О круговых регулярных движениях двух абсолютно твердых тел Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.1

ВИДЯКИН Владимир Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической физики Поморского государственного университета имени М.В.Ломоносова. Автор 43 научных публикаций

О КРУГОВЫХ РЕГУЛЯРНЫХ ДВИЖЕНИЯХ ДВУХ АБСОЛЮТНО ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Рассмотрен вопрос об условиях существования круговых регулярных движений в общей задаче о поступательно-вращательном движений двух твердых тел. Найдены ограничения, которые должны быть наложены на структуру и форму тел и их ориентацию в пространстве, допускающие круговые регулярные движения тел.

Поступательно-вращательное движение тел, твердые тела, круговые движения, небесная механика

Пятьдесят лет назад вышла в свет работа Г.Н. Дубошина [1], положившая начало исследованию проблемы поступательно-вращательного движения абсолтно твердых тел, взаим-ногравитирующих по закону Ньютона.

Многочисленные работы исследователей были посвящены построению круговых регулярных движений простейших тел: однородных сфероидов и эллипсоидов, осесимметричных твердых тел и тел, обладающих симметрией в строении и форме относительно двух взаимно перпендикулярных плоскостей [2-4]. Однако строгих доказательств авторы не могли привести. Интегральные методы доказательства использовались лишь для оценки поступательного движения центров инерции твердых тел [5]. После того как была разработана методика разложения силовой функции взаимного притяжения твердых тел и ее частных производных [6], появилась возможность в новой форме записывать уравнения [7], описывающие посту-патель-вращательное движение тел, и прово-

дить строгие доказательства как для ранее известных частных решений, так и для других случаев.

В данной работе приводится общий подход к решению задачи о круговых регулярных движениях твердых тел произвольной формы и внутреннего строения.

Рассмотрим механическую систему, состоящую их двух абсолютно твердых тел Мк {к = 1,2), не имеющих общих частей и взаимо-притягивающихся в соответствии с законом Ньютона:

тт ..Г Г ¿4 • сЫ2

и -Г J J X > С1)

(Мх)( М2) ^

где у - гравитационная постоянная,

Д - расстояние между элементарными массами <3тк рассматриваемых тел.

При этом интегрирование проводится по всему объему взаимодействующих тел.

Пусть Оххх2 х3 - абсолютно декартова

система координат в произвольной точке О

евклидова пространства, хл, ххк (я = 1,2,3; к = 1,2) - координаты и компоненты скорости центра масс тела Мк, Окгхг2г3 - собственные, «жестко» связанные с телом Мк системы координат, оси которых направлены по главным центральным осям тел. Наконец, если у/к - угол прецессии, Зк - угол нутации, (рк -угол собственного вращения являются углами Эйлера, характеризующими ориентацию системы координат Окг1г2относительно абсолютной системы координат Охх х2 х3, то функция Лагранжа X может быть представлена следующим образом:

¿=\і ¿к %+)+и,

¿ к=1 s=l

(2)

где тк - масса тела, Мк, 1!к - главные центральные моменты инерции тела Мк, определяемые формулами:

=

I<■

2 2 ¿s+1 ¿s+2,к

)dmk

(Мк)

(3)

причем, здесь и далее, если индексы 5+1, s + 2 (s = 1,2,3) принимают значения больше трех, то из их значений необходимо вычесть 3. ask - проекции угловой скорости вращения тела Мк на координатные оси системы координат Gkzxz2z3, выражающиеся через углы Эйлера и их производные с помощью известных кинематических уравнений Эйлера:

= Wk sin Эк sin фк + 4 cos % , ю2к = ук sin Эк cos ук + Зк sin % , (4)

= ¥к cos^ + Фк •

Элементарные массы dmk в формулах (1) и (3) представимы в виде:

dmk = SkdVk, (5)

где

= (Zli ’ Z2k ’ Z3k ) _ (^)

локальная плотность элементарного объема

dVk = (dzXk, dz2k, dzM ) (7)

с центром в некоторой текущей точке Рк тела Мк.

Если воспользоваться уравнениями Лагранжа второго рода, то можно получить дифференциальные уравнения, описывающие поступательно-вращательное движение двух абсолютно твердых тел в следующем виде [7]:

dU

Щ XSk =

д X,

■sk

(s = 1,2,3; к = 1,2);

(9)

^sk^sk C^s+l,i Is+2,k )^s+\,k ®s+2,k ~ ^sk >

где

ъ=z

5 í eu

i=1

Лк)

dU

da(k) üi,s+2 da(k)

Ui,S+l VU;„,r

■a

(к)

(10)

*i,s+1 i,s+2 J

Причем направляющие косинусы ] выражаются через углы Эйлера традиционным способом [7]:

aíf] = cos^k cospk -sin^ smpk cos6k a2*) = sin^ cospk - cos^k smpk cos6k a3j] = sin фк sin 6k

a,

(k) _ 12

= - eos y/k sin (pk - sin y/k eos (pk eos 0k

a.

= -sin^j sin^j + COS^ cos% eos0k

(k) _

22 _

a32} = cospk sin^

aj(3} = sin^ sin^ aí,3) = - cos^j sin^ a33} = eos вк

(11)

Система уравнений (8), (9) допускает десять первых интегралов:

- шесть интегралов центра масс системы:

а Л + Ь„

тх + т2

■> Xso =

тх + т2 ’

где хт, хт - координаты и компоненты скорости центра масс системы, а5, Ь8 - постоянные, определяемые начальными условиями задачи; - три интеграла площадей:

Щ \Xs+l,kXs+2,k - Xs+l,kXs +1

ik ik si

= с.

где Cs - постоянные величины;

- интеграл энергии:

7 £ ¿к іі+/..®і)=^+*,

^ к=1 і=1

где к - постоянная величина.

Как правило, исследователи понижают порядок системы уравнений (8), (9) за счет шести интегралов центра масс системы тел. Таковыми являются уравнения в барицентрической и первой относительной системах координат.

Пусть 01 _у1 у2у3 - первая относительная система координат, т.е. координатные оси ее Є1 ух параллельны соответствующим осям Ох!, абсолютной системы координат. Если ух - координаты центра масс С2 тела М2 представляются сферическими координатами (г, /3, X) следующим образом (рис.1):

= г cos р cos X, у2 = Г COS р sin X,

>>3 = г sin р, (12)

то уравнения, описывающие поступательно-вращательное движение двух абсолютно твердых тел, допускают представление вида [5]:

г - гР2 - гХ2 cos2 Р = ^ ^

d

----(г Р) + Г X sin Р COS Р =

dt

d ( 2 ч2 2 п\ 1 3U

— (rX cos В) =---------------------

dt ^ дХ ’

Isk^sk CTs+U Is+2,k

s+2,k ' s+\,k s+2,k

(13) ■Nsk ,(14)

m1m2

денная масса.

mx + m2

так называемая приве-

Рис. 1

(15)

Учитывая, что в формуле (1) в выбранной системе координат

Л2 = г2 - 2га + р2,

где

= Z ,

к =1 s=\

- (к),

(16)

«л = al/cos p + al jsin p,

Л2

3/2 3

р2=Е1ЕЕ (-1) “а * ’^

р=1 V к-1 ^-1

причем а/*} определяется формулами (11), только вместо у/к необходимо ставить у/к — X, то легко получить следующие представления для правых частей уравнений (13), (14):

ди _ г г dmldm2 д г У

У I I

( М1)(М2) 2 3

-(г + <г)

= ~УГZZ (_1)* } sin Р +

бр *= i í=i

Р) I I

( М1)( Мг)

dmxdm

3 Zsk

= -Гг££(-1)*5«’со>! fi J f

dmldm1

dX

k=\ J=1

( M,)( M2)

dmldm2

( ^!)(M2)

* [(-1)‘K«,«,

A+U as+\,kZs+2,k

3 3

-Wa(*+1) z (a(i ) z - a(k) z ) nn\

Upq +1VUp,s+2Z/s+\,k p,s+\ s+2,kJ . (17)

p =1 g-1

Система уравнений (13), (14) допускает четыре первых интеграла:

fиг2 (Р sin X- X sin р cos Р cos X) +

2 3

+£EAi®X ’ = с,,

к=1 s=\

- цг 2(Р cos X- Я sin р cos Р sin X) +

2 3

+11^,,®,,«;:1=с2,

к=1 5-1

/и2(г2 + г2^ + г2Acos2 Р) + + ¿ ¿ =2U +h.

к=1 í=1

Если воспользоваться разложением в ряд функции Д~3 [6]:

1

IZk„p’-v

!-2v -и-3 Г

(18)

и=0 v=0

где

*-v - (-1)И

(2л - 2v + 2)!

2И+1 у!(и - V +1)! (п - 2v)!

то правые части уравнений (13), (14) можно представить и в следующем виде:

^=-г£ ^ ^=-г£ }^~”~2,

dU

п=0

др

п=О

■jr=-rZи'*'гN*=~r'LN.

ЗЯ „0 причем

( я ) „-П-З ркг

п=О

)]_ г/( ”} = £ ^HV J J p2 va”-2 v ( г + a) dm2

v~o ( Mj)( M2)

u?=Zí Íp2'ct"-!'

v=0 ( Ml)( M2)

¿(-1)¿ x

к=1 P=1

X (~a£] sin P + a(3kJ cos p)zpk

dmx dm

2s

и? «« р | | X

у=0 2 3

(М,)( М2)

Рк

к=1 р=1

dm

2 ?

=

Ё| |^и,¿и,,

( М)( М2)

(20)

где

_ (!) (ар+2,кгр+\,к ар+\,кгр+2,к

3 3

),

в = УУа{к+1) г (а(* } г - а(* } г )

рк ¿—¡¿.^ Щ чЛя,р+2 Р+1Л и$,р+\^р+2,к), я=1 ?=1

(21)

арк определяется по формуле (16).

Исходя из определений круговых, регулярных движений и уравнений (13), (14), легко доказать справедливость следующего утверждения [5].

Теорема. Для того чтобы существовали круговые регулярные движения двух абсолютно твердых тел, необходимо и достаточно при описании их движения уравнениями (13), (14) выполнение следующих условий:

гдил

др

= о,

\иИ Уо

гдУл удХ у0

= 0

1$к®зк (^+и 1$+2,к )аи+\,каи+2,к ~ ()о> (22)

причем центр масс тела М2 равномерно обращается относительно центра масс тела Мх с угловой скоростью

Г ^тт\

ди

\дг J0

при следующих начальных данных:

Г = г0, г = г0 = 0, р = Р0 = 0, Р = Д = 0,

(23)

Х = V + А0, ук = у/{кЛ + у(к} , <Рк = Ф^ + Фо, вк = вГ* + вк]

и значениях

< = V Г вш0* + в(к) соъфк,

= VГ *[пвк С0*Фк - &Г ^ 9к > ®з« =у Г со*вк + Ф™,

®Т* = Vк)(Р(к) ^ вк СОв фк +

+ VС0* вк 81П 9к - <^%(0) 81П фк, ®2* =~Ч/^Пвк ®1П Фк +

+ V *°Ч(0) сое вк сое фк - <^%(0) соя фк,

< =-У>1°'Ч0)5швк, (к = 1,2).

Заметим, что в (22) и далее производные, помеченные индексом нулик, вычислены при начальных данных (23).

Далее отметим, что решение системы уравнений (22) в общем виде представляет известные математические трудности и потому исследователи вместо системы (22) рассматривали более простую систему следующего вида:

гдил

др

= о,

Л

дЦ

дл

Л

= 0» (Мл )о = °,(24)

^к^зк ~ (1*+1,к 1*+2,к }Ю$+\,кЮ$+2,к • (25)

Для выявления условий выполнимости (24) мы воспользуемся представлениями (19)-(21). Очевидно, что в этом случае представление (24) заменяется решением бесконечной системы уравнений вида:

и™ = о, ^1И) - о, К(;к} - о,

(к -1,2, р = 1,2,3, п е Щ.

При л = О (К00 = 1), учитывая то, что «собственные» системы координат Скгхг2гъ тел Мк выбраны таким образом, что начало координат Ск совпадает с центром масс тела Мк, а координатные оси Окгр совпадают с главными центральными осями инерции тел, тогда немедленно получим, что для тел произвольной ориентации, структуры и внешней формы:

и(;] = о, = О, = 0.

При п = 1 (К10 = -3) получим следующие три уравнения:

£ | ¿т2 =

к=1 Р=1 (М1)(М2)

2 3

XZ(_1)¿a2(p) í í aZkpdm 1 dm2 = 0,

к=1 Р=1 ( Mj)( М2)

I I (3 &Ар + вкр) dml dm2

(Ml)(M2) ’

которые допускают представление вида:

¿4*4^ -hk) + 4*«¿‘'С/х* -hk)] - О,

к=1

2

í?- 1рЛ,к) = 0, (к = 1,2, р = 1,2,3),

(26)

с учетом принятых ранее (3) обозначениях для

Iрк ■

Система уравнений (26) имеет достаточно большое число различных решений, и поэтому мы видели наиболее интересные, на наш взгляд, решения в виде следующих случаев:

Случай А, в котором мы не накладываем никаких условий на строение и внешнюю форму тел. Действительно, последние шесть уравнений (26) могут быть удовлетворены за счет выполнения равенств:

(к )-(к) _

а\р а\,р+1

- 0, (к =1,2, р =1,2,3), (А)

которые удовлетворяются, если один из направляющих косинусов а/*^ {к = 1,2, р = 1,2,3) каждого из тел оказывается равным единице. Тогда одна из осей Gkzp окажется в плоскости Gky1 у2 и формально достаточно рассмотреть три подслучая:

Случай Aj, в котором а/з*} = 1, что равносильно решению равенства

sin(^i - X) sin 6к = 1,

которое можно представить в следующем виде:

п

п

¥к -Л = у, 6к = Фк = <Pkt + П . (А1) Случай А, - о,1?} = 1 дает следующие ре-

шения:

к

¥к -Я = о,л, ук =± J, вк = + вГ-(Л2)

Случай А. - а/,*} = 1 находим решение

3(0)

вида:

¥к - Я = 0,л, рк = 0 ,п, вк = в{кЧ + вГ.(А3)

Заметим здесь, что полученные решения системы уравнений (А) являются также решением системы (26) в целом.

Случай В, в котором мы будем предполагать, что каждое тело Мк (к = 1,2) обладает частичной динамической симметрией, например:

^1к = ^2 к ^ ^3 к ■

Тогда для удовлетворения уравнений (26) необходимо выполнение равенств:

о,(* >4*> = 4*> 4*> = 4> 4*> = 4> 4* ] = 0. (В)

Выполнение условий (В), очевидно, возможно осуществить двумя способами:

Случай Вх - а/з*) = 1, который совпадает с решением (А1).

Случай В2 - возможен, при выполнении равенства

4} = о> (52)

где следует рассмотреть два решения. Случай В21, когда sin(^¿ - X) = 0, и мы получаем решение вида

wt-Л = О,л, <pt = pf'í + pf,

в„ = <¥»/ + е<°>. (г,,)

Случай В22 имеет место, когда

sin^ = 0. (522)

Случай С, в котором мы будем предполагать, что каждое из тел Мк обладает полной динамической симметрией, т.е.

Л* = ^2к = ^3к ■ (С)

Очевидно, что уравнения (26) в этом случае удовлетворены.

Заметим сразу, что мы рассмотрели далеко не все решения системы (26). В частности, не рассмотрены комбинации в расположениях тел случаев (А), (В), (С), случаи взаимодействия твердых тел и материальных точечных тел, однородных тел и т.п.

Их легко получить самостоятельно.

15 3

При п = 2(К20 = — , К21 =- —) система

(24) может быть представлена следующим образом:

¿¿¿(-1)kK2va^ f fp2va2-2vzpkdmidm2 = 0

v= 0 k=l p= 1 (M1)(M2)

]T(-1) kK 2va¡p f f P2v^22vzpkdm1 dm2 = 0

v=0 к=1 p=1 (M1)(M2)

Z^2v J Jp2v&2~2vApkdm1 dm2 =

v=0 (M,)(M2)

= ^10 | jaBpkdm1dm2, (k = 1,2, ^ = 1,2,3). (27)

( M,)(M2)

Анализ системы уравнений (27) позволяет утверждать, что поиск решений системы легче осуществлять в соответствии с результатами, полученными для случая п = 1.

В частности, например, для реализации решения А1 требуется удовлетворение равенств

| 12Ъ1^т1 dm2 - 0, | |z32kdm1 dm2 = 0.(0)

(М,)(М2) ( М1)( М2)

Выполнение условий (Б) возможно, если закон распределения плотности 8к и внешней формы /к тела Мк таковы:

= &к (2\к » 22к » 23к X /к = /к (21 к ’ 22к ’ 23к ) > №) т.е. тело Мк должно обладать свойством симметрии относительно плоскостей Окг1кг3к и С 2 2

К~!к^2^3к *

Аналогичным приемом можно воспользоваться и в случаях А2, А3, В и С.

Общий вид системы уравнений (24) порядка п > 1 можно представить следующим образом:

[ С .= г г

у=0 к=1 р=1 (М1)(М2)

[ 5 ] .3 г г

у=0 к=1 р=1 (М1)(М2)

[ I ]

II ,1т2 =

(М!)(М2)

[ ?]

= II I^ (28)

^0 ( щ){ м2)

Заметим, что в некоторых случаях решение системы уравнений (24) можно получить и не прибегая к разложениям в ряд вида (20). Для этого можно воспользоваться так называемым интегральным методом.

Действительно, пусть абсолютно твердые тела Мк обладают симметрией (Е) относительно двух взаимно перпендикулярных плоскостей Окг1кг3к и Окг2кг3к как в смысле внешней формы, так и в смысле внутреннего строения. Пусть эти тела соориентированы таким образом, что ось ОкгЪк находится в плоскости

орбиты и располагается на прямой С1С2, углы _ . п

прецессии ¥к ~ ^ + 'у, а углы собственного

вращения (рк = ф = + ф0 {рис. 2).

В этом случае, пользуясь представлением (17), получаем:

ди ди

1р= • ая •

^рк = -yJpk, (р =1,2,3, к =1,2) _

где

2

■I,=Е <-1)* \ |(&{пфг1к + со$фг2к)А ъётхёт2

*=1 (М,) (М2)

А

Л =Х{ I(С08Р2и -)^Чтх<Лт2 ;

*=1 ( М,)( М2)

Л* = 1 1И“!)* (*2* -)

+

( М1)(М2)

+ 2( *р+2>2 ^+11 - гр+1>2 ^+2Д)]Л~3 ^ ¿т2

5

3

А _ Г ~ 2^(232 _ ^31) + ^ (2р2 _ ^1) .

р=1

Очевидно, подынтегральные функции относительно г1к и г2к являются нечетными функциями, и потому получим, что

•7Р = = ^рк = 0 •

Для получения окончательных результатов необходимо найти решения системы (25), которую мы представим в следующем виде

{к sinflfVf cosв?\12к - 13к)-

-(pf){hk -12* + 1зк )]COS^^0) +

+ fcosCthk +12k -13*)-

~Фк Чhk ~ 12k + hk ) = 0, y>fsinflfV 1О)со80Г(hk -hk) -

~Фк )(_^1 к + 12k + 13k )]Sin^j[ ) +

+ 4(<V<O)cos0<O)(IXk + /2i -/3i)-

~Фк )(_^1 к + 12к + 13k )]COS^>£ ) = 0,

(</> D2sin2 0<O)sin2fl<O)( -1 lk ) -

- (¿r)2sin2<pf(/u -1lk ) +

+ 2v>f i?^O)sin0^O)[(/li -I2k)cos2<pf + /3t] = 0.

(29)

Решая вопрос о совместимости решений первых двух уравнений (29) для тел горизонтальной формы и строения, находим, что угол прецессии должен быть постоянным:

в(к ) = const, в(к ) = 0 .

Поэтому система уравнений (29) примет более простой вид:

t//f sin0f[t/>f cos ef'Xl2k - I3k) --<?Г(4 - J2k + hk )]cos^0) = 0,

V>fsin^V<O)cos0<O)(hk -I3t)-

_ ‘Pi ) (_^li + ¡2к + 13k )] Sín Фк '’ = 0 5

(</>f)2sin2 0<O)sb2fl<O)(lXk -12k) = 0,

(k = 1,2). (30)

Для данной системы (30) очевидны решения:

1. sin^0) = 0, (р(к) - любое;

2. cos#¿0) = 0, ф = 0, sin2^[0) = 0.

В случае, когда тела обладают частичной динамической симметрией, например:

hk = hk ^ hk ’ кроме указанных ранее решений получим дополнительное решение, зависящее от начальных данных:

3. rfcosefau - h„) = 1,&Г-

Очевидно, что рассмотренные ранее случаи комбинации твердых тел, шаров и материальных точек также имеют место.

В заключение отметим, что рассмотренные частные случаи круговых регулярных движений осесимметричных тел в работах автора [4], Г.Н. Дубошина [8, 9], В.Т. Кондура-ря [10], С.Г. Журавлева [11] и др., получили строгие доказательства их существования.

Список литературы

1 .Дубошин Г.Н. О дифференциальных уравнениях поступательно-вращательного движения взаимно притягивающихся тел II Астроном, журнал. 1985. Т. 35, № 2. С. 265-276.

2. Баркин Ю.В., Демин В.Г. Поступательно-вращательное движение небесных тел II Итоги науки и техники АН СССР. Астрономия. М., 1982. Т. 20.С. 87-207.

3. Видякин В.В. Задача о поступательно-вращательном движении двух абсолютно твердых тел. Архангельск, 1992. Деп. в ВИНИТИ № 1496-92.

4. Юркина М.И. Развитие теории вращения твердого тела на основе уравнения Гамильтона-Якоби. К истории теории потенциала и теории вращения небесных тел. М., 1980. Деп. в ОНТИ ЦНИИГА и K.M. № 24-80.

5. Видякин В.В. Поступательно-вращательное движение двух твердых тел: учеб. пособие. Архангельск, 1996.

6. Его же. Разложение силовой функции двух абсолютно твердых конечных тел II Тр. кафедры прикладной математики АГТУ. Вып. 3. Архангельск, 2004. С. 6-30.

7. Видякин В.В., Сабурова Н.Ю. О некоторых представлениях уравнений, описывающих поступательно-вращательное движение твердых тел II Тр. кафедры прикладной математики АГТУ. Вып. 3. Архангельск, 2004. С. 31-48.

8.Дубошин Г.Н. Об одном частном случае задачи о поступательно-вращательном движении двух тел II Астроном, журнал. 1959. Т. 36, № 1. С. 153-163.

9. Он же. О некоторых частных решениях задачи о поступательно-вращательном движении двух тел II Сообщ. ГАИШ. 1969. № 106. С. 13-18.

10. Кондураръ В.Т. Проблема движения двух эллипсоидов под действием взаимного притяжения II Астроном, журнал. 1936. Т. 13, № 6. С. 563-588.

11. Журавлев С.Г. Метод исследования острорезонансных задач небесной механики и космодинамики (поступательно-вращательное движение). Т. 2. Архангельск, 2002.

Vidyakin Vladimir

ABOUT THE CIRCULAR REGULAR MOTIONS OF TWO ABSOLUTELY RIGID BODIES

The article considers the issue of existence conditions of regular circular movements in the general problem about translatory-rotary motion of two absolutely rigid bodies. Certain limiting conditions that are to be imposed upon the structure, external form and orientation of the bodies allow the circular regular motions.

Контактная информация: e-mail\ vestnik@mail.ru

Рецензент - Матвеев В.И., доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической физики Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова