CC BY
5
4, Рыхлое В. С. Достаточные условия кратной полноты корневых функций одного класса пучков дифференциальных операторов // Современные методы теории краевых задач : материалы междунар, конф,, посвящ, 90-летию Владимира Александровича Ильина (Москва, 2-6 мая 2018 г.), М, : МАКС Пресс, 2017, С, 192—194,
5, Рыхлое В. С. Кратная полнота корневых функций некоторых нерегулярных пучков дифференциальных операторов // ТВИМ, 2016, 2(31), С, 87-103,
УДК 519.853
С. И. Дудов, М. А. Осипцев
О КОЛЬЦЕ МИНИМАЛЬНОЙ ПЛОЩАДИ, СОДЕРЖАЩЕМ ГРАНИЦУ ДВУМЕРНОГО КОМПАКТА
Поступила в редакцию 21.05.2018 г.
1. Пусть О - некоторый компакт из пространства К2, дО - его граница, ||ж|| - евклидова норма элемента х € К2. Рассматривается задача
к(x) = R2(x) - p2(x) —> min . (1)
xeR2
Здесь функции
R(x) = max \\x — yII, p(x) = min \\x — y\\
yeD yedD
x
самой близкой точки границы компакта D. Кольцо с центром в точке x,
R(x) p(x)
цу компакта D. Величина nx(x) выражает площадь кольца. При этом данное кольцо обладает наименьшей площадью из подобных колец с цен-xD Авторам не известно, рассматривалась ли такая задача ранее. Если
D
назвать задачу
^(x) = R(x) — p(x) ^ min (2)
xeD
- о кольце наименьшей ширины, содержащем границу D [1, 2]. Простые примеры показывают, что задачи (1) и (2) могут иметь различные решения, а следовательно, задача (1) имеет самостоятельное значение.
Далее используются следующие обозначения :
- int A, co A, dA - внутренность, выпуклая оболочка, граница множества A соответственно
-df (x) (df (x)) - субдифференциал (супердифференциал) выпуклой (вогнутой) функции f (x) в точке x;
- f'(x,g) = lim a—1[f (x + ag) — f (x)] - производная по направлению g функции f (•) в точке x;
- QR(x) = {y G D : R(x) = ||x — y||} - множество самых удалённых точек из D от точки x;
- Qp(x) = {y G dD : p(x) = ||x — y||} - проекция точки x на границу
D
- B(x,r), S(x,r) - шар и сфера с центром в точке x и радиусом r, (x, y) - скалярное произведение элементов x и y из R2.
2. Приведём для дальнейшего изложения вспомогательные факты. Лемма 1 [3]. Функция R(x) является выпукл ой HaR2, формулу её субдифференциала в любой точке x G R2 можно выразить в виде
dR(x) = co{ ,,x — *„ : z G Qr l ||x — z||
(x) .
(3)
Известно [4], что функция р(х) является липшицевой на всём пространстве К2, причём
|р(х) - р(у)| < Ух - у\\, Ух,у е К2. (4)
Лемма 2 [5, гл. 2]. Функция р(х) дифференцируема по любому направлению д е в лотках х дП, причём
р'(х,д) = ш^п (и>,д),
тедр(х)
где
dp(x) = co\ x — Z : z G Qp(x)\ . (5)
i x z I
Из (4) и леммы 2 вытекает справедливость следующего факта. Лемма 3 Функция р2(х) является дифференцируемой по любому направлению д е в точках х е К2, причём,
0, если х е дП,
(р ) (х,д) = \ {ш,д), если х е дП, ^
аде2 р(х)др(х)
г<?е др(х) определяется формулой (5).
3. Теперь приведём основные результаты.
Теорема 1. Функция к(х) является выпуклой на всём пространстве К2, а ее субдифференциал в любой точке х € К2 можно выразить формулой
дк(х) = 2(со^р(х) - (х)). (7)
Доказательство. 1) Для евклидовой нормы имеет место
\\axi + (1 — a)x2\\2 = a\\xi\\2 + (1 — a)\\x2\\2 — a(1 — a)\\xi — x2\\2 (8)
для любых точек x1 и x2 из R2 и a G [0,1]. Возьмём произвольную точку y(a) G QR(ax1 + (1 — a)x2). Поскольку y(a) G D, то, используя (8), получаем
R2(ax1 + (1 — a)x2) = \\a(x1 — y(a)) + (1 — a)(x2 — y(a))\\2 = = a\x1 — y(a)\\2 + (1 — a)\\x2 — y(a)\\2 — a(1 — a)\x1 — x2\\2 ^ (9) ^ aR2(x1) + (1 — a)R2(x2) — a(1 — a)\x1 — x2\\2,
то есть функция R2(x) является сильно выпуклой на Rp.
Аналогично если взять точку z(a) G Qp(ax1 + (1—a)x2), то поскольку z(a) G dD, из (8) вытекает
p2(ax1 + (1 — a)x2) = \\a(x1 — z(a)) + (1 — a)(x2 — z(a))\\2 = = a\x1 — z(a)\\2 + (1 — a)\\x2 — z(a)\\2 — a(1 — a)\x1 — x2\\2 ^ (10) ^ ap2(x1) + (1 — a)p2(x2) — a(1 — a)\x1 — x2\\2,
то есть функция p2(x) является слабовогнутой на R2 [6].
Вычитая из неравенства (9) неравенство (10), делаем вывод о выпуклости функции x(x) на
R2
2) Из лемм 1 — 3 следует, что функция к(x) дифференцируема по направлениям в любой точке x G R2. При этом еели x G dD, то
K'(x,g) = (r2 )/(x,g) — (p2)/(x,g) = 2R(x)R/(x,g) — 2p(x)p/(x,g) = = 2R(x) max (v,g) — 2p(x) min (w,g).
vGdR(x) wGdp(x)
Отсюда, используя формулы (3), (5) и (6), получаем :
K/(x,g) = 2 max (v,g)— 2 min (w,g) =
vGco{x—y:yGQR(x)} wGco{x—z:zGQp (x)}
= max (v,g), Vg G R2.
vG2(coQR(x)—coQP(x))
Справедливость этой формулы для любого направления g G Rp, как известно [5], однозначно определяет формулу субдифференциала выпуклой функции.
Справедливость формулы (7) для случая x G dD доказывается аналогично, при этом Qp(x) = {x}. □
Теорема 2. Для того, чтобы точка x* была точкой минимума, функции, k(x) на Rp7 необходимо и достаточно, чтобы
coQR(x*) Q coQp(x*) = 0. (И)
Доказательство. В соответствии с известным фактом из выпуклого анализа [3, гл.4], то что точка x* является точкой минимума выпуклой функции к(x), эквивалентно выполнению включения
02 G dK(x). (12)
Остаётся заметить, что включение (12), как следует из (7), эквивалентно соотношению (11).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Боннезен Т., Фенхель В. Теория выпуклых тел. М, : Фазис, 2002.
2.Bonnesen Т. Uber das isoperimetrische Defizit ebener Figuren // Main. Ann. 1924. Bd. 91. S. 252-268.
3. Пшеничный Б. H. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М, : Наука, 1980.
4. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М,: Наука, 1988.
5. Демьянов В. Ф., Васильев Л. В. Недифференцируемая оптимизация. М, : Наука, 1981.
6. Иванов Г. Е. Слабо выпуклые множества и функции. М,: ФИЗМАТЛИТ, 2006. УДК 517.518.84
А. О. Залетаева, В. В. Кривобок ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ АППРОКСИМАЦИЙ ПАДЕ
Поступила в редакцию 29.05.2018 г.
Аппроксимации Паде являются локально наилучшими рациональными приближениями заданных степенных рядов. Данный вид аппроксимаций находит широкое применение в научно-технических расчетах. В пакете программ Mathlab имеется стандартная функция, вычисляющая
