О корректной разрешимости некоторых задач фильтрации в пористой среде Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

Б01: 10.14529/ттр140306

О КОРРЕКТНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

М.Н. Небольсина, С.Х.М. Аль Кхазраджи

В работе методом теории полугрупп линейных преобразований устанавливается равномерно корректная разрешимость начально-краевых задач для одного класса интегрально-дифференциальных уравнений, рассматриваемых в ограниченной и по-луограниченной областях, которые описывают процессы нестационарной фильтрации сжимающей жидкости в пористой среде. Частный случай таких уравнений на полубес-конечной прямой с условием Дирихле на границе рассматривался в работе Ю.И. Бабенко. В этой работе требовалось найти градиент давления на границе области. Здесь ответ получен формальным применением дробного интегро-дифференцирования, не затрагивая вопроса о корректной разрешимости и устойчивости решения к погрешностям по исходным данным. При этом решение задачи представляется в виде формального ряда с неограниченным оператором, сходимость которого также не обсуждается. Метод теории сильно непрерывных полугрупп преобразований позволяет установить равномерно корректную разрешимость задач Дирихле и Неймана как для конечных так и бесконечных областей. Это дает возможность в случае задачи Дирихле корректно вычислить градиент давления на границе и значение решения на границе в случае условий Неймана. Здесь же доказана устойчивость решения по начальным данным.

Ключевые слова: процессы фильтрации, пористая среда; корректные задачи; С0-полугруппы; дробные степени операторов.

Введение

В [1, с. 101] при исследовании процессов фильтрации в пористой среде для х € (0, то) и

£ € (0, то) рассматривается задача отыскания давления р(1, х), удовлетворяющее уравнению

д 2р(Ь,х) др(Ь,х)

а~Гх— = "-дТ + (1 - " )р(‘-х)“

—(1 — V)72 / е1(з-1')р(8,х)й8 = Ь4р(£, х) (1)

Jo

и начально-краевым условиям

р(0,х) = 0, (2)

р{Ь, 0) = д(£), Нш р{Ь,х) = 0. (3)

Здесь V — доля объема проточных зон, 7 — константа массообмена между проточными и а

Требуется найти градиент давления у границы области.

= ф). (4)

В [1] ответ дается в виде

^ „т = I-

<р(г) = Цд(ь) = А/-в ^Ые*, (5)

где неограниченный оператор M формально выписывается в виде ряда

M = Y^ anD1 -n, (6)

n=0

где ao = 1, ai = y(в — 1), an = — 2 ^n=i am-kak, (k > 3), сходимость которого в [1], несмот-

1

ря на неограниченность оператора Lj*, не обсуждается. Формальное применение дробного интегро-дифференцирования в [1] также не затрагивает вопроса о корректной разрешимости краевой задачи (1) - (3). В частности, вопроса об устойчивости решения по исходным данным, который, как известно, является одним из основных при численной реализации соответствующего алгоритма. В то же время, результаты, полученные в [3] с применением методов теории полугрупп исследования корректной разрешимости краевых задач С.Г. Крейна [4], дающие в явном виде представление решения задачи (1) - (3), а также функции (4), позволили строить алгоритмы, лишенные указанных недостатков.

В настоящей работе методом теории сильно непрерывных полугрупп С.Г. Крейна устанавливается корректная разрешимость краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения (1), рассмотренного на конечном интервале x Е [0,1]. То есть нужно найти решения уравнения (1), удовлетворяющие условиям:

а)

u(t, 0) = pi(t),u(t,l) = ^i(t) (7)

— задача Дирихле;

б)

UX,(t, 0) = W2(t),u'x(t,l) = ^2(t) (8)

задача Неймана.

В предположении, что функции ф1,ф2,ф1,ф2 дифференцируемы. И указать функциональные пространства Cp[o,<x] с нормами

\\ф\\р = sup \p(t)p(t)\,p(t) > °,

t€[0,^o]

для которых выполняются неравенства

suP \p(t)U(t,x)\ < с[\\фг\\р + \Ш\р], (9)

t&[0,<x]

с константой с, независимой от фг и ф%.

Для решения этих задач нам понадобятся следующие результаты из общей теории (см. [3 с. 305], а также [7, 8]).

1. Необходимые факты из общей теории

В банаховом пространстве E рассматривается уравнение

d2u

-j~2 = Au(x), x Е [0,^], (1.1)

где A — вообще говоря, неограниченный в E оператор с областью определения D(A) такой, что оператор —A является генератором сильно непрерывной полугруппы U (t, —A), удовлетворяющей оценке

\\U(t, —A)\\< Me-Mt, ш > 0. (1.2)

Определение 1.1. Решением уравнения (1.1) будем называть функцию u(x) со значениями в D(A), дважды непрерывно дифференцируемую и удовлетворяющую (1.1) на отрезке [0,1].

Определение 1.2. Задача Дирихле для уравнения (1.1)

u(0) = ф1,и(1)= 01, (1.3)

называется корректной, если она однозначно разрешима для любых ф1,01 Е D(A), и существует С1 > 0 такое, что для всех решений (1.1) справедливо неравенство

sup \\u(x)\\E < С1(\\ф1\\в + \\ф1\\в). (1.4)

x&[0,l]

Определение 1.3. Задача Неймана для уравнения (1.1)

u'(0)= ф2, u/(l~) = '02, (1.5)

называется корректной, если она однозначно разрешима для всех ф2,02 Е D(A), и суще-с2 > 0

sup \\u(x)\\E < С2(\\ф2\\Е + ||02\E). (1.6)

x€[0,l]

В случае l = то отыскиваются решения u(x) в предположении ограниченности

sup ||u(x)|| < то (1.7)

x€[0,^)

и удовлетворяющие условиям

u(0) = фз (1.8)

(задача Дирихле);

u (0) = ф4 (1.9)

(задача Неймана).

И оценкам (1-4) и (1-6) соответствуют оценки

sup \\u(x)\\e < С1||фз||, (1.10)

x€[0,l]

sup \\u(x)\\E < C2 ||ф4 \| . (1.11)

x£[0,l]

Отметим, что условие (1-2) обеспечивает корректную разрешимость рассматриваемых задач и справедливость следующих результатов. Для простоты изложения будем считать l = п. Из результатов А.В. Князюка [2] следует корректная разрешимость задачи Дирихле (1.1) - (1.3), и для ее решения получено представление

u(x) = F (x)ф1 + F (п — x)01, (1.12)

где

2 ™

F(x)ф = — sinnx ■ n(n2 + Л)-1ф. (1.13)

п

n=1

ф1 Е D(A)

x sin nx 2 1

F (x)ф = (1---------------------------------)ф + ^-(n + A) Aф. (1.14)

п n

n=1

Корректность задачи Неймана (1) - (4) показана М.Небольсиной в [8], при этом решение имеет вид

и(х) = Б(х)ф2 + Б(п — х)ф2, (1-15)

где

1 ж

Б(х)ф =—[Л-1ф + 2 совпх(п2 + Л)-1ф\- (1-16)

п '

П=1

Заметим, что из (1.13) и (1-16) следует соотношение

Б' (х)ф = Г (х)ф- (1-17)

Если ф € Е(Л), то

Г' (х)ф = —Б(х)Лф- (1-18)

Эти решения можно выразить и через полугруппу и(Ь, —Л), если воспользоваться формулой,

связывающую резольвенту К(х) и полугруппу генератора —Л.

Г Ж

(п2 + Л)-1ф = К(п2, —Л) = е-п2я и (в, —Л)фбв- (1-19)

Jо

Пользуясь (1-19) в (1.13) и (1-16) и меняя порядки суммирования и интегрирования, получаем представления

ч 2 б® , х гв,гт, .. , ,

Г (х)ф = п бх (2П’П ^и (в} —Л)фбв’ (1-20)

п ц о бх 2п п

1 Г ОС1 х гв

Б(х)ф = - Л-1ф + [@(2-,—) — 1\и (в, —Л)фбв, (1-21)

п о 2п п

где гу)- @ - функция Якоби, вида

Ж

@(г, гц) = 1 + 2^^ ехр(—пп2ц) сов(2ппг)

п=1

см.[5], с.13.

Корректная разрешимость задачи (1.1) - (1-8) показана С.Г. Крейном в [3 с. 324], при этом ее решение имеет вид

и(х)ф3 = и (х, —(—Л)2 )ф3- (1-22)

Наконец корректная разрешимость задачи Неймана установлена Д.В.Костиным в [4], и ре-птеиие имеет вид

Гж 1

и(х)ф4 = — и (т, —(—Л) 2 )ф4бт- (1-23)

л X

2. Постановка задач фильтрации в рамках общей теории

Для применения подхода, изложенного в п. 1, запишем уравнение (1) в виде

= Лр(х), х € [0,п],х € [0, то), (2-1)

где оператор Л задается дифференциальным выражением а ^ и областью определения

би

Б(Л) = {и € Е,б£ € Е}, (2-2)

Е

При этом условия (7) и (8) при I = п имеют вид

р(0) = фа ,р(п) = фа (2-3)

в случае задачи Дирихле;

| х=о = | х_ = ф2, (2-4)

в случае задачи Неймана.

Если I = то, то граничные условия принимают вид

р(0) = фз, Нш \\р(х)\\ = 0, (2-5)

х^ж

И

р(0) = ф4, Нш ||р(х)|| = 0- (2-6)

х^ж

Таким образом, для установления корректной разрешимости исследуемых задач необ-

и(х, —Л)

3. Построение полугруппы и(х, -А)

Оператор А представим в виде суммы А = Аі + А2, где опера тор Аі задается дифференциальным выражением

, , . V бп(і) 1 - V . . .

Ііп(і) =-----——І---------и(і) (3.1)

а аі а

и областью определения 0(А\) = {п Є С[о,^),Ііп Є С[о)те),п(0) = 0^. Оператор А2 зададим

интегральным оператором

А2п(і) = - -—V7^ / еу(з-і')п(в)ав. (3.2)

аО

Нетрудно видеть, что оператор А2 ограничен в С[о,те) в силу очевидной оценки

||А2п|| < ||п||. (3.3)

Заметим, что операторы Аі и А2 коммутируют на В(А\). Это следует из легко проверяемого

равенства

/ еу(з-і')пІ(в)ав = а [ е'г(з-і')п(в)ав. (3.4)

О аі О

Полугруппа и (х, —Аі) с генератор ом Аі имеет вид

и (х. —Аі)п(і)= е--п(і х) !х (35)

{

Отсюда следует оценка

\\и(х,-Аі)|| < е ^ж. (3.6)

и(х, —А2)

и(х,-А2)п(і) = ^2 хї(-А2)пп(і), (3.7)

п=0 П'

где

■ (і-Ті2п г* е-1*яп-іп(і -

{-А2)пп(і) = \ ап(П—і)\ ІО е 18„п іп(і - в)ав, п = -,2,■■■;

І I, п = 0.

(3.8)

1-тождественный оператор. Это дает оценку

(1 — и)п~2п г<х 1 _ ..

ІІАПпП < [ап(п -1)1 ] е-^8п-іав\\п\\ = (—)п7п||п||. (3.9)

ап(п — 1)! ,/0

Оценивая полугруппу (3.7), используя (3.8), получаем оценку

1 — и\п 7 пхп <1-^

ЦП(х,-А2)п\| < М]Г(—= е—*Ц,,Ц. (3.10)

а п!

п=0

Теперь нетрудно видеть, что из (3.6) и (3.10) следует неравенство

\\и(х, —А)\\ < \\и(х, —А1)\\\\и(х, —А2)\\< ехр[—(1 — ^)(1 — 7)]- (3-11)

Далее, пользуясь (3.8) в (3.7), получаем представление

)п^2ПхП г *

ап(п — 1)!п л0

(1 — 1/)п~2пхп г*

и(х,-А2)п(і) = п(і) + ^2 ап^п - 1))\п\ У е-13вп-1п(і - в)йв =

п=і

Г* (1 — 1/)п^2пхп вп-і

пі) + 0 (£ а'‘(п- 1)М. )е-1'п(і - 8)а„ =

0 п=і 4 7

1___V /** Ц___V

= и(Ь) + х------72 е-1311(2^\------хв)и(Ь — в)(1в- (3-12)

а о а

Здесь мы воспользовались соответствующим представлением функции Бесселя 11(г) первого рода (см. [5, с. 642]).

Теперь, пользуясь (3.5) и (3.12), получаем вид полугруппы и(г, —А)

и (х, —А)и(г) = и (х, —А1)и (х, —А2)и(г) =

п(г—а х)+(1 — а )12х+ в < г—а х;

+ /о “х !1(21\[—%8)е-13и(г — ах — в)бв, (3-13)

і — Vх < в.

а

4. Вычисление характеристик потока на границе

Так как, исходя из изложенной выше общей теории, оценка (3.11) обеспечивает равномерную корректность задач (2.1) - (2.6), то представления решений (1.13) - (1.16), (1.22), (1.23) позволяют ответить на следующие вопросы, связанные с определением потока вещества на границе области:

А) Нахождение градиента давления у границы области по известному закону изменения давления нэ. границе.

То есть вычисление значений

= «м. = «м, (41)

0

в случае задачи (2.1) - (2.3), и

9-^х=» = т, 42)

в случае задачи (2.1) - (2.5).

В) Определение давления на границе области по заданному градиенту.

То есть вычисление значений:

р(г, 0) = д!(Ь), р(г, п) = д2(Ь), (4.3)

в случае задачи (2.1)-(2.4), и

р(г, 0) = дз(г), (4.4)

в случае задачи (2.1)-(2.6).

Имея в виду соотношение А = Ьь, и полугруппу и(х,А) = и(х,Ьь) вида (3.13), представления (1-15) и (1-16) позволяют дать следующие ответы в этих задачах.

A) Из (1.18) следуют равенства

Я1(г) = -Ьь[Б (0)ф1 (г) + Б(п)ф1 (г)]; (4.5)

д2(г) = -Ьь[Б (п)ф1(г) + Б (0)ф1 (г)]. (4.6)

Из (1.22) получаем

1

п Jо

B) Равенства (1-15) и (1.23) дают соотношения

д1(г) = Б (0)ф2(г) + Б(п)ф2(г); (4.8)

д2(г) = Б (п)ф2(г) + Б(0)ф2(г); (4.9)

Г — 1 -1

д^(г) = - и(т,-(Ь)2)ф4(г)бг = -Ь- 2ф(г). (4.10)

■)о

1 1 Г— 1

Яз(г) = (-Ьь)2 фз(г) = - т 2 и(т,Ьь)Ььфз(г)бт. (4.7)

п .'о

Из полученных соотношений заключаем, что в силу оценок

л —

1Б’(0)ф||< -[ЦА-Ч1 +2^, 11(>12 + А)-1

7Г ' ^

П=1

1 г 1 \^ 1 пи и сН\/~шп и,, /. \

= п[й +2£ ^2+^

п=1 у

Г— 1 Г— 1 1

II/ и(т, -Ьь) 2 фбт||</ в-ш2"бт||ф|| = ^-2 |ф|| (4.12)

Jо ло

задачи (4.3) - (4.4) равномерно корректны в пространствах С[о)—), и их численная реализация носит стандартный характер.

Решение задач (4.1) - (4.2) выражается через неограниченный оператор Ьь, и вследствие этого их численная реализация осуществляется с помощью соответствующих регуляризиру-

ющих методов. Но из разложения Ьь = V+ Ьо, где Ьо-неогранпченный оператор, следует,

« и д ЧТО регуляризирующии алгоритм ОТНОСИТСЯ ТОЛЬКО К вычислению производной дь, что также реализуется по стандартной схеме.

Таким образом, из представлений (4.5) - (4.7) следует, что при решении задачи Дирихле, в частности задачи Ю.И. Бабенко (1) - (3), сначала нужно получить решение равномерно корректной задачи Неймана, а затем применить стандартный алгоритм вычисления произВОДНОЙ.

Литература

1. Бабенко, Ю.И. Тепломассообмен, методы расчета тепловых и диффузионных потоков / Ю.И.Бабенко. - Л.: Химия, 1986. - 144 с.

2. Князюк, А.В. Граничные значения эволюционных уравнений в банаховом пространстве:

дпс. ... канд. физ.-мат. наук / А.В. Князюк. - Киев, 1985. - 115 с.

3. Крейн, С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве /

С.Г. Крейн. - М.: Наука, 1967.- 464 с.

4. Костин, Д.В. О третьей краевой задаче для уравнения эллиптического типа в банаховом пространстве на Я+ / Д.В. Костин // Материалы Воронежской весенней математической школы «Ионтрягпнскпе чтения - XXIII». - Воронеж: Изд. полиграф, центр ВГУ, 2012. - С. 97.

5. Лаврентьев, М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Ii.II. Шабат. - М.: Наука, 1973.- 736 с.

6. Мамфорд, Д. Лекции о тэта-функциях: пер. с англ. / Д. Мамфорд - М.: Мир, 1988. -

448 с.

7. Костин, В.А. О корректной разрешимости краевых задач для уравнения второго порядка / В.А. Костин, М.Н. Небольсина // Доклады Академии Наук. - 2009. - Т. 428, №1. -С. 20-22.

8. Небольсина, М.Н. Исследование корректной разрешимости некоторых математических

моделей тепломассопереноса методом С.Г. Крейна: дпс. ... канд. физ.-мат. наук /

М.Н. Небольсина. - Воронеж, ВГУ, 2009. - 102 с.

Марина Николаевна Небольсина, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра «Математическое моделирование:», Математический факультет, Воронежский государственный университет (г. Воронеж, Российская Федерация), [email protected]. Аль Кхазраджи Сундус Хатем Маджид, аспирант, кафедра «Математическое модели»

ронеж, Российская Федерация), [email protected].

Поступила в редакцию 21 мая 2014 г.

Bulletin of the South Ural State University. Series "Mathematical Modelling, Programming & Computer Software",

2014, vol. 7, no. 3, pp. 60-68.

MSC 39-02 DOI: 10.14529/mmpl40306

On the Well-Posedness of Some Problems of Filtration in Porous Media

M.N. Nebolsina, Voronezh State University, Voronezh, Russian Federation, [email protected],

Al Khazraji S.H.M., Voronezh State University, Voronezh, Russian Federation, [email protected]

Using the theory of semigroups of linear transformations, we establish the uniform well-posedness of initial-boundary value problems for a class of integrodifferential equations in bounded and half-bounded regions describing the processes of nonstationary filtration of squeezing liquid in porous media.

Babenko considered a particular case of these equations on the semi-infinite straight line with Dirichlet condition on the boundary. In that work it was required to find the pressure gradient on the boundary, and the answer is obtained by the formal application of fractional integro-differentiation while ignoring the question of continuous dependence on the intial data. The solution is expressed as a formal series involving an unbounded operator, whose convergence is not discussed.

The theory of strongly continuous semigroups of transformations enables us to establish the uniform well-posedness of the Dirichlet and Neumann problems for both finite and infinite regions. It enables us to calculate the pressure gradient on the boundary in the case of the Dirichlet problem and the boundary value of the solution in the case of the Neumann problem. We also prove that the solution is stable with respect to the initial data.

Keywords: filtration processes; porous media; well-posed problem; C0-sem,igroups; fractional powers of operators.

References

1. Babenko Yu.I.Teplomassoobmen, metody rascheta teplovyh i diffuzionnyh potokov [ Heat and Mass Transfer. The Method of Calculation of Heat and Diffusion Currents]. Leningrad, Chemistry, 1986.

2. Knyazyuk A.V. Granichnye znacheniya evolyutsionnykh uravneniy v banakhovom prostranstve [Boundary Values of Evolution Equations in a Banach Space. The Dissertation for Scientific Degree of the Candidate of Physical Mathematical Sciences]. Kiev, 1985. 115 p.

3. Krejn S.G. Lineynye differential’nye uravneniya v banakhovom prostranstve [Linear Differential Equations in Banach Spaces]. Moscow, Nauka, 1967. 464 p.

4. Kostin D.V. [On the Third Boundary-Value Problem for Equations of Elliptic Type in a Banach Space on E+]. Materials of Voronezh Spring Mathematical School "Pontryagin Readings-XXIH", Voronezh, VSU, 2012, pp. 97.

5. Lavrent’ev M.A, Shabat B.V. Metody teorii funktsiy kompleksnogo peremennogo [Methods of the Theory of Functions of a Complex Variable]. Moscow, Nauka, 1973.

6. Mumford D. Tata Lectures on Theta. Boston, Basel, Berlin, Birkhlfuser, 1983. DOI: 10.1007/978-1-4899-2843-6

7. Kostin V.A., Nebol’sina M.N. Well-Posedness of Boundary Value Problems for a Second-Order Equation. Doklady Mathematics, 2009, vol. 80, no. 2, pp. 650-652. DOI: 10.1134/S1064562409050044

8. Nebolsina M.N. Issledovanie korrektnoy razreshimosti nekotoryh matematicheskih modeley teplomassoperenosa metodom S.G.Kreina [The Research of Correct Solvability of Some Mathematical Models of Heat and Mass Transfer Method S.G. Krein. The Dissertation for Scientific Degree of the Candidate Physical and Mathematical Sciences]. Voronezh, VSU, 2009. 102 p.

Received May 21, 2014