CC BY
1
УДК 539.3 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2023. Т. 10 (68). Вып. 4
МБС 31А10, 45М05
0 контактных задачах с деформируемым штампом и изменяемом реологией
В. А. Бабешко1'2, О. В. Евдокимова2, О. М. Бабешко2, М. В. Зарецкая2, В. С. Евдокимов2
1 Южный научный центр РАН,
Российская Федерация, 344006, Ростов-на-Дону, ул. Чехова, 41
2 Кубанский государственный университет,
Российская Федерация, 350040, Краснодар, ул. Ставропольская, 149
Для цитирования: Бабешко В. А., Евдокимова О. В., Бабешко О. М., Зарецкая М. В., Евдокимов В. С. О контактных задачах с деформируемым штампом и изменяемой реологией // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2023. Т. 10(68). Вып. 4. С. 588-599. https://doi.org/10.21638/spbu01.2023.401
В работе впервые представлен один из методов исследования и решения контактных задач с деформированным штампом для тех случаев, когда возникает потребность изменения реологии материала штампа. В его основе лежит ранее опубликованный авторами новый универсальный метод моделирования, применяемый в граничных задачах для систем дифференциальных уравнениях в частных производных. С его помощью решения сложных векторных граничных задач для систем дифференциальных уравнений можно раскладывать по решениям скалярных граничных задач для отдельных дифференциальных уравнений. Среди них наиболее простыми являются уравнения Гельмгольца. Решения скалярных граничных задач представляются в виде фракталов, самоподобных математических объектов, впервые введенных американским математиком Б. Мандельбротом. Роль фракталов выполняют упакованные блочные элементы. Переход от систем дифференциальных уравнений в частных производных к отдельным уравнениям осуществляется с помощью преобразования академика Б. Г. Галер-кина или представления потенциалами. Известно, что решения динамических контактных задач с деформируемым штампом сложной реологии являются громоздкими и их исследование всегда затруднительно. Проблема усложняется наличием в таких задачах решения дискретных резонансных частот, в свое время обнаруженных академиком И. И. Воровичем. Контактная задача с деформируемым штампом допускает построение решения, если можно решить контактную задачу для абсолютно жесткого штампа и построить решение граничной задачи для деформируемого штампа. В более ранних работах авторов деформируемый штамп описывался отдельным уравнением Гельмгольца. В настоящей работе рассматривается контактная задача о действии на многослойное основание полубесконечного штампа, описываемого системой уравнений Ламе. Показан один из методов перехода к иным реологиям при описании свойств деформируемого штампа в контактных задачах.
Ключевые слова: контактная задача, блочный элемент, деформируемый штамп, фракталы, реология, уравнения Ламе, Винера — Хопфа.
1. Введение. Исследованиями в области контактных задач занимались и продолжают заниматься многие известные ученые в связи с их ролью в инженерной практике. Лишь небольшие примеры исследований в этой области приведены в пуб-
* Работа поддержана Российским научным фондом (проект 22-21-00129).
© Санкт-Петербургский государственный университет, 2023
ликациях [1—16]. Созданы пакеты прикладных программ для численного решения некоторых контактных задач, в том числе с деформируемым штампом. Однако практика показала, что одни численные методы не позволяют вскрывать тонкие особенности поведений взаимодействующих деформируемых тел, упуская важные природные и техногенные свойства и явления. К их числу, например, относятся обнаруженные путем точного решения граничных задач методом блочного элемента такие явления, как новый тип «стартовых» землетрясений. Другим примером является выявление локализаций контактных напряжений или перемещений в динамических контактных задачах. Ранее они не были описаны. Аналитические исследования контактных задач посвящены рассмотрению взаимодействий с абсолютно жестким штампом.
В настоящей работе с применением нового, недавно разработанного авторами, метода моделирования проводится анализ особенностей взаимодействия деформируемого основания с деформируемым объектом в виде полосы, описываемым граничной задачей для уравнений Гельмгольца. Решение этой задачи открывает возможность решения контактных задач с деформируемыми штампами сложной реологии. В работе [15], следуя возможностям этого метода, впервые аналитически исследована контактная задача о действии деформируемого штампа в форме полосы и полуплоскости на многослойное основание. В качестве модели деформируемого штампа принимался объект, свойства которого описывались уравнением Гельмголь-ца. Согласно алгоритму названного выше метода моделирования, для рассмотрения деформируемого штампа из материала более сложной реологии, например описываемого системой уравнений Ламе, решение граничной задачи для него следует разложить по решениям граничных задач для уравнения Гельмгольца. Это позволит упростить представление решения для штампа сложной реологии и облегчит решение контактной задачи. Заметим, что без решения этих контактных задач затруднительно построение механических моделей самоорганизации и самосборки наноча-стиц, а также моделирование трещин нового типа в многокомпонентных средах.
2. Постановка задачи. Рассматривается многослойная среда, на ее верхней границе вводится декартова система координат таким образом, что ось 0x3 направлена по внешней нормали, остальные оси 0x1, 0x2 лежат в касательной плоскости. Предполагается, что в области П(0 ^ Х1 ^ то, |х21 ^ то) действует вибрирующий по закону деформируемый штамп, материал которого описывается системой
уравнений Ламе. Считается, что полубесконечный штамп действует на основание в условиях плоской деформации и контакт осуществляется без трения. Тогда уравнение контактной задачи на многослойном основании описывается интегральным уравнением вида [16]
сс сю
к(х1 - £ЬХ2 - £2)я(£1 ,£2)^1 ^2 = -^(х1 ,Х2), 0 < Х1 < то, |х21 < то,
-с 0
с с (1)
к(жьж2) = ^2 / / Щ<У-и<У.2)е-^а1Х1+а2Х2)д,алд,а2,
— с — с
К(а1 ,а2) = \\Ктп(а1,а2)\\ , т,п = 1, 2.
Здесь q(xl,Х2) — вектор контактных напряжений под штампом; w(xl,x2) — перемещения в зоне контакта; к(Х1 ,Х2) — ядро интегрального уравнения; функция
К(а1,а2) — преобразование Фурье ядра интегрального уравнения. Ранее указанные задачи решались только численным методом. В результате оставались вне исследования некоторые особенности решений в динамических задачах. Кроме этого, численные методы оказывались либо малоэффективными, либо несостоятельными в случаях, когда области постановки граничных задач оказывались неограниченными. Именно для таких задач оказывается эффективным предложенный в настоящей работе метод. В работе показано различие решений рассматриваемых граничных задач в случаях жесткого и деформируемого штампов. Разработанный авторами подход [17] открыл возможность использовать фракталы, т. е. упакованные блочные элементы, являющиеся решениями достаточно простых граничных задач, при исследовании многокомпонентных сред.
С учетом этой возможности в качестве деформируемого штампа принимаются решения граничных задач в рассматриваемых областях, являющиеся упакованными блочными элементами для уравнения Гельмгольца. Именно по упакованным блочным элементам будут раскладываться решения контактных задач для деформируемых штампов более высокой реологии.
Граничная задача, описывающая поведение деформируемого штампа в условиях плоской деформации, определяется системой дифференциальных уравнений Ламе в области П(0 ^ х\ ^ то, \х2\ ^ то), имеющей вид [16]
(А + ¡) дхв + ¡Аи1 + к2и1 + Хх = 0, в = д1и1 + д2и2, к2 = ри2,
(А + ¡л) д2в + ¡¡Аи2 + к2и2 + Х2 = 0, Х1,Х2 € О, ^
д д д2и д2и
д\ = -—, д2 = -—, и = {«ь«2}, Аи = 7Н2+ТН2-
дхх дх2 дх\ дх2
Здесь ит — компоненты вектора перемещения и в штампе вдоль горизонтальных осей (т = 1, 2); р — плотность материала штампа; и — частота колебания штампа; хт — компоненты вектора массовых сил (т = 1, 2). На границе штампа (хх = 0) задаются граничные условия вида
их(хх,х2) = и\(0, х2), и2(хх, х2) = и2(0,х2). (3)
Таким образом, необходимо построить в области П(0 ^ х\ ^ то, \х2 \ ^ то) упакованные блочные элементы, которые смогут представить разложение решения граничной задачи для деформируемого штампа, описываемого уравнениями (2) и (3).
3. Разложение решения по блочным элементам. Для построения разложения решения векторной граничной задачи (2) по блочным элементам скалярной граничной задачи воспользуемся соотношением, представляющим разложение решения системы уравнений Ламе с помощью потенциалов в виде
уЛ(хЛ,х2) = дщ>(х1 ,х2) + д2ф(х!,х2), (4)
и2(хх,х2) = д2ф(х! ,х2 ) - д1ф(х1,х2).
Участвующие в представлении (4) потенциалы берем в виде решений граничных задач для уравнения Гельмгольца вида
(А - к2)? = дх, (А - к\)ф = 92, к2 = к2(А + 2л)-1,
к 22 —— к ¡л ,
¥>(хх,х2) = /1(0,х2), Ф(х1 ,х2 ) = /2(0,х2 ), х1 =0.
(5)
Не прибегая к деталям, подробно описанным в [18], выпишем результат определения функций /1(0, Х2), /2(0, Х2) граничных условий (5) для блочных элементов у>(х1, Х2), ,Х2 ).
Они выражаются с помощью функций граничных условий М1(0,Х2) и М2(0,Х2) векторной граничной задачи для уравнений Ламе (2). В результате получается следующее представление:
сю сю
/1(0,2:2) = [ Г1(0,а2)е-^хЧа2, /2(0,х2) = -^ [ 0,а2)е-^х^а2,
f\(0, а2) = гД2 1 (0, а2) - a12+U2 (0, а2)], ап+ = i\Jа\ - р\, F2(0, а2) = -гА^1 [aii+lJi (0, а2) + оли2 (0, а2)], а12+ = i^J-
ж
Um(0,a2) = ^- J ит(0, х2)ега2Х2 dx2, Д2 = о\ + а11+а12+.
—ж
Выразив массовые силы Xm, m =1, 2, в виде [19]
Xi = digi + d2g2, X2 = dg - dig2,
получим представление правых частей потенциалов в форме gm, m = 1, 2.
4. Вывод интегрального уравнения для деформируемого штампа. Поставленные двумерные задачи (1), (2) сводятся к одномерным со свободным вещественным параметром «2 в результате применения преобразования Фурье по координате x2.
Тогда интегральное уравнение (1), скрыв свободный параметр, принимает вид
J ko(xi - £i)q(£i)d£i = w(xi), q(£i) = q(£i,a2), ko(xi) = k(xi,a2),
ж
k0(x1) = ^- J K.o(a\)e~iaiXlda\, K0(ai) = K(ab a2),
0
1 7 (6)
Котп(а1) = Р0п1„ (а1)Дотп(а1).
Ради краткости считаем, что функции Котп(а1) являются четными, мероморфными и на бесконечности обладают асимптотическим поведением Котп(а1) = 0(а-1), 1т а1 = 0.
Таким свойством обладают ядра интегральных уравнений в смешанных задачах для многослойных сред [16].
Функция КотП(а.1) представляется отношением двух целых функций Иотп(а.1) и Ротп(а.1), имеющих счетные множества нулей, уходящих на бесконечность в окрестностях мнимых осей.
Граничные задачи (5) для блочных элементов становятся одномерными, после скрытия свободного параметра а2
(7)
(д^х! + р\)ч>(х!) = д1(хл), 4>(х1 ) = ф(х1 ,а2), д1(хх1) = д(х!,а2), р\(а2) = к\ - а2, Ч>(Х1 ,а2) = 0), хл ^ 0, дх-! + р1)ф(х1) = д2(х1), ф(х1) = ф(х-,а2), д2(хл)= д2(х1 ,а.2), р^а^) = к2 - а2, ф(х-,а2) = ф(0), х1 ^ 0, х1 € ^1.
Применив к уравнениям (7) метод блочного элемента [18], получим следующие представления элементов для внешних форм ш1(а1) и Ш2(а1):
Ш1(а{) = 1(ал - р1)у>(0) + 01(р1) - С1(а1), Ш1Р) = 0,
Ш2(ал) = 1(ал - р2)ф(0) + С2(р2) - 02(а1), Ш2р) = 0,
СЮ
Om(ai) = J gm(xi)eiaixi da, m = 1, 2.
Представим вектор решения и граничных задач разложенным упакованными блочными элементами, используя результат работы [18]. Упакованные блочные элементы имеют вид
оо
1 f и i(g) _iax If ш2{а)
— / ~2-2е V{Xl) = — / -2-2е (
2п J a2 — pi 2п J a2 — p2.
-00
Имеем с учетом свободного параметра a2 и (4):
Ui(ai ,a2) = —ia\^(a\ ,a2) — ia2^(ai,a2),
U2(ai,a2) = —ia2'^(a1 ,a2) + ia11^(a1, a2). Внесем в последние соотношения внешние формы:
тт , ч . ш1(a1,a2) . ^(ai,a2)
иi(ai, а2) = — ia\-9-9--га2-*-к—,
a2 — P2 a2 — p2
TT , s . ^1(a1,a2) . ^(ai,a2)
U2lai, a2) = —ia.2-5-5--h ia.\-5-5—.
a2! — P2 a2 — p2
Для приведения смешанной граничной задачи к интегральному уравнению приравняем вектор перемещения w из (3) в зоне контакта, составленный для многослойного основания, и вектор упакованных блочных элементов (4), (5), которые в результате действия дифференциальных операторов представляют перемещения. Кроме этого, приравняем вектор контактных напряжений и вектор, связанный с внешними объемными силами G = Q. В обеих задачах предварительно применяется к ним
преобразование Фурье. После преобразований, объединения компонент вектора напряжений, это приводит к соотношениям
сю
У ш(ж! - £1,0:2,0:2)^1 = я(ж1,а2), 0 < Х1 < то, |Ж2| < То,
(8)
М(«1,«2) = \\М„
Здесь приняты обозначения:
т,п = 1, 2.
М 11(01,02) = #11(0:1,0:2) - (а2 - р2) 1«а1, М12(а1,а2) = #12(01,02) - (а2 - Р2)~1га2, М21(01,02) = #21(01,02) - (а2 - р2)_1га2, М22(а1,а2) = #22(01,02) + (а2 - р2)_1га1, «1(Х1,02) = ^1(Р1 ,02)гЦ(ж1 ,02) + С2(Р2,02)Т12 (ж1,02) + П1(Ж1,02), «2(Х1, 02) = С1 (Р1, 02)Г21 (Х1, 02) + 022 (Р2, 02)Г22 (ж1 ,02) + П2(Х1, 02), #1(01,02) = 01(Р1,а2)Д11(а1, 02) + О2(р2, 02)^12(01,02) + N1(01, 02), 5*2(01, 02) = О1 (Р1, 02 )#21 (01, 02) + О22 (Р2, а2)Д22 (01,02 ) + N2(01,02),
и , , О1 (Р1,02)е'(а1-Р1)А . 02(Р2,02 У(а1 -Р2)А лц( 01,02) = -го!-2-2-' ^12 (0:1,0:2) = —го2-^-2->
01 - Р1
01 - Р2
К21(01, о2) = —го2-2-2-' ^22(01, о2) = го!-^-2->
01 - Р1
01 - Р2
. ¿(01 - Р1У(ЛУа1 А . ¿(01 - Р2)Ф(ЛУа1 А ./уца!, а,2) = —га,\-^-^--%а,2~
22 а{ - р1
22 а( - р2
. г(а1-Р1 ЫА)е^А , , г(«1 -р2)ф(А)е^А 1\2{01, о2) = -го2-2-2--го1 —
Ч - Р1
Здесь при интегрировании было применено правило
2 2 а1 - р2
СЮ
г(ж!,о2) = — / М(о1, а2)е~1агХ1 ¿а\. 2п }
Легко видеть, что уравнение (8), скрыв свободный параметр 02, превращается в уравнение (6), зависящее лишь от параметра 01, по которому выполняются все действия при его решении.
Таким образом, переход к деформируемым штампам в контактных задачах приводит к решению системы интегральных уравнений Винера — Хопфа с присутствием в правых частях функционалов 0т(р1, 02) от неизвестных контактных напряжений. Этим контактные задачи с деформируемым штампом качественно отличаются от случая абсолютно жесткого штампа.
5. Решение системы интегральных уравнений Винера — Хопфа. Точное решение системы интегральных уравнений Винера — Хопфа получается лишь для
частных случаев, детально описанных в [20, 21]. В этих работах впервые удалось построить точное решение системы интегральных уравнений Винера — Хопфа для случая достаточно общих ядер системы, преобразования Фурье которых являются мероморфными функциями. Это решение в [20] дается теоремой, подготовительная часть которой изложена в указанной статье.
Будем рассматривать систему интегральных уравнений (6), которая получается после несложных обозначений, выполненных в системе интегральных уравнений (8), состоящих в заменах
К(а1 ) = М(а1,а2), я(а1 )= q(аl ,а2).
Предполагается, что ни один из элементов матрицы-функции К не обращается тождественно в нуль, а нули четной целой функции-определителя Л(а) являются однократными. Считаем также, что 1пёёе1{К}(а1) = 0, Л(а1) = 0, -то < а1 < то. В этом случае справедлива теорема.
Теорема [20]. Единственное в Ьр(0, то), р ^ 1, решение системы интегральных уравнений (6) дается соотношением
41{х) = А1е^х + — [ х^иу-^дм + — [ х2{и)е~™х<1и, 2п , 2п I
«1
«2
42{х) = А2УГ'Х + ^ ! У1(и)е Ых(1и+^ ! у2(и)е-«1 «2 У1 (и) = С\(и)х1(и), у 2 (и) = С\(и)х2(и),
х1 (и) = х2 (и) =
А1 - А Л 1+^2
п2=1
А1 + АЛ 1+^
п1=1
Здесь приняты обозначения:
Р+(-г/)Т(-гп2)М2+(-гп1) Б'+(-гп2)(гп2 -г])
В'(-гп1)(гп1 - г])
М1+(и)(и + Хп2)
М2+(и)(и + Zn1)
ВгК22(-т?) -В2К12(-т?) в2Ки(-у) ~ ВгК^-г])
А^-т?) ' 2 Д!(-Т7)
А1(и) = Кц(и)К22(и) - К12(и)К21(и), Ктп(и) = 0, А1(и)=0, -то <и< то, т,п = 1, 2, 1пёД1(и)=0, А1 (и) = М1(и)М2(и), Мк(±гш)=0, 1тг1к > 0, к =1, 2, I =1, 2,...,
Б (и) = Д1(и)С (и), Мк(и)
4>к{и) С {и)
, С(±£п) = 0, 1т Сп > 0, п = 1, 2,....
М1(и) = Ы2(и) - М1(и), М2(и) = М2(и) + М1(и), N (и) = -
М(и) — С\{и) К21(и) ±{Щ = -7ГТ~\-' СЛи) = —
АЧ(и) ЛГ2(и)'
С\(и) ' ^^ К22(и)' 594 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2023. Т. 10(68). Вып. 4
тхд.и
1
1
Результат факторизации функций Ми(и), к = 1, 2, в виде произведения обозначен выражением М^(и) = М^+(и)М^-(и). В нашем случае и = а1, а параметр а2 является свободным параметром преобразования Фурье по координате х2.
Детали ее использования описаны в указанной работе.
С ее помощью можно построить решение системы интегральных уравнений (6), которое будет иметь в преобразованиях Фурье, с учетом свободного параметра 02, следующую структуру:
^1(01, 02) = 01(Р1, 02)^11(01, 02) + О2(р2,02)^12(01,02) + ^13(01, 02), (9) Q2(аl, 02) = 01(р1, 02)^21(01, 02) + О2(р2,02)^22(01,02) + Q2з(аl, 02).
Для определения функционалов, 0т(рт,а2), т = 1, 2, внесем параметры р1, р2 в функции в левой части равенств (9) и разрешим систему уравнений относительно функционалов. В результате получим их значения
01(Р1,02) = Д-1(аь 02) (Qlз(аl, 02) [1 - Q22(аl, 02)] + Q2з(аl,а2)Ql2(01,02)} , О2(р1, 02) = Д-1(а1, 02) ^13(01, а2)Q2l(аl, 02) - Q2з(аl, 02) [1 - Qll(аl, 02)]} , Д(а1,а2) = [1 - Qll(аl,02)] [1 - Q22(аl,а2)] - Ql2(аl,а2)Q2l(аl,02).
Внесенные в правые части соотношений (9), последние представляют решение контактной задачи с деформируемым штампом измененной реологии в преобразованиях Фурье. Соотношение
[1 - Qll(аl, 02)] [1 - Q22(аl,02)] - Q 12(01, 02^21(аь 02) = 0
является дисперсионным уравнением резонансных множеств частоты ш, зависящих от параметров 01, 02, входящих в дисперсионное уравнение посредством зависимостей к2 = рш2, к2 = к2(Л + 2л)-1, к2 = к2¡л-1, р2т = к^ - а"2, т =1, 2. Существование резонансов в контактных задачах с деформируемым штампом предсказал академик И. И. Ворович [22, 23].
Выполнив указанные подстановки, решение контактной задачи с деформируемым штампом и измененной реологией представим в виде
СЮ СЮ -С -С
6. Выводы. В статье продемонстрирована универсальность фрактального метода [17] при решении не только однородных, но и смешанных граничных задач. Особенность его применения к последним состоит в решении интегральных уравнений, содержащих в правых частях функционалы от решений. Они определяются после получения решения систем интегральных уравнений и последующего его применения для построения дисперсионных уравнений в динамических смешанных задачах. Предложенный метод позволяет, последовательно изменяя реологию, добиваться необходимых требований для применяемого материала деформируемого штампа.
Литература
1. Papangelo A., Ciavarella M., Barber J. R. Fracture mechanics implications for apparent static friction coefficient in contact problems involving slip-weakening laws. Proc. R. Soc. A. 471, 20150271 (2015). https://doi.org/10.1098/rspa.2015.0271
2. Zhou S., Gao X.L. Solutions of half-space and half-plane contact problems based on surface elasticity. Z. Angew. Math. Phys. 64, 145-166 (2013). https://doi.org/10.1007/s00033-012-0205-0
3. Almqvist A. An LCP solution of the linear elastic contact mechanics problem. Available at: https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/43216-an-lcp-solution-of-the-linear-elastic-contact-mechanics-problem (2013). http://doi.org/10.13140/RG.2.1.3960.7200
4. Cocou M. A class of dynamic contact problems with Coulomb friction in viscoelasticity. Nonlinear Analysis: Real World Applications 22, 508-519 (2015). https://doi.org/10.1016/j.nonrwa.2014.08.012
5. Ciavarella M. The generalized Cattaneo partial slip plane contact problem. I. Theory. Int. J. Solids Struct 35 (18), 2349-2362 (1998). https://doi.org/10.1016/S0020-7683(97)00154-6
6. Ciavarella M. The generalized Cattaneo partial slip plane contact problem. II. Examples. Int. J. Solids Struct. 35 (18), 2363-2378 (1998). https://doi.org/10.1016/S0020-7683(97)00155-8
7. Guler M. A., Erdogan F. The frictional sliding contact problems of rigid parabolic and cylindrical stamps on graded coatings. Int. J. Mech. Sci. 49 (2), 161-182 (2007). https://doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2006.08.006
8. Ke L.-L., Wang Y.-S. Two-dimensional sliding frictional contact of functionally graded materials. Eur. J. Mech. A/Solids 26 (1), 171-188 (2007). https://doi.org/10.1016Zj.euromechsol.2006.05.007
9. Almqvist A., Sahlin F., Larsson R., Glavatskih S. On the dry elasto-plastic contact of nominally flat surfaces. Tribology International 40 (4), 574-579 (2007). https://doi.org/10.1016 /j .triboint.2005.11.008
10. Andersson L. E. Existence results for quasistatic contact problems with Coulomb friction. Appl. Math. Optim. 42, 169-202 (2000). https://doi.org/10.1007/s002450010009
11. Cocou M., Rocca R. Existence results for unilateral quasistatic contact problems with friction and adhesion. Math. Modelling and Num. Analysis 34 (5), 981-1001 (2000).
12. Kikuchi N., Oden J. Contact Problems in Elasticity: A Study of Variational Inequalities and Finite Element Methods. Philadelphia, SIAM (1988).
13. Raous M., Cangemi L., Cocou M. A consistent model coupling adhesion, friction, and unilateral contact. Comput. Meth. Appl. Mech. Engrg. 177, 383-399 (1999). https://doi.org/10.1016/S0045-7825(98)00389-2
14. Shillor M., Sofonea M., Telega J.J. Models and Analysis of Quasistatic Contact. Lect. Notes Phys., vol. 655. Berlin, Heidelberg, Springer (2004). https://doi.org/10.1007/b99799
15. Бабешко В. А., Евдокимова О. В., Бабешко О. М. О контактных задачах с деформируемым штампом. Проблемы прочности и пластичности 84 (1), 25-34 (2022). https://doi.org/10.32326/1814-9146-2022-84-1-25-34
16. Ворович И. И., Бабешко В. А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. Москва, Наука (1979).
17. Бабешко В. А., Евдокимова О. В., Бабешко О.М. Фрактальные свойства блочных элементов и новый универсальный метод моделирования. Доклады Академии наук 499, 21-26 (2021). https://doi.org/9.31857/S2686740021040039
18. Бабешко В. А., Евдокимова О. В., Бабешко О.М. Об одном методе решения граничных задач динамической теории упругости в четверть плоскости. Прикладная математика и механика 85 (3), 275-282 (2021). https://doi.org/10.31857/S0032823521030024
19. Новацкий В. Теория упругости. Москва, Мир (1975).
20. Бабешко В. А., Евдокимова О. В., Бабешко О. М. Об одной факторизационной задаче Гильберта— Винера и методе блочного элемента. Доклады Академии наук 459 (5), 557-561 (2014).
21. Babeshko V.A., Evdokimova O. V., Babeshko O.M. On the problem of evaluating the behavior of multicomponent materials in mixed boundary conditions in contact problems. Materials Physics and Mechanics 48 (3), 379-385 (2022). https://doi.org/10.18720/MPM.48(3)2022_8
22. Ворович И. И. Спектральные свойства краевой задачи теории упругости для неоднородной полосы. Доклады Академии наук СССР 245 (4), 817-820 (1979).
23. Ворович И. И. Резонансные свойства упругой неоднородной полосы. Доклады Академии наук СССР 245 (5), 1076-1079 (1979).
Статья поступила в редакцию 10 февраля 2023 г.;
доработана 5 мая 2023 г.; рекомендована к печати 18 мая 2023 г.
Контактная информация:
Бабешко Владимир Андреевич — д-р физ.-мат. наук, проф., акад. РАН; babeshko41@mail.ru Евдокимова Ольга Владимировна — д-р физ.-мат. наук, гл. науч. сотр.; evdokimova.olga@mail.ru
Бабешко Ольга Мефодиевна — д-р физ.-мат. наук, гл. науч. сотр.; babeshko49@mail.ru Зарецкая Марина Валерьевна — д-р физ.-мат. наук, проф.; zarmv@mail.ru Евдокимов Владимир Сергеевич — студент, лаборант; evdok_vova@mail.ru
On contact problems with a deformable punch and variable rheology*
V. A. Babeshko1'2, O. V. Evdokimova2, O. M. Babeshko2, M. V. Zaretskaya2, V. S. Evdokimov2
1 Southern Scientific Center of the Russian Academy of Sciences, 41, ul. Chekhova, Rostov-on-Don, 344006, Russian Federation
2 Kuban State University,
149, ul. Stavropolskaya, Krasnodar, 350040, Russian Federation
For citation: Babeshko V. A., Evdokimova O. V., Babeshko O.M., Zaretskaya M. V., Evdokimov V. S. On contact problems with a deformable punch and variable rheology. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2023, vol. 10 (68), issue 4, pp. 588599. https://doi.org/10.21638/spbu01.2023.401 (In Russian)
The paper presents for the first time one of the methods for studying and solving contact problems with a deformed stamp for those cases when there is a need to change the rhe-ology of the stamp material. It is based on a new universal modeling method previously published by the authors, which is used in boundary value problems for systems of partial differential equations. With its help, solutions of complex vector boundary value problems for systems of differential equations can be decomposed into solutions of scalar boundary value problems for individual differential equations. Among them, the Helmholtz equations are the simplest. Solutions to scalar boundary value problems are represented as fractals, self-similar mathematical objects, first introduced by the American mathematician B. Mandelbrot. The role of fractals is performed by packed block elements. The transition from systems of differential equations in partial derivatives to individual equations is carried out using the transformation of academician B. G. Galerkin or representation by potentials. It is known that the solutions of dynamic contact problems with a deformable stamp of complex rheology are cumbersome and their study is always difficult. The problem is complicated by the presence of discrete resonant frequencies in such problems, which were once discovered by Academician I. I. Vorovich. A contact problem with a deformable punch admits the construction of a solution if it is possible to solve the contact problem for an absolutely rigid punch and construct a solution to the boundary problem for a deformable punch. In earlier works of the authors, the deformable stamp was described by a separate Helmholtz equation. In this paper, we consider a contact problem on the action of a semiinfinite stamp on a multilayer base, described by the system of Lame equations. One of the methods of transition to other rheologies is shown when describing the properties of a deformable stamp in contact problems.
Keywords: block element, factorization, integral equations, external forms, cracks of a new type.
*The work was supported by the Russian Science Foundation (project 22-21-00129). Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2023. Т. 10(68). Вып. 4
References
1. Papangelo A., Ciavarella M., Barber J. R. Fracture mechanics implications for apparent static friction coefficient in contact problems involving slip-weakening laws. Proc. R. Soc. A. 471, 20150271 (2015). https://doi.org/10.1098/rspa.2015.0271
2. Zhou S., Gao X.L. Solutions of half-space and half-plane contact problems based on surface elasticity. Z. Angew. Math. Phys. 64, 145-166 (2013). https://doi.org/10.1007/s00033-012-0205-0
3. Almqvist A. An LCP solution of the linear elastic contact mechanics problem. Available at: https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/43216-an-lcp-solution-of-the-linear-elastic-contact-mechanics-problem (2013). http://doi.org/10.13140/RG.2.1.3960.7200
4. Cocou M. A class of dynamic contact problems with Coulomb friction in viscoelasticity. Nonlinear Analysis. Real World Applications 22, 508-519 (2015). https://doi.org/10.1016/j.nonrwa.2014.08.012
5. Ciavarella M. The generalized Cattaneo partial slip plane contact problem. I. Theory. Int. J. Solids Struct 35 (18), 2349-2362 (1998). https://doi.org/10.1016/S0020-7683(97)00154-6
6. Ciavarella M. The generalized Cattaneo partial slip plane contact problem. II. Examples. Int. J. Solids Struct 35 (18), 2363-2378 (1998). https://doi.org/10.1016/S0020-7683(97)00155-8
7. Guler M. A., Erdogan F. The frictional sliding contact problems of rigid parabolic and cylindrical stamps on graded coatings. Int. J. Mech. Sci 49 (2), 161-182 (2007). https://doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2006.08.006
8. Ke L.-L., Wang Y.-S. Two-dimensional sliding frictional contact of functionally graded materials. Eur. J. Mech. A/Solids 26 (1), 171-188 (2007). https://doi.org/10.1016Zj.euromechsol.2006.05.007
9. Almqvist A., Sahlin F., Larsson R., Glavatskih S. On the dry elasto-plastic contact of nominally flat surfaces. Tribology International 40 (4), 574-579 (2007). https://doi.org/10.1016 /j .triboint.2005.11.008
10. Andersson L. E. Existence results for quasistatic contact problems with Coulomb friction. Appl. Math. Optim. 42, 169-202 (2000). https://doi.org/10.1007/s002450010009
11. Cocou M., Rocca R. Existence results for unilateral quasistatic contact problems with friction and adhesion. Math. Modelling and Num. Analysis 34 (5), 981-1001 (2000).
12. Kikuchi N., Oden J. Contact Problems in Elasticity: A Study of Variational Inequalities and Finite Element Methods SIAM, Philadelphia (1988).
13. Raous M., Cangemi L., Cocou M. A consistent model coupling adhesion, friction, and unilateral contact. Comput. Meth. Appl. Mech. Engrg. 177, 383-399 (1999). https://doi.org/10.1016/S0045-7825(98)00389-2
14. Shillor M., Sofonea M., Telega J.J. Models and Analysis ofQuasistatic Contact. Lect. Notes Phys., vol. 655. Berlin, Heidelberg, Springer (2004). https://doi.org/10.1007/b99799
15. Babeshko V. A., Evdokimova O.V., Babeshko O.M. On contact problems with a deformable stamp. Problems of strength and ductility 84 (1), 25-34 (2022). https://doi.org/10.32326/1814-9146-2022-84-1-25-34 (In Russian)
16. Vorovich I. I., Babeshko V. A. Dynamic mixed problems of elasticity theory for non-classical domains. Moscow, Nauka Publ. (1979). (In Russian)
17. Babeshko V. A., Evdokimova O. V., Babeshko O. M. Fractal properties of block elements and a new universal modeling method. Doklady Akademii nauk 499, 21-26 (2021). https://doi.org/9.31857/S2686740021040039 (In Russian)
18. Babeshko V. A., Evdokimova O. V., Babeshko O. M. On one method for solving boundary value problems of dynamic theory of elasticity in a quarter-plane. Applied Mathematics and Mechanics 85 (3), 275-282 (2021). https://doi.org/10.31857/S0032823521030024 (In Russian)
19. Novatsky V. Theory of elasticity. Moscow, Mir Publ. (1975). (In Russian)
20. Babeshko V. A., Evdokimova O.V., Babeshko O.M. On one Hilbert — Wiener factorization problem and the block element method. Doklady Akademii nauk 459 (5), 557-561 (2014). (In Russian)
21. Babeshko V. A., Evdokimova O. V., Babeshko O. M. On the problem of evaluating the behavior of multicomponent materials in mixed boundary conditions in contact problems. Materials Physics and Mechanics 48 (3), 379-385 (2022). https://doi.org/10.18720/MPM.48(3)2022_8
22. Vorovich I. I. Spectral properties of the boundary value problem of elasticity theory for an inhomogeneous strip. Doklady of the USSR Academy of Sciences 245 (4), 817-820 (1979). (In Russian)
23. Vorovich 1.1. Resonance properties of an elastic inhomogeneous strip. Doklady of the USSR Academy of Sciences 245 (5), 1076-1079 (1979). (In Russian)
Received: February 10, 2023 Revised: May 5, 2023 Accepted: May 18, 2023
Authors' information:
Vladimir A. Babeshko — babeshko41@mail.ru Olga V. Evdokimova — evdokimova.olga@mail.ru Olga M. Babeshko — babeshko49@mail.ru Marina V. Zaretskaya — zarmv@mail.ru Vladimir S. Evdokimov — evdok vova@mail.ru
