CC BY
9
Физика
УДК 534.2 DOI: 10.14529/mmph230108
ЗАМЕЧАНИЕ О ВЫЧИСЛЕНИИ СКОРОСТИ ВОЛНЫ РЭЛЕЯ И ПРОИЗВОДНОЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ РЭЛЕЯ В УПРУГИХ СРЕДАХ
С.Ю. Гуревич, Е.В. Голубев
Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Российская Федерация e-mail: golubevev@susu.ru
Аннотация. Существует много приближенных и точных формул для определения скорости поверхностных волн в упругих средах. Получено аналитическое выражение для скорости волны Рэлея через значения скоростей объемных волн, а также формула, позволяющая определить вычет в задачах возбуждения и дифракции поверхностных акустических волн в однородном изотропном упругом полупространстве, допускающих решение для полей деформаций и напряжений в виде квадратур. Вычислены значения скорости волн Рэлея и производной определителя Рэлея для некоторых сред по литературным данным. Полученные результаты могут помочь в получении аналитических выражений и позволяют уменьшить время расчета на этапе численного решения задач дифракции и возбуждения акустических волн.
Ключевые слова: поверхностные волны; скорость волны Рэлея; корни характеристического уравнения; точное решение.
Поверхностные волны или волны Рэлея [1] давно и широко применяются в науке и технике, например, для определения характеристик их излучателей и изучения физических процессов, происходящих при возбуждении и распространении колебаний [2, 3], фазовых переходов [4], изучения свойств веществ и состояния их поверхностей [5], в дефектоскопии и оценке остаточного ресурса [6-8], для передачи и обработки информации [9, 10], в геофизике и сейсмологии [11].
Задача вычисления скорости рэлеевской волны, сводящаяся к решению уравнения третьей степени, раньше решалась численно [2] или с помощью простых приближенных формул [6, 1215]. Поскольку к настоящему времени математики уже предложили аналитические методы решения уравнений невысоких степеней, например метод Лагранжа [16] или формулу Кардано [1719], то эти методы учитываются при исследовании выражений в программах компьютерной алгебры. Это позволяет записать и упростить аналитические выражения для скорости поверхностной волны и для корней соответствующего уравнения [20, 21] (см. также источники 4, 6-13 в [20]).
Работа посвящена записи производной определителя Рэлея в аналитическом виде с помощью точного решения характеристического уравнения.
Согласно [22, с. 136], уравнение для определения скорости волны Рэлея
- 8£4 + 2
( С 2 ^ ( С 2 ^
3 - 2 -16 1 - ^ = 0,
1 с2 J 1 С2 J
(1)
где % = с(к = сг/с( (0<£< 1) , со - циклическая частота колебаний, к = ю/с - волновое число, сг, с, с1 - скорость поверхностных, поперечных и продольных волн соответственно.
Сделаем замену х = ^2 = (к/к )2, введем обозначение и2 = (с(/с1 )2 и получим уравнение
х3 - 8х2 + 8х (з - 2и2 )-16 (1 - и2 ) = 0 , (2)
имеющее в интервале х е [0,1) единственный действительный корень а , который и определяет скорость волны Рэлея:
сг = с^4а . (3)
Введем обозначения
T = <J((-64u2 + 107)u2 - 62)u2 +11, U = ^17 - 45u2 - 3>/Зг
(4)
(5)
и запишем решение уравнения (2), полученное в программах Maxima [23] и WolframAlfa [24] в виде
8 2
a =---
3 3
U -
2(6u2 -1) U
(6)
Это выражение вместе с (4) и (5) является решением поставленной задачи. Значение корня определяется только отношением квадратов скоростей объемных волн или коэффициентом Пуассона а, связанным с и2 известным соотношением и2 = с^/с2 = (1 — 2ст)/2(1 — с) (табл. 1).
Таблица 1
Зависимость а (а)
ст u 2 a , точное решение (6) - с) a, численный метод
-1,0 0,7500000000000000 0,4745724391564827 0,474572439156483
-0,9 0,7368421052631579 0,4960417626756930 0,4960417626756933
-0,8 0,7222222222222222 0,5191753282850295 0,5191753282850295
-0,7 0,7058823529411765 0,5440779615104171 0,5440779615104173
-0,6 0,6875000000000000 0,5708262701628667 0,570826270162867
-0,5 0,6666666666666667 0,5994463782101697 0,5994463782101699
-0,4 0,6428571428571429 0,6298836881418670 0,6298836881418671
-0,3 0,6153846153846159 0,6619660579475539 0,661966057947554
-0,2 0,5833333333333333 0,6953666629760182 0,6953666629760183
-0,1 0,5454545454545455 0,7295801516555792 0,7295801516555793
0,0 0,5000000000000000 0,7639320225002102 a) 0,7639320225002103
0,1 0,4444444444444444 0,7976383362116029 0,797638336211603
0,2 0,3750000000000000 0,8299135133739662 0,8299135133739663
0,3 0,2857142857142857 0,8600943341185433 0,8600943341185434
0,4 0,1666666666666667 0,8877322341853701 b) 0,88773223418537
0,5 0,0000000000000000 0,9126219746158490 0,9126219746158474
a) 3 - \f5, b) a = 2(4 - л/Т9)/з [21], с) - значения получены с помощью [23] при использовании функцииfindroot, пример кода: s:-1.0; u2:0.5*(1-2*s)/(1-s); find_root(((x-8)*x-16*u2+24)*x+16*u2-16,x,0.47,0.92);
В научных работах, например в [20], есть подобные результаты, но они записаны в другой форме - в виде подробного алгоритма действий, которые к нему приводят, а не в виде конечной формулы (6). В [20] приведена таблица корней уравнения (2) для различных значений коэффициента Пуассона (-1 <ст< 0,5) и корней, полученных численным методом (см. табл. 1 из [20]). Из рассмотрения этой таблицы следует, что необходимо порядка 10 итераций для вычисления корня с абсолютной погрешностью, меньшей 10-9. Очевидно, что точное выражение существенно проще в использовании, чем применение численных методов, которые требуют многократного вычисления исходной функции (2).
Согласно [22, с. 137], u2 изменяется для различных веществ от 0 до 1/2 (u от 0 до 1/л/2). Решение (6) допускает подстановку любого значения u2 из указанного интервала и остается действительным. Вычисление не вызывает никаких трудностей в интервале 1/6 < u2 < 0,3215 с использованием действительных чисел. При u2 < 1/6 (ст> 0,4), подкоренное выражение в (5) отрицательно и это требует аккуратного вычисление корня U = -3 -17 + 45u2 + Зл/Зт при работе с такими веществами, например, как свинец и золото. В самой точке u2 = 1/6 (ст = 0,4) и ее малой окрестности при вычислении функции может накопиться значительная вычислительная погрешность, так как для получения значения знаменателя в формуле (6) требуется существенно больший объем вычислений, чем для числителя. Неопределенность типа 0/0 легко устраняется разложением функции U (u2) в ряд Тейлора в окрестности этой точки
U (и2)-
12
2 1
и —
360 19^9
и 2 -1
что дает из (6) значение корня a = 2(4- 3/l9)/3 « 0,887732234185370088.... Автором [21] получен
аналогичный результат из (2) при и2 = 1/6. При и2 > 0,3215 (и = c/c > 0,567) T (4) становится мнимым и в расчетах необходимо использовать переменные комплексного типа (например, для таких веществ как цинк, германий, бериллий), для получения действительного значения a необходимо выделить реальную часть, мнимая часть сравнима с вычислительной погрешностью.
В работе [21] с помощью формулы Кардано и программы MAPLE получено выражение (см. формулу после 2.14), определяющее действительный корень через коэффициент Пуассона, которое в заключительной части работы автор привел к (6), записанному не в упрощенном виде. Автором отмечено, что функция имеет разрыв в точке и2 = 1/6 (а = 2/5) , что, как показано, не имеет места. В [21] также получено, что a = 2(4 - ^19^3, при а = 2/5 = 0,4. В [25] приведены точные
_5__3 TL 20 _55 114
123 , 28 , 365 , 69 , 136 , 235 .
значения других корней для а равных
Результаты вычисления на основе выражения (6) можно сравнить с экспериментальными данными для величины скорости рэлеевской волны в различных материалах и признать удовлетворительным соответствие расчетных и табличных данных. Так, в работе [26] приведены данные измерений скорости: в алюминии (А-1) - 2990 м/с, в железе (АРМКО) - 2912 м/с. По данным [7] (см. приложение, табл. П2, 103 м/с): свинец - 0,63; золото - 1,12; платина - 1,57; серебро -1,48; висмут - 1,03; латунь - 1,95; вольфрам - 2,65; медь - 3,52 (указана с = 3,72); алюминий -2,80; олово - 1,56; никель - 2,64; кадмий - 1,4; железо - 3,0; цинк - 2,22; бериллий - 7,87.
При решении задачи возбуждения и распространения акустических волн в сплошных упругих средах при использовании модели полупространства и методов интегральных преобразований для нахождения решения в аналитическом виде конечные квадратурные формулы для акустического поля (поля векторов деформаций и напряжений) содержат в знаменателе выражение [12, стр. 7] (16) (также см. [2]):
Я(к) = (к2 + 52)2 - 4к2д5 = (2к2 - к|)2 - 4к2^к2 - к2^/к2 - к; , (7)
где к = ®/с - волновое число; д = ^к2 - к2 , кг = ®/с1; 5 = ^к2 - к2 , к1 = ю/с{. Согласно [27], Я(к) определяет четыре точки ветвления подынтегральной функции к = ±к1, ±к2 и три полюса к = 0, ±кг, где кг =ю/сг - волновое число волны Рэлея. Вычет в к = кг определяет вклад волны Рэлея в акустическое поле. Для его определения необходимо вычислить производную
R'(kr) =
dR
dk
k=k„
8k(2k2 - k2 ) - 8k*jk 2 - k2^/k2 - k2 - 4k:
Vk 2 - kf 4k 2 - kf
'' - 4k3
^k2 - k2 \lk 2 - ki2
k=kr
2k8 - 8k2kf + 16k6(k2 - kf )
k(2k2 - k2 )2
2[a3 - 4a2 + 8(1 - и2)] , 3
2 kt ■
k=k.
4a (a - 2)2
(8)
где учтено, что (2к^ - к|)2 = 4к^кГ - к12 ^к^ - к| , кг = к(!«,[а , к1 = ык(. Это выражение, записанное в аналитическом виде, пропорционально частоте в третьей степени. Безразмерный коэффициент перед к3 (приведен для некоторых веществ в табл. 2), от которого зависит амплитуда волны Рэлея, определяется только отношением скоростей распространения объемных упругих волн или коэффициентом Пуассона.
Аналогичные результаты представлены в [2], где приведены графики расчетных зависимостей величин скорости волны Рэлея и отношения производной определителя и к3 от коэффициента Пуассона (см. рис. 2 и 3 в [2]).
2
Таблица 2
Скорости звука для некоторых веществ (с, с - данные [28], столбцы 4-7 - расчет по (6), (3) и (8))
ci ct 2 2/2 и = с J c a cr 1 däl k3 dk\k=kr
1 2 3 4 5 6 7
Свинец 2160 700 0,105024 0,898355 663,47 -8,09648
Золото 3240 1200 0,137174 0,893063 1134,02 -7,64224
Платина 3960 1670 0,177845 0,885579 1571,56 -7,07566
Серебро 3600 1590 0,195069 0,882107 1493,34 -6,83877
Висмут (кристалл) 2140 960 0,20124 0,880815 900,98 -6,75439
Нейзильбер 4760 2160 0,205918 0,879817 2026,05 -6,69059
Латунь 4430 2123 0,229664 0,874507 1985,33 -6,36919
Вольфрам 5460 2620 0,230259 0,874369 2449,9 -6,36118
Медь 4700 2260 0,231218 0,874145 2113 -6,3483
Алюминий 6260 3080 0,242077 0,871556 2875,4 -6,20289
Олово 3320 1670 0,253021 0,868846 1556,64 -6,05731
Константен 5240 2640 0,253831 0,868641 2460,5 -6,04658
Висмут 2180 1100 0,254608 0,868444 1025,09 -6,03629
Никель 5630 2960 0,276418 0,862689 2749,28 -5,7496
Чугун 4500 2400 0,284444 0,860454 2226,26 -5,6452
Свинец (кристалл) 2350 1266 0,290223 0,858804 1173,22 -5,57043
Кадмий 2780 1500 0,291134 0,858541 1389,86 -5,55867
Олово (кристалл) 3480 1900 0,298091 0,8565 1758,4 -5,46916
Железо 5850 3230 0,304855 0,854465 2985,72 -5,3826
Цинк 4170 2410 0,334012 0,845069 2215,46 -5,01527
Германий (кристалл) 5390 3540 0,431349 0,80447 3175,11 -3,87086
Бериллий 12660 8900 0,494211 0,767838 7798,7 -3,2182
Выводы
В виде конечных формул приведены аналитическое решение для уравнения, определяющего скорость поверхностной волны, и выражение, помогающее определить вычет при использовании квадратурных формул, определяющих поля векторов деформаций и напряжений. Полученные результаты могут помочь в получении и анализе аналитических выражений, а также позволят уменьшить время расчета на этапе численного моделирования при решении задач дифракции и возбуждения акустических волн.
Литература
1. Rayleigh, L. On Waves Propagated along the Plane Surface of an Elastic Solid / L. Rayleigh // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1885. - Vol. s1-17, Iss. 1. - P. 4-11.
2. Гуляев, Ю.В. Распространение поверхностных акустических волн в периодических структурах / Ю.В. Гуляев, В.П. Плесский / Успехи физических наук. - 1989. - Т. 157, Вып. 1. - С. 85127.
3. Карабутов, А.А. Лазерное возбуждение поверхностных акустических волн: новое направление в оптико-акустической спектроскопии твердого тела / А.А. Карабутов / Успехи физических наук. - 1985. - Т. 147, № 3. - С. 605-620.
4. Гуляев, Ю.В. Поверхностные магнитоакустические волны в магнитных кристаллах в области ориентационных фазовых переходов / Ю.В. Гуляев, И.Е. Дикштейн, В.Г. Шавров // Успехи физических наук. - 1997. - Т. 167, № 7. - С. 735-750.
5. Муравьев, В.В. Скорость звука и структура сталей и сплавов / В.В. Муравьев, Л.Б. Зуев, К.Л. Комаров. - Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1996. - 184 с.
6. Ермолов, И.Н. Теория и практика ультразвукового контроля. - М.: Машиностроение, 1981. - 240 с.
7. Ермолов И.Н. Неразрушающий контроль. Кн. 2. Акустические методы контроля: практ. пособие / И.Н. Ермолов, Н.П. Алешин, А.И. Потапов. - М.: Высш. шк., 1991. - 283 с.
8. Non-destructive Testing with Surface Acoustic Waves using Double-Pulse TV Holography / D. Carnadas, C. Trillo, A.F. Doval et al. // Meas. Sci. Technol. - 2002. - no. 13. - P. 438-444.
9. Crecraft, D.I. Ultrasonic instrumentation: principles, methods and applications / D.I. Crecraft // J. Phys. E: Sci. Instrum. - 1983. - Vol. 16, no. 3. - P. 181-189.
10. Meirion, F.L. Rayleigh Waves - a Progress Report / F.L. Meirion // Eur. J. Phys. - 1995. -Vol. 16. - P. 1-7.
11. Novotny, O. Seismic Surface Waves / O. Novotny. - Salvador, Bahia, 1999. - 155 p.
12. Викторов, И.А. Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике / И.А. Викторов. - М.: Наука, 1966. - 168 c.
13. Викторов, И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах / И.А. Викторов. -М.: Наука, 1981. - 287 c.
14. Можаев, В.Г. Приближенные аналитические выражения для скорости волн Рэлея в изотропных средах и на базисной плоскости в высокосимметричных кристаллах / В.Г. Можаев // Акустический журнал. - 1991. - Т. 37, Вып. 2. - С. 368-374.
15. Vinh P.C., Malischewsky P.G. Improved Approximations of the Rayleigh Wave Velocity / P.C. Vinh, P.G. Malischewsky // Journal of Thermoplastic Composite Materials. - 2008. - Vol. 21, Iss. 4.
- P. 337-352.
16. Zhao, T. Solution formulas for cubic equations without or with constraints / T. Zhao, D. Wang, H. Hong // J. Symb. Comput. - 2011. - Vol. 46. - P. 904-918.
17. Cardano, G. Ars Magna / G. Cardano. - Nurmberg, 1545.
18. Stedall, J. From Cardano's Great Art to Lagrange's Reflections. Filling a Gap in the History of Algebra / J. Stedall. - Heritage of European Mathematics. Zurich: European Mathematical Society (EMS), 2011. - 236 p. (German, English).
19. Herbison-Evans, D. Solving Quartics and Cubics for Graphics / D. Herbison-Evans // Technical Report TR94-487. - 1994. (updated 31 March 2011, 27 May 2017, 13 January 2019).
20. Sudheer, G. А Note on Formulas for the Rayleigh Wave Speed in Elastic Solids / G. Sudheer, M.H. Lakshmi, Y.V. Rao // Ultrasonics. - 2017. - Vol. 73. - P. 82-87.
21. Mechkour, H. The Exact Expressions for the Roots of Rayleigh Wave Equation / H. Mechkour / Proceedings of the 2-nd International Colloquium of Mathematics in Engineering and Numerical Physics (MENP-2) April 22-27, 2002, Bucharest, ROMANIA. - P. 96-104.
22. Ландау, Л.Д. Теоретичеотая физика. Т. VII. Теория упругости / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц.
- М.: Наука, 1987. - 248 с.
23. https://maxima.sourceforge.io/ru/index.html
24. https://wolframalfa.com
25. Pichugin, A. Approximation of the Rayleigh Wave Speed / A. Pichugin // People.Brunel.Ac.Uk (Unpublished draft). - 2008. - P. 1-2008. http://people.brunel.ac.uk/~mastaap/draft06rayleigh.pdf
26. Виноградов, Н. Измерение скорости и затухания ультразвуковых поверхностных волн в твердых материалах / Н. Виноградов, К. Ульянов / Акустический журнал. - 1959. - Т. 5, Вып. 3. -С.290-293.
27. Коломенский, Ал.А. Поверхностные отклики при лазерном воздействии на твердое тело: рэлеевские волны и предвестники / Ал.А. Коломенский, А.А. Мазнев // Акуст. журн. - 1990. -Т. 36, № 3. - С. 463-469.
28. Кикоин, И.К. Таблицы физических величин. Справочник / И.К. Кикоин. - М.: Атомиздат, 1976. - 1005 с.
Поступила в редакцию 5 января 2022 г.
Сведения об авторах
Гуревич Сергей Юрьевич - доктор технических наук, профессор, кафедра оптоинформатики, Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Российская Федерация, ORCID iD: https://orcid.org/0000-0002-1042-0303, e-mail: gurevichsi@susu.ru
Голубев Евгений Валерьевич - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра оп-тоинформатики, Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Российская Федерация, ORCID iD: https://ocrid.org/0000-0002-6641-0702, e-mail: golubevev@susu.ru,
Bulletin of the South Ural State University Series "Mathematics. Mechanics. Physics" _2023, vol. 15, no. 1, pp. 69-75
DOI: 10.14529/mmph230108
A NOTE ON CALCULATING RAYLEIGH WAVE VELOCITY
AND THE DERIVATIVE OF THE RAYLEIGH DETERMINANT IN ELASTIC MEDIA
S.Yu. Gurevich, E.V. Golubev
South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation e-mail: golubevev@susu.ru
Abstract. There are many approximate and exact formulae to calculate surface wave velocity in an elastic medium. An analytical expression for Rayleigh wave velocity in volume wave velocity values has been obtained. A formula which determines the remainder in the excitation and diffraction of surface acoustic waves in a homogeneous isotropic elastic half-space involving solutions for the strain and stress fields in the form of quadratures is worked out. The values of the Rayleigh wave velocity and the derivative of the Rayleigh determinant for different media according to the reference data were obtained. The results can help in obtaining analytic expressions and reducing the calculation time of numerical solutions of the diffraction and excitation of acoustic waves.
Keywords: surface waves; Rayleigh wave velocity; roots of the characteristic equation; exact solution.
References
1. Rayleigh L. On Waves Propagated along the Plane Surface of an Elastic Solid. Proc. London Mathematical Society, 1885, Vol. s1-17, Iss. 1, pp. 4-11. DOI: 10.1112/plms/s1-17.1.4
2. Gulyaev Y.V., Plesskii V.P. Propagation of Acoustic Surface Waves in Periodic Structures. Phys-ics-Uspekhi, 1989, Vol. 32, Iss. 1, pp. 51-74. DOI: 10.1070/PU1989v032n01ABEH002676
3. Karabutov A.A. Laser Excitation of Surface Acoustic Waves: a New Direction in Opto-Acoustic Spectroscopy of a Solid. Physics-Uspekhi, 1985, Vol. 28, Iss. 11, pp. 1042-1051. DOI: 10.1070/PU1985v028n11ABEH003981
4. Gulyaev Yu.V., Dikshtein I.E., Shavrov V.G. Magnetoacoustic Surface Waves in Magnetic Crystals Near Spin-Reorientation Phase Transitions. Physics-Uspekhi, 1997, Vol. 40, Iss. 7, pp. 701-716. DOI: 10.1070/PU 1997v040n07ABEH000252
5. Muraviev V.V., Zuev L.B., Komarov K.L. Skorost'zvuka i struktura staley i splavov (The Ultrasound Velocity and Structure of Steels and Alloys). Novosibirsk, Nauka, Siberian Publishing Firm RAN, 1995, 184 p. (in Russ.).
6. Ermolov I.N. Teoriya i praktika ul'trazvukovogo kontrolya (Theory and Practice of Ultrasound Control). Moscow, Mashinostroenie Publ., 1981, 240 p. (in Russ.).
7. Ermolov I.N., Aleshin N.P., Potapov A.I. Nerazrushayushchiy kontrol'. Kn. 2. Akusticheskie metody kontrolya: prakt. posobie (Non-destructive Testing. Book 2. Acoustic Control Methods: Practice Guide). Moscow, Vyssh. shk. Publ., 1991, 283 p. (in Russ.).
8. Carnadas D., Trillo C., Doval A.F., Lopez J.C., Dorrio B.V., Fernandez J.L., Perez-Amor M. NonDestructive Testing with Surface Acoustic Waves using Double-Pulse TV Holography. Meas. Sci. Technol., 2002, no. 13, pp. 438-444.
9. Crecraft D.I. Ultrasonic Instrumentation: Principles, Methods and Applications. J. Phys. E: Sci. Instrum., 1983, Vol. 16, no. 3, pp. 181-189. DOI: 10.1088/0022-3735/16/3/001
10. Meirion F. L. Rayleigh Waves - A Progress Report. Eur. J. Phys., 1995, Vol. 16, pp. 1-7.
11. Novotny O. Seismic Surface Waves. Salvador, Bahia, 1999, 155 p.
12. Viktorov I.A. Fizicheskie osnovy primeneniya ul'trazvukovykh voln Releya i Lemba v tekhnike (Physical Bases of Application of Rayleigh and Lamb Ultrasonic Waves in Engineering). Moscow, Nauka Publ., 1966, 168 p. (in Russ.).
13. Viktorov I.A. Zvukovye poverkhnostnye volny v tverdykh telakh (Sound Surface Waves in Solids). Moscow, Nauka Publ., 1981, 287 p. (in Russ.).
14. Mozhaev V.G. Priblizhennye analiticheskie vyrazheniya dlya skorosti voln Releya v izotropnykh sredakh i na bazisnoy ploskosti v vysokosimmetrichnykh kristallakh (Approximate Analytical Expressions for the Rayleigh Wave Velocity in Isotropic Media and on the Basis Plane in Highly Symmetric Crystals). Akusticheskiy zhurnal, 1991, Vol. 37, Iss. 2, pp. 368-374. (in Russ.).
15. Vinh P.C., Malischewsky P.G. Improved Approximations of the Rayleigh Wave Velocity. Journal of Thermoplastic Composite Materials, 2008, Vol. 21, Iss. 4, pp. 337-352. DOI: 10.1177/0892705708089479
16. Zhao T., Wang D., Hong H. Solution Formulas for Cubic Equations without or with Constraints. J. Symb. Comput., 2011, Vol. 46, pp. 904-918. DOI: 10.1016/j.jsc.2011.02.001
17. Cardano G. Ars Magna. Nurmberg, 1545.
18. Stedall J. From Cardano's Great Art to Lagrange's Reflections. Filling a Gap in the History of Algebra. Heritage of European Mathematics. Zurich: European Mathematical Society (EMS), 2011, 236 p. (German, English). DOI: 10.4171/092
19. Herbison-Evans, D. Solving Quartics and Cubics for Graphics. Technical Report. TR94-487, 1994. (updated 31 March 2011, 27 May 2017, 13 January 2019). DOI: 10.1016/b978-0-12-543457-7.50009-7
20. Sudheer G., Lakshmi M.H., Rao Y.V. A Note on Formulas for the Rayleigh Wave Speed in Elastic Solids. Ultrasonics, 2017, Vol. 73, pp. 82-87. DOI: 10.1016/j.ultras.2016.08.021
21. Mechkour H. The Exact Expressions for the Roots of Rayleigh Wave Equation. BSG Proceedings 8, Geometry Balkan Press, 2003, pp. 96-104.
22. Landau L.D., Lifshitz E.M. Theory of Elasticity (3rd ed.). Oxford, England: Butterworth Heinemann, 1986, 204 p.
23. https://maxima.sourceforge.io/ru/index.html
24. https://wolframalfa.com
25. Pichugin, A.V. Approximation of the Rayleigh wave speed. Unpublished draft, 2008, http: //people.brunel .ac .uk/~mastaap/draft06rayleigh.pdf
26. Vinogradov N., Ul'yanov K. Izmerenie skorosti i zatukhaniya ul'trazvukovykh poverkhnostnykh voln v tverdykh materialakh (Measurement of the Velocity and Attenuation of Ultrasonic Surface Waves in Solid Materials). Akusticheskiy zhurnal, 1959, Vol. 5, Iss. 3, pp. 290-293. (in Russ.).
27. Kolomenskiy Al.A., Maznev A.A. Poverkhnostnye otkliki pri lazernom vozdeystvii na tverdoe telo: releevskie volny i predvestniki (Surface Responses under Laser Action on a Solid: Rayleigh Waves and Precursors). Akusticheskiy zhurnal, 1990, Vol. 36, no. 3, pp. 463-469. (in Russ.).
28. Kikoin I.K. Tablitsy fizicheskikh velichin. Spravochnik (Tables of Physical Quantities. Guide). Moscow, Atomizdat Publ., 1976, 1005 p. (in Russ.).
Received January 5, 2023
Information about the authors
Gurevich Sergey Yur'evich is Dr. Sc. (Engineering), Professor, Optoinformatics Department, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, ORCID iD: https://orcid.org/0000-0002-1042-0303, e-mail: gurevichsi@susu.ru
Golubev Evgeniy Valer'evich is Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Optoinformatics Department, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, ORCID iD: https://ocrid.org/0000-0002-6641-0702, e-mail: golubevev@susu.ru,
