CC BY
10Таким образом, для v Е ©i
\Tv(x)\ < Ci\x\2-m-n-Y-T, т > 0, \x\ > R, (4)
если число R выбрано достаточно большим, а 5 — достаточно малым. Аналогичным образом показывается, что отображение T непрерывно из ©i в ©i.
В силу того что все элементы X := T©i удовлетворяют оценке (4), для любого е > 0 найдется такое число K > 0, что для всех v Е X имеем ||v — v£\x\<kHb < е/2, где через обозначена характеристическая функция множества A. Рассмотрим Xk — ограничение семейства функций из X на шар радиуса K. Воспользовавшись стандартными эллиптическими оценками и теоремой Арцела-Асколи, мы получаем предкомпактность семейства функций Xk в пространстве C(R < \x\ < K). Следовательно, в B найдется е/2-сеть для множества Xk (для функций, обращающихся в нуль вне слоя R < \x\ < K, норма в B эквивалентна обычной норме пространства непрерывных функций: ||u||cRY+m+n-2 ^ ||и||в ^ ||u||cKY+m+n-2).
В силу принципа Лерэ-Шаудера у отображения T : ©i ^ ©i найдется неподвижная точка vo. Теперь сумма uo + vo и будет при \x\ > 2R искомым решением уравнения (1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кондратьев В.А., Ландис Е.М. О качественных свойствах решений одного нелинейного уравнения второго порядка // Матем. сб. 1988. 135, № 3. 346-359.
2. Багиров Л.А., Кондратьев В.А. Об эллиптических уравнениях в R" // Дифференц. уравнения. 1975. 11, № 3. 498-504.
3. Кондратьев В.А., Олейник О.А. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях // Успехи матем. наук. 1983. 38, вып. 2(230). 3-76.
4. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.
Поступила в редакцию 20.11.2006
УДК 517.521
О ЛИНЕЙНОЙ НЕЗАВИСИМОСТИ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ ЛЕРХА
Е. А. Уланский1
Оценивается количество линейно независимых чисел среди 1, Фх ^z, ,..., Фа ^z, в зависимости от натурального числа а, где Фя ^z, , s = 1,2,..., — функции Jlepxa.
Ключевые слова: функции Лерха, обобщенные полилогарифмы, линейная независимость.
The number of linearly independent numbers among 1, Ф1 ^z, ,..., Фа ^z, is estimated depending on a natural number a, where Фя ^z, , s = 1,2,..., are Lerch functions. Key words: Lerch functions, generalized polylogarithms, linear independence.
Введение. Пусть z £ C, \z\ ^ 1, s £ N, причем z = 1 при s = 1, а также p £ Z, q £ N, 0 ^ \p\ <
q, (p,q) = 1- Функции Лерха определяются следующим образом:
p
q>
q ¿-f (и+ |)ä
7 n=l q
1 Уланский Евгений Александрович — ассист. каф. теории чисел мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ulanskiy@mail.ru.
Заметим, что в случае p = 0, q = 1 функции Лерха сводятся к обобщенным полилогарифмам
ж „и
ад = Е ■
пь
п=1
В [1, гл. 2] французский математик Ривоаль оценивает количество линейно независимых среди чисел 1, Lil(z),... , Lia(z) при г Е 0>, \г\ < 1,а € М, а ^ 2. Настоящая статья посвящена обобщению этого
результата на значения функций Лерха Ф, (*, нри И < 1, включенному в еледующе« теореме.
а
Теорема. Пусть 7 = —, а Е М, ¡3 Е Ъ, (а,(3) = 1, 0 < а ^ \(3\, аеМ, а ^ 2. Для любого
е > 0 существует такое число А(е, 7), что при а ^ А(е, 7) среди чисел 1, Ф1 (—,— ],..., Фа
а р\ /ар
P'q)'"" a\j'q
имеется не менее -———-линейно независимых, где F(q) = —— и Lp(q) — функция
F(q) + ln(2) w <p(q) k
k=1
(k,q) = 1
Эйлера.
Следствие. Для любых рациональных чисел J,v, 0 < |y| ^ 1, |v| < 1, набор {ФД7, v),s ^ 1} содержит бесконечно много иррациональных чисел.
Построение и оценка модуля линейных форм. Пусть a,r £ N, a ^ 2, 1 ^ r < a и z £ C, Izl ^ 1.
Определим дифференциальный оператор
LÉ-
Л! di1
и введем обозначение
ж / -i \ / \ ж ж a и
(и — 1)... (и — гп) с1,к
D\ = ~~гтт
Е г =Е *•<"> = Е Е Е
v=iy qJ у q ' v q ' v=i v=i1=1 k=o
где была использована сокращенная запись (a)n = a(a + 1)... (a + n — 1) и
£ Q .
a
Ci,k,n = Da_t (nl^Rait) [t+ '^ + k Лемма 1. Для любого z £ C, Izl ^ 1, выполнено равенство
a
t=-£-k q
Nn{z) = P0,n(z) + ¿ Phn{z) Ф1 (-,-), l=1 vz qJ
где Ргп(г) Е 0>[г], причем Р\п(1) = 0.
Доказательство леммы 1 элементарно, а получаемые коэффициенты линейных форм таковы:
v-^ k ^ zk—v
Pl,n(z) = J2Cl'k'nZk ' p0,n(z) = - E E Cl'k'n E [y I EV
= 1 l q)
k=0 l=1 k=0 v
Кроме того, очевидна цепочка равенств
Pi,n{1) = ECl'fc>ra = EreSí=-fc-E Rn^> = ~res°° Rntt) =
_fc_E q
k=0 k=0
Функцию Мп(г) можно выразить в терминах обобщенной гипергеометрической функции:
Г(гп + 2 + 1) \а
Nn(z) = z—rn—1 n!a—r Г(гп + 1)
Г((г + l)n + 1 + 2)
x
(т+1, ГП + | + 1,
Ха+1Ч (г + 1)п + 2+2,
гп + | + 1
(г + 1)п + 2 + 2
Благодаря интегральному представлению обобщенной гипергеометрической функции мы получаем ра-
венство
ти!
[0,1]°
П < (1 - Xi) i= 1_
(z X1 . . . xa)r
(xi ...xa)i
Z X1 . .. X a
dx 1 ... dXa
с помощью которого легко доказывается
Лемма 2. Для любого z Е R, \z\ ^ 1, существует предел
lim |Л?„(,г)|~ = (pr>a(z), причем 0 < <pr,a(z) ^
\z\r Ta
Оценка коэффициентов линейных форм и их знаменателей. При доказательстве приводимых далее двух лемм мы следовали схеме, предложенной в работе [1], поэтому ограничимся лишь формулировками соответствующих результатов.
Лемма 3. Для любого l = 0,1,...,а и любого z Е C, \z\ ^ 1, выполнено
lim sup \ Pi,n{z)\™ < rr2a+r+1\z\ .
Лемма 4. Пусть sn = HOK(q + p, 2q + p, ...,uq + p). Тогда
<-yrra+(a~0^ Дп(-г) e Z[z], 1 = 0,1,
, a.
Единственным существенным отличием от [1] в доказательстве леммы 4 является наличие знаменателя q, но это затруднение преодолевается с помощью метода, предложенного К. Л. Зигелем в статье [2]. Также наличие знаменателя q потребовало доказательства следующего несложного результата.
Лемма 5. Имеет место асимптотическая формула зп — в77, .
Критерий линейной независимости чисел. Для доказательства теоремы мы будем пользоваться следующим критерием линейной независимости чисел, предложенным Ю.В. Нестеренко в статье [3].
Лемма 6. Пусть а,в\,...,вм — действительные числа, а > 1 и существует N числовых последовательностей (р1,п)п^о , таких, что
(г) Р1,п е Ъ, \Р1,П\ < оп+ъ{-п) для всех 1 = 1,..., ЛГ;
(и)
<
N
Y^PhnOi
i=1
< ап0+~о{п) , 0 < <71 < <72 < 1.
Тогда
i ß
Доказательство теоремы. Пусть z = — = —. Введем обозначение
Y а
57(а)=(11то((0) + (0)Ф1(^)+...+
а p
и положим при п ^ 0, I = 0,1,...,а
Согласно лемме 4, имеем р1 п Е ^ при I = 0,1,...,а и п ^ 0, а по лемме 1
in =P0,n + J2pi,n$>l
n
1
n
a
Далее, из лемм 2, 3 и 5 мы получаем
В силу леммы 6
Ы\£п\=пЫ(а1)+0(п), где <л = eaF^\a\\q\2r Vr,a(zy, In \phn\ < п\п(а) +ô(n), где а = еаР^\/3\\д\2ггг2а+г+1.
s (а) > (а + г + 1) ln(2) + г In (г) - In |7| - 1п(уу,0(г)) 7''й' ^ aF(q) + (а + г + 1) ln(2) + г ln(r) + In \f3\ + 2г In(q)
—r„r—a
Используя неравенство ^r,a(z) ^ \z\ rrr a из леммы 2 и полагая r =
ln2(a)
получаем необходимую
оценку для ôj(a), что завершает доказательство теоремы.
Замечание 1. В случае p = 0, q = 1 результат теоремы был получен в [1]. При таких параметрах оценивается размерность Q-линейной оболочки чисел 1, Lii(7),... , Lia (7).
Замечание 2. В случае 7 = 1, согласно лемме 1, теорема дает оценку размерности Q-линейной
оболочки чисел 1, Ф2 ( 1, — ) ,..., Фа (1, —
V q/ V q
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Rivoal T. Propriétés diophantiennes de la fonction zêta de Riemann aux entiers impairs: Thèse de doctorat. Université de Caen, 2001.
2. Siegel C.L. Uber einige Anwendungen Diophantischer Approximationen // Abh. Preuss. Akad. Wiss. Kl. Math., Phys. 1929-1930. N 1. 1-70.
3. Нестеренко Ю.В. О мере линейной независимости чисел // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1985. № 1. 46—49.
Поступила в редакцию
02.04.2007 После доработки
27.06.2008
УДК 510.66
РАСПОЗНАВАНИЕ ВЫВОДИМОСТИ ДЛЯ ИСЧИСЛЕНИЯ ЛАМБЕКА
С ОДНИМ ДЕЛЕНИЕМ
Ю. В. Саватеев1
В работе описывается полиномиальный алгоритм для определения выводимости в исчислении Ламбека с одним делением.
Ключевые слова: исчисление Ламбека, алгоритмическая сложность.
A polynomial algorithm for determination of derivability in the Lambek calculus with one division is described in the paper.
Key words: Lambek calculus, algorithmic complexity.
Введение. Исчисление Ламбека с одним делением L^ является частью полного исчисления Ламбека, введенного в [1]. Этот фрагмент, а также грамматики, им порожденные, рассматривались в [2]. Проблема выводимости для полного исчисления Ламбека NP-полна (см. [3]). До настоящего времени не было известно никаких нетривиальных сложностных оценок для проблемы выводимости в L .
1 Саватеев Юрий Вячеславович — асп. каф. математической логики и теории алгоритмов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:
estlladon@gmail.com.
