CC BY
30
МАТЕМАТИКА
УДК 517.91
О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ НА ОТКРЫТЫХ ПОДМНОЖЕСТВАХ R
© 2009 г. А.В. Абросимов
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского [email protected]
Поступила в редакцию 01.06.2009
Рассматривается конечная система гладких функций на открытом множестве Е в R. Исследуется природа подмножеств Е, на которых эти функции линейно зависимы, в предположении, что вронскиан этой системы функций тождественно равен нулю. Доказывается, что существует такое замкнутое, нигде не плотное множество F, что Е\Е является объединением не более чем счетного семейства попарно не пересекающихся интервалов, на каждом из которых эти функции линейно зависимы.
Ключевые слова: линейная зависимость, гладкие функции, открытое подмножество, вронскиан.
Пусть Е с R - непустое открытое множество и у1(х),...ут (х) е С5-1(Е), где 5 > т. Символами Мкт и Мк будем обозначать множества всех матриц размером к х т и к х к соответственно.
Матрицу Wk (х) = (у(г-1) (х)) е Мкт будем называть к-й матрицей Вронского для функций у1(х),..., Ут (х) в точке х е Е (к = = 1,..., 5). В частности, матрица Ж (х) = = Жт (х) е Мт есть обычная матрица Вронского для этих функций. Пусть Гк (х) и г (х) есть ранги матриц Жк (х) и Ж(х), соответственно, в точке х е Е. Нас будет интересовать ответ на следующий вопрос. Что можно сказать о линейной зависимости функций на Е (или на подмножестве Е), если det Ж (х) = 0 на Е? О линейной зависимости этих функций на Е определенного ответа дать нельзя, так как существуют примеры линейно зависимых и линейно независимых функций с вронскианом, тождественно равным нулю на Е.
Пример. Пусть Е = (-2, 2) и
Г0, х е (- 2,1],
У1 [(х -1)2, х е (1,2),
(х +1)2, х е (-2, -1),
0, х е [-1, 2).
Здесь r(x) = О для x є [-1, 1] и r(x) = 1 для x є (-2, -1) и (1, 2). Из условия ClУі(x) + + C2У2 (x) = О при x є (-2, 1] следует, что c2 = О , а при x є [1, 2) следует, что Cl = О . Поэтому Уі(x)и У2 (x) є C1(-2, 2) и линейно независимы на (-2, 2). При этом Уі(x) и У2(x) линейно зависимы на множествах (-2, 1], (-1, 1) и [1, 2). Можно сказать, что в этом случае множество E разбивается на непересекаю-щиеся подмножества Eo = (-1, 1) и E1=E\E(), на каждом из которых r(x) = const. При этом существует такое замкнутое нигде не плотное множество F (состоящее из двух точек -1 и 1), что на любой компоненте связности множества E\F функции y^x) и y2(x) линейно зависимы.
Нас будет интересовать структура «максимальных» подмножеств E, на которых функции y1(x),...,ym(x) будут линейно зависимы.
Для любого множества F символом F' будем обозначать множество всех предельных точек, символом A < B мы обозначаем A и B при условии A о B = 0, символами Л и ► будем обозначать начало и конец доказательства соответственно.
Лемма 1. Пусть E - непустое открытое множество в R и f(x)єCs(E). Пусть F = {x є
є Е: /х) = 0}. Тогда /(і-1)(х) = 0 на F ' п Е (і = = 0, 1....,т).
Л Пусть ~ є F, п Е . Тогда существует интервал (а, Ь) э ~ и такая последовательность хп є F п (а, Ь), что хп ^ ~ . В силу непрерывности /(~ )=0. По теореме Ролля существует такая
последовательность хП є (а, Ь), что хП ^ ~ и
/'(хП ) = 0. В силу непрерывности /'(~) = 0. По теореме Ролля существует такая последовательность х2 є (а, Ь), что хП ^ ~ и /"(хП) = = 0. В силу непрерывности /" (~) = 0 и т.д. За
конечное число шагов мы получаем требуемое утверждение. ►
Предложение 1. Пусть Е - непустое открытое множество в R и уі(х),..., ут (х) є
є С5-1(Е), где s > т. Пусть гк (х) = к на Е для некоторого к = 1,..., т - 1. Пусть F = = {х є Е: Гк+1 (х) = к}. Тогда г(х) = к на
F ' п Е.
Л Если х є F, то Гк+1 (х) = к и (к + 1)-я строка матрицы W (х) является линейной (в каждой точке х є F) комбинацией к первых строк:
к
У( )(х) = ЁР1ц(х)У( -Ц)(х) (І = 1,...,т). (1)
Ц=1
Так как гк(х) = к, то существует ненулевой минор матрицы Щ(х) порядка к, расположенный в первых к строках и столбцах с номерами І1 <... < Ік . Рассмотрим соотношения
к
У(*)(х) = ЁР1ц(х)у(к-ц)(х) (V = 1,...,к)
как систему линейных алгебраических уравнений относительно Р1ц (х) с ненулевым определителем. Тогда функции р^ (х) определяются однозначно по правилу Крамера. При этом они непрерывно дифференцируемы 5 - к + 1 раз в точке х.
Пусть ~ є F' п Е . Тогда, в силу леммы 1, соотношения (1) можно дифференцировать 5 - к + 1 раз в точке ~ . Тогда
к
У ?+1)(~) = Ё р1ц (~ )У ?-ц)(~) +
ц=1
к
+ Ё Р1ц (~)УІ -ц+1)(~) + Рп(~) X
ц=2
к
х Ё Р1ц (~)уІ -ц)(~) = ц=1
к
= ЁР2ц(~(і%,-Ц)(~) (І = 1,...,т). ц=1 У
Аналогично получаем
к
У (к+--1)( х) =Ё р.ц ( х) У (к-ц)( х) ц=1
(І = 1,..., т; с = 1,..., 5 - к).
Тогда все строки матрицы (~) начиная с (к + 1)-й являются линейными комбинациями первых к строк. Поэтому г (~) = к .►
Пусть М с Е. Будем говорить, что М не более чем дискретно в Е, если М не имеет на Е предельных точек (т.е. М' п Е = 0). Это значит, что М п Е может состоять только из изолированных точек. В частности, М не более чем счетно и нигде не плотно в Е.
Предложение 2. Пусть Е - непустое открытое множество в К и У1 (х),...,Ут (х) є
є С5-1(Е), где 5 > т. Пусть существует минор Мт (х) порядка т матрицы (~), отличный от нуля на Е. Тогда существует такое замкнутое, не более чем дискретное множество F с Е, что минор порядка т матрицы (~), расположенный в первых т строках, отличен от нуля на Е''Е.
Л Пусть F1 ={х є Е: г1(х) = 0}. Тогда все
У І (х) = 0 на F1 и F1 замкнуто в Е. Если ~ є Fl' п Е, то, в силу леммы 1, (~) = 0 , что
невозможно. Тогда F1 п Е = 0 и F1 не более чем дискретно. Пусть Е1 = Е \ Fl = {х є Е: гДх) > 0}. Тогда Е1 не пусто и открыто. Если т = 1, то утверждение доказано и F = F1. Если т > 1, рассмотрим множество F2 = {х є Е1 : (х) = 1}.
Любой минор второго порядка матрицы Щ5(х) равен нулю на F2. Тогда F2 замкнуто в Е1. Если ~ є F2 п Е, то, в силу предложения 1, гт (~) = 1 (у нас г1 (х) = 1 на F2), что невозможно. Поэтому F2 п Е = 0 и F2 не более чем дискретно. Пусть Е2 = Е1 \ F2 = {х є Е1: Г1 (х) > 0}. То-
гда Е2 не пусто и открыто. Если т = 2, то утверждение доказано и F = Fl <F2. Если т > 2, рассмотрим множество F3 = {х є Е2 : г3 (х) = 2} и, повторяя рассуждения, за конечное число шагов получаем требуемое. ►
Следствие 1. Пусть Е - непустое открытое множество в К и У1(х),...,Ут (х) є С5 1(Е), где 5 > т. Пусть для некоторого к = 1,..т существует минор Мк(х) порядка к матрицы
(~), расположенный в столбцах с номерами
І <...<Ік и строках с номерами і1 <...< ік, отличный от нуля на Е. Тогда существует такое замкнутое, не более чем дискретное множество F, что минор порядка к матрицы (~), расположенный в тех же столбцах и в первых к строках, отличен от нуля на Е''Е.
Л Для доказательства достаточно рассмотреть матрицу (Уд,..., УІк)(х) и применить
предложение 2. ►
Следствие 2. Пусть Е - непустое открытое множество в К и У1 (х),...,Ут (х) є С5 1(Е), где 5 > т. Пусть г(х) = к на Е для некоторого к = 1, т. Тогда существует такое замкнутое, не более чем дискретное множество F, что г(х) = тіп(і, к) на Е''Е для всех і =1, 5.
Замечание. Смысл предложения 2 и его следствий заключается в том, что, с точностью до дискретного множества, ранг матрицы Вронского достигается в первых строках.
Предложение 3. Пусть Е - непустое открытое множество в К и У1(х),...,Ут (х) є Ст-1(Е).
Пусть г(х) = к на Е для некоторого к = 1, т -- 1 и существует минор Мк(х) порядка к матрицы Щ(~), расположенный в столбцах с номерами І1 <...< Ік , отличный от нуля на Е. Тогда функции Уд(х),..., У]к (х) линейно независимы на Е, а остальные функции У Ік+1 (х),..., УІт (х) линейно выражаются через них на Е.
Л Из условий предложения и теоремы о ранге матрицы следует, что столбцы матрицы Щ(х) с номерами і <...< Ік линейно независимы на Е, а остальные столбцы являются линейными (в каждой точке х є Е) их комбинациями:
У £+"’( x)-E CV, (x)y <,':1>( x)
,="
j,
Пусть минор Мк(х) порядка к матрицы Щ(х), отличный от нуля на Е, расположен в строках с номерами і1 <...< ік. Тогда
у Й+-,1)( x) - E Cv,(x)y ?a-1)(x)
,="
j,
(3)
(c = 1,...,k; v = 1,..., m - k).
Для любого фиксированного v = 1,..., т - к соотношения (3) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно (х), с ненулевым определителем.
Поэтому су^ (х) определяются однозначно по
правилу Крамера. При этом суц (х) е Ст -к (Е).
Дифференцируя (2), получаем
к к
у я(х) - х^(х)у (;)(х)+I ^(х)у (;-1)( х).
Ц=1 Ц=1
Если гк < т, то, сравнивая последние соотношения с (2), получаем:
E (x)y (-1)( x) = О
,=" ц
(i = 1,...,m; v = 1,...,m - k).
(4)
(2)
(i = 1,...,m; v = 1,...,m -k).
Полагая в (4) i = ic (a = 1,...,k), получаем, что cv^ (x) = 0и, следовательно, cv^ (x) = const на E.
Если ik = m, то, в силу следствия 1 предложения 2, существует такое замкнутое, не более чем дискретное множество F с E и минор
Mk(x) матрицы W(x) порядка k, расположен-
ный в первых строках и тех же столбцах, что и Mk(x), отличный от нуля на EF. Тогда
cv^ (x) = const на EF. Так как функции cv^ (x) непрерывны на E, то cv^ (x) = const на E. ►
Определение. Пусть E с R и вектор-функция y(x) = (yi(x),...,ym (x)) определена на E. Будем говорить, что y(x) является k-плоской
У7 0 nm
на E относительно y е R , если существует такое k-мерное линейное подпространство L с Rm, что график Г функции y(x) - у0 лежит в L и не лежит ни в каком (k - 1)-мерном подпространстве Rm Если здесь у0 = 0, то y(x) будем называть k-плоской на E.
Предложение 4. В условиях предложения 3 вектор-функция у( x) = (yi(x),..., ym (x)) явля-
ется k-плоской на E.
Л Из предложения 3 следует, что существуют такие постоянные cv^, что на E
к дающие к-мерное линейное подпространство
у,к„(х)(х) (v = I,...,т - к). ^= ь у,^ что у(х) е Хх, дая всех
Пусть еь..., ет есть стандартный базис в х е и .
т
и У(х) - уДх)е1 +...Ут (х)ет . Тогда
Пусть ихо п их1 Ф 0. Тогда для любого
тк
У (х) - х Уу (х)еу - X У, (х)е}. + х еихо п их1
/=1 1=1 к к
т-к к
у(х) - X у ,о(х)К - X у ,1(х)К • =1 у1 1=1 у1
+ ХУук+v(х)еу^ - ХУу1(х)еУ1+ М " ± 1=1
v 1 11 Пусть Ихо = (Ьхо) - ортогональное допол-
т-кС к Л т о 0
е,к - нение к Ьхо в Кт и векторы N Ыт-к обра-
+ X X Уу1(х)
v=1 ^1=1 у
к ( т-к Л к
- X Уу,1 (х) eУk+v + X cvleУk+v - X Уу,1 (х)У1 .
v=1
зуют базис в N . Тогда
У1 1=1
к
уПА'>' X У,1 (х)(у1, №) - о (v = 1,.., т - к).
1 1 1=1 у1
Векторы Уь...,Ук с Rт линейно независи- Дифференцируя эти соотношения, получаем мы и образуют базис к-мерного линейного к
подпространства Ь = Ь(У1.Ук) (символом X (V1, №) у, 1)( х) - о.
Ь(У1... Ук) обозначается линейная оболочка век- 1=1 У1
тор ов У1...Ук ).^ Отсюда при / = /'С (с = 1,...,к) следует, что
Предложение 5. Пусть Е - непустое от- (У^, №) = о при всех 1 = 1,..., к и v = 1,..., т - к.
крытое подмножество К у( х) = (у^х),...
ут (х)) е Ст-1 (Е) и г(х) - к на Е для некоторого
7, гг ч / ч , _ Положим О = {х е Еа : Ьх = Ьх }. Тогда О
к = 1, т. Тогда у(х) является к-плоскои на 1 х хо ’ ^
любой компоненте связности Е с Е. открыто в Е и шп^то. Если последователь-
Л Пусть Еа есть некоторая компонента связ- ность хп е О сходится к ~ е Еа , то начиная с ности Е (составляющий интервал) и хо е Е. То- некоторого по все хп лежат в и~. Тогда
гда г(хо) = к и существует минор М°(х) матри- ь~ = Ьхп = Ьхо и ~ е О . Тогда О еще и замк-
т1 Тогда Ьх1 = (Мх0) ±= (Ьхо) Х±= Ьхо.
т-1/ гг\ ,, _ 1Г гг л„„ _ 1 о о о
цы Щх) порядка к, отличный от нуля в точке хо, ^ ^ ^
нуто. Т ак как Е связно, то О = Е . г
расположенный в строках с номерами
г1 < .. <гк и столбцах с номерами у1 <... < ук . Нам потребуются некоторые простые утвер-
В силу непрерывности минор Мк0(х) отличен жд™, справедливые в общей ситуации (см.
[1-3]).
от нуля в некоторой окрестности ихо с Еа Напомним, что топологическим пространст-
точки хо. Из предложения 4 следует, что суще- вом называется пара (Х, Т(Х)), где X - множе-
ствуют такие линейно независимые векторы ство (пространство-носитель), а т(Х) - тополо-
уо,...,Ук е Rт , порождающие к-мерное ли- гия в Х- система подмножеств Х, уд°влетв°-
о о ряющая известным аксиомам топологии. Мно-
нейное подпространствоЬхо = Ь (у1 ..Ук ), жество А е т(Х) называется открытым, а его
что у(х) е Ьхо для всех х е ихо (то есть у(х) дополнение А° = Х\А замкнутым. Окрестностью
, тт . точки х е X называется открытое множество,
является к-плоской на и х ).
хо содержащее х.
Пусть х1 е Еа - другая точка. Тогда анало- Для любого непустого множества м с Х оп-
а ределено топологическое пространство (М, т(М)),
гично определены окрестность и х с Е , ин-
х1 где топология т(М) = М п т(Х) называется отно-
дексы г} <... <4 и у] <... < у1, минор М1(х) сительной (наследственной) топологией. Гово-
матрицы Щ(х) порядка к, отличный от нуля в рят, что А открыто в М (замкнуто в М), если А =
1 1 = М п У, У е т(Х) (соответственно, А = М п У,
UxI, и такие векторы У1 Ук е R , порож- у = х\У у е Т(Х))
Точка х0 называется внутренней для М, если существует такая окрестность и(х0) е т(X) этой точки, что х0 е и(х0) с М.
Множество А с X называется плотным в В с X, если В с А = А и А. Множество А с X называется нигде не плотным в М с X, если А не плотно в любом V е т(М). Это значит, что для любого непустого V е т(М) найдется такое непустое и е т(М) (и с V), что и п А = 0 (и Ц\А = Ц).
Пространство (X, т(<¥)) называется хаусдор-фовым топологическим пространством, если любые различные точки из X имеют непересе-кающиеся окрестности. В хаусдорфовом пространстве предельная точка х множества М с X является пределом последовательности хп е М (хп Ф х). Свойство хаусдорфовости является наследуемым, т.е. если (X, т^) хаусдорфово, то (М, т(М)) хаусдорфово.
Предложение 6. Пусть (X, т(<¥)) - топологическое пространство. Справедливы следующие утверждения.
1. Пусть М - замкнутое подмножество X, не имеющее внутренних точек. Тогда М нигде не плотно в X.
2. Пусть М с X. Тогда М = F < G, где G = = т!М — множество всех внутренних точек, открыто в X, а F = Мп (М)' = М п Мс - множество всех точек х е М, являющихся предельными для Мс = Я\М, нигде не плотно и замкнуто в М.
3. Пусть А с В с С с X. Отношения «А открыто в В» и «А замкнуто в В» транзитивны. Точнее, если А открыто в В и В открыто в С, то А открыто в С; если А замкнуто в В и В замкнуто в С, то А замкнуто в С.
4. Пусть А с В с X. Если А нигде не плотно в В, то А нигде не плотно в X.
5. Если G с X открыто в X, то G \ G замкнуто и нигде не плотно; если F с X замкнуто в X, то F \ шЬ F замкнуто и нигде не плотно.
Л Рассмотрим доказательства.
1. Пусть (от противного) М не является нигде не плотным. Тогда существует непустое А е т(X)и А с М = М. Тогда любая точка из А является внутренней для М, что невозможно.
2. Пусть G = т!М = {х е М : Зи(х) е т^), х е и (х) с М} - множество всех внутренних точек М. Тогда G = ихеоЦ(х) е т(х). Тогда
F = М \ G замкнуто в М и не имеет внутренних точек. Тогда F нигде не плотно в М.
3. Пусть А открыто в В. Тогда А = В п и, где и е т(С). Если В открыто в С, то А = В п и открыто в С как пересечение открытых в С множеств. Пусть А замкнуто в В. Тогда А =
= В п ис, где и е т(С). Если В замкнуто в С, то В = Vе, где V е т(С). Тогда А = Vе п ис =
= (и и V)с замкнуто в С.
4. Пусть А с В с X и А нигде не плотно в В. Если существует V е т^) и V п В = 0, то V п А = 0 и доказывать нечего. Так как А нигде не плотно в В, то для любого V е т^) (V п В Ф 0) существует такое и е т(X) (и п В Ф 0, и с V) что (и п В) \ А = и п В и и п В п А = 0. Тогда
и \ А = ((и \ В) и (и п В))\ А =
= ((и \В)\А)и ((ипВ)\А) =
= (и\( А и В)) и (и п В) =
= (и \ (В)) и (и п В) = и.
Поэтому А нигде не плотно в X.
5. Пусть G е т(X). Положим М = G . Тогда
т! М = G, М = М и М \ М не имеет внутренних точек. Тогда G \ G = М \ шЬ М замкнуто и нигде не плотно. Аналогично доказывается и последнее утверждение. ►
Для того чтобы функцию у(х), заданную на множестве Е с R, можно было дифференцировать в каждой точке, необходимо, чтобы каждая точка в Е была предельной для Е (т.е. Е с Е'). Поэтому будем считать далее, что Е = Е . Тогда Е = Е и Е ' = Е и Е замкнуто в R.
Пусть Е = Е с R и уДх),..., ут (х) е
е Ст-1 (Е). Для' = 0,..., т положим
Ту = {х е Е: г(х) < у}, Gj = {х е Е: г(х) > у};
(5)
Еу = {хе Е: г(х) = у}.
Тогда
Е0 = Т0 с Т1 с ... с Тт—1 с Тт = Е,
0= ^ ^ ^ ^ ... ^ ^-1 ^ Gm = Ет
и
] т
Ту = О ЕУ. ^ = О V ,=0 ,=/
Удобно считать, что Т-1 = Gm+l = 0. Тогда для всех ' = 0,., т
Е' = Т] \ Т]-1 = G] \ G] +1 = Т] п G] ,
Е = Е0 < ..< Ет = Т] < G]+1•
Предложение 7. Пусть 0 Ф Е = Е' с R м уДх),..., ут (х) е Ст-1(Е). Пусть множества Е], Т] и Gj определены формулами (5).Тогда все Т] замкнуты в Е (и в К), а все Gj открыты в Е для] = 0,., т. Кроме того, для любого Е] существуют такие множества Е® и Fj, что
Е] = Е0 < Fj. При этом Е0 = т! Е] открыто в
Е (и в К), а Fj = Е ] п G'■+1 = Е}- п GJ■+1 замкнуто в Е] и нигде не плотно в Е].
Л Так как Тт = Е, то Тт замкнуто в К. Пусть] < т, {хп } е Т] и хп ^ х е Е. Тогда любой минор порядка ] + 1 матрицы W(x) равен нулю в точках хп. В силу непрерывности этот минор будет равен нулю и в точке х. Тогда Т] замкнуто в Е (и в К). Поэтому Gj = Е \ Т]-1 открыто в Е.
Пусть Е] = т! Е] = {х е Е] : З и(х) е т^),
х е и (х) с Е] }. Тогда Е0 открыто в К. В силу
предложения 6 Fj = Е] \ Е] = Е] п (Е \ Е])' замкнуто в Е] и нигде не плотно в Е]. Так как
Е \ Е] = Т/--1 < Gj+1, Т-1 замкнуто и Е] п Ту-1 = = 0, то
F] = Е] п (Е \ Е]) ' = Е] п (Е \ Е]) =
= (Е] п Т}-1) < (Е] п GJ+1) = Е] п GJ+1 =
= Е] п GJ+1. ►
Теорема 1. Пусть 0 Ф Е = Е с R и у(х) =
= (У1 (х),..., Ут (х)) е Ст-1(Е'). Тогда существует такое замкнутое в Е и нигде не плотное в Е множество F, что множество Н = Е\Е открыто в Е и, следовательно, является объединением не более чем счетного семейства своих попарно не пересекающихся компонент связности Нп с Н, на каждой из которых вектор-функция у(х) является £-плоской (к зависит от Нп). При этом
F = {х е Е: Зхп е Е, хп ^ х, г (хп) > Г ( х)}.
Л Пусть Е] = т!Е] = {х е Е] : З и(х) е т^), х еи (х) с Е]). Положим Н = Е00 <...< Ет . Тогда Н е т^) и является объединением не более чем счетного семейства попарно не пересекающихся интервалов (а]п,Ь}п) (] = 0,1,...,т; п е N ), на каждом из которых г (х) = ] . В силу предложения 5 вектор-функция у(х) является ]-плоской на (а]п,Ь}п). Пусть F = Е \ Н . Тогда F замкнуто. Так как F = Е \ шЬ Е, то F не имеет внутренних точек. Тогда F нигде не плотно в силу предложения 6. Далее
т-1 __ т-1
F = О Е] п Gj+1 = О {х е Е: Зхп е Е,
,=0 ,=0
хп ^ х, Г(хп ) > ] = г(х)} =
= (х е Е: Зхп е Е, хп ^ х, г(хп) > г(х)}, что и требовалось. ►
Теперь можно дать ответ на вопрос, поставленный в начале.
Теорема 2 (следствие). Пусть Е с К - непустое открытое множество, у^х),..., ут(х) е е Ст-1(Е) и detW(x) = 0. Тогда существует такое замкнутое, нигде не плотное множество F с Е, что множество Н = Е\Е открыто и на любой компоненте связности Нп с Н функции у](х),..., ут(х) линейно зависимы. При этом F = {х е Е: Зхп е Е, хп ^ х, г (хп) > Г( х)}.(6)
Замечание. Образно говоря, свойство (6) означает, что множество F состоит, в точности, из тех точек множества Е, в которых «падает» ранг матрицы Вронского.
Список литературы
1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. 624 с.
2. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Наука, 1977. 368 с.
3. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. 480 с.
ON LINEAR DEPENDENCE OF SMOOTH FUNCTIONS ON OPEN SUBSETS R
A. V. Abrosimov
A finite system of smooth functions on open set E b is considered. The nature of subsets E is studied where these functions are linear dependent under the assumption that the Wronskian of this system of functions is identically equal to zero. It is proved that there exists such a closed nowhere dense set F that E\F is a combination of not more than a countable family of pairwise disjoint intervals at each of which these functions are linear dependent.
Keywords: linear dependence, smooth functions, open subsets, Wronskian.
