совпадают.
Более подробно о взаимосвязи математических объектов, введенных в (2) - (5), см. в [4].
2. Некоторые характеристики дифференциальных операторов
Задавшись целым г и (т х I) -матрицами Ог,..., О0, сформируем выражение
О(Б) = ОГБГ + Ог-1БГ-1 + ... + П1Б + О0 . (8)
Это выражение будем называть (отчасти придерживаясь [6]) формальным ((т х I) -матричным) дифференциальным оператором порядка г. Согласно принятому определению произвольную (т х I) -матрицу можно трактовать как дифференциальный оператор порядка 0. Элемент матрицы Ок, к е {0,...,г}, стоящий в позиции (¡, ]), обозначим (Ок ) .
Полагая I = т , введем следующую терминологию. Будем говорить, что О(Б) (8) есть правильный дифференциальный оператор, если существуют Рь к, Рт е {0,1, к , г} такие что (ок )п = 1 при к = РЛ; (Ок ) = 0 при к е {р+ 1,..., г}; (Ок ) = 0 при i Ф Л, к > рл (1 < ¡, Л < т ), причем г = ртах, где Ртп (Ртт ) - наибольшее (наименьшее) из чисел
pj,...,рm . Величину р = р1 +-----+ рm будем называть
скалярным порядком (правильного) оператора Q(D), а величину а = pmax - pmin - показателем его порядковой асимметрии (при а = 0 оператор Q(D) будем называть порядково симметричным). Сами же величины рь...,pm будем считать частными скалярными порядками оператора Q(D). Отметим, что правильный оператор порядка 0 представляет собой не что иное, как единичную матрицу Im (индекс m указывает на порядок этой единичной матрицы).
Считая по-прежнему l = m , а оператор Q(D ) правильным, рассмотрим уравнение Q(D )y (t )= 0 . При поиске его решения в виде y(() = eAtv (метод Эйлера [5]) легко приходим к алгебраическому уравнению |0 (А.) = 0 . Совокупность корней этого (характеристического для оператора Q(D)) уравнения обозначим o(Q(d)). Каждую двойку (A, v) с условием А е o(Q(D)), v Ф 0, Q(A)v = 0 будем называть собственной парой, а ее элементы А и v - собственными значением и вектором оператора Q(D).
Будем говорить, что Q(D) - перестановочно правильный оператор, если при некоторой перестановке строк в равенстве (8) получается правильный дифференциальный оператор.
3. Процедура исключения ненаблюдаемых переменных
Пусть и-мерный вектор x разбит на подвекторы y и z размерности m и n - m соответственно. Переменные y и z будем интерпретировать как соответственно наблюдаемую и недоступную наблюдению компоненты переменной x . Покажем, что при весьма общих условиях исходное уравнение (1) можно чисто алгебраическим путем преобразовать к системе уравнений вида
W (D )y(t )= W2 (D )f (t), (9)
z( )= W3 (D )y(t)+ W4 (D )f(), (10)
где W1 (D), ..., W4 (D) - некоторые дифференциальные операторы, первый из которых является правильным и имеет скалярный порядок n .
3.1. Сообразно с декомпозицией вектора x на под-векторы y и z введем следующие понятные обозначения:
/ т \
/ \ y ' P Q" , f () = 'g(()
X = , A =
z V / R \ S / v ^
T =
^ г
Q QS
- ,
. (11)
В терминах (11) представим (1) в форме системы уравнений
y = Py + 0z + g (t), (12)
Продифференцировав (12), с учетом (13) имеем у = Гу + QRy + g() + Qh(t) + QSz . (14)
Продифференцировав (14) и вновь воспользовавшись (13), придем к уравнению
у = ГУ + дну + QSRy + g(t) + Qh(() + QSh(() + QS2 г .(15)
Продолжив этот процесс последовательных дифференцирований, получим
у(к )()=0 ,(В )у (() + g (к-1)() +
+ О к - 2 (В ) (() + QSk-1 г ((), (16)
где О к-1 (В) и О к -2 (В) — некоторые дифференциальные операторы порядка к - 1 и к - 2 соответственно. Чтобы (12) и (14) трактовать как частные случаи (16), достаточно принять О0 (в) = Г, О-1 (в) = 0, О0 (в) = Q.
3.2. Целое I определим (очевидно, однозначно) из неравенств
(( - 1)т < п - т , 1т > п - т . (17)
Лемма 1. Множество N+ матриц A =
'P Q4
R S
e M и
удовлетворяющих условию: любые п - т последовательных строк
1т х (п - т) - матрицы Т1 линейно независимы, (18) есть О -множество в пространстве М п. На дальнейшее будем считать, что
A =
'P Q ^ RS
e N+
(19)
3.3. При выводе (9) и (10) из (16) будем различать случай, когда
(( - 1)m = n - m ,
и случай, когда
(l - l)m < n - m .
(20)
(21)
При к, изменяющемся от 1 до I - 1 включительно, соотношение (16) дает нам (I - 1)т скалярных уравнений для нахождения п - т координат (п - т)-мерной переменной г = Дополним эти (( - 1)т скалярных уравнений первыми р = п - т -(( - 1)т скалярными уравнениями из соотношения
y (l )()=Q i-! (В )y (() + g (l-1)(() + + Q i - 2 (В )h(() + QSl-1 •
'z(()
(22)
z = Ry + Sz + h(().
(13)
полученного из (16) при к = I. (Указанное дополнение необходимо лишь в случае (21).) Построенную систему из п - т скалярных уравнений мы можем
(опираясь на условие (19)) разрешить относительно переменной г = ) и прийти к следующему выражению для этой переменной:
г ( )= Щ (Р )у ( )+ Щ41 (Р > ( )+ Г42 (Р >( )• (23)
Чтобы (23) представить в форме (10), остается принять Щ (Р) = ((41 (Р) Щ42 (Р)) •
3.4. Рассмотрим случай (20). В этом случае при выводе соотношения (23) нами использовалось уравнение (16) только при к е {1,...,I - 1}, а уравнение
(22) не применялось. Поэтому (23) можно подставить в (22), без боязни получить тривиальное тождество. Эта подстановка приводит к уравнению
Щ (Р)у() = Ж21 (Р() + Г22 (Р), (24)
где операторы Щ (Р), Щ21 (Р) и Щ22 (Р) имеют порядки I, I - 1 и I - 2 соответственно. При этом старшие члены операторов Щ1(Р) и Щ21 (Р) суть 1Р1 и
1Р1 -1. Значит, эти операторы правильны и порядково симметричны, а их скалярные порядки суть п и п - т. Для преобразования (24) к виду (9) остается принять
Щ (Р )=(( (Р ) ^22 (Р )).
3.5. Рассмотрим теперь случай (21). При выводе
(23) нами использовались первые р скалярных уравнений многомерного соотношения (22). Оставив эти уравнения без внимания, рассмотрим q = т - р оставшихся скалярных уравнений (из (22)). Дополним эти q уравнений р первыми скалярными уравнениями из соотношения
у(+1)(() = а, (Р)у() + g ()(()+ Ц ч(рМ')+ (25)
полученного из (16) при к = I + 1. В выделенную здесь систему из q + р = т скалярных уравнений на место подставим выражение (23). Указанная подстановка приводит нас к уравнению (24), в котором в данном случае операторы Щ(Р), Щ21 (Р) и Щ22(Р) будут иметь порядки I + 1, I и I - 1 соответственно, причем
(Ip 01 (* 0 л
p Dl+1 +
0 0 *
V / V
Dl + ■
(I 01 p (* 0 ^
Dl + Dl-1 +
0 0 *
V / V
Wi(D ) =
W21 (D ) =
Отсюда вытекает, что операторы Щ1(Р) и Щ21 (Р) правильны и порядково асимметричны (а = 1), а их скалярные порядки соответственно равны п и п - т .
3.6. Вернувшись к условиям (18) и (19), отметим, что для корректности наших рассуждений из 3.3 - 3.5 достаточно предположения о линейной независимости лишь первых п - т строк матрицы Т1.
4. Некоторые взаимосвязи систем (1) и (9), (10)
Нижеследующая теорема 1 непосредственно вытекает из самого вывода уравнений (9) и (10). Доказательство теоремы 2 достигается подстановкой выражения (10) в систему (12) - (13). Это доказательство элементарно в случае п = 2т . Остальные утверждения данного раздела являются, по существу, следствиями теорем 1 и 2. Теоремой 5 автор обязан А.А. Красовскому.
4.1. Теорема 1. Компоненты у() и каждого решения х(() уравнения (1) удовлетворяют уравнениям (9) и (10).
Следствие 1. Пусть (X, и) - собственная пара матрицы А (или, что то же самое, оператора 1Р - А),
V (~) - подвектор вектора и , образованный из первых т (последних п - т) его координат. Тогда
V ф 0, (X, V) - собственная пара оператора Щ (Р), а
V = Щ ^.
Теорема 2. Пусть функция у() является решением (9), а функция удовлетворяет (10). Тогда функция х(), составленная из функций у() и есть решение (1).
Следствие 2. Пусть (X, V) - собственная пара оператора Щ (Р). Тогда Хе о(А), а п-вектор, составленный из да-вектора V и (п - т)-вектора ~ = Щ (X)v, есть собственный вектор А , отвечающий X.
Теорема 3. а(Щ (р )) = а(А).
Лемма 2. Множество N + матриц А е М п , обладающих (попарно) различными собственными значениями, и пересечение ^ I N + суть О-множества в пространстве М п. Каждая матрица А е N + обладает полным набором собственных векторов.
Теорема 4. Пусть матрица А принадлежит ^ I N+ и (Х1, и1),., (X п, ип) - полный набор ее собственных пар. Тогда общее решение уравнения Щ (Р )у( )= 0
дается формулой у() = £ с}ех(1 < ] < п ), где Vj - подвекторы векторов и}-, образованные из их первых т координат.
4.2. Выполнив над уравнениями (9) и (10) преобразование Лапласа, можем (в понятных обозначениях) записать Щ (X )У (X) = Щ2 (X (X) + • - и г ^)= Щ (X)Y (X)+ Щ (X)F (X)+ ••• , где троеточием обозначен вклад начальных значений у(0), у(0),... и /(0),/(0),... переменных у() и /(). Из приведенных соотношений нетрудно заключить, что передаточная функция системы (9) - (10) дается выражением, стоящим в правой части нижеследующего соотношения (26). Отсюда и из теорем 1 и 2 вытекает
Теорема 5. Передаточные функции системы (1) и системы (9) - (10) совпадают:
(А1 - A )-1 =
Wf1 (a)w2 (А) W3 (А) Wf1 (А) W2 (А) + W4(А)
.(26)
разделе 3 и приводящая к уравнению (9), допускает различные модификации. Некоторые из этих модификаций коротко рассмотрены ниже.
5.1. Объединив т первых уравнений (7), получим
4.3. Задавшись попарно различными постоянными ц,к, цг и полагая ...,цг }П о(()=0, рассмотрим возмущение
/()=£ ец(1 < ] < г). (27)
В инженерной механике и технической кибернетике особо выделяются частные решения (линейных неоднородных дифференциальных уравнений), которые по своей структуре строго соответствуют заданной (в нашем случае - экспоненциальной) структуре возмущения. Для систем (1) и (9) - (10), рассматриваемых по отдельности, такие частные решения даются выражениями
у ()=1 ец / (I - А) (28)
и У () = I ец( ц;) ^2 ( ц;) Ь]- , (29) у() = I((3 ( ц;) ГГ1 ( ц;) W2 (ц;) + W4( ц;)) Ь} (30)
соответственно. Из (28) - (30) в силу соотношения (26), рассматриваемого с А е { ц1, - •, цг}, вытекает
Теорема 6. Функция у (() (у (()) совпадает с т-мер-ной ((п - т)-мерной) функцией, составленной из первых т (последних п - т) координат «-мерной функции у (().
В приложениях особенно интересен случай, когда параметры ц,..., цг возмущения /() (27) удовлетворяют условию Яе ц^ = 0. В этом случае выражения (27) - (30) допускают физическую интерпретацию в терминах «гармоника», «частота», «амплитуда» и т. д. Сама же возможность представления возмущения / () в форме суммы гармоник во многом объясняется
работами Хинчина, Слуцкого, Колмогорова и Лоэва, посвященными спектральному исследованию стационарных (в широком смысле) и некоторых нестационарных («гармонизируемых» [7]) стохастических процессов.
5. Дополнения и замечания
Полученные выше результаты, помимо прочего, позволяют, по-видимому, установить соответствие между рассмотренной нами операцией разрешения исходного уравнения (1) относительно у и операцией [1] «приведения преобразующей системы машины (например, металлорежущего станка) к тем или иным точкам» (с целью сформировать уравнения движения в терминах координат выделенных точек). Понятно, что это соответствие требует самостоятельного и детального обсуждения. Последнее требование объясняется, в частности, тем фактом, что процедура разрешения уравнения (1) относительно у , предложенная в
Imw(D )y(t ) =
1W (D)
W (D)
f ()
(31)
Оператор 1т^(в) имеет порядок п и является правильным и порядково симметричным, его скалярный порядок равен тп , т. е. в т раз превосходит скалярный порядок (равный п) операторов 1В - А и W1 (В).
Отметим, что число скалярных параметров, полностью определяющих оператор 1тм>(В), равно п . Отметим также, что наш вывод уравнения (31) из (1) базируется на предложении 1 и поэтому справедлив для любой матрицы А е М п .
5.2. Здесь и в 5.3 предполагается, что матрица А удовлетворяет условию (19), сформулированному для случая т = 1. При т = 1 очевидно, что уравнение (9) совпадает с уравнением (7), рассматриваемым с к = 1. Таким образом, при т = 1 мы можем систему (9) - (10) переписать так:
м'(В X ()=Л (В)/ (),
(32)
= W3 (D (t)+ W4 (D )f (t). (33)
5.3. Отбросив в (33) скалярные уравнения, отвечающие хт+1 (),., хп ((), «укороченную» систему (3 2)-(3 3)
представим в следующем виде
w(D) 0
W5 (D ) Im-1
y( ) =
\W (D) W6 (D)
f (),
(34)
где W5 (В) и W6 (В) - некоторые дифференциальные операторы порядка п - 1. Эти операторы получаются из - W3 (В) и W4 (В) простым вычеркиванием последних п - т строк. Фигурирующий в левой части уравнения (34) дифференциальный оператор имеет порядок п , является порядково асимметричным (а = п) и обладает скалярным порядком, равным п .
5.4. В системе (34) особое положение занимает 1-я координата переменной у. Уравнения системы (34) являются действительно дифференциальными именно по отношению к данной (первой) координате переменной у ; по отношению же ко всем остальным координатам переменной у эти уравнения являются конечными, а не дифференциальными. Повторяя рассуждения из 5.2 и 5.3, нетрудно получить и другие, подобные (34), варианты (их т -1) разрешения исходной системы (1) относительно переменной у , в
x
каждом из которых упомянутое выше особое положение попеременно занимают 2-я, 3-я и последующие координаты т-мерной переменной у .
5.5. В случае (21) имеется следующая возможность «устранения» (порядковой) асимметрии первого оператора в уравнении (9). Именно, полагая функцию /() принадлежащей классу С1+1, примем в (16) к = I + 2 и рассмотрим уравнение
у (+2)(( ) = ОI+1 (В )у (( )+ g(+1)(( ) +
+ О1 (В)h(t)+ QSl+1z(t). (35)
Выполнив подстановку (10) в (35), придем к уравнению
!у1 (В )y(t) = W21 (В )g (t) + Й~22 (В ) h(t) (36)
с операторами И~1 (в) = 1В1+2 + - •, 1у21(в) = 1В1+1 + • • •
и некоторым оператором W22 (В) порядка I. Хотя предложенная здесь версия разрешения (1) относительно у и дает порядково симметричные операторы W1 (В) и W21 (В), она существенно уступает первоначальному варианту (9) в том важном отношении, что «необоснованно» завышает скалярный порядок уравнения (36): этот порядок оказывается равным п + т + q, т. е. на т + q превосходящим скалярный порядок п уравнения (9).
5.6. Наряду с (1) рассмотрим уравнение
О, (В )х( )=О„(В)/ (), (37)
где О, (в) - некоторый правильный (п х п) -матричный дифференциальный оператор скалярного порядка Ж Из данного в разделе 2 определения скалярного порядка легко заключить, что N совпадает с числом
Донской государственный технический университет
скалярных постоянных в общем решении уравнения (37). Опираясь только на это обстоятельство, нетрудно показать, что 1) если каждое решение (1) удовлетворяет (37), то N > п ; 2) аналогично, если каждое решение (37) удовлетворяет (1), то п > N; 3) если N = п, то из того, что каждое решение какого-то одного из рассматриваемых уравнений является решением другого, вытекает, что эти уравнения эквивалентны (т. е. обладают совпадающими множествами решений). Поскольку скалярный порядок системы (9) - (10) равен п, понятно, что теорему 2 можно получить в форме следствия теоремы 1 и утверждения 3).
Методология применения моделей вида (9) к проблемам инженерной механики изложена в [1] (см. также [2, 3]). Многочисленные примеры успешного применения этих моделей к анализу процессов обработки резанием и процессов, обусловленных трением, приведены и прокомментированы в [1 - 3].
Литература
1. Заковоротный В.Л. Нелинейная трибомеханика. Ростов н/Д, 2000.
2. Заковоротный В.Л. Взаимодействие системы со средой. Динамика, диагностика, управление // Проблемы автоматизации и управления производственными системами: Сб. науч. статей. Ростов н/Д, 1999. С. 39 - 52.
3. Заковоротный В.Л., Бордачев Е.В., Алексейчик М.И. Динамический мониторинг состояния процесса резания // СТИН. 1998. № 12. С. 6 - 13.
4. Алексейчик М.И. О стационарных линейных динамиче-
ских системах // Вестн. ДГТУ. 2002. № 4. С. 17 - 29.
5. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М., 1976.
6. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Спек-
тральная теория. М., 1966.
7. Лоэв М. Теория вероятностей. М., 1962.
8 октября 2002 г.
УДК 621.384.326 - 62+50
АЛГОРИТМЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ И АДАПТИВНОГО ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ
ТЕПЛОВИЗИОННЫХ СИСТЕМ
© 2003 г. С.А. Покотило, Г.А. Падалко
Введение
Одним из перспективных направлений развития авиационных и космических тепловизоров (АТ) является разработка их адаптивных аналогов, т. е. тепловизоров, способных в процессе функционирования изменять свои параметры и структуру в зависимости от изменения внешних условий наблюдения (состояние наблюдаемой земной поверхности и атмосферы, параметры полета носителя аппаратуры) [1, 2]. Для обеспечения эффективного функ-
ционирования адаптивных АТ необходимо организовать периодическое измерение текущих параметров внешней среды и движения носителя, т. е. их идентификацию для сравнения текущего состояния процесса формирования изображения (ПФИ) с эталоном с целью выработки, на основании результата сравнения, управляющих сигналов для заданного изменения параметров и (или) структуры АТ, обеспечивающих получение изображения заданного качества.
Идентификация АТ предполагает использование тест-объектов или тестовых участков земной поверхности на искусственных или природных полигонах. При этом практика использования ряда АТ, а также проведенные исследования показали, что отсутствие возможностей текущей идентификации параметров АТ делает невозможной наземную проверку достоверности результатов аэрокосмического наблюдения и не позволяет получить достоверные оценки вероятности обнаружения и распознавания наблюдаемых объектов [2-4].
В настоящей работе рассматриваются разработанные и использованные авторами практически реализуемые в реальном времени методы и алгоритмы идентификации и функционирования адаптивных АТ. Задачу идентификации параметров и структуры АТ следует рассматривать как дуальную по отношению к задаче адаптивного управления комплексом «тепловизор - носитель».
Принципы идентификации АТ
В отличие от «калибровки АТ», под которой обычно понимают проверку основных параметров тепловизора на соответствие их заданным (паспортным) значениям [2], задачей идентификации АТ является определение соответствия структуры и параметров тепловизора их заданным значениям в реальных условиях съемки с целью компенсации влияния внешней среды на качество формируемого изображения [4, 5]. Идентификация АТ осуществляется методом сравнения реальной модели ПФИ с его математической моделью (ММ).
Анализ научной литературы по теории идентификации, методам калибровки оптико-электронных систем (ОЭС), а также результаты проведенных авторами исследований [2-5] показали, что наиболее приемлемыми для идентификации ОЭС и, в частности, АТ являются методы, основанные на использовании эталонных (тестовых) пространственных сигналов следующих видов:
- ступенчатые сигналы (и развитые на основе их использования методы идентификации структуры АТ по переходной функции или пограничной кривой);
- сигналы типа пространственного 5-коррелиро-ванного (белого) шума (и развитые на их основе методы прямого вычисления оптической передаточной функции (ОПФ) ПФИ);
- пространственные сигналы с известными корреляционными функциями (на их основе развиты статистические методы определения ОПФ ПФИ).
При выборе того или иного метода идентификации АТ в реальных условиях аэросъемки необходимо руководствоваться следующими соображениями [6-8]:
1. Определение ОПФ АТ должно быть методически простым.
2. Идентификация должна производиться в режиме нормального функционирования АТ.
3. Методы идентификации должны обладать достаточной точностью и помехоустойчивостью.
4. Время измерения эталонного участка ЗП должно быть малым.
Наряду с перечисленными эталонными сигналами для идентификации АТ могут быть также использованы линейные ориентиры ЗП: дороги, реки, овраги и т. п. Этот вид тест-объектов в настоящее время получил
широкое применение при решении задач корреляционно-экстремальной навигации по геофизическим полям и может быть успешно использован в адаптивных АТ [7].
Наибольшее распространение в практике дистанционного наблюдения с помощью оптико-электронных средств получили:
1. Идентификация с помощью переходной функции, т.е. детерминированных пространственных сигналов.
2. Идентификация с помощью корреляционных функций случайных пространственных сигналов типа белого шума и сигналов с известными корреляционными функциями.
3. Идентификация характеристик ПФИ.
Рассмотрим разработанные авторами алгоритмы
идентификации и функционирования адаптивных АТ.
Адаптивные АТ с идентификацией характеристик процесса формирования изображения
Анализ разработок адаптивных АТ и научных исследований в этой области показывает, что одним из главных направлений развития этих систем является адаптивная стабилизация качества тепловизионного изображения при изменении условий аэросъемки [3, 4]. Измерение зондируемого теплового поля с целью идентификации структуры ПФИ в этом случае может осуществляться одним или несколькими тепловизион-ными датчиками либо специальным, не являющимся звеном ПФИ, измерителем.
Как показывают результаты проведенных авторами исследований [2, 5], существенное влияние на качество изображения оказывают изменения высоты h и путевой скорости Уп полета носителя, с которыми связаны соответственно масштаб съемки m и частота дискретизации изображения по кадру |D. Таким образом, сигнал адаптивного управления должен быть функцией этих параметров:
Ua = 9(h, Уп, f |d), где f - фокусное расстояние (в общем случае, переменное) объектива АТ; m = f(H sec в)-1, в - угол обзора АТ; |d =(Щ~1;
dy = VnF-\ |d = 2VnF(1)
здесь Fc - частота строчного сканирования.
Для компенсации влияния скорости Уп на линейное разрешение АТ на местности (ЛРМ) величина |D может регулироваться методом косого сканирования [9].
Известно, что вероятность распознавания тепло-визионного изображения зависит от величины ЛРМ АТ [4]. Можно показать, что среднее геометрическое значение ЛРМ dx =(dx dy)0'5 равно:
dx = [(an//)h(ynFc-Vflh]0'5; dz = hf sec в (апУ^1)0'5, где ап - размер чувствительного элемента (ЧЭ) приемника в направлении сканирования.
Оптимальное значение частоты дискретизации зондируемой поверхности по кадру найдем из сравнения выражения (1) с выражением для оптимальной частоты сканирования ю, полученным в [10]:
ю с = 4f вУп h-1 | D.
Оптимальная частота дискретизации по кадру будет равна:
цВопт = V,)-1,
где ^ = ю с (2п)-1.
Процедура идентификации предшествует процессу адаптивного управления параметрами аэросъемки и осуществляется для оценки влияния внешних факторов на качество изображения. Для этого выбирают некоторый параметр и способ его идентификации в районе аэросъемки, чтобы в соответствии с его реальным значением изменить параметры ПФИ для достижения заданного значения вероятности распознавания изображения. В качестве такого параметра целесообразно выбрать среднегеометрическое значение ЛРМ й?х, продольная составляющая которого йх может быть оценена по ФПМ, активно идентифицируемой в процессе реального полета в районе расположения зондируемого участка ЗП либо по пространственному скачку температуры (по переходной функции), либо по тест-объекту типа пространственного белого шума [3]. Определение реальной величины йх осуществляется в результате аппаратурного решения частотного уравнения АТ, рассматриваемого как линейная система, находящаяся под воздействием случайных помех [5]:
П Твн (v m )П j (v m )= М -1 I Kk О Ш (v m )]0'5 X
j=1 *" к=0 X [Sзп (v m )]-05
(2)
1 ш
П ТВн (v m )П j (v m ) = Мпор (v m )
(3)
i=1
j=1
где Мпор (vm) - порогово-модуляционная характеристика (ПМХ) ПФИ [5];
1т
П ТГ (Vт )П 1 (Vт )= Тпфи (Vm ) - ФПМ ПФИ.
i=1 1 =1
Наиболее типичная форма уравнения (3) имеет следующий вид [4]:
ехр (-о^2) = (bпVn + ¿п-^п-1 + ...+ blV + ¿0)0'5, т. е. является нелинейным алгебраическим уравнением, которое решается графически или численными методами.
На рис. 1 показаны графические изображения реальных (ТрпФи(v), Мрпфи(у)) и заданных (ТзпФи(v), М зПФИ(v)) ФПМ и ПМХ процесса формирования изображения в авиационных тепловизорах.
Т(^)
Мюр^Е)
Тпфи (vE)
Тпфи (vE)
Мпор (ve)
Мпор (ve)
где TIвн(vm) - ФПМ 1-го звена внешней части ПФИ (наблюдаемое поле, атмосферно-оптический канал (АОК), факторы полета и т.п.); Т/Т(ут) - ФПМ '-го звена АТ; о2шк ^т) - дисперсия шума к-го источника; Кк - коэффициенты согласования размерности; £зп (у^)
- спектральная плотность наблюдаемого пространственного поля в спектральном диапазоне работы АТ при максимальном значении пространственной частоты Vm; у - отношение сигнал/шум в изображении; ^4из
- площадь изображения; vm = (2йх)-1 - максимальная пространственная частота в направлении сканирования.
Составляющая йу величины йI вычисляется по формуле (1) в соответствии с текущими значениями Уп и ¥а. Уравнение (2) часто представляется в виде [4]
0
Рис. 1
Рассмотрим некоторые схемотехнические решения адаптивных АТ.
АТ с адаптивным регулированием масштаба съемки
Один из возможных способов адаптации АТ к изменяющимся условиям съемки с целью стабилизации масштаба получаемого изображения основан на идентификации ПФИ путем вычисления его реальных ФПМ и ПМХ и сравнения их с заданными [1]:
ТрМ = ТВнМ ТатМ,
где Твн(у) - ФПМ внешней части ПФИ; ТАТ(у) - ФПМ АТ; V = й-1.
Из сравнения величин реальной Яр и заданной Яз разрешающей способности выразим цель адаптации:
lim (dp - d3) = 0;
f ^ fs;
(4)
hh3
где Rp = dp-1, R3 = d3-1 - реальное и заданное значения разрешающей способности (ЛРМ) АТ. Тогда
dp - d3 ~ тр - тз = Am,
откуда найдем величину Am, выразив значения масштабов тр и тз через высоту съемки h и эквивалентное фокусное расстояние f АТ:
тр = тз + Am = f +A/)(ha + Ah)-1;
Am = f +Af)(h3 + Ah)-1 - f h~\
где тз = f h з-1;
Am = (hAf - f3Ah)[h3(h3 + Ah)]-1.
Очевидно, условие адаптации (4) эквивалентно условию
lim (тр - тз) = 0. (5)
f ^ fs . h^h3.
В результате решения уравнения
Am = 0 или (h3Af - f3Ah) = 0
определяются поправки Af и Ah, необходимые для выполнения условия (5):
h3 Af=/з Ah;
i=1
1) Af = const, Ah = (h3Af) f~l;
2) Ah = const, Af = (f Ah) hs-1.
АТ с адаптивным регулированием параметров движения носителя
Сущность алгоритма адаптации в этом случае состоит в определении поправок Ah и AУп к истинной геометрической высоте h и путевой скорости Уп полета носителя аппаратуры на основе текущей идентификации ФПМ каждого из n каналов формирования изображения (КФИ) тепловизора (например, инфракрасного и радиотеплового) путем измерения текущего зондируемого поля и сравнения его с эталоном, имеющимся в виде спектральной плотности в памяти бортовой ЦВМ.
Реальная цифровая ФПМ иконического канала
Тр (N) = {St(N) [SbN)]-1}0,5,
где S3 (N) - цифровая спектральная плотность эталонного поля.
Составляющая ФПМ T^N), которая учитывает влияние внешних факторов ПФИ, определяется из соотношения
TUN) = Тр(Щ [Ts(N)]-1.
В предположении гауссовского вида ФПМ, широко используемого для моделирования систем тепловидения [2, 4], получим, что
rBH(N) = exp [-2n2r2 (N32 - Np2)],
(6)
который реализует настройку управления путем отслеживания параметров управляемого процесса [1]. Устройство идентификации включает в себя датчики состояния АОК [3], по сигналам которых корректируется входящая в него же математическая модель ПФИ. В УА формируются управляющие сигналы на изменение параметров тепловизора и носителя (с помощью УУ), благодаря чему осуществляется компенсация искажающего влияния АОК на качество изображения.
Рис. 2
На рис. 3 показана структурная схема АТ с идентификацией структуры ПФИ. Адаптивное управление общей ФПМ ПФИ 7^^) [1]:
Wvx) = T3a(vz)Txa(vz)Tax(vz),
(7)
где Гза(^)Гта(^) - ФПМ замутненной и турбулентной атмосферы; Гат(^) - ФПМ тепловизора; ^ - обобщенная пространственная частота, может быть осуществлено при наблюдении эталонных поверхностных полей (например, типа белого шума) в районе съемки.
где Ыэ, Ыр - максимальные цифровые пространственные частоты КФИ, полученные в лабораторных (индекс «э») и в реальных условиях (индекс «р») аэросъемки; ге - эффективный радиус чувствительного элемента (ЧЭ) приемника оптического излучения (ПОИ).
После логарифмирования (6) получим: {-[1п 7Вн(^)] (2п2ге2)-1 }0,5 = I Ыэ2 - Ыр2I-0,5;
АЫ (Ы + Ыр) = 1п {7вн (Ы)[ 2п2ге2]-1},
где АЫ = Ыэ - Ыр.
Сигнал иа, пропорциональный величине I Ыэ2 - Ыр21-0'5, используется в качестве управляющего сигнала для адаптивной коррекции параметров полета:
Ыа = иа (АН, АКп),
где АН = 2Пыэ2 - Ыр2! ^ё^есР; А¥п = КпНг-1ёхгеч / 8ес20; ё^ - размер эквивалентного элемента разрешения на зондируемой поверхности (см. выражение (3)); 20 -угол сканирования.
АТ с адаптацией к изменению характеристик атмосферно-оптического канала
Обобщенная структура АТ с параметрической адаптацией (рис. 2) может быть реализована на основе аналоговой или цифровой схемы идентификации параметров ПФИ и устройства адаптации (УА), являющегося вычислителем управляющего устройства (УУ),
Sa(ve)
TaoK(vz) S'3(vz) ^ Tax(ve) St(ve)
УА (алгоритм адаптации)
Sa(ve)
«'(Ve)
Т'пфиС^
Рис. 3
Задача идентификации ПФИ состоит в нахождении его ОПФ на основе наблюдения в реальных условиях эталонного поверхностного поля, описываемого текущей спектральной плотностью цифровая
эталонная модель которого в виде ^(Ух) имеется в памяти бортовой ЭВМ и получена в идеальных условиях, т. е. при
Тза(^)Гта(^) = 1.
«Текущая» спектральная плотность эталонного поля равна
ST(Vz) = I TV(Ve) 12 S3(vz),
откуда следует
u
а
T %n(vx) = [I S^x) II S3(vz)|-1]0,5. (8)
Из сравнения (7) и (8) получим модель АОК:
Таок (vx) = T рпфи(^)[Т ^(vj)]-1,
где Т ^x) = Тат^х).
В УА (вычислителе УУ) формируется управляющий сигнал u = f(a1,... ,an), где a1,..., an - управляемые параметры ПФИ, на основании результата сравнения S^vx) и S'3(vx):
u' = [iSXvx) IIS' 3(vx)I-1]0,5,
где S'3(vx) = S3(vx) при Tат(Vx) = 1.
Алгоритм адаптации, соответствующий структурной схеме рис. 3, имеет вид [3]:
S^(vx) = Т ^(vx) S3(vx);
S^vx) = Т 2аок (vx) Т2ат(Vx) S3^x);
u' (vx)= Таок (vx).
ФПМ АОК является функцией параметров ПФИ [3, 11]:
Таок (vx) = Тза^Т^) = f(AА, f h, ß),
(9)
где £ - фокусное расстояние объектива; ДА - спектральный диапазон работы тепловизора; к - высота съемки; в - угол сканирования.
Параметры £, к, в определяют масштаб изображе-
m = h/^sec ß.
(10)
Из (9), (10) следует, что управляющий сигнал ua является функцией масштаба m и спектрального диапазона AА:
ua = Am, ДА),
(причем ua= ka u', где ka - коэффициент пропорциональности), посредством изменения которых можно адаптировать тепловую аэросъемку таким образом, чтобы достигалось заданное значение P3 критерия эффективности P:P > P3.
Цель адаптации в этом случае имеет вид:
lim [P3 (m3, AА3) - P (m, AX) = 0,
где m3, AА3 - заданные значения m и ДА.
В качестве критерия эффективности P наиболее часто используют вероятность правильного распознавания изображения [4].
Заключение
Анализ существующих методов и средств идентификации АТ свидетельствует об их важности и актуальности при наблюдении земной поверхности оптико-электронными средствами. Предпочтение при этом отдается пассивной идентификации, характеризующейся методической простотой и отсутствием нару-
шений режима нормального функционирования АТ и дополняемой наземными измерениями оптических и теплофизических параметров тест-объектов и эталонных участков зондируемой поверхности. Важной проблемой в области калибровки и идентификации АТ является создание искусственных и природных испытательных полигонов, оборудованных комплексами высокоточных наземных измерений оптических и теплофизических параметров поверхности.
Основной задачей идентификации является создание основы для разработки алгоритмов адаптивного управления параметрами АТ и носителя аппаратуры в процессе ИК съемки, обеспечивающих получение изображений ЗП заданного качества. В этой связи актуальной задачей остается измерение статистических характеристик эталонных участков теплового поля земной поверхности и создание соответствующей базы данных [1-5, 7].
Перспективой развития методов и средств идентификации АТ является теоретическая проработка вопросов оптимизации их комплексного использования, что обеспечит более высокую точность идентификации структуры и параметров этих систем.
Литература
1. Покотило С.А. Адаптивные оптико-электронные средства дистанционного зондирования // Зарубеж. радиоэлектроника. 1994. № 6. С. 37-48.
2. Криксунов Л.З., Падалко Г.А. Тепловизоры: Справочник. Киев, 1987.
3. Покотило С.А Стабилизация качества изображения в атмосферно-адаптивных оптико-электронных системах наблюдения // Оптика атмосферы и океана. 1994. Т. 8. № 3. С. 3-9.
4. Покотило С.А. Инфракрасные системы воздушной разведки. Иркутск, 1988.
5. Белинский В.Н., Покотило С.А. К вопросу об идентификации авиационных иконических оптико-электронных систем // Науч.-метод. материалы по вопр. повыш. эффективности и надежности систем авиац. оборуд. Киев, 1982. С. 17-20.
6. Гроп Д. Методы идентификации систем: Пер. с англ. М.,
1979.
7. Красовский А.А., Белоглазов И.Н., Чигин Г.П. Теория корреляционно-экстремальных навигационных систем. М., 1984.
8. Бугаенко А.Г. Современные измерительные средства для оценки характеристик тепловизионных систем // XVI Междунар. конф. по фотоэлектронике и приборам ночн. видения, 25-27.05. 2000 г. М., 2000. С. 32.
9. Покотило С.А., Снегирев А.Л., Ясинский Г.И. Косое сканирование и его применение в тепловидении // Оптико-механ. пром-сть. 1991. №3. С. 34-37.
10. Пермяков А.В., Покотило С.А. Оптимальная угловая скорость сканирования тепловой иконической системы // Материалы XXIV воен.-науч. конф. уч-ща. Киев, 1983. Ч. III. С. 207-209.
11. Покотило С.А., Ковпак С.Н. Проблемы создания атмо-сферно-адаптивных оптико-электронных систем наблюдения // Оптика атмосферы и океана. 1992. Т. 5. № 12. С. 1274-1279.
ФГУП ПО «Азовский оптико-механический завод»
17 декабря 2002 г.
ния
