CC BY
124
Сер. 4. 2009. Вып. 4
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
УДК 501, 530.145 Л. В. Прохоров
О КОНЦЕПЦИИ ФИЗИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА В. А. ФОКА*
Физическое пространство. Необходимость иметь представление о пространстве возникает из практической необходимости (пример - земледелие, откуда и само название - геометрия). Необходимые элементы: понятие длины («масштаб»), понятие площади, понятие объёма, понятие угла. Математика начинается с абстрагирования от конкретных свойств реальных предметов. Физика начинается с идеализации реальных предметов. Теоретическая физика есть синтез математики и физики. Абстрагирование от некоторых конкретных свойств перечисленных элементов привело к появлению математической дисциплины - «евклидовой геометрии», пространства К2, К3. Предполагается, что понятие «числа» уже существовало.
Углублённое изучение евклидовой геометрии (Н. И. Лобачевский, Я. Больаи, К. Гаусс) привело к идее «неевклидовой геометрии». Здесь уже в качестве важного инструмента для выяснения вопроса о характере реального пространства выступает «свет» (электромагнитные волны). С этой целью Лобачевский предлагал прибегнуть к астрономическим наблюдениям, а Гаусс использовал геодезию. В любом случае предполагалась прямолинейность распространения света - чисто физическая гипотеза! Здесь уже математики действовали как физики.
Изучение электромагнетизма (М. Фарадей, Дж. Максвелл, Г. Герц, А. Майкель-сон) привело к появлению понятия четырёхмерного псевдоевклидова пространства-времени Минковского М4 (Х. Лоренц, А. Пуанкаре, А. Эйнштейн, Г. Минковский) и созданию специальной теории относительности. Простейший физический объект здесь - материальная точка. Основной физический инструмент для выяснения структуры пространства-времени и его свойств - электромагнитное поле. Включение в число физических объектов пространства М4 гравитационного поля привело к созданию общей теории относительности (А. Эйнштейн, Д. Гильберт), т. е. к появлению теории псевдориманова пространства. Основные объекты теории - гравитационное поле, протяжённые массы. Гравитационное поле выступает и как объект теории, и как характеристика пространства. Основной принцип теории - принцип эквивалентности.
Появление квантовой механики привело к появлению теории квантованных полей и изменило традиционное понимание основного объекта - частицы. Теперь основные объекты - квантованные поля, а частицы - их нелокальные одночастичные возбуждения. Это ведёт к нарушению принципа эквивалентности для частиц (ввиду его локального характера).
Таким образом, судить о пространстве-времени мы можем только по законам распространения квантованных полей в нём. Но само пространство-время характеризуется полем дрт, которое также является динамическим и несёт энергию и импульс (его тензор энергии-импульса = 0). Поле д^у универсально взаимодействует со всеми полями.
* Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования России, грант № РНП.2.1.1/1575.
© Л. В. Прохоров, 2009
Вопрос: как такое может быть?
Здесь на помощь приходит идея В. А. Фока о «физическом пространстве»: судить о пространстве следует по движению тел в нём («понятие физического пространства тесно связано с представлением о движении физического тела» [1], перевод см. в [2]). Но, поскольку фундаментальными, первичными физическими объектами являются поля, то, согласно этому «принципу Фока», судить о пространстве-времени нужно по эволюции полей. Однако пространство-время само характеризуется динамическим полем, поэтому требуется модель, в которой бы все поля выступали «на равных» с гравитационным, причём последнее бы взаимодействовало с остальными (и с самим собой) универсально. При этом необходимо учитывать новый элемент - случайность, так как квантовая механика - теория вероятностная. Первичные элементы модели должны быть динамическими объектами, ибо таковыми являются поля. А поскольку теория должна быть квантовой, искомая модель должна предусматривать наличие источника случайных сил. Связь геометрии с физикой становится ещё более явной. Здесь уместно вспомнить высказывание К. Ф. Гаусса: «... геометрию следует сравнивать не с арифметикой, которая чисто априорна, а с механикой» (цитируется по [3, т. 1, с. 245]).
Итак, мир следует моделировать какой-то механической структурой, подверженной действию случайных сил. Кандидатом на роль такой структуры может служить трёхмерная сеть в 26-мерном пространстве М26, построенная из бозе-струн и находящаяся в термостате. Модель даёт все основные элементы мира [4]: 1) квантовую механику, 2) постоянную Планка Н, 3) пространство Фока, 4) все известные поля, 5) «тёмную энергию» (космологическую постоянную), 6) тёмную материю, 7) суперсимметрию.
Пространство-время, калибровочная симметрия и суперсимметрия. Выясним прежде всего, откуда берётся понятие пространства Минковского. Для этого обратимся к бесконечной цепочке взаимодействующих гармонических осцилляторов, описываемых лагранжианом (в надлежащих единицах):
Ь = \ И № “ ~ до-^2 - тЧ2] > 9 У > °- (!)
з
Здесь нет никаких псевдоевклидовых симметрий, теория нерелятивистская. В непрерывном пределе, когда расстояние между осцилляторами а ^ 0, а ] ^ то, так что су —> XI, qj/^/a —> ср(£,Ж1), уа2 —> с2 = 1 (с - скорость распространения возмущения по цепочке), имеем
Ь = — J с1хх(ф2 — ф/2 — т2ф2), Б =
где ф = дф/дЬ, ф' = дф/дх1. Действие Б инвариантно относительно преобразований Лоренца переменных Ь,Х1, т. е. последние принадлежат пространству Минковского М2. Итак, мы имели некоторую «нерелятивистскую» структуру, механическую систему, образованную счётным множеством осцилляторов, а в крупномасштабном пределе (идеализация!) получили теорию скалярного поля в двумерном пространстве Минковского. Отметим, что если осцилляторы расположены не на оси, а на окружности, то в непрерывном пределе получится лоренц-инвариантная теория на кольце (масса произвольна, т ^ 0). Отсюда естественно сделать выводы:
1. В основе трёхмерного евклидова пространства может лежать некоторая дискретная трёхмерная структура.
2. Под «материей» следует понимать возбуждения структуры.
3. Псевдоевклидово пространство М4 появляется в результате идеализации - перехода от дискретной структуры к непрерывной.
4. Свойства пространства выводятся из законов движения материи, а модель (1), (2) может служить примером реализации идеи Фока о физическом пространстве.
Далее встаёт вопрос о движении «частиц» (материальных точек) в таком пространстве. Отметим, что положительно частотные решения ф+ уравнения
(□ - т2)ф = 0, □ = -д2 + д2Х1, (3)
следующего из (2) (уравнение Клейна-Фока-Гордона), обладают свойствами амплитуд
вероятности, ибо ток = *(ф+д^ф+ — д^ф+ф+) сохраняется, а условие / йх1 = 1
идентично условию нормировки волновой функции скалярной релятивистской частицы. Но пока для такого вывода нет оснований, ибо отсутствует источник случайных сил (первопричина появления вероятностей). Движение центра волнового пакета (в пренебрежении дисперсией) можно отождествить с движением материальной точки (опять же в крупномасштабном пределе) и определить импульс частицы р^, ц = 0,1, который удовлетворяет условию р2 = т2 (выполнить преобразование Фурье в (3)). Итак, в рамках данного подхода можно ввести понятие материальной точки.
Столь же естественно возникает релятивистская механика. Действие для материальной точки должно быть инвариантом группы БО(1,1), ибо относительно этой группы инвариантна исходная теория (2). Но единственным инвариантом (согласно (2), (3)) будет йв2 = А2 — в,х\, т. е.
в = —то J ds = —то J ^сЙ2 — с],х2 = —то J <Ы^ 1 — х\. (4)
В определении (4) Ь - время, независимый параметр. Для «красоты» и упрощения записей, а также принимая во внимание определённую равноправность переменных Ь,х1 (с точки зрения двумерной группы Лоренца), Ь полагают новой динамической переменной хо, а в качестве времени вводят новый независимый параметр т («инвариантное время»), т. е. Ь = хо(т). Тогда действие (4) переписывается в виде
Л Г ГТГ Г , , о2 о <1х
Я = —т I ск— \/1 — ж? = — то I <1т\] х , х= —, хо> 0, х = (хо, хі). (5) ,/ ат V ] ат
Функция і(т) произвольна, действие (5) инвариантно относительно преобразования т = т(т'). Это - простейший и важнейший пример локальной калибровочной симметрии. Формальные преимущества перехода к псевдоевклидову пространству очевидны. Но в теории появляется первичная связь 1-го рода рц = дЬ/дхц, р2 = т2 [5, 6], и произвольная функция От'(т)/От = Х(т).
А в каких случаях произвольные функции зависят ещё и от координат? Рассмотрим цепочку подобных «релятивистских» частиц, описываемых действием
Б = —то \! —> —р І сітсіоУ х , (6)
где при а ^ 0, ] ^ то положено aj ^ о, т/а ^ р, хз(^(т)) ^ х(Ь(т, о), о). Здесь для каждой частицы j введено свое «время» Ьз = хоз-(т) ^ хо(т, о), поэтому вместо одной произвольной функции Х(т) имеем счётное множество функций (т) ^ Х(т, о),
т. е. в непрерывнм пределе приходим к теории, в которой произвольная функция X зависит и от времени т, и от координаты о. В случае бозе-струны подкоренное выражение в (6) заменяется на — det xf;x v; ц, v = 0,1; в = 0,1,..., 25. Подобные теории появляются при рассмотрении цепочек из упоминавшихся выше колец - тогда их возбуждения можно трактовать как «релятивистские частицы» (даже при m = 0 в (1)-(3)).
Итак, природа произвола в динамике определяется формулой (5), т. е. превращением независимого параметра в динамическую переменную, изначально таковой не являвшейся, а степень произвола зависит от степени сложности исходной (дискретной) системы (формула (6)).
Чтобы получить теорию с векторными полями, заменим цепочку осцилляторов трёхмерной решёткой, а вместо скалярного поля ф(х) (теперь x; = (xo, x)) возьмём поле A(x). Так как x есть вектор в пространстве M4, вместо А( x) естественно ввести 4-вектор A; (аналогично переходу от (4) к (5)). Ясно, что компонента Ao(t, x) будет нефизической динамической переменной (как и переменная xo(t) в (5)), но с существенной разницей: время t, в отличие от Ao, имело физический смысл. Физической величиной изначально является A(x). Поскольку ось xo не связана с физическими переменными (соответствующая компонента 4-вектора x; не есть динамическая переменная материальной точки), то и компоненты любых векторных или тензорных полей хотя бы с одним нулевым индексом ц не могут быть физическими динамическими переменными. Итак, если имеется поле Ац, то Ao(t, x) - заведомо нефизическая переменная, и её эволюция со временем заведомо произвольна. Сказанное означает, что скорости Ao не должны входить в лагранжиан [5, 6]. Этому условию отвечает требование калибровочной инвариантности, заключающееся в том, что лагранжиан должен зависеть от тензора F;v = d;Av — dvA;, инвариантного относительно калибровочного преобразования
A; = A; + дцЛ, (7)
где Л^) - произвольная скалярная функция. Аналогично обстоят дела и в случае, например, симметричного тензорного поля g;v. Правда, теперь появляются уже четыре нефизические функции gov, а теория должна быть инвариантна как минимум относительно инфинитезимальных преобразований g'lv = g;v + d;ev + dve;. Инвариантом, содержащим нетривиальным образом билинейные комбинации первых производных dpg;v, будет скалярная кривизна в римановом пространстве с метрикой g;v, что ведёт к действию Эйнштейна-Гильберта в теории гравитации.
Таким образом, складывается следующая картина. Распространение возбуждений одномерной или трёхмерной нерелятивистской структуры описывается уравнениями, инвариантными относительно групп 50(1,1) (см. (3)) или 50(1, 3). Последняя и есть группа Лоренца. «Материя» отождествляется с возбуждениями структуры. Своеобразие ситуации в том, что в исходной формулировке для частицы время t и координата x имеют совершенно разную природу. Параметр t есть независимая переменная, тогда как x(t) есть динамическая переменная, функция t. Однако описывающий возбуждения лагранжиан (2) таков, что лагранжева плотность и уравнения движения (3) инвариантны относительно псевдоевклидовых преобразований в плоскости (t,xi). Это и порождает «релятивистскую» формулировку механики. Временной параметр представляется как произвольная функция другого независимого (инвариантного) параметра т. Первопричина «калибровочного произвола» теории - инвариантность действия (5) относительно преобразований т = т(т'). В этом суть феномена калибровочной симметрии.
При переходе к релятивистским полям меняется смысл переменной х. Для материальной точки х(Ь) есть динамическая переменная, функция времени. В полевых теориях динамическими переменными являются поля Лц(Ь, х), д^у(Ь, х)); вектор х уже не есть динамическая переменная, он параметризует поля, привязывая их к пространству. Формально время Ь выступает «на равных» с координатой х, однако его физическая сущность не изменилась, это по-прежнему независимый параметр.
Особый случай являет собой суперсимметрия. Здесь речь идёт о взаимозаменах динамических переменных разной алгебраической природы - обычных (коммутирующих) и грассмановых (антикоммутирующих). Трудность понимания усугубляется при переходе к теориям с локальной суперсимметрией. Что её порождает?
Если принять, что в основе мира лежит некоторая структура, то возникают вопросы: какой должна быть эта структура, чтобы некоторые её возбуждения описывались антикоммутирующими каноническими переменными, и чтобы появлялась суперсимметрия? Какова причина её появления?
Модель такой структуры была предложена в работе [4]. В её основе лежит бозе-струна, которая в квантовой теории сама по себе неустойчива (тахион). Искривлённая струна обладает меньшей энергией. Оказывается, что будучи свёрнута в спираль, она моделирует суперструну [4]. Существуют малые возбуждения спирали, которые при определённых условиях в рамках квантовой механики описываются антикоммутирующими спинорными переменными, а соответствующий лагранжиан инвариантен относительно глобальных суперсимметричных преобразований (инвариантность классического гамильтониана относительно замен «бозе» ^ «ферми» комплексных канонических переменных [4]). Элементарной суперструктурой здесь является двойной виток спирали. Ясно, что если потребовать независимости подобных преобразований для каждого двойного витка, то, аналогично обычной локальной калибровочной симметрии (элементарная структура - кольцо), в крупномасштабном пределе появится локальная суперсимметрия. Теперь глобальной структурой, лежащей в основе мира и моделирующей как пространство, так и материю (возбуждения структуры) будет трёхмерная сеть, построенная из суперструн (спиралей).
Подчеркнём, что если построенная из бозе-струн сеть находится в термостате, то эволюция её малых отклонений от равновесного состояния описывается амплитудами вероятности (при условии большого времени релаксации [4]), т. е. квантовой механикой. Но именно при квантовом описании обнаруживается упомянутая неустойчивость бозе-струн, ведущая к формированию спиралей.
Несложно найти и структуру с суперсимметрией N > 1. Например, структура с N = 2 могла бы моделироваться двойной спиралью. Тогда имела бы место инвариантность теории относительно суперсимметричных преобразований каждой из спиралей в отдельности.
Заключение. Проведённый анализ свидетельствует о том, что в основе нашего мира может лежать образованная из струн трёхмерная сеть, помещённая в термостат. Именно она, эта структура, моделирует трёхмерное пространство и позволяет ввести понятие четырёхмерного псевдоевклидова пространства Минковского. Данный результат получается при последовательном воплощении идеи В. А. Фока [1] о понятии «физического пространства» с учётом современных представлений о «простейшем физическом объекте». В качестве такового следует брать поле. Понятие поля неотделимо от понятия пространства.
Примечательно, что термостат отвечает не только за появление амплитуд вероятности, но и за суперсимметрию пространствообразующей структуры. Распределение
Гиббса возможно только для динамической системы с неотрицательным гамильтонианом. Состояние с нулевой энергией должно быть основным, т. е. отвечать наинизшей возможной энергии системы. Но это и есть основная особенность квантовых систем, обладающих суперсимметрией. Другие подобные структуры неизвестны. Иначе говоря, в термостате с наибольшей вероятностью должны существовать именно суперсиммет-ричные структуры; обеспечивающая равновесность распределения суперструна моделируется закрученной в спираль бозе-струной. Тем самым данный подход позволяет не только понять, как в рамках классической теории может появляться квантовая механика, но и проливает свет на природу суперсимметрии. Не менее примечательно и то, что распределение Гиббса порождает гамильтонову механику: из условия его равновесности вытекают уравнения Гамильтона [4].
Вывод: наш мир моделируется трёхмерной квантовой сетью, построенной из суперструн.
Литература
1. Fock V. A possible generalization of the concept of physical space // Phys. Norveg. 1971. Vol. 5. P. 149-150. (Пер. в [2, с. 322].)
2. Фок В. А. Избранные труды. СПб., 2003. 488 с.
3. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация / пер. с англ. Т. 1-3. М., 1977.
4. Прохоров Л. В. О физике на планковских расстояниях. Пространство как сеть // Физ. элементарн. част. атом. ядра. 2007. Т. 38. Вып. 3. С. 696-733.
5. Дирак П. А. М. Лекции по квантовой механике / пер. с англ. М., 1986. 84 с.
6. Прохоров Л. В., Шабанов С. В. Гамильтонова механика калибровочных систем. М., 2006. 292 с.
Принято к публикации 1 июня 2009 г.
