CC BY
11
ЧЕБЫШЕВСКИИ СБОРНИК
Том 23. Выпуск 5.
УДК 511.42
DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-5-20-37
О критических решетках единичного шара
д
Ю. А. Басалов
Басалов Юрий Александрович — кандидат физико-математических наук, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула). e-mail: basalov_ yurij@mail.ru
История вопроса вычисления и оценки постоянной Эрмита насчитывает два столетия. В данной статье дается краткий обзор истории этой задачи. Также эта проблема рассматривается с точки зрения критических решеток единичного шара.
Данная задача берет свое начало с работ Ж. Л. Лагранжа, Л. А. Зеебера и К. Ф. Гаусса. Разрабатывая теорию приведения положительно определенных квадратичных форм, ими были получены предельные формы, для которых отношение минимального значения этих форм в целых точках, отличных от 0, к их определителю было максимально.
В середине XIX века Ш. Эрмитом была получена оценка этой величины для произвольной размерности. А в конце XIX века А. Н. Коркиным и Е. И. Золотаревым был предложен новый метод приведения квадратичных форм, который позволил получить точные значения постоянной Эрмита вплоть до размерности 8.
В данной работе будет рассматриваться эквивалентная постоянной Эрмита величина - критический определитель единичного шара. Следует отметить тесную связь этих величин с другими задачами геометрии чисел, например, задачами нахождения плотности наилучшей упаковки, поиска кратчайшего вектора решетки и диофантовыми приближениями. Мы приведем критические решетки размерностей до 8, а также рассмотрим их некоторые метрические свойства.
Ключевые слова: критические определители, решетки, минимумы положительно определенных квадратичных форм.
Библиография: 27 названий. Для цитирования:
Ю. А. Басалов. О критических решетках единичного шара // Чебышевский сборник, 2022, т. 23, вып. 5, с. 20-37.
1 Исследование выполнено при финансовой поддержке гранта Министерства образования и науки РФ на развитие молодежных лабораторий, в рамках реализации ТГПУ им. Л. Н. Толстого программы «Приоритет 2030» по Соглашению №073-03-2022-117/7 по теме «Теоретпко-числовые методы в приближенном анализе и их приложения в механике и физике»
Аннотация
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 23. No. 5.
UDC 511.42 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-5-20-37
On critical lattices of the unit sphere
Yu. A. Basalov
Basalov Yurij Aleksandrovich — candidate of physical and mathematical sciences, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: basalov_ yurij@mail.ru
Abstract
The history of the problem of calculating and estimating the Hermite constant has two centuries. This article provides a brief overview of the history of this problem. Also, this problem is considered from the point of view of critical lattices of the unit sphere.
This problem begans from the works of J. L. Lagrange, L. A. Seeber and K. F. Gauss. While developing the theory of reduction of positive definite quadratic forms, they obtained limit forms for which the ratio of the minimum value of these forms at integer points other than 0 to their determinant is maximal.
In the middle of the 19th century, Sh. Hermit obtained an estimate for this quantity for an arbitrary dimension. And at the end of the 19th century, A. N. Korkin and E. I. Zolotarev proposed a new method for reducing quadratic forms, which made it possible to obtain exact values of the Hermite constant up to dimension 8.
In this paper, we will consider a quantity equivalent to the Hermite constant, the critical determinant of the unit sphere. It should be noted that these quantities are closely connected with other problems in the geometry of numbers, for example, the problems of finding the density of the best packing, finding the shortest lattice vector, and Diophantine approximations. We present critical lattices of dimensions up to 8 and consider some of their metric properties.
Keywords: critical determinants, lattices, minimum of positive definite quadratic forms.
Bibliography: 27 titles.
For citation:
Yu. A. Basalov, 2022, "On critical lattices of the unit sphere", Chebyshevskii sbornik, vol. 23, no. 5, pp. 20-37.
1. Введение
Теория приведения определенных квадратичных форм - это чисто вещественная теория, целью которой является выбрать из бесконечного множества форм, цело эквивалентных данной форме, одну, характеризуемую некоторым внутренним образом [7]. В работах Ж. Л. Лагранжа (1768 г. [19]) была построена теория приведения положительно определенных форм двух переменных. А именно, был исследован вопрос о приведении положительно определенных форм вида
f Х2) = h,\х\ + 2/i,2X1X2 + ¡2,2x1
к виду
f (У1,У2) = yj + У2.
Теория приведения бинарных квадратичных форм была позднее развита в работах К. Ф. Гаусса [13] и П. Г. Л. Дирихле [4].
Результаты Ж. Л. Лагранжа и К. Ф. Гаусса позволили ответить на следующий вопрос: чему равно наименьшее значение г такое, что для любой f справедливо неравенство
min f (щ ,U2) < (tD)1/2,
(«1,«2) = (0,0)
где D = siis22 — Si2 определитель формы f. № работ Ж. Л. Лагранжа следует, что ттгП =
В 1831 году, Л. А. Зеебером [23] была построена теория приведения для положительно определенных форм трех переменных. А в рецензии на эту работу К. Ф. Гаусса [12] было впервые введено понятие решетки, которое стало центральным понятием геометрии чисел.
Определение 1. Положительно определенная квадратичная форма f называется, предельной, если при произвольных, достаточно малых, от,личных от, 0, вариациях ее коэффициентов, удовлетворяющих условию, что определитель варьированной формы f * остается постоянным, значения минимума формы f* меньше минимума формы f.
Таким образом, Ж. Л. Лагранжом и Л. А. Зеебером были найдены предельные формы для п = 2 и 3. Более обще задачу поиска предельных форм можно сформулировать следующим образом. Пусть
п п п
f(xh...,xn)=YZ Азxixi = J21 aiiхэ I = yl +...+y™
i,j=i
- n-мерная положительно определенная квадратичная форма, а ее определитель равен
D = det(sij) = (det А)2,
где А = (aij). Пусть [9]
1п = sup Л(/, Zn)D-i/n, f
где Zn - целочисленная решетка раз мерности п, а
Л(/, Zn)= min f ).
= о
Как отмечалось выше, из результатов Ж. Л. Лагранжа [19] следует, что 72 = (4/3)i/2. А из работы Л. А. Зеебера [23], что 73 = 2i/3.
Позднее Ш. Эрмитом [14, 3] была получена оценка
In < (4/3)(ra-i)/2,
для произвольного п, & тп стали называть постоянной Эрмита.
Теории приведения положительно определенных квадратичных форм развивались в работах А. Н. Коркина, Е. И. Золатарева [17, 18], Г. Ф. Вороного [27], Г. Минковского [20, 21], Б. А. Венкова [1, 2, 3] и многих других исследователей [10, 11, 15, 24, 25, 26].
Связь с критическим определителем п-мерного шара. Значительный интерес представляет связь постоянной Эрмита с другими вопросами геометрии чисел. Введем некоторые определения
Определение 2. Пусть а1,... ,ап - линейно независимые точки вещественного евклидова пространства. Множество всех точек
а = u-\ai + ... + unän
с целым,и коэффициентами щ,..., ип называется решеткой А. Величина
d(A) = | det(öi,..., аП)| называется определителем, решетки Л.
ОпрЕдЕЛЕппЕ з. Пусть F - точечное тело. Если решетка Л не имеет, в F от,личных от, 0 точек (0 <Е F), то Л допустима для F или F-допустима. Точную нижнюю грань
A(F) = inf d(A)
определителей, d(K) всех F-допуст^мых решеток Л называют, критическим определителем
F F F
типа и A(F) = те.
Рассмотрим n-мерный единичный шар Кп
Х- + ... + Х<п ^ 1.
п/2
Обозначим его критический определитель как A(Kn), а объем kn = V(Кп) = г(Г+п/2) • Известно, что [5]
jn = A(Kn)-2/n.
Решечатые упаковки. Рассмотрим n-мерную решетку Г и множество п-мерных шаров одинакового радиуса с центрами в точках решетки. Такое множество образует упаковку, если шары не имеют общих внутренних точек. Максимальный радиус шаров называют радиусом упаковки, соответствующей решетке Г и обозначают г (Г). При этом
г(Г) = 1 min Г, (1)
где min Г - длина кратчайшего вектор решетки. Плотностью решетчатой упаковки называют
rn (Г)
№= kn у^, (2)
где V(Г) - объем основого параллелепипеда решетки, равный с!(Г). Плотностью наилучшей решетчатой упаковки называют величину Sn = sup ¿(Г). Известно [5], что плотность наилучшей
г
решетчатой упаковки равна
г- kn
On =
2пА(Кп)'
Тем самым, постоянная Эрмита и плотность наилучшей решетчатой упаковки связаны формулой
я — о-пк
Оп - 2 1ъп 1п ■
Обширное описание результатов (до 1990 г.) в области решетчатых упаковок можно найти
в [8].
Длина кратчайшего вектора решетки Подставив (1) в (2)
min"" Г _ ¿(Г)У(Г)
2" кп
получим связь длины кратчайшего вектора решетки с постоянной Эрмита
min Г = V (Г)1/п (^^ Y^ < A(r)1/nf 2" ^ 2 l^2) / = 7п/2А(Г)1/^ \ кп / \ I
Диофантовы приближения. Точная нижняя грань величины в такой, что для вектора а = (а\,..., ап) существует бесконечно много целых чисел q,pi,... ,рп таких, что
п Ql/п
- Рг)2 <-Т+/П i=l 4
называется константой наилучших диофантовых приближений в евклидовой норме в (а) для вектора а.
Константой наилучших диофантовых приближений в евклидовой норме вп называется:
вп = sup в(х).
xew,n
В. Г. Новаком было показано, что [22]
п-п/2
а _
п - (п + 1)(п+1)/2 ■ А(Кп+1).
2. Решетки
Будем рассматривать вопрос с точки зрения решеток. Решетка Лп определяется матрицей базисных векторов
Ап = (öi, % ,...,0%) =
(а\,i ö>2,I ... fln,i\ 01,2 02,2 . . . On,2
Определитель решетки равен (1(Лп) = det(Лn) = det(a¿,j). Решетка не имеет точек внут ри Кп (является допустимой для Кп), если для любого целого вектора Ь = (61,... ,Ъп)т отличного от 0 ,
пп
(Ап = аг, Ъ3 ) > 1. (3)
г=1 У=1 /
Таким образом задача нахождения постоянной Эрмита сводится к минимизации й(Лп) при условии (3). Решетка с определителем й(ЛГ)) равным критическому определителю шара Кп, называется критической для шара Дадее, мы будем называть решетку размерности п просто критической, если она является критической для шара Кп.
Рассмотрим альтернативный способ проверки наличия/отсутствия точек Лп внутри шара Кп. Преобразуем (3) в квадратичную форму
п п п п
f (ЬЪ ...,Ьп) = ^ ¡гД + 2 ¡^ ЬгЬз, =^2 ак^к,з,
г=1 г=1 j=г+1 к=1
2
и сформулируем следующую оптимизационную задачу:
Fmin = f (bi, ...,Ъп) 1 min, 1 = (Ъ\,..., bn)T е Zn, ~t = . Если Fmin > 1, то решетка Лп является допустимой для шара Кп. Отметим также, что
Замечание 1. Если все fij в f целые, и форма f не обращается, в 0 в точках от,личных от, 0 ; т,о Fmin > 1 •
Сформулируем некоторые вспомогательные утверждения. Напомним, что
Определение 4. Под звездным, телом понимают, множество, обладающее следующим,и, свойствами
• существует точка, называемая "началом", которая является внутренней точкой множества;
• любой луч, выходящий, из "начала,", л,ибо не пересекается, с границей множества, либо имеет с ней, только одну общую точку.
Определение 5. Система из k < п линейно независимых точек 111,...,11 k решетки Лп называется, прим,um,иеной, если все точки пересечения решетки Лп и линейного пространства, построенного на 1-]_,...,11 к представимы в виде
и111 + ... + Uk1 к,
где ui,... ,Uk целые числа,.
Известно, что
Теорема 1. (см. [5], гл. 1, п. 3) Примитивная система к < п линейно независимых точек решетки Лп может быть дополнена до базиса, решетки Лп.
Лемма 1. Любое преобразование повороте, из SO(n) преобразует, критическую решетку Лп единичного шара, Кп в критическую.
Доказательство. Поворот критической решетки Лп единичного шара Кп описывается линейным преобразованием S, которое задается унимодулярной ортогональной матрицей. Это преобразование S переводит единичный шар Кп в самого себя, поэтому образ решетки Лп также является критической решеткой для Кп. □
Теорема 2. Существует критическая решетка Лп единичного шара Кп с базисом, матрица которого (а^) имеет треугольный вид.
Доказательство. Для доказательства этого утверждения покажем процесс преобразования произвольной критической решетки единичного шара Кп в решетку, v которой базис имеет матрицу верхнетреугольного вида.
По теореме 1 любую точку критической решетки Лп единичного шара Кп, принадлежащую сфере Кп, можно дополнить до базиса решетки Лп. Поэтому существует базис критической решетки Лп единичного шара Кп модуль хотя бы одного вектора которого равны 1. Пусть это базис задается матрицей
/ai,i ö>2,i ... öra,i\ Л л(0) —> —h ai,2 а2,2 ... ап,2
Ап = А1°' = (1, Ü2,..., ап) = ' ' '
\öi,ra &2,п . . . Q"n,nJ
а модуль вектора | а[| — 1.
Произведем поворот решетки Лп так, чтобы координаты первого вектора решетки стали равны а{(1) — (1, 0, ■ ■ ■, 0)т.
Это можно сделать с помощью преобразования поворота 51, задаваемого ортогональной матрицей с первой строкой й!,1, 02,1, ■ ■ ■, ап,1- Такую матрицу можно получить, дополнив вектор а! — (а1,1, а2,1, ■ ■ ■, ап, 1)т до ортонормированного базиса размерности п и транспонировав матрицу этого базиса. Пусть эта матрица имеет вид
( а1,
—
§(1) '2,1
«1,2
(1) 2,2
в
\8(1) \ьп,1
ъп,2
а1,п\
ь2,п
8{1)
Тогда
51 ■ о>1 —
а? 1 + а2,2 + ■ ■ ■ + я-1 „ „(1)„ + „(1)„ + + «(1) п в2 1а1,1 + в2 2а1,2 + ■ ■ ■ + в2 па1у
„(1),
.(1),
(1)
1
— 0
.0.
так как в ортогональной матрице скалярное произведение двух любых различных строк равно 0 (это сдедует из того, что для ортогональной матрицы А ■ Ат — Е). После применения преобразования Б1, получим рошотку Л^) с базисом
1
аЦ) — ■ —
1
0 а.
1а)
2,1
(1) 2,2
а(1)\
(1)
а,
\0 а™
а,
'п,2 (1)
(1) 41
а>1,кai,k,
-р 1г,з
к=1
£
к=1
а^к, 3 —2,^
Так как 51 это преобразование поворота, то в силу леммы 1 эта решетка является критической для единичного шара Кп.
Будем далее последовательно строить требуемую решетку (имеющую базис с матрицей верхнетреугольного вида). Рассмотрим базис решетки Л^, полученной на к-ом шаге этого процесса
Д п(к) п(к) п(к)^ п(к) \
А1к) —
\0 0 ■ ■ ■ 0 ык+1,п
Первые к столбцов матрицы этого базиса образуют верхнетреугольную матрицу. Рассмотрим следующее преобразование 5^+1, задаваемое матрицей
/1 0 0 1
£к+1 —
00 00 00
00
0 0 0. 0. .0 .0
0 лк °к+1 * м Кк ьк+2.к+1 0. лкик+2 ■ \* «(к, лк ьк+2,к+2 ■ .0 ■ ХкЬ(пк) \* «(к, ■ лк ьк+2.п
\ * „(к, лк ьп.к+1 \* „( к, лк ьп.к+2 ■ \ * „(к, ■ лк °п.п /
где
Ак =
( | -К - £ («Й,«)2)
1/2
Лк —
г=1
Ак
| «к+1
( к,
( к,
ик+1 и,
м м йк+2.к+1 'ък+2,к+2
к+2
в
№ \
( к,
(к, V 8п.к+1
в
( к,
п.к+2
к+2,п
(к, Зп.п
это ортогональная матрица с первой строкой
1 (к, — (ь(к) Ь(к) Ь(к,)
«к+1
( к,
| «к+1
( к,
| «к+1
( к,
а
( к,
( к,
к+1,к+1> к+1.к+2
, а
( к,
к+1.п
Она получается следующим образом. Берется вектор Ь (к) — (ь\к+_1, ^к+2, ■ ■ ■, ^пг^ , дополняется до ортонормированного базиса размерности п—к. Матрица этого базиса транспонируется. Тогда
(
£к+1 ' — к^Н-1(к) —
а
( к к+1.1
\
а
( к, к+1. к
\* ( V п(к) Ь(к)
лк\ ак+1,г иг
=1
\Ч V п(к) «(к) лк\ "к+1.г6к+2 =1
А* ^ V п(к, Ч(кЛ
у лк 1 2^"к+М йп.г I
/
а
( к, к+1.1
\
а
Ак
| —-1( к) | 2 0
0
( к, к+1. к
^ ( (к,
■)2)
/а(к, \ ак+1.1
а
( к, к+1. к Ак 0
0
0
а
1
5к+1 ■ 4 (к) =
а,
г,1
(к) г,г
0
г = 1,к, Бк+1 -4(к) =
0
а.
а.
(к) г,1
(к)
г,к
к ёа17^3
(к)гХк)
3=1
п
\* ^ п(к)е(к)
лк 2-й аг,з Ь2,3
3 = 1
^ п(к) „(к) ¿^ аг,з ьп,з
\ з=1
г = к + 2,п.
Таким образом получим новую решетку лПк+1), с базисом
Л (к) (к) (к)
1 а2,1 . . . ак,1 ак+1,1 (к) (к)
. ак,2 ак+1,2
0 а.
2,1 (к) 2,2
А1к+1) = Бк+1 ■ А1к) =
00 00
00
(к) (к) к+1
0 \к
0
0
а{ к+1) "к+2,1 . а{ к+1) "к+2,2 . а^1)} а(к+1) . ап,2
а(к+.) ак+2,к . (к+1) 'к+2,к+1 . а(к+1) . ап,к а(к+1) . ап,к+1
а (к+.) "к+2,п . а('к+1 )
V которого первые к + 1 столбцов образуют верхнетреугольную матрицу. Эта решетка является критической для единичного шара Кп. Отметим, что первые к столбцов матрицы ^Пк+1) совпадают с к первыми столбцами матрица ^Пк). Поэтому
а{ к) = а{ к+1)
= Хг, г = 1,к, з = 1,к.
Повторив эту процедуру для всех к от 1 до п — 1 мы получим решетку, базис которой имеет матрицу верхнетреугольного вида. Теорема доказана. □
Далее мы будем рассматривать критические решетки базисы которых имеют матрицу треугольного вида.
2.1. Случай п = 2
Случай п = 2 подробно рассмотрен в [6]. Несложно показать, что
1
д
А2 = Т"
0.86603,
Л2 =
( 1 1 V ( 1 0.5 \
и ^23 / V 0 0.86603 у ,
¡2(Х1 ,Х2)= х1 + Х1Х2 + X2,, 72 = ^3.
Так как в /2 все коэффициенты целочисленные, то по замечанию 1 она является допустимой для К2- Угол между двумя векторами в базисе Л2 равен ж/3. Отметим, что решетка с базисом из любых двух единичных вектора под уголом ж/3 является критической.
а
2.2. Случай п =3
В случае размерности п = 3 критический определитель имеет значение [6]
Да = — - 0.70711,
3 2 '
7э
= л/2.
Такой определитель можно получить, если добавить к предыдущей критической решетке размерности 2 вектор иод углами ж/3 и ж/3
1
Л
(1)
1
2
0 ^ 0 2
1 2 1
/12
\
V0 0 й)
1 0.5 0.5 0 0.86603 0.28868 0 0 0.8165
/з1) = ж2 + Х1Х2 + %1%3 + х2 + Х2%Ъ + X2
Если добавить к предыдущей критической решетке вектор под углами ж/2 ж ж/3
Л
(2)
( 1 2 0 \ 0 2 /3 V0 0 /I/
1 0.5 0
0 0.86603 0.57734 0 0 0.8165
(2) 2 2 2 /з Ж2 + Ж1Ж2 + Щ + ^2 ^ + х2
Или, если добавить к единичной решетке вектор под углами ж/3 и ж/3
Л
(3)
1 2 1 2
0 0 ^
10 01
1 0 0.5 0 1 0.5 0 0 0.70711
(3) 2 2 2
/з = хг + + %2 + + X2
Отметим, что две последние решетки эквивалентны с точностью до поворота вокруг 0. Так как все точки в исследуемым нами решетках имеют модуль равный 1, то решетка (с точностью до поворота вокруг 0), определяется взаимоположением этих векторов.
Рассмотрим графы, у которого вершинам соответствуют точки базиса решетки, а ребрам попарные скалярные произведения различных точек базиса. Графы такого вида полные. Будем рассматривать множество графов, соответствующих исследуемым нами критическим решеткам (далее множество графов взаиморасположения базисов критических решеток). При этом изоморфные между собой графы мы будем учитывать как один. Для размерности п = 2 это множество состоит из одного графа с ребром 2 (см. рис. 1).
о
Уз
3
3
3
Рис. 1: Граф взаимпорасположения векторов критической решетки размерности 2
Для размерности 3 таких множество состоит из 2-х графов. Они изображены на рисунке 2. Для простоты изложения, будем описывать их матрицей смежности:
Г^ = I 1/2 1/2 I , Г32) = | 1/2 1/2
1/2 0 1/2
0
Заметим, что формы /32) и эквивалентны. Действительно
/з2) = /з1)(^1,^2 + ж3, -ж3), /з3) = /(1)(-Х1,Х1 + х%, х2)
Так как любая форма, эквивалентная предельной, также является предельной, то вместо предельных форм обычно рассматривают классы эквивалентности предельных форм. Таким образом, альтернативой подсчета количества решеток выступает подсчет количества классов предельных квадратичных форм. Для размерностей п = 2 и 3 существует только один класс предельных форме [9]. Это форма
п п г
= ^2 х2 + £ £ ■
г=1 г=2 ] = 1
Она является предельной формой для п > 2 [9].
Наряду с предельными формами рассматривают совершенные формы.
Определение 6. [27] Положительно определенная квадратичная, форма, полностью определяемая заданием, значения, ее арифметического минимума и всех его представлений, называется совершенной.
В работах А. Н. Коркина и Е. И. Золатарева [18] было показано, что всякая предельная форма является совершенной. Для размерностей п = 2 и 3 также существует только один класс совершенных форме [9].
2.3. Случай п = 4 и п = 5
Значение постоянной Эрмита для п = 4 было получено А. Н. Коркиным и Е. И. Золатаре-вым [16, 17]
74 = ^2
В своих работах они предложили метод приведения квадратичных форм произвольной размерности (известный как приведение Коркина-Золатарева), который позволил достичь значительных результатов в задаче вычисления постоянной Эримта для небольших п. Это позволило получить значение постоянной Эрмита для п = 5 [18]
75 = ^8
Критический определитель размерности п = 4 имеет значение
1
Д4 = - = 0.5
Критическую решетку размерности 4 можно получить, если добавить к критической решетке л31) вектор под углами ж/2, ж/3 и ж/3
Л
(1)
1 1 2 1 2 0 \
0 /3 1 1
2 -/12 /3
0 0 /2 /3 1
0 0 0 /2 2 /
1 0.5 0 0.86603 00 00
0.5 0
0.28868 0.57735
0.8165 —0.40825
0 0.70711
(1)
Л = XI + Х1Х2 + Х1Х3 + Х1Х4 + Х^ + X2 + х4
Другую критическую решетку можно получить, если добавив к единичной решетке вектор под углами ж/3, ж/3 и ж/3
Л
(2)
1 1 2 1 2 0 \
0 /3 1 1
2 /12 /3
0 0 /2 1
/3 /6
0 0 0 /2 2 /
( 1 0.5 0 0.86603 00 00
0.5 0
0.28868 0.57735
0.8165 —0.40825
0 0.70711
/42) = + Х1Х2 + Х1Х3 + Х1Х4 + + + х\
Множество графов взаиморасположения базисов критических решеток размерности 4 состоит из 2-х графов:
Г
(1)
/ 1/2 1/2 0 / 1/2 1/2 0
1/2 1/2 1/2 Г(2) , Г 4 = 1/2 1/2 0
1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 0
0 1/2 1/2 / 0 0 0 /
Количество классов предельных и совершенных форм размерности 4 равно 2 [9, 17]. Это формы ^>04) и <^1п) = ^>[,п) — Х1Х2- Форма ^>1п) является предельной для п > 4 [18].
Критический определитель размерности п = 5 имеет значение
1
А
5 =
2\/2
0.35355
Критическую решетку размерности 5 можно получить, если добавить к критической решетке Л^ вектор под углами ж/2, ж/2, ж/2 и ^/3
Л
(1)
1 2
/3 2
1 0
00 00 00
1 2 1
/12 /2 /3
0 0
0 1
/3 1
6
0
0
0
/2 2
/2 I 2 /
/ 1 0.5 0 0.86603 00 00 00
0.5 0.28868 0.8165 0 0
0
0.57735 —0.40825 0.70711 0
0 0 0
0.70711 0.70711
4
4
5
О О О 0 0
/ = ж1 + Ж1Ж2 + Ж1Жз + х2 + ж2 Жз + Х2Х4 + + ЖзЖ4 + х3х5 + + х5
Множество графов взаиморасположения базисов критических решеток размерности 5 состоит из 7-х графов:
Г
(1)
Г
(3)
Г
(5)
/ 1/2 1/2 1/2 0 / 1/2 1/2 1/2 0
1/2 1/2 1/2 1/2 Г(2) Г5 1/2 1/2 1/2 0
1/2 1/2 1/2 1/2 , = 1/2 1/2 1/2 1/2
1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2
0 1/2 1/2 1/2 / 0 0 1/2 1/2 /
/ 1/2 1/2 0 0 ^ / 1/2 1/2 0 0 \
1/2 1/2 1/2 0 Г(4) Г5 1/2 1/2 1/2 0
1/2 1/2 1/2 1/2 , = 1/2 1/2 1/2 0
0 1/2 1/2 1/2 0 1/2 1/2 1/2
0 0 1/2 1/2 / 0 0 0 1/2 /
/ 1/2 1/2 0 0 ^ / 1/2 1/2 0 0 \
1/2 1/2 1/2 0 Г(6) Г5 1/2 1/2 1/2 0
1/2 1/2 1/2 1/2 , = 1/2 1/2 1/2 0
0 1/2 1/2 0 0 1/2 1/2 1/2
0 0 1/2 0 / 0 0 0 1/2 /
/ 1/2 0 0 0 ^
Г(7) Г5 1/2 1/2 0 0
= 0 1/2 1/2 0
0 0 1/2 1/2
0 0 0 1/2 /
Количество классов предельных и совершенных форм размерности 5 равно 3 [9, 18]. К
формам
^>1га) добавляется форма [18]
45) = ^ - 2(^2 + ^4 + Ж3Ж5 + Ж4Ж5).
2.4. Случай п = 6, 7 и п = 8
Развивая идеи А. Н. Коркипа и Е. И. Золатарева Г. Ф. Блихфельдтом [11] были получены значения постоянной Эрмита для размерности 6, 7 и 8.
/64
76 = \/у, 77 Критический определитель размерности п = 6 имеет значение
= л/64,
78 = 2.
Дб = ^ = 0.21651
8
Критическую решетку размерности 6 можно получить, если добавить к критической решетке Л^ вектор под углами ж/2, ^/2, ж/3, ^/3 и ^/3
/ 1 0
Л
6 =
1 2 1 2 0 0 0
У3 1 1 0 0
2 /12 /з
0 /2 1 0 /3
/3 /6 /8
0 0 /2 /2 1
2 2 /8
0 0 0 /2 2 1 /8
0 0 0 0 /3 /8 )
1 0.5 0.5 0 0 0 \
0 0.86603 0.28868 0.57735 0 0
0 0 0.8165 -0.40825 0 0.61237
0 0 0 0.70711 0.70711 0.3535
0 0 0 0 0.70711 0.3535
0 0 0 0 0 0.61237 /
5
5
5
Множество графов взаиморасположения базисов критических решеток размерности 6 состоит из 20 графов.
Множества классов предельных и совершенных форм размерности было описано в работе Е. С. Барнса [10]. Они состоят из 7 совершенных и 6 предельных форм.
Критический определитель размерности п = 7 имеет значение
1
Д7 = - = 0.125
7 8
Критическую решетку размерности 7 можно получить, если добавить к критической решетке Лб вектор под углами ж/2, ж/2, ж/2, ж/2, ж/2 и ж/3
Л7
1 1 2 1 2 0 0 0 0
0 -23 2 1 /12 1 /3 0 0 0
0 0 /2 /3 1 /6 0 /3 /8 0
0 0 0 /2 2 -2 1 /8 0
0 0 0 0 /2 2 1 /8 /8 0
0 0 0 0 0 /2 ^
0 0 0 0 0 0 73 /
1 0 0 0 0
0 0
0.5 0.86603 0 0 0 0 0
0.5 0.28868 0.8165 0 0 0 0
0
0.57735 0.40825 0.70711 0 0 0
0
0.57735 0.40825 0
0.70711 0 0
0 0
0.61237 0.3535 0.3535 0.61237 0
0 0 0 0 0
0.8165 0.57735
Множество графов взаиморасположения базисов критических решеток размерности 7 состоит из 112 графов.
Множества классов предельных и совершенных форм размерности 7 было исследовано и описано в работах [25, 26, 15]. Они состоят из 33 совершенных и 30 предельных форм.
Критический определитель размерности п = 8 имеет значение
1
Аз = — = 0.0625 16
Критическую решетку размерности 7 можно получить, если добавить к критической решетке Л7 вектор под углами ж/2, ж/2, ж/2, ж/2, ж/2, ж/2 и ж/3
Л8=
1 0
00
1 2
V! 2
00
00 00 00 00 00
1
2
1 1 1
\/12 /3 /3
1 1
/6 /6 /8
л/2
/3 0
0
2 0 ^
0 0
/3
/2
2
0 0 0
0 0 0 0 0
1
/8 1 /8
л/3 У2
/8 /3
0 75 00
0 0 0 0 0 0
-3 2
1 О.Б О.Б О О О О О
О 0.8660З 0.2SS6S 0.Б77ЗБ 0.Б77ЗБ О О О
О О 0.816Б 0.4082Б 0.4082Б 0.612З7 О О
О О О 0.70711 О 0.ЗБЗБ О О
О О О О 0.70711 0.ЗБЗБ О О
О О О О О 0.612З7 0.Б77ЗБ О
О О О О О О 0.Б77ЗБ 0.8660З
О О О О О О О О.Б
Множество графов взаиморасположения базисов критических решеток размерности 8 состоит из 421 графа.
Множества классов предельных и совершенных форм размерности 8 было описано в работе [24]. Они состоят из 10916 совершенных и 2408 предельных форм.
3. Заключение
Задача нахождения постоянной Эрмита имеет богатую историю и имеет тесную связь с другими фундаментальными задачами геометрии чисел, в том числе критическими решетками единичного шара. В данной работе были рассмотрены некоторые метрические свойства критических решеток единичного шара размерности до п = 8. Продолжением этих исследований является обобщение полученных результатов на большие размерности.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Венков Б. А., К работе «О некоторых свойствах положительных совершенных квадратичных форм», в кн. Г. Ф. Вороной , Собр. соч., том 2, Изд-во АН УССР, Киев, 1952.
2. Венков Б. А., О приведении положительных квадратичных форм // Изв. АН, серия ма-тем., т. 4, 1940, с. 37-52.
3. Венков Б. А., Элементарная теория чисел. - ОНТИ НКТП СССР, 1937.
4. Дирихле П. Г. Л., Лекции по теории чисел. - ОНТИ НКТП СССР, 1936.
5. Грубер. П. \!.. Леккеркеркер. К. Г. Геометрия чисел. - УРСС, 2004.
6. Касселс Дж. В. С. Введение в геометрию чисел: Пер. с англ. - М.: Мир, 1965.
7. Касселс Дж. В. С. Рациональные квадратичные формы: Пер. с англ. - М.: Мир, 1982.
8. Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы. - М.: Мир, 1990.
9. Рышков С. С., Барановский Е. П., Классические методы теории решетчатых упаковок // УМН, Т. 34, Вып. 4, 1979, с. 3-63.
10. Barnes Е. S., The complete enumeration of extreme senary forms // Phil. Trans. Roy. Soc. London, A-249, 1957, p.461-506.
11. Blichfeldt H. F., The minimum values of positive quadratic formes in six, seven and eight variables // Math. Z., 39, 1934, p. 1-15.
12. Гаусс К. Ф., Труды по теории чисел. - Изд-во АН СССР, 1959.
13. Gauss С. F., Untersuchungen über die Eigenschaften der positiven temaren quadratischen // Formen von Ludwig August Seeber, Gottingische gelehrte Anzeigen, 1831.
14. Hermite Ch., Lettres de m. Hermite a m. Jacobie sur differemts objets de la theorie des Nombres // J. Reine und Angew. math., 40, 1850, p. 261-315.
15. Jaquet-Chiffelle D.-O., Enumération complète des classes de formes parfaites en dimension 7 // Annales de l'Institut Fourier, Vol. 43, 1993, p. 21-55. http://doi.org/10.5802/aif.1320
16. Korkine A., Zolotareff G., Sur les formes quadratiques positives quaternaires // Math. Ann. 5, 1872, p. 581-583.
17. Korkine A., Zolotareff G., Sur les formes quadratiques // Math. Ann. 6, 1873, p. 366-389.
18. Korkine A., Zolotareff G., Sur les formes quadratiques positives // Math. Ann. 11, 1877, p. 242292.
19. Lagrange J. L., Recherches d'arithmetique, Nouveaux Mémoires de l'Academie royal des Sciences et Belles-Lettres de Berlin. - Berlin, 1773.
20. Minkowski H., Diskontinuitatsbereich fur arithmetische Äquivalenz //J. Reine und Angew. Math., 129, 1905, p. 220-274.
21. Minkowski H., Cher die positiven quadratischen Formen und liber Rettenbruchanliche // Algorithmen, J. Reine und Angew. Math., 107, 1891, p. 278-279.
22. Nowak W. G. Simultaneous Diophantine approximation: Searching for analogues of Hurwitz's theorem // In: T.M. Rassias and P.M. Pardalos (eds.), Essays in mathematics and its applications. Springer/ Switzerland. 2016. p. 181-197.
23. Seeber L. A., Untersuchungen über die Eigenschaften der positiven ternaren quadratischen Formen. - Freiburg, 1831.
24. Sikiric M.. Schuermann A., Vallentin F., Classification of eight dimensional perfect forms // Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, том 13, 2006, p. 21-32. http://doi.org/10.1090/S1079-6762-07-00171-0.
25. Stacev К. C., The enumeration of perfect septenary forms // J. London Math. Soc., 2, 10, 1975, p. 97-104.
26. Stacev К. C., The perfect septenary forms with 54 = 2 // J. Austral. Math. Soc., 22, 2, 1976, p. 144-164.
27. Voronoi G., Sur quelques propriétés des formes quadratiques positives parfaites // J. Reine und Angew. Math., 133, 1907, p. 97-178.
REFERENCES
1. Venkov B. A. 1952, "To the work "On some properties of positive perfect quadratic forms", in the book. G. F. Voronoi", Sobr. soch., vol. 2, publishing House of the Academy of Sciences of the Ukrainian SSR.
2. Venkov B. A. 1940, "Uber die Reduction positiver quadratischer Formen", Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., Vol. 4, 1940, p. 37-52.
3. Venkov B. A. 1937, Elementary number theory, ONTI NKTP USSR.
4. Dirichlet P. G. L., 1936, Lectures on number theory, ONTI NKTP USSR.
5. Gruber. p. M., Lekkerkerker. C. G. 1987, Geometry of numbers, Elsevier Science Publishers.
6. Cassels J. W. S. 1965, An Introduction to the Geometry of Numbers, Mir.
7. Cassels J. W. S. 1982, Rational quadratic forms, Mir.
8. Conway J., Slown N., 1990, Ball packings, lattices, and groups, Mir.
9. Rvshkov S. S., Baranovskii E. P. 1979, "Classical methods in the theory of lattice packings", Uspekhi Mat. Nauk, Vol. 34, Issue 4, p. 3-63; Russian Math. Surveys, Vol. 34, Issue 4, p. 1-68.
10. Barnes E. S. 1957, "The complete enumeration of extreme senary forms", Phil. Trans. Roy. Soc. London, A-249, p. 461-506.
11. Blichfeldt H. F., 1934, "The minimum values of positive quadratic formes in six, seven and eight variables", Math. Z., 39, p. 1-15.
12. Gauss C. F. 1831, "Untersuchungen über die Eigenschaften der positiven ternaren quadratischen", Formen von Ludwig August Seeber, Gottingische gelehrte Anzeigen.
13. Gauss C. F. 1959. Works on the theory of numbers, Publishing House of the Academy of Sciences of the USSR.
14. Hermite Ch., Lettres de m. Hermite a m. Jacobie sur differemts objets de la theorie des Nombres // J. Reine und Angew. math., 40, 1850, p. 261-315.
15. Jaquet-Chiffelle D.-O., 1993, "Enumération complète des classes de formes parfaites en dimension 7", Annales de l'Institut Fourier, Vol. 43, p. 21-55. http://doi.org/10.5802/aif.1320
16. Korkine A., Zolotareff G. 1872, "Sur les formes quadratiques positives quaternaires", Math. Ann., 5, p. 581-583.
17. Korkine A., Zolotareff G. 1873, "Sur les formes quadratiques", Math. Ann., 6, p. 366-389.
18. Korkine A., Zolotareff G. 1877, "Sur les formes quadratiques positives", Math. Ann., 11, p. 242-292.
19. Lagrange J. L., 1773, Recherches d'arithmétique, Nouveaux Mémoires de lAcademie royal des Sciences et Belles-Lettres de Berlin.
20. Minkowski H. 1905, "Diskontinuitatsbereich fur arithmetische Äquivalenz", J. Reine und Angew. Math., 129, p. 220-274.
21. Minkowski H., 1891, "Cher die positiven quadratischen Formen und liber Rettenbruchanliche", Algorithmen, J. Reine und Angew. Math., 107, p. 278-279.
22. Nowak W. G. 2016, "Simultaneous Diophantine approximation: Searching for analogues of Hurwitz's theorem", In: T.M. Rassias and P.M. Pardalos (eds.), Essays in mathematics and its applications. Springer/ Switzerland, p. 181-197.
23. Seeber L. A., 1831, Untersuchungen über die Eigenschaften der positiven ternaren quadratischen Formen, Freiburg.
24. Sikiric M., Schuermann A., Vallentin F., 2006, "Classification of eight dimensional perfect forms", Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, Vol. 13, p. 21-32. http://doi.org/10.1090/S1079-6762-07-00171-0
25. Stacev К. С., 1975, "The enumeration of perfect septenary forms", J. London Math. Soc., 2, 10, p. 97-104.
26. Stacev К. C., 1976, "The perfect septenary forms with Д4 = 2", J. Austral. Math. Soc., 22, 2, p. 144^164.
27. Voronoi G., 1907, "Sur quelques propriétés des formes quadratiques positives parfaites", J. Reine und Angew. Math., 133, p. 97-178.
Получено: 2.10.2022 Принято в печать: 22.12.2022
