CC BY
27
ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
2016 Прикладная теория графов №2(32)
УДК 519.17
О КОЛИЧЕСТВЕ ШПЕРНЕРОВЫХ ВЕРШИН В ДЕРЕВЕ
В. Н. Салий
Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, г. Саратов, Россия
Вершина v дерева T называется шпернеровой вершиной, если входящее дерево T(v), полученное из T ориентацией всех рёбер в направлении к v, обладает шпернеровым свойством: в нём среди наибольших (по числу элементов) подмножеств, состоящих из попарно недостижимых вершин, по крайней мере в одном все вершины равноудалены от v. Приводятся явные способы подсчёта количества шпернеровых вершин в деревьях некоторых типов.
Ключевые слова: дерево, шпернерова вершина, цепь, звезда, пальма, шеренга, гусеница, кортеж пальм.
DOI 10.17223/20710410/32/8
ON THE NUMBER OF SPERNER VERTICES IN A TREE
V. N. Salii Saratov State University, Saratov, Russia E-mail: [email protected]
A vertex v of a tree T is called a Sperner vertex if the in-tree T(v) obtained from T by orientation of all edges towards v has the Sperner property, i.e. there exists a largest subset A of mutually unreachable vertices in it such that all vertices in A are equidistant to v. Some explicit methods to count the number of Sperner vertices in certain special trees are presented.
Keywords: graph, Sperner vertex, path, star, palm-tree, rank, caterpillar, train of palm-trees.
Пусть G = (V, a) — бесконтурный (ориентированный) граф с множеством вершин V и отношением смежности вершин а. Антицепью в G называется набор вершин A С V, такой, что никакая вершина, принадлежащая A, недостижима из других вершин этого множества. Например, антицепью является совокупность всех источников графа G, т. е. его вершин, недостижимых из других вершин. Антицепи с наибольшим числом вершин по определению являются главными. Под высотой вершины v Е V понимается наибольшая из длин цепей в G, началом которых служит v. Например, все стоки графа G, т. е. вершины, из которых недостижимы другие вершины, имеют высоту 0. Антицепь A будем называть правильной, если она состоит из вершин с одинаковой высотой. Говорят, что граф G обладает шпернеровым свойством, или что он является шпернеровым графом, если среди его главных антицепей есть хотя бы одна правильная. Это равносильно тому, что множество V вершин графа G, упорядоченное отношением достижимости вершин, является шпернеровым упорядоченным множеством. Определяющее свойство для антицепей в конечных упорядоченных множествах впервые рассмотрел Е. Шпернер в 1928 г. [1]. С тех пор оно интенсивно изучается в различных конкретных ситуациях (см., например, ссылки в [2]).
Пусть T = (V, а) —некоторое дерево (неориентированный связный граф без циклов) и v Е V — одна из его вершин. Любая другая вершина u дерева T связана с v единственной цепью. Ориентируя рёбра всех подобных цепей в направлении к v, получим бесконтурный граф с единственным стоком v — входящее дерево T(v) с корнем v. Если T(v) окажется шпернеровым графом, вершина v называется шпернеровой.
Сколько шпернеровых вершин может иметь произвольное дерево?
Вершины всякого дерева по своим степеням разбиваются на три класса: висячие (или листья) имеют степень 1, у проходных вершин степень равна 2, у точек ветвления она не менее 3. Типом вершины v в дереве T назовём пару t(v) = (h(v), b(v)), где h(v) — наименьшее из расстояний от v до отличных от v висячих вершин; b(v) —наибольшее из расстояний от v до отличных от v точек ветвления.
Теорема 1 (см. также [3, теорема 2]). Вершина v дерева T шпернерова тогда и только тогда, когда h(v) > b(v).
Доказательство. Необходимость. Пусть v — шпернерова вершина. Тогда во входящем дереве T (v) существует правильная главная антицепь A, все вершины которой имеют одну и ту же высоту k > 0. Если h(v) < k, то ближайшая к v висячая вершина u дерева T не входит в A. Но если это так, то, присоединив к главной антицепи A вершину u, получим в T(v) антицепь большей, чем у A, длины, что невозможно. Значит, h(v) ^ k. Допустим, что b(v) ^ h(v). Это означает, что в T есть точка ветвления w, удалённая от v не менее чем на k, т.е. имеющая в T(v) высоту ^ k. Вершина w достижима в T не менее чем из двух висячих вершин. При этом w либо сама входит в антицепь A, либо в A имеется единственная вершина, достижимая из w. Заменив эту вершину (или саму w, если w Е A) парой висячих вершин, из которых достижима w, получим антицепь большей, чем у A, длины, что невозможно. Значит, b(v) < k и h(v) > b(v).
Достаточность. Пусть для вершины v дерева T выполняется неравенство h(v) > > b(v). Обозначим через A совокупность всех вершин дерева T(v), имеющих высоту k = h(v). Так как все точки ветвления лежат в T(v) ниже уровня k, каждая вершина, входящая в антицепь A, достижима в точности из одной висячей вершины дерева T. Значит, количество вершин в A равно количеству висячих вершин дерева T и, следовательно, A имеет наибольшее возможное для антицепей в T(v) количество элементов, т.е. A — главная в T(v) антицепь. При этом она составлена из вершин с одинаковой высотой, т.е. является правильной. ■
В [3] предложен полиномиальный алгоритм для проверки свойства шпернеровости у произвольной предъявленной вершины дерева. Разумеется, его можно использовать и для установления количества s(T) шпернеровых вершин в дереве T. Вместе с тем представляют интерес и явные способы вычисления величины s(T) для деревьев того или иного частного вида. Приведём некоторые примеры таких расчётов.
1. Цепь (path) Pn = vovi... vn. Здесь нет точек ветвления и каждая вершина является шпернеровой: s(Pn) = n +1.
2. Звезда (star) Sn, n ^ 3,—дерево с единственной точкой ветвления (центр звезды) v0 и n висячими вершинами (лучи) v1, v2,... , vn. Определив типы лучевых вершин i(vj) = (2,1), 1 ^ i ^ n, убеждаемся, что все они являются шпернеровыми. Входящее дерево T(v0) имеет правильную главную антицепь, состоящую из лучевых вершин, так что и v0 —шпернерова, и, следовательно, s(Sn) = n +1.
3. Пальма (palm-tree) PT(i,n), l ^ 2, n ^ 2 — цепь u0u1... ui (ствол), концевая вершина которой ui (верхушка) является центром звезды с лучами (листьями) А1, Л2,... , An.
О количестве шпернеровых вершин в дереве
117
Для корня u0 имеем t(u0) = (l + 1, l), для листьев i(Aj) = (2,1), 1 ^ i ^ n, для верхушки h(«) = 1, так что все эти n + 2 вершин — шпернеровы. Для проходных вершин щ,
0 < i < /, ствола имеем b(u^ = I — i, h(u^ = min(i,/ + 1 — i). При i ^ I + 1 — i, т. е.
1 ^ [(/ + 1)/2], вершина ui будет шпернеровой. Таких вершин в стволе имеется [(/ —1)/2], так что s(PT(i ,„)) = n + 2 + [(/ — 1)/2].
4. Шеренга (rank) R = (Po(v0), P:(v0),..., Pn = v0v0 ... v£) —объединение некоторого количества n ^ 2 цепей с выделенными (в каждой по одной) концевыми вершинами, в свою очередь образующими цепь.
Теорема 2. Для любого целого k ^ 1 существует шеренга, имеющая в точности k шпернеровых вершин.
Доказательство. Построим шеренгу R из шести цепей P0 = v0v°, P1 = v0v{v^, P2 = v02v? ...v2, P3 = v^vfvf, P4 = v4v4, P5 = v05vf. Для заданного k ^ 1 положим I = 2k — 1. Подсчитаем типы вершин. Для листьев, отличных от v^2, получаем: t(v?) = (4,5), t(v1) = (4, 5), t(v3) = (4, 4), t(v4) = (3,4), t(v5) = (3, 5) — здесь нет шпернеровых вершин. Для вершин из базисной цепи, отличных от v^, имеем: t(v0) = (1, 4), t(v0) = (2, 3), t(v3) = (2,2), t(v4) = (1, 3), t(v0) = (1,4) —и здесь нет шпернеровых вершин. В цепи P2 при k = 1 шпернеровой будет только вершина vj2 с t = (4, 3), так как t(v2) = (1, 2). Если k ^ 2, то шпернеровыми в P2 будут k вершин v|fc_ 1, v|_2,... , v0, поскольку t(v2fc-1) = (2k + 2, 2k + 1), t(v|-2) = (k + 1, k), ... , t(vg) = (3, 2). Если же i ^ k — 1, то h(v2) = 2k — 1 — i ^ i + 2 = b(v2), и значит, такие вершины — не шпернеровы. В итоге s(R) = k. ■
5. Гусеница (caterpillar)—объединение C некоторого количества k ^ 2 звезд, центры которых образуют (базисную) цепь. Так как у каждого луча u будет h(u) = 2 ^ ^ b(u) и у центра v каждой звезды h(v) = 1 < b(v), то шпернеровых вершин гусеница не имеет: s(C) = 0.
6. Кортеж пальм (train of palms) —объединение TP некоторого количества n ^ 2 пальм, корни которых образуют (базисную) цепь.
Теорема 3. Для любого целого k ^ 0 существует кортеж пальм, имеющий в точности k шпернеровых вершин.
Доказательство. Составим кортеж TP из шести пальм: PT^ 2), PT(-13 2), PT(2 2), PT(33 2), PT(41 2), PT(51 2) с корнями v0, 0 ^ i ^ 5, образующими базисную цепь P5. При вычислении величины b(v) в качестве наиболее удалённой от вершины v точки ветвления выступает v0 или v°. Для всех листьев h =2 < b, и они не шпернеровы. Для корневых вершин, отличных от v0, имеем: t(v0) = (2,6), t(v0) = (4,5), t(v03) = (4,4), t(v0) = (2,5), t(v05) = (2,6) —и эти вершины не шпернеровы, также как и верхушки пальм, для которых h = 1. При I = 3 получаем: t(v0) = (4,4), t(v2) = (3,5), t(v2) = (2,6), и значит, s(TP3) = 0. Если же I = 2k + 3, k ^ 1, то в пальме PT2 шпернеровыми будут вершины v2, 0 ^ j ^ k — 1, так как здесь b = j + 4
и
h = min(j + 5, 2k + 4 — j) = j + 5, и не будут таковыми вершины v2 при k ^ j ^ l — 1: для них h = min(j + 5, 2k + 4 — j) = 2k + 4 — j ^ j + 4 = b. В итоге при k ^ 0 получается s(TP2fc+3) = k. ■
ЛИТЕРАТУРА
1. Sperner E. Ein Satz uber Untermengen einer endlichen Menge // Math. Zeitschrift. 1928. V. 27. Nu. 1. S. 544-548.
2. Салий В. Н. Шпернерово свойство для многоугольных графов // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2014. №7. С. 135-137.
3. Салий В. Н. Шпернеровы деревья // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2015. №8. С. 124-127.
REFERENCES
1. Sperner E. Ein Satz uber Untermengen einer endlichen Menge. Math. Zeitschrift, 1928, vol. 27, nu. 1, s. 544-548. (in German)
2. Saliy V. N. Shpernerovo svoystvo dlya mnogougol'nykh grafov [The Sperner property for polygonal graphs]. Prikladnaya diskretnaya matematika. Prilozhenie, 2014, no. 7, pp. 135-137. (in Russian)
3. Saliy V.N. Shpernerovy derev'ya [The Sperner property for trees]. Prikladnaya diskretnaya matematika. Prilozhenie, 2015, no. 8, pp. 124-127. (in Russian)
