О латерально непрерывных ортогонально аддитивных операторах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 517.9

MSC2010: 46B99; 47B38

О ЛАТЕРАЛЬНО НЕПРЕРЫВНЫХ ОРТОГОНАЛЬНО АДДИТИВНЫХ ОПЕРАТОРАХ © М. А. Плиев

Южный Математический институт ВНЦ РАН ул.Маркуса, 22, 362027, Владикавказ, Россия. e-mail ■.plimarat@yandex.ru

On Laterally Continuous Orthogonally Additive Operators.

Pliev Marat Amurhanovich.

Abstract. The aim of this article is to consider some problems of the theory of orthogonally additive operators in vector lattices. Order bounded orthogonally additive operators acting between vector lattices were introduced and studied in 1990 by Mazon and Segura de Leon. Recently, a new class of orthogonally additive operators in vector lattices where the condition of order boundness of an operator is replaced with a much weaker property was investigated by the author of these notes and Ramdane. It is worth to note that today the theory of orthogonally additive operators is an area of the intense study. Let E be a vector lattice and F a real linear space. An operator T : E ^ F is said to be orthogonally additive if T(x + y) = T(x) + T(y) whenever x, y £ E are disjoint. Evidently from the definition that T(0) = 0. It is clear that the set of all orthogonally additive operators is a real vector space with respect to the natural linear operations. Let E and F be vector lattices. We say that an orthogonally additive operator T : E ^ F is positive if T(E) С F+ and we say that an orthogonally additive operator T : E ^ F is regular if T = S± — S2 for some positive orthogonally additive operators Si : E ^ F, i £ 1, 2. In this paper we investigate the band of laterally continuous operators in the vector lattice of all regular orthogonally additive operators between vector lattices E and F. We show that the band which is disjoint to the band generated by all singular orthogonally additive operators coincides with the band of all laterally continuous orthogonally additive operators.

Keywords: Orthogonally additive operator, regular operator, laterally continuous operator, singular operator, orthogonally additive map, vector lattice, lateral ideal.

Предварительные сведения

Ортогонально аддитивные операторы в векторных решетках попали в поле зрения исследователей в начале 90-х годов прошлого столетия [8]. В последние годы эти операторы стали областью интенсивных исследований ([2-6, 12, 13]). В данном разделе мы приведем предварительные сведения, необходимые для дальнейшего, а также зафиксируем терминологию и обозначения. Стандартным источником ссылок

по теории векторных решетках являются монографии [1, 7]. Все векторные решетки, рассматриваемые ниже в тексте, являются архимедовыми.

Пусть Е — векторная решетка. Сеть (жа)аел С Е называется порядково сходящейся к элементу ж Е Е (используется обозначение ха ж), если существует сеть (и»)»ел в Е+, такая что иа ^ 0 и \ха — ж| < иа для всех индексов а Е Л удовлетворяющих неравенству а > а0 для некоторого а0 Е Л. Два элемента ж, у векторной решетки Е называются дизъюнктными (используется обозначение ж±у), если \ж\ Л \у\ = 0. Сумма ж + у двух дизъюнктных элементов ж и у обозначается ж и у.

п п

Запись ж = У ж г означает, что ж = ^ жг и ж^ж^- г = j. Элемент у Е Е называется

г=1 г=1

осколком элемента ж Е Е, если уХ(ж — у). Запись у □ ж выражает тот факт, что у - осколок элемента ж. Множество всех осколков элемента ж Е Е обозначается Линейное подпространство Е0 векторной решетки Е называется порядковым идеалом, если для любых ж, у таких, что ж Е Е0, у Е Е из условия \у\ < \ж\ вытекает, что у Е Е0. Порядковый замкнутый идеал называется полосой.

Определение 1. Пусть Е — векторная решетка и пусть Е — действительное векторное пространство. Оператор Т : Е 4 Е называется ортогонально аддитивным, если Т(ж + у) = Т(ж) + Т(у) для любых дизъюнктных элементов ж, у Е Е.

Ясно, что Т(0) = 0. Множество всех ортогонально аддитивных операторов является действительным векторным пространством относительно естественных линейных операций сложения векторов и умножения вектора на элемент поля.

Определение 2. Пусть Е и Е — векторные решетки. Ортогонально аддитивный оператор Т : Е 4 Е называется:

• положительным, если Тж > 0 для любого ж Е Е;

• регулярным, если имеет место представление Т = — Б2, где и Б2 — положительные ортогонально аддитивные операторы из Е в Е;

• латерально-порядково ограниченным, если для любого ж Е Е множество Т порядково ограниченно в Е.

Множества всех положительных, регулярных и латерально-порядково ограниченных ортогонально аддитивных операторов из Е в Е обозначается О А + (Е, Е), О А г (Е, Е) и Р (Е, Е) соответственно.

Векторное пространство Р(Е, Е) наделено отношением частичного порядка — Б < Т ^ Т — 5 > 0. Отметим, что в случае порядковой полноты векторной решетки Е для упорядоченного пространства Р (Е, Е) справедлива следующая теорема.

Теорема 1. ([12], Theorem 3.6). Пусть E и F — векторные решетки, и решетка F порядково полна. Тогда P (E, F) является порядково полной векторной решеткой и P(E, F) = OAr (E, F). Кроме того для любых S, T £ P (E, F) и x £ E справедливы формулы:

1. (T V S)(x) := sup{Ty + Sz : x = y U z}.

2. (T Л S)(x) := inf{Ty + Sz : x = y U z}.

3. (T)+(x) := sup{Ty : y □ x}.

4. (T )-(x) := — inf {Ty : y □ x}.

5. |Tx| < |T|(x).

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1. Каждый линейный оператор T £ L+(E, F) задает положительный ортогонально аддитивный оператор R : E ^ F, где R(f) = T(f+) для любого f £ E.

Пример 2. Напомним, что векторное пространство R является одномерной векторной решеткой с естественным порядком. Тогда множество P(R) совпадает с множеством всех функций f : R ^ R таких, что f (0) =0.

Одним из самых важных примеров является нелинейный интегральный оператор Урысона.

Пример 3. Пусть (A, £, и (B, S, v) - пространства с полными ^-конечными мерами, и (A х B, ^ х v) - их пополненное произведение. Пусть K : A х B х R ^ R функция, удовлетворяющая следующим условиям1:

(Co) K(s, t, 0) = 0 для ^ х v-почти всех (s, t) £ A х B; (Ci) K(■, -,r) является ^ х v-измеримой для всех r £ R;

(C2) K(s,t, ■) является непрерывной на R для ^ х v-почти всех (s, t) £ A х B.

Обозначим через L0(B, S, v) или L0(v) упорядоченное пространство классов эквивалентности v-измеримых почти всюду конечных действительнозначных функций, заданных на B, где частичный порядок f < g задан как f (t) < g(t) v-почти всюду на B. Тогда L0(v) - векторная решетка.

Для заданной функции f £ L0(v) функция |K(s,-,f (-))| является v-измеримой для ^-почти всех s £ A и hf (s) := JB |K(s,t, f (t))| dv(t) также является ^-измеримой функцией. Введем следующее обозначение

Бсшв(K) := {f £ Lo(v): hf £ Lo(^)}.

1(Ci) и (C2) называются условиями Каратеодори.

Тогда определен оператор Т : Бошв (К) 4

(ТП(з):=1 К(5,*,/(г)) ¿и(г) » — п.в.

в

Пусть Е и Е - порядковые идеалы в Ь0(и) и Ь0(^), соответственно и К удовлетворяет условиям (С0)-(С2). Тогда, если Е С Бошв(К) и Т(Е) С Е, определен ортогонально аддитивный оператор, действующий из Т : Е 4 Е, называемый интегральным оператором Урысона.

Частным случаем интегрального оператора Урысона является оператор Гаммер-штейна, заданный формулой

(т/)(5):=у К(м)и(г,/(г)) ^(г) ^ - п.в.,

в

где К(■, ■) - ^ х ^-измеримая функция на А х В и и : В х М 4 М - такая функция, что и(г, ■) непрерывна на М для ^-почти всех г Е В, и(-,г) ^-измерима для любого г € М и и(г, 0) = 0 для V-почти всех г Е В (для соблюдения условия С0).

1. Основной РЕЗУЛЬТАТ

В настоящем разделе мы получим характеризацию полосы латерально непрерывных ортогонально аддитивных операторов, как полосы дизъюнктной полосе, порожденной сингулярными операторами.

Пусть Е — векторная решетка. Сеть (ха)аел С О называется латерально сходящейся к х Е О, если ха □ х^ □ х для любых индексов а < в и ха х. В этом случае будем писать ха -—4 х или х = (1) — Нша ха.

Пусть Е также векторная решетка. Ортогонально аддитивный оператор Т : У 4 Е называется латерально непрерывным (а-латерально непрерывным), ес-

I \ ГТ1 (°\ ГТ1 /ГТ1 (°). ГТ1 \

ли из соотношения ха —у х (хп —У х) следует, что Т ха —у Тх (Т хп —У Тх). Векторное пространство всех латерально непрерывных (а-латерально непрерывных ) ортогонально аддитивных операторов из Е в Е обозначается через О А С(Е, Е) (О Аае(Е, Е).)

Каждый интегральный оператор Урысона Т : Е 4 Е является а-латерально непрерывным ([9], Предложение 2.9).

Если Е и Е — векторные решетки, и решетка Е порядково полна, то пространства ОАс(Е,Е) и ОАСТ,С(Е, Е) являются полосами в ОАг(Е, Е) ([12], Теорема 3.13). Для

векторной решетки Е множество М С Е называется латералъно замкнутым (а-латералъно замкнутым), если оно содержит пределы всех латерально сходящихся сетей (последовательностей), составленных из элементов М.

В пространстве ОАГ (Е, Е) латерально непрерывные операторы играют роль аналогичную порядково непрерывным операторам в линейном случае. Поэтому вызывает интерес изучение полосы ОА^(Е, Е), дизъюнктной полосе латерально непрерывных операторов. Пусть Е — векторная решетка. Напомним, что подмножество М С Е называется латерально плотным (а-латерально плотным), если для любого е Е Е найдется сеть (еа) С М (найдется последовательность (еп) С М) такая, что

/ 1а1 \ -т-г и ^

еа —у е (еп —У е). Для дальнейшего важно отметить, что любого латерально плотного (ст-латерально плотного) множества его латеральное замыкание (латеральное ст-замыкание) совпадает с Е.

Подмножество Б векторной решетки Е называется латеральным идеалом, если выполняются следующие условия:

• если ж Е Б, тогда у Е Б для любого у Е ^х;

• если ж, у Е Б, ж±у, тогда ж + у Е Б. Приведем некоторые примеры.

Пример 4. Пусть Е — векторная решетка. Каждый порядковый идеал в Е является латеральным идеалом.

Пример 5. Пусть Е — векторная решетка и е Е Е. Тогда — латеральный идеал.

Пример 6. Пусть Е, Е — векторные решетки и Т Е О А + (Е, Е). Тогда Кт := {ж Е Е : Тж = 0} — латеральный идеал в Е.

Пусть Е и Е - векторные решетки и Б — латеральный идеал векторной решетки Е. Отображение Т 4 Б 4 Е называется:

• ортогонально аддитивным, если Т(ж + у) = Тж + Ту для любых дизъюнктных элементов ж, у Е Б;

• положительным, если Тж > 0 для любого ж Е Бю

Лемма 1. ([12], Теорема 4-4)- Пусть Е, Е — векторные решетки, где решетка Е порядково полна, Б С Е — латеральный идеал и Т : Б 4 Е положительное ортогонально аддитивное отображение. Тогда существует То Е О А +(Е, Е), такой что Тое = Те для любого е Е Б.

Заметим, что оператор То Е О А +(Е, Е) задается формулой

Тое = впр{Т/ : / С е, / Е Б}.

Оператор T 6 OAr(E,F) называется сингулярным (а-сингулярным), если он равен нулю на некотором латерально плотном (а-латерально плотном) латеральном идеале. Множество всех сингулярных (а-сингулярных) ортогонально аддитивных операторов обозначим через OAs(E, F) (OACTS(E, F)).

Теорема 2. Пусть E и F — порядково полные векторные решетки. Тогда OAc(E,F) = OA^(E,F) (OACTc(E,F) = OA^s(E,F)), т.е. полосы латерально непрерывных ( а-латерально непрерывных) операторов и операторов, дизъюнктных сингулярным (а-сингулярным) совпадают.

Доказательство. Доказательство представим для латерально неперерывных операторов. В а-непрерывном случае доказательсво аналогично. Рассуждения достаточно провести для положительных операторов. Пусть положительный ортогонально аддитивный оператор T латерально непрерывен. Допустим, что T 6 OA¡J"(E, F). Тогда существует положительный ортогонально аддитивный оператор S 6 OAs(E, F) для которого G := T Л S > 0. Так как 0 < G < S, то G равен нулю на некотором латерально плотном латеральном идеале. Но с другой стороны G 6 OAc(E, F). В силу того, что латерально непрерывные операторы образуют полосу в пространстве OAr(E, F) (см. [12], Теорема 3.13) получаем, что G 6 OAc(E, F) в силу чего G тождественно равен нулю. Обратно, пусть T 6 OA¡J"(E, F) и T > 0. Покажем, что T — латерально непрерывный оператор. Предположим, что существует сеть (xa)аел, латерально сходящаяся к x и удовлетворяющая неравенству y = (o) — lima < Tx. Через Ea обозначим латеральный идеал Fx-xa. Каждому элементу а 6 Л сопоставим положительное ортогонально аддитивное отображение Ga : Ea ^ F, заданное правилом

Gae = Te, e 6 Ea.

Тогда согласно лемме 1 существуют положительные ортогонально аддитивные операторы TEa : E ^ F, значения которых на соответствующих латеральных идеалах Ea совпадают со значением оператора T. Положим G = (o) — lim Ga. Так как векторная решетка OAr (E, F) порядково полна, а сеть (Ga)a^ убывает и ограничена снизу, то указанный предел существует. Таким образом определен положительный ортогонально аддитивный оператор 0 < G < T и кроме того G 6 OA¡J"(E, F). Оператор G ненулевой, так как

(^С ^С а) _I_ x^; T 'x — T (^С ^С а I XXа) — T (^С ^Са) I T а ^

T x T ^а — T (^С Xа);

Gx = (o) — lim Gq^x = (o) — lim T (x — x^x =

аа

Tx — ^(o) — lim Txa^ = Tx — y > 0.

Теперь покажем, что оператор G одновременно и сингулярный. Обозначим через E' множество всех e 6 E, таких что Fe П Eao = 0 для некоторого индекса а0 6 Л. Ясно, что E' — латеральный идеал в E. Докажем, что идеал E' латерально плотен. Пусть e такой элемент решетки E, что множества Ea П Fe содержат ненулевые элементы для любого индекса а 6 Л. Тогда согласно ([11], лемма 3) существуют осколки ea элемента e, такие что ea 6 Ea П Fe и Fe-ea П Ea = 0. Положим fa := e — ea. Ясно, что fa 6 E' и сеть (Д)аел латерально сходится к e и таким образом установлено, что E' — латерально плотный латеральный идеал. Одако в силу того, что Кроме того из определения ясно, что оператор G обращается в нуль на E'. Однако в силу того, что T 6 OA¡J~ (E, F) и 0 < G < T следует, что оператор G нулевой. Полученное противоречие доказывает, что оператор T латерально непрерывен. Теорема полностью доказана. □

Заключение

В работе установлено, что полоса латерально непрерывных ортогонально аддитивных операторов, действующих из порядково полной векторной решетки E в порядково полную векторную решетку F, совпадает с полосой ортогонально аддитивных операторов, дизъюнктной полосе, порожденной сингулярными ортогонально аддитивными операторами.

Исследование поддержано грантом РФФИ 17-51-12064.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. ALIPRANTIS C. D., BURKINSHAW O. Positive Operators / Aliprantis C. D., Burkinshaw O.. — Springer, Dordrecht, 2006. — 376 c.

2. N. ABASOV, M. PLIEV (2017) On extensions of some nonlinear maps in vector lattices. J. Math. Anal. and Appl. 455. p. 516-527.

3. N. ABASOV, M. PLIEV (2018) Disjointness preserving orthogonally additive operators in vector lattices. Banach Journal of Math. Anal.. 12 (3). p. 730-750.

4. X. FANG, M. PLIEV (2017) Narrow orthogonally additive operators in lattice-normed spaces. Siberian Math. J.. 58 (1). p. 134-141.

5. W. FELDMAN (2017) A characterization of non-linear maps satisfying orthogonality properties. Positivity. 21 (1). p. 85-97.

6. H. GUMENCHUK (2016) On the sum of narrow and finite-rank orthogonally additive operators. Ukrainian Math. J.. 67 (12). p. 1831-1837.

7. KUSRAEV A. G. Dominated Operators / Kusraev A. G.. — Kluwer Academic Publishers, 2000. — 453 c.

8. J. M. MAZON, S. SEGURA DE LEON (1990) Order bounded orthogonally additive operators. Rev. Roumane Math. Pures Appl. 35 (3). p. 329-353.

9. J. M. MAZON, S. SEGURA DE LEON (1990) Uryson operators. Rev. Roumane Math. Pures Appl. 35 (4). p. 431-449.

10. M. PLIEV (2017) Domination problem for narrow orthogonally additive operators. Positivity. 21 (1). p. 23-33.

11. M. POPOV, M. PLIEV (2017) On extension of abstract Urysohn operators. Siberian Math. J.. 57 (3). p. 552-557.

12. M. PLIEV, K. RAMDANE (2018) Order unbounded orthogonally additive operators in vector lattices. Mediterranean Journal of Math.. 15 (2). p. 50-69.

13. M. PLIEV, M. WEBER (2018) Finite elements in some vector lattices of nonlinear operators. Positivity. 22 (1). p. 245-260.