CC BY
23
УДК 538.945
О критических токах в контактах Джозефсона типа сверхпроводник—изолятор—сверхпроводник
Д-р физ.-мат. наук Л. П. БУЛАТ lbulat@mail.ru
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет ИТМО Институт холода и биотехнологий 191002, Санкт-Петербург, ул. Ломоносова, 9 В. В. КОНОПЕЛЬКО ОАО «Институт «Энергосетьпроект», 105318, г. Москва, Ткацкая ул., 1 Канд. физ.-мат. наук Д. А. ПШЕНАЙ-СЕВЕРИН Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе РАН 194021, Санкт-Петербург, ул. Политехническая, 26
Проведены расчеты и оценки величин критических токов в джозефсоновских контактах типа сверхпроводник-изолятор-сверхпроводник (СИС) с учетом возможного различия эффективных масс электронов в сверхпроводящем металле и диэлектрике. Выполнено сравнение результатов оценок с имеющимися экспериментальными данными.
Ключевые слова: сверхпроводимость, эффект Джозефсона, туннельные структуры, критические токи.
About critical currents in Josephson's superconductor-insulator-superconductor contacts
D. Sc. L. P. BULAT
lbulat@mail.ru University ITMO Institute of Refrigeration and Biotechnologies 191002, Russia, St. Petersburg, Lomonosov str., 9 V. V. KONOPELKO Energosetproyekt Institute, 105318, Moscow, Tkatskaya Str., 1 Ph. D. D. A. PSHENAI-SEVERIN Ioffe Physical Technical Institute 194021, Russia St. Petersburg, Polytekhnicheskaya, 26
The value of critical currents in Josephson's superconductor-insulator-superconductor (SIS) contacts were calculated and estimated. A possible distinction of electron effective masses in superconducting metal and insulator was taken into account. A comparison of estimated results with available experimental data was carried out.
Keywords: superconductivity, Josephson's effect, tunnel structure, critical current.
Введение
Эффект Джозефсона, открытый в 1962 г. [1], широко используется в высокочувствительных магнетометрах на сверхпроводящих интерферометрах (СКВИД), для создания стандарта единицы напряжения (Вольта), как элемент сверхпроводящей цифровой электроники, в сверхпроводящих детекторах микрочастиц, источниках и фильтрах микроволнового излучения и др. [2]. Стационарный эффект
Джозефсона заключается в том, что в отсутствие напряжения через туннельный сверхпроводник-изолятор-сверхпроводник (СИС) контакт может протекать сверхпроводящий ток, пока его величина не превысит критическое значение I [3]. При превышении критического тока появляется нормальная составляющая туннельного тока через переход и падение напряжения на контакте. При этом переход начинает излучать электромагнитные волны (нестационарный эффект Джозефсона). Величина критического тока зависит от температуры Т и магнитного поля. Для приложений важным оказывается поиск сверхпроводящих материалов и диэлектрических прослоек, способных обеспечить высокие критические токи. Теория туннельной проводимости между двумя сверхпроводниками была разработана в [4], где было показано, что плотность критического тока] зависит от ширины сверхпроводящей щели Д^) и барьерной проводимости туннельного контакта между рассматриваемыми сверхпроводящими металлами в нормальном состоянии оЬ п. Зная параметры барьера, можно рассчитать барьерную проводимость и величину джозефсоновского критического тока. Для оценок параметров барьеров при анализе экспериментальных данных чаще всего используется простое выражение для барьерной проводимости, полученное Симмонсом [5] в квазиклассическом приближении. В данной работе, оценки по формуле Симмонса сравниваются с результатами более точного расчета и имеющимися экспериментальными данными, исследуется влияние различия эффективных масс в металле и барьере.
Расчет барьерной проводимости туннельного СИС контакта
Схематическое изображение зонной диаграммы рассматриваемого туннельного контакта показано на рис. 1. Величина энергетического барьера еь отсчитывается в данном случае от уровня Ферми металла е. Она определяется параметрами диэлектрика и металла (работой
рА(Г )
2 к0 Т,
Таким образом, для оценки ] необходимо знать величину ширины сверхпроводящей щели Д(Т) и барьерную проводимость оь,п.
В модели Бардина-Купера-Шриффера (БКШ) ширина щели при нулевой температуре для сверхпроводников со слабой связью определяется как Д(0) = 1,764к0 Тс [6], где ТС — температура сверхпроводящего перехода. Для материалов с сильной связью, таких, например, как ниобий, это соотношение уже не выполняется точно. Для ниобия с ТС = 9,7К, Д(0) = 1,92ё 1,97к0ТС [7]. С ростом температуры ширина сверхпроводящей щели уменьшается, а, следовательно, уменьшается и величина критического тока, поэтому оценки максимального значения ]с будем проводить в пределе низких температур, когда формула (1) сводится к ]с = (я Д(0) /2в)оьп.
В экспериментальных работах, зависимость критической плотности тока от параметров туннельного барьера анализируется чаще всего с помощью простой формулы, полученной Симмонсом [5]
Г2
1ть е
оь „ =-
(2 л Й)2
й
Ъ^Ь в-242ть еьй/Й
Л(е ) = в-2^2ть (еь+е^-ех)й/Й
(3)
(1)
(2)
где тЬ — эффективная масса электронов в барьере, еЬ — энергетическая высота барьера, отсчитываемая, в данном случае, от уровня Ферми металла, й — толщина барьера.
Эта формула была получена для случая вырожденной статистики с использованием квазиклассического приближения для вероятности туннелирования, равной
где ех — энергия электрона, соответствующая движению вдоль оси х , отсчитанная, как и ег, от дна валентной зоны металла.
Выражение (2) справедливо при условии 2^2ть еь й / Й >> 1, которое обычно хорошо выполняется. К примеру, при ё = 0,5 нм, 2^2т0 еь й / Й = 1 выполняется только при очень малых е ь »0,04 эВ, которые значительно меньше, чем встречающиеся на практике.
Если учесть различие эффективных масс в металле и в барьере, то вероятность туннелирования сквозь прямоугольный барьер уже не будет зависеть только от составляющей энергии электрона ех. В этом случае при туннелировании сохраняется полная энергия е и проекция волнового вектора на плоскость контакта к|. Тогда вероятность туннелирования в случае изотропного закона дисперсии будет равна [8]
Б(е,кЛ =
Рис. 1. Зонная диаграмма контакта металл-диэлектрик-металл
выхода металла сродством к электрону С и шириной запрещенной зоны диэлектрика ее).
Плотность критического тока] через такой контакт в сверхпроводящем состоянии определяется как [4]:
1 +
Г к т2 + |к2|т:л
\ |к2 | т1
к1 т2 у
\-1
8И2(| к2|й)
к22 < 0
1+
к1 т2
к2 т1
к2 т К т2 у
/
\-1
(4)
81п2(к2 й)
к22 > 0
где к/ = 2т1 е / Й2 - к,,2, к22 = 2т2 (е - (ег + еь)) / Й2 - к,,2, здесь т1(2) — эффективные массы в металле и барьере соответственно.
Барьерная электропроводность при конечных температурах для этого случая равна
в2 т
о ь„ = -
2л2 Й3
йе„ |йе Б(е,к,)
Э /0(е-е Г)' " Эе
(5)
где е|| = Й2 кц2 /2т:, а /0(е-еР) — функция распределения Ферми — Дирака.
В пределе низких температур производная в (5) переходит в дельта-функцию и выражение упрощается
2 e^
в т
°ь'" 2л2 Й3
| Б(е „ ,к„)й е„.
(6)
На рис. 2 приведены зависимости барьерной электропроводности для типичных значений й и еь. Кривые 1 и 1' рассчитаны по формуле Симмонса (2). В расчете было принято, что эффективные массы в металле и барьере равны т0 , а в качестве энергии Ферми было использовано типичное значение для металлов 5 эВ. Типичные значения высоты барьера можно оценить по значениям работы выхода металла и сродства к электрону и ширины запрещенной зоны в диэлектрике. Типичные значения работы выхода порядка 4 эВ; так, в свинце работа выхода равна 4,14 эВ [9], в ниобии — 4,02^4,87 эВ [10], в нитриде ниобия — 3,92 эВ [11]. В качестве диэлектрических прослоек для получения высоких критических токов используются оксид алюминия в структурах МЪ-А1-А10х-ЫЪ [12-14] и нитрид алюминия (ЫЪМ-АШ-ЫЪМ) [15, 16]. Сродство к электрону и ширина запрещенной зоны в этих диэлектриках равны 1,0 и 8,8 эВ для А1203 [17] и 0,6 и 6,2 эВ для АШ [18]. Таким образом, высота потенциального барьера над уровнем Ферми будет порядка еь=3 эВ в обоих случаях. Для сравнения на рис. 2 приведены кривые также для значения еь =1,5 эВ.
0
1 о
106
3 3'
104
. 2 ' 2'
1 1' "••• >.. ' - -.
100
1,2
1,4
1,6
1,8 2 пт
Рис. 2. Зависимость барьерной электропроводности туннельного СИС контакта от толщины диэлектрика; высота барьера е== 3 эВ (1, 2, 3) и 1,5эВ (1', 2', 3'); 1, 1'— по формуле Симмонса (2); 2, 2' —
3, 3' — по формуле (6) при т}
- по формуле (6) при т1(2) = тд;
т = 0,5т
Отличие кривых 1, 1', показанных на рис. 2, от кривых 2, 2', построенных по формуле (6) при тех же значениях параметров, заключается в замене квазиклассического выражения для вероятности туннелирования на точное выражение для прямоугольного барьера. Сравнение показывает, что большее значение туннельной прозрачности в этом случае приводит к увеличению барьерной проводимости примерно в 4 раза. В диэлектрике эффективные массы электронов могут отличаться от массы свободного электрона. Так, например, в А1203 эффективная масса электронов оценивается как 0,5 m0 [19], а в АШ — как 0,4 m0 [20]. Кривые 3, 3' построены по формуле (6) с учетом отличия эффективной массы в барьере m2 = 0,5 m0. Это дополнительно приводит к увеличению туннельной проводимости (примерно на 2 порядка). Интересно, что кривые 3 и 2', для которых произведение еь m2 были одинаковы, практически совпадают. Это связано с тем, что туннельная прозрачность определяется именно их комбинацией. Нагляднее всего это можно проиллюстрировать, используя формулу (2), из которой видно, что в показатель экспоненты, определяющей туннельную прозрачность входит именно произведение еьт2. Таким образом, при определении высоты туннельного барьера по формуле Симмонса надо учитывать возможное отличие эффективной массы в барьере от т0.
Для оценки величины критического тока при нулевой температуре нужно умножить полученные значения барьерных проводимостей на (лЛ(0)/2е) ~ 1,57 Л(0) В, если измерять Л(0) в эВ. По порядку величины Д(0) составляет 1-2 мэВ (например, 1,53-1,57 [7] в №, 2,5 мэВ (Тс = 15 К) в [21]). Таким образом, барьерная проводимость порядка 105—106 Ом-1 см-2 соответствует критическим токам 2,5 102 - 3,9 103 А /см2. Например, в работе [14] приведены данные по критическим токам и толщине барьера для контакта Ш-АЬАЮ^-ЫЪ: / = 1 мА, при площади контакта 144 мкм2 и толщине диэлектрика 0,8 нм. Это соответствует критической плотности тока 694 А /см2. Расчет по формуле (6) при т2 = 0,5 т0, еь=3,3 эВ дает аь п »5,5 105 Ом-1 см 2 и ]с » 1300 А /см2, что по порядку величины согласуется с приведенными экспериментальными данными. В работе [13] приводятся схожие значения 5-8 кА/см2 в джозефсоновских контак-
тах того же типа. Для контактов в работе
[16] приводятся значения от 100 А /см2 до 200 кА/см2 для барьеров толщиной 0,8-1,5 нм. Анализ наклона зависимости логарифма критического тока от толщины барьера по формуле Симмонса дал значения высоты барьера 2,35 эВ для < 5 кА/см2 и 0,88 эВ при > 5 кА/см2 [16]. Обращают внимание малые значения высоты барьеров особенно при малых толщинах диэлектрика. Отчасти это может быть связано с тем, что в расчетах [16] было принято т2 = т0. Однако даже при т2 = 0,4т0, 1 = 0,8 нм, еь = 3 эВ расчет по формуле (6) дает критический ток лишь 8,4 кА/см2. Оценки величины критического тока по формуле Симмонса для параметров из [16] также дает меньшие значения 6,7 кА/см2, откуда следует, что в [16] была использована лишь экспоненциальная зависимость в формуле Симмонса. Чтобы получить плотность тока 200 кА/см2 при < = 0,8 нм с использованием (6), надо предположить, что высота барьера равна 1,1 эВ.
Расхождения с экспериментом в данном случае могут быть связаны с рядом факторов. Реальные значения высоты потенциальных барьеров в структурах металл — оксид — полупроводник (МОП) интенсивно изучались в микроэлектронике в связи с заменой в МОП-транзисторах оксида кремния на диэлектрики с высокими значениями диэлектрической проницаемости [22, 23]. В данном случае, расхождения могут быть связаны с присутствием дефектов в слое диэлектрика, которые приводят к возникновению примесных состояний в его запрещенной зоне, смещению уровня Ферми от середины запрещенной зоны вверх и уменьшению высоты барьера. Подобный эффект наблюдался в туннельных контактах Ре-М^-Ре [24]. Другой возможной причиной больших значений токов по сравнению с расчетными может быть возникновение проколов в тонком слое диэлектрика. Эта ситуация исследовалась, например, в [25] в применении к туннельным контактам А1-А10 -А1 и делался вывод, что при использовании формулы Симмонса следует учитывать долю площади контактов, соответствующих утончению слоя диэлектрика. Это позволило авторам [25] исключить разброс в значениях высоты барьера при обработке экспериментальных данных для контактов с разной площадью и толщиной диэлектрика.
Выводы
В работе проведен расчет и оценки барьерной электропроводности и критических токов в джозефсоновских контактах типа сверхпроводник-изолятор-сверхпроводник. Типичные значения критических токов составляют несколько кА/см2 при толщине диэлектрика около 1 нм. Было проведено сравнение результатов расчетов по формуле Симмонса для туннельной проводимости [5], полученной в квазиклассическом приближении, с выражением (6), использующим точное значение для вероятности туннелирования сквозь прямоугольный потенциальные барьер и учитывающим различие эффективных массы в барьере и в металле. Было показало, что при одинаковой высоте барьера еь значения вероятности тунне-лирования и туннельной проводимости будут больше при меньших значениях эффективной массы в барьере. Поскольку зависимость вероятности туннелирования
от произведения eb m2 экспоненциальная, то отличия могут достигать нескольких порядков. В частности, при анализе экспериментальных данных по зависимости jc от толщины диэлектрика без учета отличия m2 от m0 определяется, по-существу, не высота барьера, а комбинация eb m2 / m0. Сравнение результатов оценок критических токов jc с учетом этого различия согласуются по порядку величины с частью имеющихся в литературе экспериментальных данных. В ряде случаев, однако, имеется значительные расхождения, которые могут быть связаны, например, с наличием уровней дефектов в запрещенной зоне диэлектрика, либо с существованием проколов (утончений) в слое диэлектрика.
Список литературы
1. Josephson B. D. Possible new effects in superconductive tunnelling // Physics Letters. 1962. Vol. 1. № 7.
2. Antonio B., Gianfranco P. Physics and applications of the Josephson effect. New York: Wiley, 1982.
3. Шмидт В. Введение в физику сверхпроводников. — М.: МЦНМО, 2000.
4. Ambegaokar V., Baratoff A. Tunneling between superconductors // Physical review letters. American physical society. 1963. Vol. 10. № 11.
5. Simmons J. G. Generalized formula for the electric tunnel effect between similar electrodes separated by a thin insulating film // Journal of applied physics. 1963. Vol. 34. № 6.
6. Тинкхам М. Введение в сверхпроводимость. — М.: Атомиздат, 1980.
7. Carbotte J. P. Properties of boson-exchange superconductors // Reviews of modern physics. American physical society. 1990. Vol. 62. № 4.
8. Paranjape V. Transmission coefficient and stationary-phase tunneling time of an electron through a hetero-structure // Physical review B. American physical society. 1995. Vol. 52. № 15.
9. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. — М.: Наука, 1978.
10. Goldmann A. 2.11.7 Nb (Niobium) (Z = 41) // 2.11 Nonmagnetic transition metals/ed. Goldmann A. Vol. 23c1.
11. Saito Y. et al. Emission characteristics of niobium nitride field emitters // Applied surface science. 1999. Vol. 146, № 1-4.
12. Kaiser C. et al. Aluminum hard mask technique for the fabrication of high quality submicron Nb/Al — AlOx/Nb Josephson junctions // Superconductor science and technology. 2011. Vol. 24. № 3.
13. Yohannes D. et al. Characterization of HYPRES' 4.5kA/cm2 & 8 kA/cm2 Nb/AlOx/Nb Fabrication Processes // IEEE Transactions on appiled superconductivity. 2005. Vol. 15. № 2. P.
14. Foden C. et al. Possible observation of multiple-particle tunneling in niobium tunnel junctions // Physical review B. American physical society. 1993. Vol. 47. № 6.
15. Wu P. H. et al. Fabrication and characterization of NbN/AlN/NbN junction on MgO // IEEE transactions on appiled superconductivity. 2005. Vol. 15. № 2.
16. Wang Z. et al. Interface and tunneling barrier heights of NbN/AlN/NbN tunnel junctions // Applied physics letters. 1999. Vol. 75. № 5.
17. Yeo Y.-C., King T.-J, Hu C. Metal-dielectric band alignment and its implications for metal gate complementary metal-oxide-semiconductor technology // Journal of applied physics. 2002. Vol. 92. №12.
18. Levinshtein M. E., Rumyantsev S. L., Shur M. S. Properties of Advanced Semiconductor Materials: GaN, AIN, InN, BN, SiC, SiGe. — NY.: John Wiley & Sons, 2001.
19. Casperson J. D., Bell L. D., Atwater H. A. Materials issues for layered tunnel barrier structures // Journal of applied physics. 2002. Vol. 92. № 1.
20. Xu Y.-N., Ching W. Electronic, optical, and structural properties of some wurtzite crystals // Physical review B. American physical society. 1993. Vol. 48. № 7.
21. Aoyagi M. NbN Superconducting Devices // Electric refractory materials. CRC press. 2000.
22. Robertson J. Band offsets and work function control in field effect transistors // Journal of vacuum science & technology B: Microelectronics and nanometer structures. 2009. Vol. 27. № 1.
23. Robertson J. Band alignment at metal-semiconductor and metal-oxide interfaces // Physica status solidi (a). 2010. Vol. 207. № 2.
24. Yuasa S. et al. Giant room-temperature magnetoresistance in single-crystal Fe/MgO/Fe magnetic tunnel junctions. // Nature materials. 2004. Vol. 3. № 12.
25. Dorneles L. S. et al. The use of Simmons' equation to quantify the insulating barrier parameters in Al/AlOx/Al tunnel junctions // Applied physics letters. 2003. Vol. 82. № 17.
