О КОРНЯХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ РЭЛЕЯ ПРИ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ПАРАМЕТРА Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Краткие сообщения

УДК 534.2 DOI: 10.14529/mmph240107

О КОРНЯХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ РЭЛЕЯ ПРИ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ПАРАМЕТРА

С.Ю. Гуревич, Д.Г. Кожевников, Е.В. Голубев

Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Российская Федерация e-mail: golubevev@susu.ru

Аннотация. Получен ряд корней характеристического уравнения для поверхностных волн в предположении, что квадрат отношения скоростей объемных волн представляет собой рациональное число. Точные формулы для найденных корней содержат минимум радикалов и рациональных чисел.

Ключевые слова: поверхностные волны; скорость волны Рэлея; корни характеристического уравнения; точные формулы.

Скорость волны Рэлея в задачах акустики однородных упругих сред может быть найдена с помощью выражения cr = ct*Jx , где x - единственный действительный корень, принадлежащий интервалу [0,1), уравнения [1, с. 136]:

x3 -8x2 + 8x(3-2w2)-16(l-u2) = 0, (1)

где сделана замена x = %2 и введены обозначения: u2 = (ct/cl )2, cr,ct, cl - скорости поверхностных, поперечных и продольных волн соответственно.

Аналитическое выражение для вычисления корня уравнения (1) в общем случае, полученное в [2, см. (10) и (6))], дает довольно громоздкую конечную формулу. Однако в работе [3] представлены значения корней для некоторых значений u2 в виде простых дробей. В нашей работе

мы продолжим поиск значений u 2 , которым соответствуют корни, допускающие простую запись.

При решении акустической задачи для скоростей акустических волн берут экспериментальные значения, которые содержат конечное число знаков. Следовательно, параметр u2 является рациональным числом. Поставим простую обратную задачу нахождения рациональных значений

параметра u2 , которым соответствуют корни, формулы для вычисления которых содержат минимум радикалов и рациональных чисел.

Будем искать решения в виде xijk = (i -^[j)/k, где i, j, к - целые числа, что продиктовано

формой записи некоторых случайно найденных ранее корней (например, 3 - \/5 для u2 = 1/2). Для этого выразим u2 из (1):

2 x3 - 8x2 + 24x-16

u =--(2)

16( x -1)

и, подставляя xijk , будем искать значения u2 , представимые в виде отношения целых чисел l и m . Корни в количестве 19 шт., найденные простым перебором i, j, к , l и m, значения которых не превышает 1000, помечены звездочкой (*) и представлены в таблице, где введено обозначение а = (2u2 -1)/2(u2 -1) для коэффициента Пуассона. Поскольку а е [-1,1/2], то рассматриваются xtjk такие, что u < 0,75 . В таблице приведены только простейшие формулы для корней, остальные легко получить по значениям i, j, к .

Bulletin of the South Ural State University Ser. Mathematics. Mechanics. Physics, 2024, vol. 16, no. 1, pp. 56-59

Гуревич С.Ю., Кожевников Д.Г., Голубев Е.В.

О корнях характеристического уравнения Рэлея при рациональных значениях параметра

Таблица корней характеристического уравнения (1)

а и2 7 ] к хук = (' Vк

114/235 131 0,4851064 7/242* 0,0289256 10 0 11 10/11 0,9090909

55/136 131 0,4044118 13/81* 0,1604938 8 0 9 8/9 0,8888889

20/69 131 0,2898551 29/98* 0,2959184 1) 6 0 7 6/7 0,8571429

116/441 0,2630385 209/650 0,3215385 11 593/13 5 0,8492168

57/217 0,2626728 103/320 0,321875 9 157/5 4 0,8491074

205/781 0,2624840 371/1152 0,3220486 13 125/2 6 0,849051

22/85 0,2588235 41/126 0,3253968 7 139/7 3 0,8479549

93/368 0,2527173 91/275 0,3309091 12 664/11 5 0,8461192

1/4 [4] 0,25 1/3* 0,3333333 2) 6 12 3 2(3 -л/з)/з 0,8452995

5/21 0,2380952 11/32* 0,34375 5 11 2 (5 -л/Л)/2 0,8416876

328/1455 0,2254296 799/2254 0,3544809 13 1171/23 7 0,8378089

203/923 0,2199350 517/1440 0,3590278 11 179/5 6 0,836115

62/287 0,2160278 163/450 0,3622222 13 701/9 5 0,8349064

114/539 0,2115028 311/850 0,3658824 9 397/17 5 0,8335024

77/365 131 0,2109589 211/576* 0,3663194 5 0 6 5/6 0,8333333

55/279 0,1971326 169/448 0,3772321 7 95/7 4 0,8290145

11/56 0,1964286 17/45* 0,3777778 40 760 15 (40 - 2>/190)/15 0,8287935

279/1504 0,1855053 473/1225 0,3861224 12 968/25 7 0,8253515

20/119 0,1680672 79/198 0,3989899 5 71/11 3 0,8198068

19/115 0,1652174 77/192 0,4010417 11 179/3 4 0,818895

341/2261 0,1508182 1579/3840 0,4111979 13 631/15 8 0,8142647

29/204 0,1421569 73/175 0,4171429 14 692/7 5 0,8114614

77/552 0,1394928 199/475 0,4189474 8 296/19 5 0,8105965

190/1513 0,1255783 1133/2646 0,4281935 11 775/27 7 0,8060595

377/3212 0,1173724 1229/2835 0,4335097 3) 14 1604/35 9 0,8033689

3/28 131 0,1071429 11/25* 0,44 4 0 5 4/5 0,8

3/35 0,0857143 29/64* 0,453125 3 2 2 (3 -Д)/2 0,7928932

154/3151 0,0488734 2843/5994 0,4743076 13 1321/37 9 0,7805362

55/1476 0,0372629 683/1421 0,4806474 10 604/29 7 0,7766107

8/533 0,0150094 517/1050 0,492381 4) 7 209/21 5 0,7690521

0 0 1/2* 0,5 3 5 1 3 0,7639320

-13/2163 -0,0060102 2189/4352 0,5029871 11 409/17 8 0,7618776

-5/123 131 -0,0406504 133/256* 0,5195313 3 0 4 3/4 0,75

-5/112 -0,0446429 61/117 0,5213675 4 40/13 3 0,748628

-323/4077 -0,0792249 4723/8800 0,5367045 13 349/11 10 0,7367303

-132/1387 -0,0951694 1651/3038 0,5434496 9 467/31 7 0,7312424

-35/328 -0,1067073 199/363* 0,5482094 8 0 11 8/11 0,7272727

-589/5340 -0,1102996 3259/5929 0,5496711 14 1772/49 11 0,7260373

-35/253 -0,1383399 323/576 0,5607639 5 41/9 4 0,7164063

-496/2825 -0,1755752 3817/6642 0,5746763 11 893/41 9 0,7036714

-99/476 -0,2079832 337/575 0,586087 6 148/23 5 0,6926625

-209/799 -0,2615770 1217/2016 0,6036706 7 61/7 6 0,6746672

-2/7 >3' -0,2857143 11/18* 0,6111111 2 0 3 2/3 0,6666667

-377/1240 -0,3040323 997/1617 0,6165739 8 376/33 7 0,6606441

-615/1817 -0,3384700 3047/4864 0,6264391 9 275/19 8 0,6494463

-935/2548 -0,3669545 2209/3483 0,6342234 10 772/43 9 0,640316

-1349/3451 -0,3909012 6149/9600 0,6405208 11 131/6 10 0,6327385

-1869/4544 -0,4113116 4141/6413 0,6457196 12 1384/53 11 0,6263538

-261/584 -0,4469178 553/845* 0,6544379 8 0 13 8/13 0,6153846

-133/267 -0,4981273 533/800* 0,66625 3 0 5 3/5 0,6

-11/21 -0,5238095 43/64* 0,671875 13 113 4 (13 -л/113)/4 0,5924635

-55/92 -0,5978261 101/147* 0,6870748 4 0 7 4/7 0,5714286

-2/3 -0,6666667 7/10* 0,7 5 5 5 (5 -л/5)/5 0,5527864

-15/17 131 -0,8823529 47/64* 0,734375 1 0 2 1/2 0,5

Значения и для реальных веществ, рассчитанные по данным [6]: 1) олово (кристалл) - 0,298091, железо - 0,304855; 2) цинк - 0,334012; 3) германий (кристалл) - 0,431349; 4) бериллий - 0,494211.

Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика» 2024, том 16, № 1, С. 56-59

Краткие сообщения

В целях оптимизации несложной, но длительной процедуры поиска, установим связь между г, у и к , подставив в (1) вид искомых корней хук = (г ~4~])/к :

-к3 - 7гк2 + (8 у + 8г2)к - 3гу - г3 +у[](1к2 - 16гк + у + 3г2)

2 1

u =— 16

х2 - 7 х +17 -

х -1

J_ 16

17+

k 2( k - i + 4])

Очевидно, что результат будет рациональным числом, если выполнено условие

-к3 -И2 +(8у + 82)к-3у -г3 = 7кг - 16/к + у + 3(2.

к - г

Для у и и2 в этом случае получаем выражения

8k - 16ik2 +11i2k - 2i 2 22k - 22ik2 + 8i2k - i3

j =-, u2 =---. (3)

7k - 2i 2k (7k - 2i)

Для увеличения списка возможных корней мы ослабим первоначальное требование и будем считать, что j - неотрицательное рациональное число. Задавая произвольные положительные

числа i и k , с помощью (3) мы находим корень Х]к = (i - ^J])/k и соответствующее ему u2 . Например, для i = 5 , k = 5 находим j = 5, что соответствует уже найденному перебором значению (см. таблицу). Для i = 12 и k = 5 находим j = 664/11, что дает новый корень для

u = 91/275 « 0,331. Таким образом мы дополнили таблицу корнями с i,k < 25 и l,m < 10000 .

Есть еще один корень, содержащий другую степень в выражении х = 2(4-^/Г9)/3 = (8 -л/152)/з « 0,888 [4, 5], который соответствует рациональному значению u2 = 1/6 . Обозначив xijk = (i - ^])/k , мы провели аналогичное исследование и получили, что рациональные значения для u2 можно получить только при 3i = 8k и j = 152k3/27, что означает

его единственность (k = 1), поскольку при k > 1 значение u2 > 3/4.

Полученные результаты могут использоваться на практике для приближенных вычислений.

Так, многие горные породы в сейсмологии характеризуются значениями u 2 в диапазоне примерно от 0,16 (песчаник, мел) до 0,37 (гранит, метаморфические породы). Также среди ряда полученных значений, есть близкие к расчетным данным для олова, железа, цинка, германия и бериллия (см. сноски к таблице). К сожалению, точных корней, соответствующих u < 0,3 и удовлетворяющих условиям, принятым в постановке задачи, немного, а именно такие значения получаются для многих металлов [6]. Мы можем предположить, что корни в этом диапазоне имеют другую простую форму записи, отличную от предполагаемой в работе. Лучшим будет для таких значений u использовать точное значение корня [2].

Литература

1. Ландау, Л.Д. Теоретичеотая физика. Т. VII. Теория упругости / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц.

- М.: Наука, 1987. - 248 с.

2. Malischewsky, P.G. A Note on Rayleigh-Wave Velocities as a Function of the Material Parameters / P.G. Malischewsky // Geofísica Internacional. - 2004. - Vol. 43, no. 3. - P. 507-509.

3. Pichugin, A. Approximation of the Rayleigh Wave Speed / A. Pichugin // People.Brunel.Ac.Uk (Unpublished draft). - 2008. http://people.brunel.ac.uk/~mastaap/draft06rayleigh.pdf

4. Malischewsky, P.G. Comment to "A New Formula for the Velocity of Rayleigh Waves" by D. Nkemzi [Wave Motion 26 (1997) 199-205] / P.G. Malischewsky // Wave Motion. - 2000. - Vol. 31.

- P.93-96.

5. Mechkour, H. The Exact Expressions for the Roots of Rayleigh Wave Equation / H. Mechkour // Proceedings of the 2-nd International Colloquium of Mathematics in Engineering and Numerical Physics (MENP-2) April 22-27, 2002, Bucharest, ROMANIA. - P. 96-104.

6. Кикоин, И.К. Таблицы физических величин. Справочник / И.К. Кикоин. - М.: Атомиздат, 1976. - 1005 с.

Поступила в редакцию 12 ноября 2023 г.

58 Bulletin of the South Ural State University

Ser. Mathematics. Mechanics. Physics, 2024, vol. 16, no. 1, pp. 56-59

Гуревич С.Ю., Кожевников Д.Г., Голубев Е.В.

О корнях характеристического уравнения Рэлея при рациональных значениях параметра

Сведения об авторах

Гуревич Сергей Юрьевич - доктор технических наук, профессор, кафедра оптоинформатики, Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Российская Федерация, ORCID iD: https://orcid.org/0000-0002-1042-0303, e-mail: gurevichsi@susu.ru.

Кожевников Дмитрий Григорьевич - старший преподаватель, кафедра оптоинформатики, Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Российская Федерация.

Голубев Евгений Валерьевич - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра оптоинформатики, Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Российская Федерация, ORCID iD: https://ocrid.org/0000-0002-6641-0702, e-mail: golubevev@susu.ru.

Bulletin of the South Ural State University Series "Mathematics. Mechanics. Physics" _2024, vol. 16, no. 1, pp. 56-59

DOI: 10.14529/mmph240107

THE ROOTS OF THE RAYLEIGH CHARACTERISTIC EQUATION FOR RATIONAL VALUES OF THE PARAMETER

S.Yu. Gurevich, D.G. Kozhevnikov, E.V. Golubev

South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation e-mail: golubevev@susu.ru

Abstract. The roots of the Rayleigh characteristic equation for surface waves are obtained under the assumption that the square of the ratio of the velocities of volume waves is a rational number. The exact formulas for the roots contain a minimum of radicals and rational numbers.

Keywords: surface waves; Rayleigh wave velocity; roots of the characteristic equation; exact formulas.

References

1. Landau L.D., Lifshitz E.M. Theory of Elasticity (3rd ed.). Oxford, England: Butterworth Heinemann, 1986, 204 p.

2. Malischewsky P.G. A Note on Rayleigh-Wave Velocities as a Function of the Material Parameters. Geofísica Internacional, 2004, Vol. 43, no. 3, pp. 507-509.

3. Pichugin A.V. Approximation of the Rayleigh Wave Speed. Unpublished draft, 2008, http: //people.brunel .ac .uk/~mastaap/draft06rayleigh.pdf

4. Malischewsky P.G. Comment to "A New Formula for the Velocity of Rayleigh Waves" by D. Nkemzi [Wave Motion 26 (1997) 199-205]. Wave Motion, 2000, Vol. 31, pp. 93-96.

5. Mechkour H. The Exact Expressions for the Roots of Rayleigh Wave Equation. BSG Proceedings 8, Geometry Balkan Press, 2003, pp. 96-104.

6. Kikoin I.K. Tablitsy fizicheskikh velichin. Spravochnik (Tables of Physical Quantities. Guide). Moscow, Atomizdat Publ., 1976, 1005 p. (in Russ.).

Received November 12, 2023

Information about the authors

Gurevich Sergey Yur'evich is Dr. Sc. (Engineering), Professor, Optoinformatics Department, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, ORCID iD: https://orcid.org/0000-0002-1042-0303, e-mail: gurevichsi@susu.ru.

Kozhevnikov Dmitriy Grigor'evich is Senior Lecturer, Optoinformatics Department, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation.

Golubev Evgeniy Valer'evich is Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Optoinformatics Department, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, ORCID iD: https://ocrid.org/0000-0002-6641-0702, e-mail: golubevev@susu.ru.

Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика» 2024, том 16, № 1, С. 56-59