CC BY
59
А. В. Малышев вместе с женой Клавдией Ивановной и Анной Вальфиш в Карелии в 19731'.
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 20. Выпуск 3.
УДК 511 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-3-43-73
Основные понятия и теоремы геометрии чисел1
А. В. Малышев
Александр Васильевич Малышев — доктор физико-математических наук, профессор
(1928-1993).
Аннотация
Этот краткий обзор1 содержит описание важнейших понятий геометрии чисел и ее главные предложения. Сюда не включена геометрия квадратичных форм — интересный, но специальный раздел теории чисел (и геометрии), стоящий на стыке геометрии чисел и теории квадратичных форм.
Ключевые слова: арифметический минимум, звездное тело, лучевая функция, покрытие, решетка, упаковки.
Библиография: 49 названий.
Для цитирования:
А. В. Малышев. Основные понятия и теоремы геометрии чисел // Чебышевский сборник,
2019, т. 20, вып. 3, с. 43-73.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 20. No. 3.
UDC 511 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-3-43-73
The main notions and theoremes of the geometry of numbers2
A. V. Malvshev
Aleksandr Vasilyevich Malyshev — doctor of physical and mathematical Sciences, professor (1928-1993).
1Эта статья была подготовлена мной к печати и опубликована в 1997 году в сборнике статей «Труды Петрозаводского государственного университета», серия математика, выпуск 4. Но этот сборник мало популярен у теоретико-числовиков и такая публикация обзора А. В. Малышева по геометрии чисел подобна выставлению картины Ван Гога в заброшенном доме, подлежащем сносу, ибо этот обзор чрезвычайно богат материалом и, что немаловажно, написан очень хорошим языком, что в математических текстах встречается не часто. Публикация его в широко известном и весьма почитаемом теоретико-числовым сообществом журнале «Чебышеский сборник» отдает должное автору и восстанавливает справедливость. В. М. Широков (Петрозаводск).
2This article was prepared by me for the press and published in 1997 in the collection of articles «Proceedings of Petrozavodsk state University», mathematics series, issue 4. But this collection is not very popular among number theorists and such a publication of A. V. Malyshev's review of the geometry of numbers is similar to the exhibition of a van Gogh painting in an abandoned house to be demolished, because this review is extremely rich in material and, importantly, written in very good language, which is not often found in mathematical texts. The publication of it in the well-known and highly respected journal theoretical and numerical community «Chebyshesky collection» pays tribute to the author and restores justice. В. M. Shirokov (Petrozavodsk).
Abstract
This brief review contents the description of most important concept of geometry or numbers and its main application. It is not included the geometry of quadratic forms — interesting but the special part of a number theory (and a geometry of numbers) standing on joining point of the geometry of numbers and the quadratic forms theory.
Keywords: arithmetical minimum, star body, radial function, covering, lattice, packing.
Bibliography: 49 titles.
For citation:
A. V. Malyshev, 2019, "The main notiones and theoremes of the geometry of numbers Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 3, pp. 43-73.
Оглавление
1. Введение ...............................................................................46
2. Лучевые функции. Звездные и выпуклые тела ........................................47
3. Точечные решетки .....................................................................48
4. Расположения. Упаковки и покрытия .................................................48
5. Арифметический минимум лучевой функции. Критический определитель
и критические решетки множества.....................................................50
6. Блихфельдта и Минковского. Теорема Минковского о системе линейных однородных форм. Параллелоэдры ....................................................53
7. О методе Блихфельдта ................................................................56
8. Классические задачи геометрии чисел ................................................57
9. Последовательные минимумы лучевой функции в решетке. Неравенство Роджерса - Шаботи. Проблема аномалии. Вторая теорема Минковского
о выпуклом теле........................................................................60
10. Теоремы о среднем в пространстве решеток. Теорема Главки и ее уточнения. Проблема Рейнхальдта ................................................................61
11. Об отыскании критических и экстремальных решеток ограниченного звездного тела 63
12. Явления изоляции арифметических минимумов. Спектры минимумов ...............64
13. О неоднородных задачах геометрии чисел ............................................65
14. Об общей задаче геометрии чисел .....................................................68
1. Введение
В широком понимании геометрия чисел — приложение геометрических методов к теоретико-числовым проблемам. Но это слишком широкое, слишком неопределенное понимание предмета геометрии чисел. Как исторически сложившаяся дисциплина геометрия чисел имеет дело, в первую очередь, с задачей об арифметическом минимуме т(Р) некоторой вещественной функции
^ = ^ (X) = Р (Х1,Х2, ...хп) от п переменных. Под т(Р) понимается величина
т(Р) = Ш (х)1
где точная нижняя граница берется по всем целым точкам х = (х\,х2,... ,хп) € , удовлетворяющим некоторым дополнительным условиям (например, условию х = 0, однородный арифметический минимум). Знание т(Р) позволяет нам судить об условиях существования решений диофантова неравенства
(х)1 <с,
а к этому вопросу сводятся многие задачи теории чисел.
Геометрия чисел — как раздел теории чисел — сформировалась с выходом (1896 г.) основополагающей монографии Минковского [38]3.
По существу, монография посвящена ныне всем известной теореме Минковского о выпуклом теле и ее многочисленным приложениям.
Основная идея геометрии чисел (принадлежащая Минковскому) заключается в следующем4. Для оценки однородного арифметического минимума т(Р) важно знать соответствующую постоянную Эрмита ^(Р) — наибольший нормированный арифметический минимум фукции Р. Но для вычисления постоянной Эрмита или для ее оценок возможна следующая геометрическая процедура. Пусть М = М(Р) С Кга — множество вещественных точек £ с условием
№ (01 < 1.
Рассматривая М совместно с различными точечными решетками, сопоставляем множеству М некоторую вещественную постоянную — критический определитель Д(М) множества М. Если Р — лучевая функция (т. е. если — звездное тело), то 7(Р) выражается через Д(М) (и обратно). Если же, сверх того, Р — выпуклая симметрическая функция, то Д(М) (а следовательно, и 7(Р)) выражается через плотность в(Ш) плотнейшей решетчатой упаковки множества М и задача вычисления или оценки 7(Р) и Д(М^) сводится к задаче вычисления или оценки 9(М). В частности, теорема Минковского о выпуклом теле равносильна геометрически очевидному утверждению: плотность упаковки не превышает 1.
Число книг по геометрии чисел невелико. Помимо упомянутой монографии [38] Минков-ский опубликовал (1907 г.) книгу [40]. Все работы Минковского по геометрии чисел (и монографии, и статьи) переведены на английский язык и собраны в книге [31]. Современной учебной монографией по геометрии чисел является книга Касселса [8]5. В 1969 г. вышла в свет большая монография Леккеркеркера [36], претендующая6 на полный отчет об исследованиях по
3Первоначально на титульном листе этой монографии было обозначено "Выпуск первый". Второго выпуска, к сожалению, не последовало. Второе издание (1910 г.) было дополнено еще одним параграфом. Имеются более поздние перепечатки издания 1910 г.
4Разъяснение понятий и утверждений этого абзаца см. ниже, параграфы 2-6.
'К сожалению, книга Касселса, на мой взгляд, несколько рыхла композиционно (еще больше это относится к монографии [36]). Для первого чтения можно рекомендовать обзор Главки [33] (или наш обзор) и стр. 9-27, 31-39, 87-111, 134-205, 216-283, 300-312, 369-401 книги Касселса [8].
6Эти претензии не вполне обоснованы (по крайней мере, в отношении библиографии, особенно статей на русском языке).
геометрии чисел вплоть до 1965 года (и, в частности, на полноту библиографии). Специальным вопросам геометрии чисел (упаковкам и покрытиям) посвящены книги Роджерса [16] и Фейеша Тота [22]. См. также монографии по диофантовым приближениям Коксма [35] и Касселса [7], содержащие разделы, посвященные геометрии чисел. Некоторые проблемы геометрии чисел рассмотрены в книге [30]. Хорошим дополнением к монографиям по геометрии чисел является энциклопедическая статья Келлера [34]. Среди многочисленных журнальных обзоров по геометрии чисел выделяется блестяще написанный обзор Главки [33]. Последний обзор по геометрии чисел, содержащий отчет о сравнительно новых исследованиях, принадлежит Груберу [29]. Библиография статей по геометрии чисел содержит свыше 2000 названий, пополняясь ежегодно несколькими десятками статей.
Наш обзор можно разбить на три части:
1. § 2-4 посвящены некоторым понятиям геометрии, имеющим важные приложения в дальнейшем, но, строго говоря, не принадлежащим к собственно геометрии чисел.
2. § 5-12 относятся к однородной задаче, занимающей в геометрии чисел центральное место.
3. В § 13 дан краткий обзор исследований по неоднородной задаче геометрии чисел; в § 14 формулируется проблема Маркова—Делоне, включающая в себя как однородную, так и неоднородную задачи геометрии чисел.
2. Лучевые функции. Звездные и выпуклые тела
Вещественная функция Р = Р(х) = Р(Х\,Х2,... ,хп), заданная на Мга, называется лучевой, если
1. ^(х) ^ 0;
2. Р(х) непрерывна;
3. Р (х) однородна: для любого вещественного числа Л > 0 имеет место равенство
^ (Хх) = ХР (х).
Лучевым функциям можно привести во взаимно однозначное соответствие звездные тела. Открытое множество С мы называем звездным телом с центром в точке О € Мга, если для любой точки х € С отрезок [0, х\ С С; в частности, О € С. Открытое множество К мы называем выпуклым телом,, если для любых х,у € К отрезок [х, у\ С К. Выпуклое тело К является звездным телом, причем центром можно считать любую точку тела К. Соответствие между лучевыми функциями и звездными телами описывается следующими простыми утверждениями:
1. Если Р(х) — лучевая функция, то
С = СР = {х | ^(х) < 1} (1)
— звездное тело. Обратно, если С- звездное тело с центром в начале координат, то найдется единственная лучевая функция Р, для которой неравенство (1) определяет тело С = Ср.
2. Звездное тело С ограничено тогда и только тогда, когда соответствующая лучевая функция Р(х) положительна:
Ух = 0 ^(х) > 0.
3. Звездное тело C выпукло тогда и только тогда, когда соответствующая лучевая функция F(х) выпукла: для любых х,у £ Мга
F(х + у) < F(х) + F(у) (2)
Можно доказать, что звездное тело (и в частности, выпуклое тело) измеримо по Жордану.
3. Точечные решетки
Пусть е\,е2,... ,еп £ Мга линейно независимы. Множество
Л = Zei + Ze2 + ... + Zen = {а | а = giei + 5^2 + ... + дпеп, 9i,...,дп £ Z}, (3)
где gi,g2,...,gn независимо друг от друга пробегают все целые числа, называется решеткой (точнее, n-мерной решеткой) с базисом ei, е2,..., ега. На решетку Л можно смотреть как
Л
бесконечное множество базисов; их общий вид: (ei,e2,... ,en)U, где U пробегает все целые матрицы определителя ±1. Однако величина
d(A) = | det(ei,e2,...,era )| > 0, (4)
объем параллелепипеда, построенного на векторах базиса, не зависит от выбора базиса; d(A)
Л
n-мерную точечную решетку можно охарактеризовать как существенно n-мерное дискретное точечное множество в Мга, являющееся группой относительно сложения точек (векторов) в Мга
4. Расположения. Упаковки и покрытия
Пусть ЭТ С Кга — произвольное множество, Л — решетка в Мга. Семейство множеств
(ЭТ, Л} = + а | а € Л}, (5)
где а пробегает все точки решетки Л, называется расположением, множества ЭТ по решетке Л. Расположение (ЭТ, Л} называется упаковкой множества ЭТ по решетке Л, если множества ЭТ + а, входящие в семейство (ЭТ, Л}, попарно не пересекаются:
(аг,а,2 € Л, аг = 0,2) ^ (ЭТ + аг) П (ЭТ + 02) = 0.
Расположение (ЭТ, Л} называется покрытме,м мн ожества ЭТ по решет ке Л, если замыкания множеств ЭТ + а, входящих в семе йство (ЭТ, Л}, в совокупности покрывают все пространство:
У (ЭТ + а) = Мга. аел
Расположение (ЭТ, Л}, являющееся одновременно и упаковкой, и покрытием, называется разбиением пространства Мга множества ми ЭТ + а, а € Л.
Пусть ЭТ— ограниченное, измеримое по Лебегу множество с мерой V(ЭТ). Ясно, что все множества расположения (ЭТ, Л} измеримы и что V(ЭТ + а) = V(ЭТ). Рассмотрим шар
Сх = (х € Мга | |ж| < X}
радиуса X ^ с центром в начале О. Пусть
R + ai, R + 02,..., R + as, s = s(X), — все те множества {R, Л}, которые лежат в Cx- Доказывается, что существует предел
Л)= Чш Sff V(R + «> = lim V(R) «п.,
J xV(Cx) xv ' vnXn'
где
n
Ж 2
= ^ (Ci)
" Г( I)
— объем единичного шара |ж| < 1. Величину р(Я, Л) называют плотностью расположения {Я, Л} множества Я по решетке Л. Грубо говоря, это — "доля" пространства (с учетом перекрытий), занимаемого множествами Я + а, а € Л. Можно доказать, что
Л) = №
Ясно, что если {Я, Л} — упаковка, то
Р(т, Л) < 1, (7)
так что в силу (6)
Если {Я, Л} — покрытие, то
Если {Я, Л} — разбиение, то
V(R) < d(X). (8)
p(R, Л) ^ 1, V(R) ^ d(X). (9)
p(R, Л) = 1, V(R) = d(X). (10)
Я
имеет смысл величина р(Я, Л). Рассмотрим точную верхнюю границу
в(Я) = жр р(Я, Л) = . , (11)
л т! л а(Л)
{ Я, Л}
Будем называть в(Я) решетчатым упаковочным коэффициентом (плотностью плотнейшей
Я
достигаться. В силу (7)
в (Я) < 1. (12)
Точно так же точную нижнюю границу
г (Я) = Ш р(Я, Л) = (13)
л 8ирл d(Л)
плотностей р(Я, Л), взятую по всем решетчатым покрытиям, будем называть решетчатым, коэффициентом покрытия (плотностью экономичнейшего решетчатого покрытия) множе-Я
т(Я) ^ 1. (14)
Рассматриваются (и это иногда полезно для задач геометрии чисел) и общие, не обязательно решетчатые, расположения. Пусть Т — множество точек пространства Мга (как правило, это дискретное множество, более или менее равномерно распределенное по пространству Мга). Расположением {Я, Т} множества Я по Т называем семейство множеств
{Я,Т} = {Я + а | а € Т}. (15)
Если множества Я + а семейства (15) попарно не пересекаются, то мы говорим об упаковке Я по Т. Если иа^т(Я + а) = Мга, то говорим о покрытии Я по Т.
Пусть Я— ограниченное, измеримое по Лебегу множество с мерой V(Я). В общем случае расположения {Я, Т} вопрос о существовании плотности р(Я, Т) расположения становится нетривиальным. Определяется: нижняя плотность
р (Я,Т) = 11твир --' , -
X^те V (СХ)
и верхняя плотность
р+(Я, Т) = lim
х^ж V (Cx)
Если р+(Я,Т) = p-(R,T) = p(R,T), to p{R, T) называем плотностью расположения (Я, Т} Подобно решетчатым упаковкам и покрытиям определяем:
Г (Я) = sup р+(Я,Т), т
— упаковочный коэффициент Я, где точная верхняя граница берется по всем упаковкам (Я, Т}
т*(Я)=Ы р- (Я, Т),
— коэффициент покрытия Я, где точная нижняя граница берется по всем покрытиям (Я, Т}
Я
в(Я) < в*(Я) < 1 < т*(Я) < т(Я). (16)
Вопрос о совпадении в (Я) ж в* (Я) ^а так же т (Я^ т *(Я)) является очень сложным, даже для простейшего частного случая n-мерного шара Я = Cn = (х | |ж| < 1}. Предполагается, что для некоторого по ^ 3:
T(Cn)= т*(Cn), если п ^ п0; ]
} (17)
т(Сп) < т* (Cn), если п > п0. J
Это доказано лишь для п = 2. Уже случай п = 3 не исследован до конца (ср. Фейеш Тот [22, гл.7, § 2]).
О нерешетчатых упаковках и покрытиях см.: Роджерс [16].
5. Арифметический минимум лучевой функции. Критический определитель и критические решетки множества
Рассмотрения § 2-4 являются лишь введением в геометрию чисел. Собственно геометрия чисел начинается при совместном рассмотрении точечных решеток и множеств (или лучевых
функций), а также связанных с ними решетчатых упаковок и покрытий. И здесь возникают важнейшие понятия геометрии чисел 7 — понятия критического определителя и критических решеток данного множества М С Кга.
Говорим, что точечная решетка Л С Кга является допусти,мои для множества М С Кга или М-^опустм^ой, если множество М не содержит точек решетки Л, кроме, быть может, начала координат, т. е. если
М П Л С (0}.
Множество М, имеющее хотя бы одну допустимую решетку, называется множеством конечного типа,; в противном случае М называется множеством бесконечного типа,. Ясно, что всякое ограниченное множество является множеством конечного типа. Пусть М— множество конечного типа. Точная нижняя граница
Д(М) = М ¿(Л)
Л — ОТ-допустима
определителей ^(Л) всех М-допустимых решеток Л называется критическим, определителем, множества М. Если М — множество бесконечного типа, то дополнительно определяем:
Д(М) =
Всякая М-допустимая решетка Л, для которой
й(Л) = Д(М),
называется критической решеткой, множества М. Ясно, что множество бесконечного типа не имеет критических решеток. Множество М конечного типа также может не иметь критических решеток, или иметь их конечное число или иметь их бесконечное множество (и счетной, и континуальной мощности). Условия существования критических решеток могут быть выведены из предложений Малера о компактности решеток. В частности, для нужд геометрии чисел вполне достаточно следующего утверждения:
всякое звездное тело 3 конечного типа с центром в начале О имеет хотя бы одну критическую решетку.
Подробности см.: Касселс [8, гл. 5, § 3-5]; Леккеркеркер [36, § 17].
Важность понятий критического определителя и критических решеток определяется их связью с понятием однородного арифметического минимума. Пусть Р = Р(х) — лучевая функция, заданная на Мга, Л С Кга — точечная решетка (например, решетка Ъп целых точек). Точная нижняя граница8
т(Р, Л) = М ^ (а) (18)
аел, а=0
значений Р(а) функции Р в точках а решетки Л, отличных от начала О, называется минимумом (точнее, однородным, арифметическим минимумом) функции Р в решетке Л. Точная нижняя граница (18) может не достигаться. Легко доказать (Касселс [8, стр. 154]), что (18) заведомо достигается для положительных лучевых функций Р, т. е. для ограниченных звездных тел (1).
Для оценки т(Р, Л) сверху важно уметь вычислять или оценивать постоянную Эрмита
) = 8ПР Л) (19)
л да)}п
7Точнее говоря, понятия, относящиеся к однородной задаче — основному разделу геометрии чисел; однородной задаче посвящены § 5-12 нашего обзора.
8Некоторые авторы (см. Касселс [8]) обозначают гп(Р, Л) через Р(Л).
лучевой функции точная верхняя граница берется по всем п-мерным точечным решеткам Л; ) достигается на некоторой решетке Ло (где т(Р, Л), вообще говоря, может не достигаться). Из определения ^(Р) сразу следует, что
т(Р, Л) < )(^(Л)}п , (20)
причем по любому е > 0 можно подобрать такую решетку Л(0) = Л^0, что
т(Р, Л(0)) > (7(^) - е}(^(Л)}£,
иными словами, при данной решетке Л (скажем, решетке целых точек Zra) неравенство типа (20) неулучшаемо, если вместе с Р рассматривать и все лучевые функции, получающиеся из р невырожденной вещественной линейной однородной подстановкой переменных.
Связь постоянной Эрмита с понятием критического определителя устанавливается следу-
9
ющим просто доказываемым предложением .
Теорема 1. Пусть Р(х) — лучевая функция. Тогда
7(^) = (Д(£^)}—£, (21)
где — звездное тело, определяемое неравенством (1). Если звездное тело имеет конечный тип, то
0 < Д(£^) < +го,
ибо в этом случае существует критическая решетка (см. выше), так что из (21) выводим:
0 < 7< (22)
Если — звездное тело бесконечного типа, Д(£^) = то (21) потачает, что 7(^) = 0 и
Л
т(Р, Л) = 0,
так что для любого е > 0 найдется точка а € Л, а = 0 с условием
^(а) < е. (23)
Поэтому определение типа данного звездного тела является принципиально важной (и сложной) задачей. В частности, определение типа для
Р(х\,Х2, . . . , Хп) = ±х\ ± х\ ± ... ± х2п, п ^ 5,
где под знаком корня стоит неопределенная форма (не все знаки одинаковы), привело бы к решению известной проблемы Дэвенпорта^Хейльброна (см. Леккеркеркер [36, стр. 347]). На 7(Р) можно смотреть как на абсолютный максимум функции
дл т(р, Л) МЛ) = К?, Л)= ' 7
(¿(Л)}
9Если не оговорено противное, доказательства приводимых предложений можно найти в книге Касселса
И-
на множестве 2п всех решеток Л С Кга. Но на 2п разными (эквивалентными) путями можно определить понятие близости решеток, превратив 2п в топологическое (и даже метрическое) пространство. Тогда, наряду с абсолютным максимумом 7(Р) функции ^(Л) = ц.(Р, Л), естественно рассматривать и локальные максимумы 7(г')(Р). Решетки, отвечающие локальным максимумам функции ^(Л) на будем называть экстремальными (или предельными). Несколько обще, экстремальные решетки для данного множества М можно определять как точки локального условного минимума функции с!(Л) на 2п, предполагая, что решетка Л допустима для М. Критические решетки множества М находятся среди экстремальных. Помимо 7(Р) (или Д(М)) рассматривается набор локальных постоя иных Эрмита {7 (г\Р)} функции Р (или набор экстремальных определителей {Д(г) (М)} множества М).
6. Теоремы Блихфельдта и Минковского. Теорема Минковского о системе линейных однородных форм. Параллелоэдры
Связь между критическим определителем и плотностью решетчатой упаковки устанавливается следующим предложением, принадлежащим, по существу, Минковскому, но называемому теоремой Блихфельдта (или теоремой Биркгофа—Блихфельдта).
Теорема 2. Пусть Я^ произвольное множество в Мга, И Я — соответствующее ему разностное множество:
и я = {z-r^| (,г] € Я}.
Пусть Л С Мга — решет ка. Для т ого, чтобы рас положение {Я, Л} было упаковкой, необходимо и достаточно, чтобы решетка Л была И Я-допустимой.
Используя (11), отсюда сразу получаем:
Я
вЯ = -щщ- т
Если для заданного множества М можно найти первообразное ограниченное множество Я с условием
М = И Я, (25)
то (24) можно переписать так:
ДМ = ш ■ (26)
К сожалению, представление (25) имеется далеко не всегда (в частности, потому, что разностное множество симметрично относительно начала). Если его нет, то ищут ограниченное
Я
И Я С М. (27)
Тогда Д(ИЯ) ^ Д(М), а из (24) выводим:
> т. (28)
Так как имеет место тривиальное неравенство (12), то отсюда вытекает следующее предложение, позволяющее оценивать снизу критический определитель заданного множества.
Следствие 2. Пусть М — произвольное заданное множество, Я — измеримое по Лебегу (не обязательно ограниченное) множество меры, V(Я) с условием (27). Тогда,
Д(М) ^ V(Я). (29)
Есть важный класс множеств, когда проблема отыскания оптимального Я легко и исчерпывающе решается. Это симметрическое относительно О выпуклое тело К. Для него
я = 2 К, у (я) = 21у (К), в я = К, 0(я) = в (К),
нет множества Я, удовлетворяющего (27) и имеющего объем, больший, чем множество ^ К. Для М = К, Я =1К формула (26) превращается в следующее важнейшее предложение.
Теорема 3. Пусть К — выпуклое, симметричное относительно начала, О тело объемом V(К). Тогда
Д(К) = -Ш,. (30)
1 ! 2п в (К) Х '
В частности,
Д(К) ^ 2-пУ(К). (31)
Неравенство (31), являющееся одной из формулировок теоремы Минковского о выпуклом теле, есть прямое следствие формулы (30) и неравенства (12). На неравенство (31) можно смотреть так же, как на частный случай неравенства (29) при М = К, Я = 2 К.
Неравенство Минковского (31) дает оценку снизу критического определителя Д(К) выпуклого, симметричного относительно О тел а К. Эта оценка, вообще говоря, неулучшаема. Например, для параллелепипеда
О = (6е1 + 6е2 + ... + Спе„ | |61 < 1, Ы < 1,..., Ы < 1},
где е1,е2,...,еп — базис решетки Л, неравенство (31) превращается в равенство, ибо Л — решетка, допустимая для О,
Д(О) = <Л), У (О) = 2га| ёе^еь е2, ...,еп)1 = 2га^Л).
В силу (30) для того, чтобы неравенство (31) превратилось в равенство, необходимо и достаточно, чтобы 9(К) = 1. Выпуклое тело К с условием
в(В) = 1 (32)
называется параллелоэдром. Для того, чтобы выпуклое тело К было параллелоэдром, необходимо и достаточно (см. § 4), чтобы нашлась такая решетка Л, что расположение (К, Л} являлось бы разбиением пространства Яга. Параллелоэдры играют важную роль в геометрии чисел и в математической кристаллографии. Их исследование далеко не завершено. Доказано, что К — симметричный многогранник с числом граней не больше 2(2га — 1). Типы параллело-эдров описаны лишь для п ^ 4 (для п = 2 — два типа, для п = 3 — пять типов (Е. С. Федоров), для п = 4 — 51 тип (В. Н. Делоне)). Важнейший частный случай параллелоэдров — области
Л
®А = (£ € Мга | |£| < |£ — а| У а € Л}
(33)
называется областью Дирихле—Вороного1® решетки Л. Г. Ф. Вороной построил алгоритм отыскания типов областей Эд для каждого данного п. Другие варианты такого алгоритма принадлежат Е. П. Барановскому и С. С. Рышкову [17]. Эти авторы нашли все общие типы для п = 5 (их оказалось 221). Для завершения, в известном смысле, теории параллелоэдров было бы желательно доказать труднейшую гипотезу Вороного:
Всякий параллелоэдр есть аффинный образ некоторой области Дирихле — Вороного.
Эта гипотеза доказана Г. Ф. Вороным для так называемых примитивных параллелоэдров Д, таких, что в разбиении {К, Л} в каждой вершине сходится ровно п+1 ребро (параллелоэдры общего положения). Некоторое обобщение этого результата принадлежит Щ. Л. Житомирскому. Подробности теории параллелоэдров, в частности, теории областей Дирихле—Вороного см.: В. Н. Делоне [4,5], С. С. Рышков, Е. П. Барановский [17] и цитированную там литературу.
В силу (21) неравенство (31) дает оценку сверху постоянной Эрмита ^(Р) выпуклой симметричной лучевой функции Р(х), а с ней и оценку сверху арифметического минимума т(Р, К). На этом основаны все приложения теоремы Минковского о выпуклом теле. Например, применяя (20), (21) и (31) к решетке Л = Zn целых точек и лучевой функции
Р(х) = шах!1 I^а^Ху
3 = 1
приходим к следующей важной теореме Минковского о системе линейных однородных форм. Теорема 4. Пусть Рг > 0, ац е К, | = А > 0 (г ,2 = 1,2,...,п). Пусть
Р1Р2 •••Рп > А. (34)
Тогда, найдутся т,акие целые числа, х1,х2,... ,хп, не равные одновременно нулю, что
п
| ^^а^х^ < Рг, ^ = 1,2,..., п. (35)
3=1
Формулы (21) и (30) показывают, что для выпуклой симметричной функции Р(х) следующие три проблемы эквивалентны11:
1. проблема арифметических минимумов, точнее, задача отыскания ^(Р);
2. проблема нахождения критического определителя А(Яр) тел а Яр, определенного неравенством (1);
3. проблема плотнейших решетчатых упаковок тела Я точнее, задача отыскания 9(Яр); при этом
7(Р) = {А(Яр)}^ = 2 |ЩЯр^}П . (36)
Частично (см. выше, (21) и (26)) такое сведение проблемы арифметических минимумов возможно и для общих лучевых функций.
В заключение заметим, что теоремы Минковского и Блихфельдта имеют многочисленные переформулировки, обобщения и уточнения (см. Касселс [8], Леккеркеркер [36]).
10Под областью Дирихле — Вороного иногда понимают открытое множество — внутренность множества (33). Область Эл можно сопоставлять те решетке, а положительно определенной форме / (отвечающей А): ¡0/ = {С € К" | /(£) < f (£ - а), Уа €
11 Эта эквивалентность окажется еще более глубокой, если мы будем рассматривать локальные экстремумы 7(г)(^1), Д(г>(Яр),в(г>(Яр) и отвечающие им экстремальные решетки Л(7*>, Л(А*>, Л(0*>. Между этими решетками имеется полное соответствие (с точностью до гомотетии). Для соответствующих величин
7
(г> (Г), ДМ(Я^),в(г)(Яр) имеет место формула типа (36).
7. О методе Блихфельдта
Для оценки критического определителя Д(М) данного множества М можно воспользоваться неравенством Минковского (31). Для этого надо вписать в М выпуклое, симметричное относительно О тел о К возможно большего объема V (К). Тогда из К С М и из (31) выводим:
Однако этот метод оценки не всегда эффективен, особенно для множеств М, не являющихся выпуклыми.
Имеется ряд методов для оценки или вычисления Д(М) (см. Леккеркеркер [36, гл. 5]). Наиболее известным из них, общим и перспективным является метод Блихфельдта.
Метод Блихфельдта является сочетанием двух идей. Во-первых, для невыпуклых множеств М при оптимальном выборе множества Я (оно должно удовлетворять условию (27) и иметь возможно большую меру V(Я)) неравенство (29) дает, как правило, более сильную оценку, чем (37). Проблема отыскания по заданному М такого множества Я непроста. Она до сих пор дискутируется в литературе. Последняя по времени публикация принадлежит Сиону [47]. В ней рассматривается вопрос оптимального выбора Я при данном М. Мы отсылаем читателя к этой статье и цитированной там литературе.
Во-первых, как для выпуклых, так и для невыпуклых множеств весьма плодотворной оказалась следующая идея. Вместо упаковок или покрытий (последние — для неоднородной задачи, см. § 13; решетчатых или нерешетчатых) множества М рассматриваем расположения гомотетически расширенных множеств £ М, приписывая им переменную плотность. Иначе говоря, рассматриваются не множества (или их характеристические функции), а финитные распределения ф(х), связанные с этими множествами. При этом используется не сама теорема Блихфельдта, а ее обобщение на распределения <р(х) (см.: Касселс [8, стр. 99, теорема 4]). Подробности о методе Блихфельдта (и литературу) см.: Леккеркеркер [36, § 33]).
Одним из вариантов реализации метода Блихфельдта является следующее предложение (Леккеркеркер [36, стр. 263, теорема 3]).
Пусть & и Т — звездные тела с лучевыми функциями /ид соответственно:
причем Т ограничено (т. е. д — положительная лучевая функция). Рассмотрим финитную неотрицательную функцию 5(р):
Пусть для некоторых вещественных параметров а, Р, ^ > 0 при любом конечном наборе точек х\,х2,..., хт е Мга из
Д(М) ^ Д(К) ^ 2-пУ(К).
(37)
& = [х | /(х) < 1}, Т = [х | д(х) < 1},
6(р) ^ 0, р е М, р ^ 0, 6(р) = 0 при р > ро.
/ (хк - Х1) ^ 0 (к,1 = 1, 2,...,т,к = I)
(38)
для всех х е Мга следует
т
(39)
Тогда
Д(&) ^ 0-П(ч-11)У(Т),
где
те
I
J 5(р) (1(р а ) = — ! р а 15(р) (1р.
о
о
Возникает вопрос об оптимизации метода Блпхфельдта, в частности, о выборе по Т звездного тела Т, функции 5(р) и параметров а, Р, 7 с условиями (39) с тем, чтобы оценка (40) была наилучшей.
8. Классические задачи геометрии чисел
Описанные ниже диофантовы проблемы занимают центральное место в геометрии чисел (по крайней мере, в части однородных проблем). Они являются пробным камнем для сравнения возможностей и силы различных методов геометрии чисел.
К этим проблемам применима (и применялась — см. Минковский [38]) теорема Минков-ского о выпуклом теле — неравенства (31), (37) с учетом равенства (21). Получающиеся при этом оценки (см. ниже) в дальнейшем были заметно усилены с помощью других методов, в первую очередь, метода Блпхфельдта. Бегло опишем результаты, полученные к настоящему времени, отсылая за подробностями и доказательствами к гл. 6 монографии Леккеркеркера [36] (см. также: Роджерс [16], Касселс [8]).
I0. Проблема одновременных диофантовых приближений.
Пусть О1, 02,..., 0п — вещественные числа. Ищем возможно близкие к ним рациональные Рн
числа — (И = 1, 2,..., п), а > 0, Р1,... ,рп е Теорема 4 Минковского о системе линейных Я
однородных форм сразу же приводит к следующему утверждению:
Для любых вещественных чисел О1, ..., дп Р1,Р2,... ,рп, где ( сколь угодно велико, что
найдутся такие целые числа д ^ (
0% -
<
1
1
д п
г = 1,2,... ,п.
(41)
Уже Минковский [38], применяя вместо теоремы 4 неравенство (37) с подходяще подобранным выпуклым телом Я, смог в (41) заменить 1 в числителе справа па п/(п + 1). Проблему одновременных диофантовых приближений можно сформулировать следующим образом:
Для данного п найти сп = т£ с, где точная нижняя граница берется по всем вещественным
Ь -
<
п1+1 д п
г = 1,2,... ,п,
(42)
разрешима в целых числах д ^ (, р1, р2,... ,рп, при любых в1, 02,..., 9п и ( (и затем
= п
Эта проблема решена лишь при п = 1. Тогда С1 = описаны О1, для которых (42) пре-
п = 1
спектр {с}. См. обзор А. В. Малышева [10]. При п ^ 2 для сп известны только оценки. Лучшие
п
2°. Проблема однородного арифметического минимума т(Фформы
Ф^) = |£1Г + |Ь2|р + ••• + 1Ьп1Р.
Здесь р > 0 — вещественный параметр; Ь^ = Ь^ (х) = Ь^ (х1,... ,хп), к = 1, 2,..., г, — вещественные линейные формы, Ьг+[+3(х) = Ьг+ (х) — комплексно сопряженные линейные
формы, I = 1, 2,... ,s, г + 2s = п, det(Li, L2,..., Ln) = А = 0;
п
фЙ = ФЦ и = Е i^)Ip
г=1
т(ф№) = inf Ф^] (х) = min Ф^] (ж). (43)
Пусть р ^ 1. Тогда
®й = I Ф® (х) < 1}
— симметричное выпуклое тело. Применение к нему теоремы 3 Минковского позволяет утверждать, что найдется такой целый вектор х = 0, что
][>г(*)Г < (cg|А|)*, (44)
г=1
где
с(Р) = ( _ ) _( + р )__(45)
^ V{г(1 + рж{г(1 + р)}-•
С помощью теоремы 3 можно оценить т(Ф^р!) и при 0 < р < 1.
Эти оценки (при разных р > 0) уточнялись различными авторами, использовавшими варианты метода Блихфельдта. Последние и самые сильные результаты: Главка [32], Ранкин [42]. См. также: Леккеркеркер [36, § 40] и цитированную там литературу.
В частном случае п = г = 2 мы имеем дело с гипотезой Минковского о критическом определителе области |ж|р + |у|р < 1, р > 1 (см.: А. В. Малышев [11] и цитированную там литературу) и ее обобщениями на 0 < р < 1 (см.: Леккеркеркер [36, § 40, п. 4]).
2а. Проблема Эрмита арифметических минимумов положительных квадратичных форм (проблема плотнейших решетчатых упаковок единичных шаров).
Это частный случай проблемы 2° при р = 2, п = г, в = 0. Речь идет об оценках (2)
ш(/) = т(Ф^°) однородного арифметического минимума положительной квадратичной формы / = /(х) определителя й($) = 0 и постоянной Эрмита
* = Ит{7 (46)
где точная верхняя граница берется по множеству К всех положительно определенных квадратичных форм /.
Точные значения тп (и соответствующие им "оптимальные" или "критические" формы) известны лишь для п ^ 8 (см.: Блихфельдт [26], Н. М. Ветчинкин [3]). Прямое приложение неравенства Минковского (31) (частный случай оценки (44)) приводит к оценке
- < 4 {г (1+1)}г • («)
Блихфельдт (1914 г.) усилил эту оценку до
* < I (г (2+*)}5 • (48)
Оценка (48) также улучшалась (использовался метод Блихфельдта). См.: Роджерс [16] и цитированную там литературу. Асимптотически (при п ^ те) результаты такие же, что и (48), а (47) асимптотически вдвое больше:
2 {г(2 +1'} * ~ ± (48а)
Лучшая оценка сейчас принадлежит В. И. Левенштейну [9] . Предполагается, что при п ^ гх>
In ~ . (49)
'п 2ттеп 1 ;
Оценка снизу для jn (см. § 10, теорема Главки) отвечает этой асимптотике. Дело за оценкой сверху, принципиально лучшей, чем (48) (и лучшей, чем оценка Кобатянского и В. И. Левенштейна).
Проблема Эрмита теперь трактуется существенно шире. Наряду с абсолютным экстремумом jn и соответствующими ему оптимальными формами, рассматриваются локальные экстремумы функции ß(f) = m(f)(d(f))-1/n на множестве R положительных квадратичных форм и соответствующие им экстремальные (или предельные) формы, а также их обобщение — совершенные формы. Имеются в виду исследования А. Н. Коркина—Е. И. Золотарева, Г. Ф. Вороного и других авторов (см.: В. И. Делоне [5], Е. П. Барановский [18] и цитированную там обширную литературу, в значительной степени относящуюся к геометрии квадратичных форм).
3°. Проблема однородного арифметическою о минимума т(Пг, s) произведения
П, s = ПП=1 I Li | линейных однородных форм.
°
п
) = * Jf=° ^(Ж) = xel™fx=° П
=1
По неравенству между средними арифметическим и геометрическим для любого р > 0
п/р
I п |
П1^1
\
п | " ( Л п Лп/р
П^} <{ П №}
и проблема 3° сводится к проблеме 2°. Применяя щенку (44) при р = 1, получаем, что в обозначениях п. 2° найдутся такие целые числа х\,х2,... ,хп, что
п п / — \
П |Li| = П 1и(Х1,Х2,...,Хп)1 ^ -) i=1 i=1 ^ '
4У п!
- <50»
Эта оценка улучшалась разными авторами, использовавшими метод Блихфельдта. Лучший результат (при п = г) принадлежит Роджерсу [43]. Для п = 2 и п = 3 известны неулучшаемые результаты; установлено явление изоляции (см. ниже, § 12, Суинертон-Дайер [48], Леккеркер-кер [36, § 41]). Для п = г = 4 оценка, лучшая общей оценки [43], получена Норцием [41], а для п = г = 5 — Годуином [28].
Проблема 3° перспективна для дальнейших исследований. В частности, можно поставить задачу перенесения оценок (41), (42) и (48) на случай существования комплексно сопряженных полей (в > 0,п = г + 2з).
Минковский [38] вывел из (50) следующую оценку для дискриминанта И = И (К) алгебраического числового поля К = К/Q, [К : 0>] = п, г + 2,в = п; К(1), К(2),..., К(г) — вещественные поля, К= К(г+Л, ] = 1, 2,... ,,в, — комплексно сопряженные поля:
| (4 Г ^ (61)
Эта оценка показывает, что |D| > 1 при п > 1, так что всегда (кроме К = существуют критические простые числа поля. Такое простое решение знаменитой проблемы сразу же утвердило геометрию чисел в гражданских правах как полноценный раздел теории чисел.
12Еще более сильная содержится в работе Кобатянского и Левенштейна. Эта оценка асимптотически лучше
(48а), но хуже (49).
9. Последовательные минимумы лучевой функции в решетке. Неравенство Роджерса—Шаботи. Проблема аномалии.// Вторая теорема Минковского о выпуклом теле
Пусть Р = Р(х) — лучевая функция, определяющая в Яп неравенством (1) звездное тело Ср. Пусть Л — решетка в Яп. Фиксируем индеке к, 1 ^ к ^ п.
Назовем к-м последовательным, минимумом = (Р, Л) функции Р в решетке Л точную нижнюю границу чисел Ь € М, для которых множество
Жр = {х € Мп | ^(х) < Ц
содержит не менее к линейно независимых точек решетки Л. Ясно, что
гщ(Р, Л) = т(Р, Л) = М ^(а) (52)
аеЛ, а=°
И Х^гро
0 ^ пц(Р, Л) ^ Ш2(Р, Л) ^ ... ^ т,п(Р, Л) < (53)
Из определения т(Р, Л) = т,\(Р, Л) легко выводится неравенство
{т(Р, Л)}пА(Ср) < й(Л),
т. е.
{гщ(Р, Л)}пА(Ср) ^ 1 -®-^ 1 (54)
Гораздо труднее оценить величину
од Л) = А(Ср > п^;- Л) • (53)
Для этого надо уметь вычислять или оценивать сверху аномалию
а(Р) = вир 5(Р, Л) (56)
Л
лучевой функции Р (или звездного тела Ср). Здесь точная верхняя граница берется по всем п-мерным точечным решеткам. В силу (53) и теоремы 1
а(Р) ^ 1. (57)
Глубокая оценка а(Р) сверху принадлежит Роджерсу и Шаботи (доказательство см. Касселс [8, стр. 256]):
Теорема 5. Пусть Р = Р(х) — лучевая функция в Яп, а(Р) — ее аномалия. Тогда
а(Р) < 2(п-1)/2. (58)
Иначе говоря, для любой решетки имеет место неравенство
п
А(Ср) П тр, Л) < 2(п-1)/2^(Л), (59)
здесь Ср — звездное тело (1).
Этот результат не может быть улучшен в том смысле, что для любого п можно построить пример лучевой функции Р, аномалия которой сколь угодно близка к 2(п-1)/2. Конструкция примера весьма не проста (см.: Касселс [8, стр. 257-261] и цитированную там литературу).
Очень важным для общей геометрии чисел представляется доказательство (или опровержение) следующего предположения.
Гипотеза ов аномалии выпуклого тела. Пусть Р — симметричная выпуклая лучевая функция. Тогда
а(Р) = 1. (60)
Гипотеза (60) доказана для п = 2 (Шаботи) и п = 3 (Вудс), а также для частных случаев функции Р (тел а Ср): шар а Ср, Р (х) = |ж| (Минковский) и параллелоэдра Ср. См.: Вудс [49] и цитированную там литературу, Леккеркеркер [36, § 18].
Гипотетическое неравенство (60) ( с определением (56),(55)) и первая теорема Минковского — неравенство (31) — сразу же влекут за собой следующую вторую теорему Минковского о выпуклом теле.
Теорема 6. Пусть Р ^ симметричная выпуклая лучевая функция в Яп, Кр — выпуклое тело, определенное неравенством (1), V(Кр) < Л С Мп — точечная решетка. Тогда,
п
V (Кр) ^шг(Р, Л) < 2^(Л). (61)
=1
Поскольку гипотеза (60) не доказана, неравенство (61) приходится доказывать другим, гораздо более сложным и менее прозрачным путем. Известно уже несколько доказательств (Минковский, Дэвенпорт и другие авторы). Одно из доказательств см.: Касселс [8, стр. 261268]. (См.: также Даничич [27] и цитированную там литературу). Неравенство (61) уточняет неравенство (31), ибо (31) равносильно неравенству
V (Кр ){гЩ(Р, Л)}п < 2пад.
Неравенство (61) имеет важные приложения к теории неоднородных минимумов, в частности, к «теоремам переноса» (см. ниже, § 13).
Понятие последовательных минимумов и основные результаты этого параграфа обобщаются со звездных тел на произвольные множества (см.: Главка [33]).
10. Теоремы о среднем в пространстве решеток. Теорема Главки и ее уточнения. Проблема Рейнхальдта
Следующее предложение, принадлежащее Главке, позволяет оценить критический определитель сверху.
Теорема 7. Для любого измеримого по Лебегу множества М меры V(М)
А(М) < V(М). (62)
При этом, если М — симметричное относительно О звездное тело, то
А(М) < {2Cí(n)}-lV(М). (63)
Все доказательства теоремы Главки (и ее уточнения) включают в себя то или иное усреднение некоторой функции, заданной на пространстве решеток. Наиболее естественным представляется вывод (62) из следующей (интересной самой по себе) теоремы Зигеля.
Теорема 8. Пусть ¡(х) ^ интегрируемая по Лебегу функция, заданная, на, Яп, ц — инвариантная, м,ера, на, пространстве решеток $ данного определителя, ((Л) = (, ( > 0. Тогда
Е Ка) ЛЦ(К) = 1 [ ? (х) (х. (64)
Доказательство теоремы 8 можно найти в статье Макбета и Роджерса [37]. Оценка (62)
( х)
множества М. Тогда формула (64) превращается в формулу 1 [ V (М)
г(М, Л) (ц(Л) = , Г(Ш, л) = £
^ а€ЛПОТ,а=0
и найдется решетка Л, ((Л) = (, для которой
г(М, Л) < IV(М).
В частности, если ( > V(М), то г(М, Л) = 0 и решетка Л определителя ( является М-допустимой. Отсюда — неравенство (62).
В противоположность оценке снизу Минковского (31) оценка Главки (62) может быть улучшена. То же касается оценки (63). Лучшие в настоящее время (но далеко не окончательные) оценки сверху критического определителя А(М) измеримого множества М С Кп меры V(М) принадлежат Роджерсу [44] и Шмидту [45,46]:
15
А(М) (М), если п = 2, (65)
16
А(М) < 2{1 + 2П-г) (1 + ^У(М), если п> 2, (66)
V (М)
А(М) ^-^-, если п> с2, (67)
п
1о^л/2 - сг'
здесь сг и С2 — некоторые вычислимые постоянные. Для получения такого рода оценок, в основном, варьируются две идеи: 1) специальный выбор (Шмидт) функции /(х); 2) рассмотрение моментов (Роджерс) функции /(х):
Е ^ (а)
аеЛ,а=0
и получение для них формул типа (64).
Отыскание неулучшаемых оценок типа (62)-(63) является важной и очень сложной задачей геометрии чисел. Точнее, ее можно сформулировать следующим образом. Пусть Т = {Т} — некоторый класс измеримых множеств Т эвклидова пространства Яп (например, класс всех измеримых множеств; класс всех звездных множеств; класс К П^ всех симметричных относительно О выпуклых множеств данного числа измерений пит. д.) Пусть
„(Т) = шТ«Т), в(5) = Щ-
(Т) Т
А(Т) ^ (Т), (68)
неулучшаемую в классе Т множества Т.
Однако точное значение <?(Т) неизвестно даже для простейших классов множеств. Например, оно неизвестно даже для класса К 2^ двумерных выпуклых симметричных относительно О
д(к25)) = = 3, 6096,
где Ж — некоторая специальная область, "сглаженный восьмиугольник". Эта гипотеза пока не доказана. Лучший результат (П. П. Таммела [21]; там же — литература по проблеме):
^(К^) ^ 3, 570624. См.: Касселс [8, гл. 6]; Роджерс [16]; Леккеркеркер [36, § 19, §22, п. 2.]
11. Об отыскании критических (и экстремальных) решеток ограниченного звездного тела
Итак, мы умеем оценивать критический определитель А(М) снизу (§ 6-7) и сверху (§ 10). Например, если К С Кп — симметричное относительно О выпуклое тело, то
(К) < А(К) < {2((п)}-^(К).
Подобные (но более сложные) оценки известны и для более общих тел М. Однако подчас бывает важно знать и точное значение А(М) для заданного множества М (скажем, для нормального тела данного алгебраического числового поля).
Если С — заданное ограниченное звездное тело, то, в принципе, существует алгоритм, позволяющий свести задачу отыскания всех критических (и даже всех экстремальных) решеток тела С к конечному числу задач на экстремум некоторой функции нескольких переменных при некоторых ограничениях. Действительно, по положительной лучевой функции Р(х) можно указать (см.: Касселс [8, стр. 185-186]) такую постоянную С, что
А = 1п! | ёе^ Ь1, Ь2,..., Ь,п)1, (69)
( 1, 2, . . . , п)
дополнительными условиями
^ (д А + 92Ъ2 + ... + 9пЬп) > 1, 19г1 <С, (д 1,92,..., дп) = 0; (70)
= ( 1 , 2 , . . . , п)
Л = Л[&1, Ь2,..., Ьп], на которых эта точная нижняя граница достигается, будут критическими (и эта процедура даст нам все критические решетки). Зная какую-либо критическую решетку Л тел а С, мы тотчас найдем А(С).
Заметим, что для геометрии чисел важны реально осуществимые алгоритмы (возможно, при использовании электронных вычислительных машин). Обычно же набор условий (70) слишком велик, чтобы экстремальная задача (69) была разрешима. Условия (70) могут быть существенно упрощены для выпуклых лучевых функций Р (х). Здесь возникают понятия пустого октаэдра (обобщенного октаэдра) решетки и заградительного ряда решетки (см.: Мин-ковский [39]). В случае п ^ 4 (и даже п = 5) дальнейшая разработка приводит к уже реально осуществимым алгоритмам. См.: Касселс [8, стр. 199-202]; Леккеркеркер [36, § 31-32]. См. также: [24,25].
12. Явления изоляции арифметических минимумов. Спектры минимумов
Было бы очень интересно выделить те классы неограниченных звездных тел С (или хотя бы некоторые из них), для которых возможно сведение задачи об отыскании А(С) к задаче (69)-(70). То, что это не всегда возможно, показывает явление изоляции арифметических минимумов (или, что то же, явление изоляции допустимых решеток), крайне интересное само по себе.
Пусть Р — фиксированная лучевая функция. Рассмотрим величину
ДЛ т(Р, Л) ц(Л)=ц(Р, Л)= у ' 7
{((Л)}г/п
заданную на множестве (пространстве) £ всех решеток Л. Множество возможных значений
Ц(Р),
М(Р) = {ц(Р,Л)|Л е£}, Р
М(Р) С [0,7(Р)]. (71)
Р
М( Р)
Р
Ср — ограниченное звездное тело), то ц(Р, Л) — непрерывная функция Л и
М(Р) = (0,7(Р)]. (72)
Поэтому явление изоляции возможно лишь в случае неограниченных звездных тел Ср. Бы-
Р
его заведомо нет). Это, по-видимому, очень трудная задача. Конечно, еще сложнее проблема
М( Р) Р
Наконец, важно уметь описывать для данного ц € М(Р) все решетки Л с условием
ц(Р, Л) = ц.
Явлению изоляции (и сходному явлению изоляции неоднородных минимумов — см. § 13) посвящено большое число работ. Все они носят частный характер (см., например, гл. X монографии Касселса [8]; см. также: Леккеркеркер [36, § 43]). Наиболее исследованным (и то далеко не до конца) является простейший случай нетривиального характера
п = 2; Ро(х) = |хгх2|1.
То, что здесь происходит явление изоляции, впервые заметили Коркин и Золотарев ( и это был вообще первый пример изоляции минимумов). А. А. Марков доказал, что часть спектра
М(Р0), лежащая правее , дискретна
М(Р0) п{ц(Ро. Л) > }={/9. /I. =
13Точнее, 1) для Р имеет место явление изоляции, если ^(Р*) — изолированная точка. Общее: 2) для Р имеет место явление изоляции, если М(Р) = [0, у(Р)]. Можно говорить и о локальной изоляции у(Р, Л) в точке А, с точностью до линейных изоморфизмов Р.
тк
\
9
Ql
к = 1, 2,... >
(73)
гДе Як — возрастающая последовательность целых положительных чисел, обладающая тем свойством, что найдутся целые числа Кк и Б к с условием
ок + К! + Бк = зЯкккБк.
За каждой точкой тк спектра (73) стоит единственная (с точностью до гиперболических поворотов — автоморфизмов ^о) решетка Лк, (1(Лк) = 1, с условием т(Ро, Лк) = тк- Известно также (Холл), что левее некоторого числа ц.о = ро(Ро) спектр ^(^о) сплошной:
•М(*Ъ) Fo,Л) } = [0,ро ].
Найдено (Г. А. Фрейман) наибольшее значение ро с условием (74) следовалось и множество
г
(74)
начало луча Холла. Не-
•M(Fo)f|
Ро,
См. обзор литературы А. В. Малышева [10].
Явление изоляции изучалось и для других в частности, для \/|/(х, у, г)1, где / — вещественная неопределенная тернарная квадратичная форма (см.: Б. А. Венков [2]). См. также: Леккеркеркер [36, § 43].
Можно описать явление изоляции в терминах допустимых решеток данного множества (см. [33, стр. 50]). Это приводит к обобщению — со звездных тел на произвольные множества.
1
4
1
13. О неоднородных задачах геометрии чисел
В § 5-12 мы описали классическую часть геометрии чисел, посвященную исследованию однородных минимумов. Большую роль в теории чисел играют и неоднородные диофантовы задачи. Однако геометрия неоднородных диофантовых задач не столь разработана. Возможно даже, что здесь нет полной аналогии с однородной задачей и что методы геометрии чисел здесь хотя и безусловно приложимы, не столь плодотворны и не столь адекватны, как в случае задачи об однородном минимуме. Дадим беглый обзор этого раздела геометрии чисел.
Пусть F = F(х) — лучевая функция на Rn (можно рассматривать и более общие функции F); Л С Rn — решетка определителя ^(Л). Пусть хо £ Rn; говорим, что х = хо (mod Л), если х — хо £ Л. Рассмотрим величины
1(хо) = 1(хо; F, Л) = inf F(х),
х=хо (mod Л)
I = l(F, Л) = sup 1(хо;F, Л).
х0емп
Точная верхняя граница берется по всем вещественным точкам (или по всем точкам фунда-
Л ( F, Л)
F Л
Пусть £р — звездное тело, определенное неравенств ом (1). Тогда l(F, Л) есть точная нижняя граница вещественных чисел с> 0, для которых распол ожение {cCp, Л} является покрытием:
U (cCF + а) = Rn.
аеЛ
Пусть F = F(х) — заданная лучевая функция. Рассмотрим величины (аналоги постоянной Эрмита):
■ < l(F, Л) l(F, Л)
a(F) = mi . , T,(F) = sup
л {й(Л)}1/п у ' л {<1(Л)}1/п'
Точная нижняя и верхняя границы берутся по всем решеткам Л С Мп. Конечно, прямым аналогом ^(Р) является именно Я(Р). Однако величина Я(Р) обычно тривиальна в силу легко доказываемой теоремы Макбета (см.: Касселс [8, стр. 369-370]).
Теорема 9. Пусть Р = Р(х) — лучевая функция. Если множество Ср, определяемое (1), имеет конечный объем, то
Я(Р) = +<х. (75)
С величиной Я(Р) в одном частном случае Р связана знаменитая Неоднородная гипотеза Минковского. Пусть
Рп(х) = |х1 х2 ■■■хп11/п.
Тогда
Я(Рп) = 1. (76)
Этой гипотезе и ее аналогам посвящена добрая половина работ по неоднородной задаче геометрии чисел (см.: Касселс [8, стр. 390-401]; Леккеркеркер [36, гл. 7]). Неравенство
Яш > 2 (7?)
тривиально. Доказано (Н. Г. Чеботарев), что
Я(Рп) < —. (78)
Неравенство (78) уточнялось Морделлом, Девенпортом, Б. Ф. Скубенко и другими авторами. Историю вопроса, библиографию и самые сильные в настоящее время оценки Т,(Рп) сверху см.: X. X. Мухсинов [13,14].
Для п ^ 5 неоднородная гипотеза Минковского доказана полностью (см.: Б. Ф. Скубенко [19], Бамба и Вудс [23]).
Возможен и другой подход к этой гипотезе. Говорим, что невырожденная вещественная квадратная матрица А есть ИОТи-матрица, если найдутся такие вещественные диагональная О, ортогональная О, треугольная Т матрицы и целая унимодулярная матрица и, что
А = ИОТи. (79)
Если верно (79), то для такой матрицы А = (Ь1, Ь2,..., Ьп) неоднородная гипотеза Минковского почти тривиальна: для любых @2,..., 0п € М найдется х € И1 с условием
п А
1\1Ьг(х) + < А, А = (ЫА. (80)
г=1
Доказано (Б. Ф. Скубенко [20]), что для каждого п ^ 2880 найдутся невырожденные вещественные матрицы, не являющиеся ООТ17-матрицами. С другой стороны (X. И. Нарзулаев [15]) доказано, что для п ^ 3 всякая невырожденная квадратная вещественная матрица поряд-п
п = 2 п = 3
Итак, на этом пути, как показывает цитированный результат Б. Ф. Скубенко, полного доказательства неоднородной гипотезы Минковского получить нельзя (хотя ее и можно доказать таким образом для каких-то малых п). Здесь возникает интересная сама по себе СОТЦ-проблема.
Найти такое целое число по, что 14
а) если п < по, то всякая вещественная невырожденная матрица порядка п есть ВОТи-матрица;
б) если п ^ по, то найдутся вещественные невырожденные матрицы порядка п, не являющиеся иОТ11-матрицами.
Доказано (см. выше), что
3 < по ^ 2880. (81)
Первый шаг в исследованиях по этой проблеме — изучение случая п = 4 (здесь, по-видимому, все матрицы являются ^ОТ^-матрицами). Важно также уменьшить верхнюю границу (81).
В общем случае величина "(Р) представляется более содержательной, чем Х(Р). Она тесно связана со значением плотности г(£р) экономнейшего решетчатого покрытия телом , = {ж|_Р(х) < 1} (см. § 4). Здесь приходится предполагать, что ограничено; от этого, по-видимому, можно избавиться, соответствующим образом обобщая определение , Л). Из определений "(Р) и Х(Р) довольно прямо выводится следующая
Теорема 10. Пусть Р — положительная 15 лучевая функция. Тогда
1/п
/
"(Р) = ШШ' . (84
Из (82) и (14) выводим:
"(Р) ^ {V(СР)}1/п. (83)
Неравенство (83) справедливо и без предположения ограниченности £р.
Итак, задача о а(Р) равносильна задаче о плотности ) экономнейшего решетчатого покрытия телом £р. Наибольшее число работ здесь посвящено случаю, когда — шар. См.: Роджерс [16], Е. П. Барановский [1], С. С. Рышков, Е. П. Барановский [17].
Важный раздел неоднородной проблематики геометрии чисел составляют так называемые
Р
( Р, Л)
минимумами т^Р, Л) (г = 1, 2,..., п) (или с минимумами взаимной функции Р* относительно Л*
предложение:
Р Л
1 1 п
2тк(Р, Л) < 1(Р, Л) < 2 Е тк(Р, Л). (84)
к=1
Некоторые подробности (в том числе доказательство (84)) см. в книге Касселса [8, стр. 380-390]. См. также: Леккеркеркер [36, § 13].
14Можно доказать, что если при по есть не оотц-матрицы, то то же верно и для по + 1.
15От предположения положительности Р (т. е. ограниченности по-видимому, можно избавиться.
14. Об общей задаче геометрии чисел
В заключение сформулируем общую задачу геометрии чисел (см. Б. Н. Делоне [6]), включающую в себя "однородную" и "неоднородную" задачи как частные случаи. Пусть М С Мп — множество, а Л + хо С Мп — сдвинутая решетка определителя с!(Л + хо) = (!(Л). Пусть Р = Р(М, Л + хо) — некоторое условие (предикат), которому удовлетворяет или не удовлетворяет пара (М, Л + х0) (например,
1. Р есть свойство: х0 = 0, М П (Л + х0) С 0;
2. Р есть свойст во: М П (Л + х0) = 0
и т. д.). Говорим, что решетка Л + х0 является 'Р-^опусти^ой для множества М(или [Р, М]-допустпмой), если верно Р(М, Л + х0). [Р, М]-допустимая решетка Л + ^0 определителя с!(Л) называется 'Р-экстре^альной для множества М (или [Р, М]-экстремальной), если существует такая окрестность решетки Л + ^0 в пространстве {Л + х0} неоднородных решеток, что если Л + х0 принадлежит этой окрестности и является [Р, М]-допустимой, то
с!(Л + х0) ^ й(Л + х0).
Задача Маркова—Делоне (Р-задача геометрии чисел). Найти все Р-экстремальные решетки данного множества М.
Эта задача, включающая в себя все рассматривавшиеся в литературе задачи геометрии чисел, в общем виде не исследовалась. Пока не ясно, насколько плодотворным может быть такое общее исследование.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Барановский Е. П. Упаковки, покрытия, разбиения и некоторые другие расположения в пространствах постоянной кривизны// ПН. Алгебра. Топология. Геометрия. 1967. М., 1969. С. 189-225.
2. Венков Б. А. Об экстремальной проблеме Маркова для неопределенных тройничных форм// Изв. АН СССР. Серия матем. 1945. Т. 9. № 6. С. 429-494. То же// Избр. труды. Л. 1981. С. 201-263.
3. Ветчинкин Н. М. Единственность классов положительных квадратичных форм, на которых достигаются значения постоянных Эрмита при 6 ^ п ^ 8// Труды МИАН. 1980. Т. 152. С. 34-86.
4. Делоне Б. И. Геометрия положительных квадратичных форм. 1-2// УМН. 1937. Вып. 3. С. 16-62; 1938. Вып. 4. С. 102-164.
5. Делоне Б. И. Петербургская школа теории чисел. М.;Л., 1947. 422 с.
6. Делоне Б. Н. О работе А. А. Маркова "О бинарных квадратичных форм,ах положительного определителя"// УМН. 1948. Т. 3. Вып. 5(27). С. 3-5.
7. Касселс Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений. М., 1961. 213 с.
8. Касселс Дж. В. С. Введение в геометрию чисел. М., 1965. 421 с.
п
странства равным,и, шарами// Матем. заметки. 1975. Т. 18. № 2. С. 301-311.
10. Малышев А. В. Спектры Маркова и Лагранжа (обзор литературы,)// Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1977. Т. 67. С. 5-38.
11. Малышев А. В. О применении ЭВМ к доказательству одной гипотезы Минковского из геометрии чисел// Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1977. Т. 71. С. 163-180; 1979. Т. 82. С. 29-32.
12. Марков А. А. О бинарных квадратичных форм,ах положительного определителя// СПб, 1880; УМН. 1943. Т. 3. Вып. 5 (27). С. 7-51.
13. Мухсинов X. X. Уточнение оценок арифметического минимума произведения неоднородных линейных форм для больших размерностей// Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1981. Т. 106. С. 82-103.
14. Мухсинов X. X. К неоднородной, гипотезе Минковского (письмо в редакцию)// Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1983. Т. 121. С. 195-196.
D O T U n = З
Матем. заметки. 1975. Т. 18. № 2. С. 213-221. 16. Роджерс К. Укладки, и, покрытия. М., 1968. 134 с.
C n
ные параллелоэдры (с приложением к теории, покрытий)// Труды МИЛИ. Т. 137. М., 1976. 131 с.
18. Рышков С. С., Барановский Е. П. Классические методы теории, решетчатых упаковок// УМН. 1979. Т. 34. Вып. 4(208). С. 3-63.
n
нородных форм от n переменных для, n ^ Б// Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1981. Т. 106. С. 134-136.
20. Скубенко Б. Ф. Существуют квадратные вещественные матрицы любого порядка, n ^ 288G, не являющиеся DOTU-матрицами// Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1981. Т. 106. С. 134-136.
21. Таммела П. Оценка, критического определителя двумерной выпуклой, симметричной области// Изв. вузов. Математика. 1970. № 12(103). С. 103-107.
22. Фейеш Тот Л. Расположения, на плоскости, на, сфере и в простра, нет ее. М., 1958. 363 с.
n = Б
J. Number Theory. 1980. V. 12. P. 27-48.
M4
1965. V. 17. P. 725-730.
25. Bantegnie R. "Problème des Oktaédres" en dimension 5// Acta Arithm. 1968. V. 14. No 2. P. 185-202.
26. Blichfeldt N. F. The minim,um, values of positive quadratic forms in six, seven and eight variables// Math. Z. 1934-35. V. 39. No 1. P. 1-15.
27. Danicic I. An elementary proof of Minkowski's second inequality// J. Austral. Math. Soc. 1969. V. 10. No 1-2. P. 177-181.
28. Godwin N. J. On the product of five homogeneous linear forms// J. London Math. Soc. 1950. V. 25. No 4(100). P. 331-339.
29. Gruber P. M. Geometry of Numbers// Contributions to geometry (proc. Geom. Svmp. Siegen. 1978). Basel. 1979. P. 186-225.
30. Hammer J. Unsolved problems concerning lattice points. London a. o. 1977. VI. 101 p.
31. Hancock H. Development of the Minkowski geometry of numbers. New York, 1939. XXI. 839 p.
32. Hlawka E. Uber Potenzsummen von Linearformen.PII// Sitzungsber. Acad. Wiss. Wien, math.nat. Kl. 11a. 1945. Bd. 154. No 1. S. 50-58; 1947. Bd. 156. No 5-6. S. 247-254.
33. Hlawka E. Grundbegriffe der Geometrie der Zahlen// Jber. Deutsc. Math.-Verein. 1954. Bd. 57. S. 37-55.
34. Keller O. H. Geometrie der Zahlen (Ensycl. math. Wiss. Bd.1,2. No 21). Leipzig, 1954. 84 s.
35. Koksma J. F. Diofantische Approximationen. Berlin. 1936. VIII. 157 s.
36. Lekkerkerker C. G. Geometry of numbers. Groningen; Amsterdam. 1969. VIII. 510 p.
37. Macbeath A. M., Rogers C. A. Siegel's mean value Theorem in the geometry of numbers// Proc. Cambridge Philos. Soc. 1958. V. 54. P. 139-151.
38. Minkowski H. Geometry der Zahlen. Leipzig; Berlin. 1910. VIII. 256 p.
39. Minkowski H. Dichteste gitterformicge Lagerung kongruenter Korper// Nach. Koning. Ges. Wiss. Göttingen. 1904. S. 311-355; Ges. Abh. Bd. 2. Leipzig; Berlin. 1911. S. 3-42.
40. Minkowski H. Diophantsche Approximationen. Leipzig; Berlin. 1907. VIII. 235 s.
41. Nordzij P. Uber das Product von vier reellen, homogenen, linearen Formen// Monatsh. Math. 1967. Bd. 71. No 5. S. 436-445.
42. Rankin R. A. On sums of powers of linear forms. I-II-III / / Ann. of Math.(2). 1949. V. 50. No 3. P. 691-704; Proc. Kon. Ned. Akad. Wet. 1948. V. 51. P. 846-853; Indag. math. 1948. V. 10. P. 274-281.
43. Rodgers C. A. The product of n real homogeneous linear forms// Acta Mathem. 1950. V. 82. No 1-2. P. 185-208.
44. Rodgers C. A. Lattice coverings of space: the Minkowski - Hlawka theorem// Proc. London math. soc. (3). 1958. V. 8. P. 447-465.
45. Schmidt W. M. Eine Verschärfung des Satzes von Minkowski - Hlawka// Monatsh. Math. Bd. 60. S. 110-113.
46. Schmidt W. M. On the Minkowski - Hlawka Theorem// Illinois J. Math. 1963. V. 7. P. 18-23; corr.: P. 714.
47. Spohn W. G. Blichfeld's theorem and simultaneous doiphantine approximations// Amer. J. Math. 1968. V. 90. P. 885-894.
48. Swinnerton-Daver H. P. F. Applications of computers to the geometry of numbers// Comput. Algebra and Number Theory 3 (SIAM - AMS Proc. V. 4). Providence (R. I.). 1971. P. 55-62.
49. Woods A. C. The anomaly of convex bodies// Proc. Cambridge Philos. Soc. 1956. V. 52. P. 406-423.
REFERENCES
1. Baranovskii E. P., 1967, "Packings, coverings, partitions and some other dispositions in the spaces of fixed curvature IN. Algebra. Topology. Geometry. M. pp. 189-225.
2. Venkov B. A., 1945, "On Markov extremal problem for undeterminate ternary forms Izv. AN SSSR. Math., vol. 9, no 6. pp.429-494.
3. Vetchinkin N. M., 1980, "Uniquness of the classes of positiv quadratic forms, on which it is achieved the values of the Ermit constances for 6 ^ n ^ 8 Trudy MIAN, vol. 152. pp. 34-86.
4. Delone B. N., 1937, 1938, "The geometry of the positive quadratic forms UMN, iss. 3, pp. 16-62; iss 4. pp. 102-164.
5. Delone B. N., 1947, The Petersburg school of the numbers theory M-P, 422 p.
6. Delone B. N., 1948, "On A/ A. Markov state «On the binar quadratic forms with the positive determinate» UMN, vol. 3, iss. 5(27). pp. 3-5.
7. Cassels J. W. S., 1961, "Introduction to the Diophantine approximation theory M., 213 p.
8. Cassels J. W. S., 1965, "An Introduction to the geometry of numbers M.: Mir, 421 p.
9. Levenshtane V. I., 1975, "On the maximal density of completing of the Euclidean space by equal balls vol. 18, no 2. pp. 301-311.
10. Malvshev A. V., 1977, "The spectrums of Markov and Lagrange (the literature review) Zap. nauch. seminars LOMI, vol. 67, pp. 5-38.
11. Malvshev A. V., 1977, 1979, "On an application of a computer to the proof of the Minkovskii conjecture in the geometry of numbers Zap. navch. sem. LOMI, vol. 71. pp. 163-180; vol. 82. pp. 29-32.
12. Markov A. A., 1943, "On the binary qudratic forms with the positive discriminant SPb, 1880; UMN, vol. 3. iss. 5 (27), pp. 7-51. *
13. Muhsinov H. H., 1981, "The sharpening of the estimates of the arithmetical minimum of the not uniform linear forms production for the big dimensions Zap. nauch. sem. LOMI, vol. 106, pp. 82-103.
14. Muhsinov H. H., 1983, "On the Minkovskii not uniform conjecture (the letter to the editorship) Zap. navch. sem. LOMI, vol. 121. pp. 195-196.
15. Narzulaev H. N., 1975, On the representation of the unimodular matrix in the form of DOTU for n = 3 Math, zametki, vol. 18, no 2. pp. 213-221.
16. Rodjers K., 1968, "The packing and the covering M., 1968. 134 p.
17. Rvzskov S. S., Baranovskii E. P., 1976, "C-tvpes of the n-dimensional lattices and the 5-dimensional primitive paralleloidres (with the application to the covering theory Trudy MIAN, vol. 137. M., 131 p.
18. Rvzskov S. S., Baranovskii E. P., 1979, "The classical method of the lattice packings theory UMN, vol. 34, iss. 4(208). pp. 3-63.
n
uniform forms from n arguments for n ^ 5 Zap. nauch. sem. LOMI, vol. 106, pp. 134-136.
20. Skubenko B. F., 1981, "There are the square real matrix of any degree n ^ 2880, which are not DOTU-matrix Zap. nauch. sem. LOMI, vol. 106, pp. 134-136.
21. tammela P., 1970, The estimate of the critical determinant of the 2-dimension convex symmetric region Izv. Vuzov, Math., no 12(103), pp. 103 - 107.
22. Fevesh TOT L., 1958, "The disposition on a plane, on a sphere and in a space M., 363 p.
23. Bambah R. P., Woods A. C., 1980, "Minkowski's conjecture for n = 5; a theorem of Skubenko J. Number Theory, vol. 12, pp. 27-48.
24. Bantegnie R., 1965, "Sur l'indice de certains reseaux de R4 permis pour octaèdre Canad. J. Math., vol. 17, pp. 725-730.
25. Bantegnie R., 1968, «<Problème des Oktaédres» en dimension 5 Acta Arithm., vol. 14, no 2, pp. 185-202.
26. Blichfeldt N. F., 1934 - 1935, "The minimum values of positive quadratic forms in six, seven and eight variables Math. Z., vol. 39, no 1, pp. 1-15.
27. Danicic I., 1969, "An elementary proof of Minkowski's second inequality J. Austral. Math. Soc., vol. 10, no 1-2, pp. 177-181.
28. Godwin N. J., 1950, "On the product of five homogeneous linear forms J. London Math. Soc., vol. 25, no 4(100), pp. 331-339.
29. Gruber P. M., 1979, "Geometry of Numbers Contributions to geometry, (proc. Geom. Svmp. Siegen., 1978), Basel, pp. 186-225.
30. Hammer J., 1977, "Unsolved problems concerning lattice points London a. o., vol. VI, 101 p.
31. Hancock H., 1939, "Development of the Minkowski geometry of numbers New York, XXI. 839 p.
32. Hlawka E., 1945, 1947, "Uber Potenzsummen von Linearformen.I-II"Sitzungsber Acad. WTiss. WTien. math. nat. Kl. lia, bd. 154, no 1, pp. 50-58; bd. 156, no 5-6, pp. 247-254.
33. Hlawka E., 1954, "Grundbegriffe der Geometrie der Zahlen Jber. Deutsc. Math.-Verein., bd. 57, pp. 37-55.
34. Keller O. H., 1954, "Geometrie der Zahlen (Ensvcl. math.WTiss. Bd.1,2. No 27) Leipzig, 84 p.
35. Koksma J. F., 1936, "Diofantische Approximationen Berlin, VIII, 157 p.
36. Lekkerkerker C. G., 1969, "Geometry of numbers Groningen; Amsterdam, VIII, 510 p.
37. Macbeath A. M., Rogers C. A., 1958, "Siegel's mean value Theorem in the geometry of numbers Proc. Cambridge Philos. Soc., vol. 54, pp. 139-151.
38. Minkowski H., 1910, "Geometry der Zahlen Leipzig — Berlin, VIII, 256 p.
39. Minkowski H., 1904, 1911, "Dichteste gitterformicge Lagerung kongruenter Korper Nach. Koning. Ges. WTiss. Göttingen, pp. 311-355; Ges. Abh., vol. 2, Leipzig — Berlin, pp. 3-42.
40. Minkowski H., 1907, "Diophantsche Approximationen Leipzig — Berlin, VIII, 235 p.
41. Nordzij Р., 1967, "Über das Product von vier reellen, homogenen, linearen Formen Monatsh. Math., vol. 71, no 5, pp. 436-445.
42. Rankin R. A., 1949, 1948, 1948, "On sums of powers of linear forms.I-II-III Ann. of Math.(2), vol. 50, no 3, pp. 691-704; Proc. Kon. Ned. Akad. Wet., vol. 51, pp. 846-853; Indag. math., vol. 10, pp. 274-281.
43. Rodgers C. A., 1950, "The product of n real homogeneous linear forms Acta Mathem., vol. 82. no 1-2. pp. 185-208.
44. Rodgers C. A., 1958, "Lattice coverings of space: the Minkowski - Hlawka theorem Proc. London math. soc. (3), vol. 8, pp. 447-465.
45. Schmidt W. M., "Eine Verschärfung des Satzes von Minkowski - Hlawka Monatsh. Math., vol. 60, pp. 110-113.
46. Schmidt W. M., 1963, "On the Minkowski - Hlawka Theorem Illinois J. Math., vol. 7. pp. 18-23; corr.: P. 714.
47. Spohn W. G., 1968, "Blichfeld's theorem and simultaneous doiphantine approximations Amer. J. Math., vol. 90, pp. 885-894.
48. Swinnerton-Daver H. P. F., 1971, "Applications of computers to the geometry of numbers Comput. Algebra and Number Theory 3 (SIAM - AMS Proc. V. 4), Providence (R. I.), pp. 55-62.
49. Woods A. C., 1956, "The anomaly of convex bodies Proc. Cambridge Philos. Soc., vol. 52, pp. 406-423.
Получено 15.10.2019 г.
Принято в печать 12.11.2019 г.
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 20. Выпуск 3.
УДК 51(092) DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-3-74-77
Несколько слов о Борисе Фадеевиче Скубенко
Б. 3. Мороз (г. Москва)
Мороз Борис Зеликович — доктор физико-математических наук, профессор кафедры дискретной математики Московского физико-технического института, Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН, Россия; Universität Bonn, Германия.
e-mail: moroz@pdmi.ras.ru
Аннотация
Статья содержит личные воспоминания автора о Борисе Фадеевиче Скубенко. Ключевые слова: Борис Фадеевич Скубенко. Библиография: 6 наименований.
Для цитирования:
Б. 3. Мороз Несколько слов о Борисе Фадеевиче Скубенко // Чебышевский сборник, 2019, т. 20, вып. 3, с. 74-77.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 20. No. 3.
UDC 51(092) DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-3-74-77
A few words about Boris Fadeevich Skubenko
B. Z. Moroz (Moscow)
Moroz Boris Zelikovich — Doctor of phvsico-mathematical sciences, St. Petersburg Department of Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences, Russia; Universität Bonn, Germany.
e-mail: moroz@pdmi.ras.ru
Abstract
The article contains personal reminiscences of the author about Boris Fadeevich Skubenko. Keywords: Boris Fadeevich Skubenko. Bibliography: 6 titles.
For citation:
B. Z. Moroz, 2019, "A few words about Boris Fadeevich Skubenko" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 3, pp. 74-77.
