О квадратах в специалвнвгх множествах конечного поля Текст научной статьи по специальности «Математика»

56

М. Р. ГАБДУЛЛИН

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 17 Выпуск 2

УДК 517

О КВАДРАТАХ В СПЕЦИАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВАХ

КОНЕЧНОГО ПОЛЯ1

М, Р, Габдуллин (г, Москва) Аннотация

В теории чисел имеется обширная тематика, связанная с изучением арифметических свойств чисел с „пропущенными цифрами"(т.е. тех чисел, цифры которых в фиксированной системе счисления принадлежат заданному множеству). В настоящей работе изучается аналог таких задач в конечных полях.

Рассмотрим линейное пространство, образованное элементами конечного поля где д = рг, над Пусть {а^,...,аг} — базис этого пространства. Тогда каждый элемент х € имеет единственное представление в виде сз а^ где е^ € коэффициенты

можно назвать ,,цифрами". Пусть Р С Рассмотрим множество Ш— тех элементов

х € для которых е^ € О при всех 1 < у < г. При этом элементы V \ Ер можно назвать

"

казано, что если множество V достаточно велико, то во множестве Ш— имеются квадраты. В данной работе исследуется более общая задача. Зафиксируем множества ,..., Ог С ¥р и пусть Ш = Ш(^1,..., Вг) — множество тех элементов х € для которых е^ € при всех 1 < у < г. Доказана оценка та количество квадратов во множестве Ш, из которой вытекают следующие два утверждения:

г

1) если для некоторого е > 0 выполнено П > (2г — 1)грг(1/2+е)) то справедлива

¿=1

асимптотическая оценка |Ш П = |Ш| (1 + 0(р-е/2));

г

2) при П > 8(2г — 1)грг/2 во множестве Ш имеются ненулевые квадраты.

¿=1

Ключевые слова: конечные поля, квадраты, суммы характеров. Библиография: 18 названий.

ON SQUARES IN SPECIAL SETS OF FINITE FIELDS2

M, Gabdullin (Moscow) Abstract

A large part of number theory deals with arithmetic properties of numbers with "missing digits" (that is numbers which digits in a number system with a fixed base belong to a given set). The present paper explores the analog of such a similar problem in the finite field.

We consider the linear vector space formed by the elements of the finite field Fq with q = pr over Fp. Let [a,i,..., ar} be a basis of this space. Then every element x G Fq has a unique representation in the form cjaj with cj G Fp; the coefficients cj may be called "digits".

Let us fix the set V C Fp and let WD be the set of all elements x G Fq such that all its digits belong to the set V. In this connection the elements of Fp \ V may be called "missing digits". In a recent paper of C.Dartyge, C.Mauduit, A.Sarkozy it has been shown that if the set V is quite large then there are squares in the set WD. In this paper more common problem is considered.

1 Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 14-11-00702).

2The work is supported by the grant from the Russian Science Foundation (Project 14-11-00702).

Let us fix subsets Di,..., Dr C Fp ^d consider th e set W = W (D i,... ,Dr) of all elements x G Fq such th at cj G Dj for all 1 < j < r. We prove an estimate for the number of squares in W

r

1) if n D > (2r - 1)rpr(i/2+e) for some e > 0 then the asymptotic formula |W n Q| =

i=i

= |W| (i + O(p-e/2)) is valid;

r

2) if |Di| > 8(2r — 1)rpr/2, then there exist nonzero squares in the set W.

i=i

Keywords: finite fields, squares, character sums. Bibliography: 18 titles.

1. Введение

При любом фиксированном Ь € N Ь > 2, каждое чиело п € N единственным образом представимо в системе счисления с основанием Ь:

г-1

п = ^ в] Ь, 0 < в] < Ь — 1, сг-1 > 1. ]=0

Во многих работах (см., например, [1]-[12]) изучались арифметические свойства чисел с „пропущенными цифрами", т.е. тех чисел, Ь-ичная запись которых состоит из заданных цифр.

В [13] С. Dartyge и А. Багкбгу рассмотрели аналог этой задачи в конечных полях. Пусть р _ простое число, Fq — толе из д = рг элементов, г > 2, {а1,... ,аг} — базис ^ над Рс Положим

= {ж1а1 + ... + хгаг | хг .

Обозначим через Я множество ненулевых квадратов поля Положим Яо = Я и {0}. Будем считать, что р > 3, так как в случае р = 2 мы имеем Fq = Яо.

В недавней работе С. Dartyge, С. Маиёий, А. Багкбгу [14] было показано, что если множество Р достаточно велико, то во множестве Ш— имеются квадраты. Теорема А. Пусть 2 < |Р| < р — 1. Тогда

|wd n qo| - 1

2

< ^ (|D| + р^МУ

Эта оценка нетривиальна, если |Р| > (л,/5-1)р(1 + ор(1)).

В работе [15] автором были доказаны следующие два утверждения, ослабляющие условие на мощность множества Р, гарантирующее наличие квадратов то множестве Ш—.

Теорема В. Пусть 2г — 1 < р1/2, 5 = (^р(2г — 1))2-г. Тогда при |Р| > (1 + 5)(2г — 1)р1/2 справедливо П Я| > 1.

Теорема С. Пусть г > 20, С (г) = ехр 41о^г+8 ) = 1 + о(1), г ^ то. Тогда при |Р| > С(г)р1 ехр ( 1о§р+4г1о§1о§^ справедЛиво |Ш— П Я| > 1.

В частности, из теоремы С следует, что при большом г во множестве Ш— есть квадраты уже при |Р| > р1/2. Отметим, что при г ^ ь^Оо^р' б°лее точный результат дает теорема С, а иначе — теорема В.

В работе II. Б1еШапп, С. ЕкЬоЙг, I. Е. ЗЬаргПпвЫ [16], была рассмотрена более общая задача. Пусть ^1,..., Ог — подмножества Fp. Положим

Ш = Ш(^1,..., Бг) = {х1а1 + ... + хгаг | хг € А} .

58

M. P. ГАБДУЛЛИН

Авторы работы [16] отмечают, что доказательство теоремы А [14] переносится на случай, когда множества Di различны, а именно, при min |Di| > (л,/52 1)p(1+op(1)) справедливо |WnQo| > 1,

1<i<r

и доказывают более сильное утверждение.

Теорема D ([16], теорема 3.5). Для, любого е > 0 существует ö > 0 такое, что для любых множеств D1,..., Dr, удовлетворяющих условиям

П |Di| > p(1/2+£)r2/(r21)

i=i

и

min |Di| > p£

1<i<r

справедливо |W П Q0| = (2 + O(p~s)) |W|.

По аналогии с работой [16], теорема В также может быть перенесена на случай различных Di

Теорема. Справедлива оценка

|W n Q|- |W 1

2

< i |l-l/(2r)pl/4(2r - 1)V2 + |W|1/(2r)(lp3/4r3/2 + pl/2) + ^ . (!)

Из этой теоремы вытекает аналог теоремы Б, а также теорема о достаточных условиях существования квадратов во множестве Ш.

Следствие 1. Пусть для некоторого е > 0 выполнено

П |Di| > (2r - 1)rpr(1/2+£).

i=1

Тогда, W П Q| = \W| (1 + O(p_£/2)), причем постоянная в знаке O абсолютна.

Отметим, что следствие 1 усиливает теорему D при фиксированном r (так как в нём отсутствует требование min |Di| > p£).

1 < i< r

Следствие 2. Пустл, П |Di| > 8(2r - 1)rpr/2. Тогда | W П Q| > 1.

i=1

Доказательство теоремы будет изложено в разделе 2; оно основывается на оценке сумм характеров специального вида, полученной D. Wan в [17] и сформулированной в удобном для нас виде А. Winterhof в [18].

Лемма. Пусть х ~ мультипликативный характер порядка, s в Fg и a,ß £ Fq — несопряжённые порождающие элементы Fq на,(9Fp. Тогда,

Е X ((£ + а)(С + e)s-1 )

< (2r - 1)p1/2.

Следствия 1 и 2 будут доказаны в разделе 3.

Автор признателен C.B. Конягину и рецензенту за полезные обсуждения результатов.

2. Доказательство теоремы

Через % обозначим квадратичный характер поля Fç; считаем, что х(0) = 0. Пусть 0 не принадлежит некоторому Dj. Тогда

IW n Q| = 1 E (1 + x(x)) = 2|W| + 2 E X(x) = 11W| + 1 E X(x).

2

xew

Если же 0 G Dj при всex i, то

xew

xeff

IW П Q| Ц E (1 + X(x)) = 1(|W|- 1) + 2 E X(x).

2

xew\{0}

Таким образом, всегда справедливо неравенство

|W |

|W n Q| -

2

1 1

< - + -

" 2 2

E x(x)

xew

и для доказательства теоремы нужно оценить сумму характеров

Е Х(х)

D = D2 х ... х Dr и bj = aj/аь Тогдa bi = 1 и {1, b2,..., br} — базис. Имеем

(2)

Положим

E x(x) < E E x(ciai + ... + Cr ar) < |Di|i/2Ai/2,

xew ciGDi Cj eDj, j>2

(3)

где

a = £

ciGDi

Е x(ci + С2b2 ... + Crbr)

(c2,...,cr )eD

Пусть Ld — множество тех наборов (c2,..., cr) G D, Для которых элемент C2b2 +...+crbr летит в подполе порядка pd и не лежит ни в каком подполе меньшего порядка. Ясно, что D = У Ld,

d|r

причем Li = {0}, если 0 G Dj при всех 2 < i < г, и Li = 0 иначе. Для d|r определим функцию

fd(x): D1 ^ C, fd(c) = Е x(c + c2b2 + ... + crbr). Напомним, что 12-норма функции

(c2 ,...,cr)eLd

/ xi/2

g: Di ^ C определяется как ||g||2 = E |g(x)|2 . Тогда в силу неравенства треугольника

VxeDi /

Ai/2 =

E

d| r

<

2 d| r

2 = Е 4Л

d| r

(4)

где

А = Е Е х(х + С2Ь2 + ... + сг Ьг) .

По определению множества при любом наборе (с2,..., сг) € элемент с2Ь2 + ... + сгЬг порождает подполе порядка р^. Учитывая, что каждый такой элемент имеет не более d сопряженных, и применяя лемму к парам несопряженных элементов, при d > 1 имеем

Ad < Е

(c2,...,cr ),(c'2.....сГ )€Ld

<

xeF,

Е X(x + c2b2 + ... + Cr br )x(x + c'2b2 + ... + сГ br) < E (dP + (|Ld| - d)(2d - 1)pi/2) < (2d - 1)pi/2|Ld|2 + dp|Ld|.

(c2,...,cr )€Ld

2

2

Кроме того, А1 < < р. Обозначим J = {^|г : ^ > 1и ^ = 0} Тогда п ри d € ^в силу неравенства у/ А + В < л/А (1 + 21)) верного при всех положи тельных А и В, получаем

А/2 < (2d - 1)1/2p1/4|Ld| +

dp3/4

2(2d - 1)1/2'

Из этой оценки и неравенства (4) имеем

А1/2 < p1/4S1 + 1 p3/4S2 + p1/2,

где

S1 = £(2d - 1)1/2|Ldj, S2 = £ T^Al/2■

dej dej( )

Учитывая, что ^ |Ld| = | D21 ■ ■ ■ |Dr |, получаем

d|r

< (2г — 1)1/2|О2|... |ЯГ|, < £ d1/2 < 2г3/2-

deJ

(Последняя оценка проверяется непосредственно при 2 < г < 7, а при г > 8 вытекает из неравенств г1/2 < 6г3/2 и ^ d1/2 < |(г/2 + 1)3/2 < 3г3/2.) Значит,

d<r/2

А1/2 < р1/4(2г — 1)1/2|О2| ... |ЯГ| + 1 р3/4г3/2 + р1/2. Подставляя последнее неравенство в (3), получим

1

Е Х(х)

< |D1|1/^p1/4(2r - 1)1/2|D2| ... |Dr| + 4p3/4r3/2 + p1/2) =

= |D1|"1/2p1/4(2r - 1)1/2|W| + |D1|1/2 (1 p3/4r3/2 + p1/2) .

Аналогично получается оценка

E X(x)

xew

< |Di|"1/2p1/4(2r - 1)1/2|W| + |Di|1/2 ( 1 p3/4r3/2 + p1/2

Выберем i так, чтобы эта оценка была наилучшей. Рассмотрим функцию H(х) = x-1/2p1/4(2r - 1)1/2|W| + х1/2 (1 p3/4r3/2 + p1/2), 1 < x < |W|. Имеем

H '(x) =

4p3/4r3/2 + p1/2 p1/4(2r - 1)1/2|W|

2х1/2 2х3/2

и Н'(х) = 0 при х = 4|Ш|р-1/2> 2|Ш|р-1/2г-1 > |Ш|1/2 при |Ш| > 8рг/2(2г — 1)г.

Таким образом, минимум функции Н(х) достигается при х > |Ш|1/2 > |Ш|1/г. Мы можем выбрать г так, что > |Ш|1/г; так как Н'(х) < 0 при |Ш|1/г < х < |Ш|1/2, то можно гарантировать оценку

Е Х(х)

< H(| W|1/r) = | W|1-1/(2r)p1/4(2r - 1)1/2 + |W|1/(2r) (1 p3/4r3/2 + p1/2) .

xew

Из неравенства (2) и последней оценки вытекает утверждение теоремы.

3. Доказательство следствий

Доказательство следствия 1. Из теоремы следует, что

П = |Ж| ( 1 + О (|Ж|-1/(2г)р1/4(2г - 1)1/2 + |-(2г-1)/(2г)рЗ/4гз/2

При | > (2г - 1)грг(1/2+е) имеем |-1/(2г) < (2г - 1)-1/2р-1/4р-е/2 и

|Ж П = | ( 1 + О (р-£/2 + г2-гр1-г/2р-(2г-1)£/2^ .

Так как г > 2, то отсюда вытекает утверждение следствия 1.

Доказательство следствия 2. Во множестве Ж есть квадраты, если правая часть неравенства (1) строго меньше, чем | — 1. Это равносильно условию

|1-1/г (|Ж|1/(2г) -р1/4(2г - 1)1/2) > 1 р3/4г3/2 + р1/2 + |-1/(2г).

Покажем, что последнее неравенство выполнено при | > 8(2г - 1)грг/2. Имеем

|1/(2г) > (е2(2г - 1)грг/2)1/(2Г) > (1 + 1/г)(2г - 1)1/2р1/4

|W|1-1/r (|W|1/(2r) - (2r - 1)1/2p1/4) > ±(2r - 1)1/2p1/4(2r - 1)r-1 p(r-1)/2 =

= -(2Г - 1)r-1/2p(r-1)/2+1/4 > 3p3/4r3/2 > 1 p3/4f3/2 + p1/2 + |W|-1/(2r).

Здесь предпоследнее неравенство очевидно при r > 3 и легко проверяется при r = 2; последнее

неравенство следует из неравенства 2p3/4r3/2 > p1/2 + (2r- 1)-1/2p-1/4, верного при всехр > 3, r > 2 2

Следствие доказано.

4. Заключение

В работе доказана оценка на количество квадратов во множестве W, дающая аналог результата из работы [16], а также достаточные условия на существование квадратов во множе-W

Этот результат является обобщением теоремы В предыдущей работы автора [15].

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Banks W. D., Conflitti A., Shparlinski I.E. Character sums over integers with restricted g-arv digits // Illinois J. Math. 2002. Vol. 46, №3. P. 819-836.

2. Banks W. D., Shparlinski I. E. Arithmetic properties of numbers with restricted digits // Acta Arith. 2004. Vol. 112. P. 313-332.

3. Col S. Propriétés multiplicatives d'entiers soumis à des contraintes digitales // Thèse de doctorat de mathématiques de l'Université Henri Poincaré-Nancv. 2006. Vol. 1.

4. Col S. Diviseurs des nombres ellipséphiques // Periodica Mathematica Hungarica. 2009. Vol. 58, №1. P. 1-23.

5. Coquet J. On the uniform distribution modulo one of some subsequences of polynomial sequences // J. Number Theory. 1978. Vol. 10, №3. P. 291-296.

6. Coquet J. On the uniform distribution modulo one of some subsequences of polynomial sequences // J. Number Theory. 1980. Vol. 12, №2. P. 244-250.

7. Coquet J. Graphes connexes, représentation de entiers et équirépartition // J. Number Theory. 1983. Vol. 16, №3. P. 363-375.

8. Dartvge С., Mauduit С. Nombres presque premiers dont l'écriture en base r ne comporte pas certain chiffres // Journal of Number Theory. 2000. Vol. 81. P. 270-291.

9. Dartvge С., Mauduit С. Ensembles de densité nulle contenant des entiers possédant au plus deux facteurs premiers // Journal of Number Theory. 2001. Vol. 91. P. 230-255.

10. Drmota M., Mauduit C. Wevl sums over integers with affine digits restriction // Journal of Number Theory. 2010. Vol. 30. P. 2404-2427.

11. Erdos P., Mauduit C., Sârkôzv A. On the arithmetic properties of integers with missing digits I: Distribution in residue classes // Journal of Number Theory. 1998. Vol. 70, №2. P. 99-120.

12. Konvagin S.V., Mauduit C., Sârkôzv A. On the number of prime factors of integers characterized by digits properties // Period. Math. Hung. 2000. Vol. 40. P. 37-52.

13. Dartvge С., Sârkôzv A. The sum of digits function in the finite field // Proc. Amer. Math. Soc. 2013. Vol. 141, №12. P. 4119-4124.

14. Dartvge С., Mauduit С., Sârkôzv A. Polynomial values and generators with missing digits in finite fields // Functiones et Approximatio. 2015. Vol. 52, №1. P. 65-74.

15. Габдуллин M. P. О квадратах во множестве элементов конечного поля с ограничениями на коэффициенты при разложении по базису // arXiv: 1602.06603vl.

16. Dietmann R., Elsholtz С., Shparlinski I. E. Prescribing the binary digits of squarefree numbers and quadratic residues // arXiv: 1601.04754vl.

17. Wan D. Generators and irreducible polynomials over finite fields // Math. Сотр. 1997. Vol. 66. P. 1195-1212.

18. WTinterhof A. Characters sums, primitive elements, and powers in finite fields // Journal of Number Theory. 2001. Vol. 91. P. 153-161.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Banks, WT.D., Conflitti, A. k, Shparlinski, I.E. 2002, "Character sums over integers with restricted g-arv digits", Illinois J. Math., vol. 46, no. 3, pp. 819-836.

2. Banks, W. D. k, Shparlinski, I. E. 2004, "Arithmetic properties of numbers with restricted digits", Acta Arith., vol. 112, pp. 313-332.

3. Col, S. 2006, "Propriétés multiplicatives d'entiers soumis à des contraintes digitales", Thèse de doctorat de mathématiques de l'Université Henri Poincaré-Nancy, vol. 1.

4. Col, S. 2009, "Diviseurs des nombres ellipséphiques. Periodica Mathematica Hungarica", vol. 58, no. 1, pp. 1-23.

5. Coquet, J. 1978, "On the uniform distribution modulo one of some subsequences of polynomial sequences", J. Number Theory, vol. 10, no. 3, pp. 291-296.

6. Coquet, J. 1980, "On the uniform distribution modulo one of some subsequences of polynomial sequences", J. Number Theory, vol. 12, no. 2, pp. 244-250.

7. Coquet, J. 1983, "Graphes connexes, représentation de entiers et équirépartition", J. Number Theory, vol. 16, no. 3, pp. 363-375.

r

comporte pas certain chiffres", Journal of Number Theory, vol. 81, pp. 270-291.

9. Dartvge, С. к Mauduit, C. 2001, "Ensembles de densité nulle contenant des entiers possédant au plus deux facteurs premiers", Journal of Number Theory, vol. 91, pp. 230-255.

10. Drmota, M. к Mauduit, C. 2010, "Wevl sums over integers with affine digits restriction", Journal of Number Theory, vol. 30, pp. 2404-2427.

11. Erdos, P., Mauduit, C. к Sârkôzv, A. 1998, "On the arithmetic properties of integers with missing digits I: Distribution in residue classes", Journal of Number Theory, vol. 70, no. 2, pp. 99-120.

12. Konvagin, S. V., Mauduit, C. к Sârkôzv, A. 2000, "On the number of prime factors of integers characterized by digits properties", Period. Math. Hung., vol. 40, pp. 37-52.

13. Dartvge, С. к Sârkôzv, A. 2013, "The sum of digits function in the finite field", Proc. Amer. Math. Soc., vol. 141, no. 12, pp. 4119-4124.

14. Dartvge, C., Mauduit, С. к Sârkôzv, A. 2015, "Polynomial values and generators with missing digits in finite fields", Functiones et Approximatio, vol. 52, no. 1, pp. 65-74.

15. Gabdullin, M. R., "On squares in subsets of finite fields with restrictions on coefficients of basis decomposition", arXiv: 1602.06603vl (Russian).

16. Dietmann, R., Elsholtz, С. к Shparlinski, I.E. "Prescribing the binary digits of squarefree numbers and quadratic residues", arXiv: 1601.04754vl.

17. Wan, D. 1997, "Generators and irreducible polynomials over finite fields", Math. Сотр., vol. 66, pp. 1195-1212.

18. Winterhof, A. 2001, "Characters sums, primitive elements, and powers in finite fields", Journal of Number Theory, vol. 91, pp. 153-161.

Московский государственный университет им. M. В. Ломоносова.

Институт математики и механики Уральского отделения Российской академии наук.

Получено 05.01.2016 г.

Принято в печать 10.06.2016 г.