CC BY
27
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №3_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.948
О.Х.Каримов
О КОЭРЦИТИВНЫХ СВОЙСТВАХ И РАЗДЕЛИМОСТИ ОПЕРАТОРА
ГЕЛЬМГОЛЬЦА
Институт математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 14.01.2015 г.)
Исследованы коэрцитивные свойства и доказана разделимость оператора Гельмгольца в пространстве Ь2(Я").
Ключевые слова: оператор Гельмгольца - коэрцитивное неравенство - разделимость.
Проблема разделимости дифференциальных операторов привлекла внимание многих математиков после публикации серии работ В.Н.Эверитта и М.Гирца [1,2], в которых авторы исследовали разделимость оператора Штурма-Лиувилля и его степеней.
Первые результаты о разделимости дифференциальных операторов с частными производными получены в работе К.Х.Бойматова [3]. В последующем результаты этой работы были обобщены и развиты в работах К.Х.Бойматова [4,5], М.Отелбаева [6], С.А.Исхокова, А.С.Мохамеда [7] (см. имеющиеся там библиографии).
В настоящее время по разделимости опубликовано большое число работ и полученные результаты нашли свои приложения в теории функций, спектральной теории дифференциальных операторов и теории краевых задач для дифференциальных уравнений.
Разделимость оператора Гельмгольца ранее исследовалась в работе [8]. В настоящей работе мы исследуем разделимость оператора Гельмгольца другим методом, отличным от метода работы [8], и нами получены новые достаточные условия разделимости этого оператора.
Пусть д(х) (х е Я" ) - положительная функция. Рассмотрим оператор Гельмгольца
Ци\ = -(А + к2)и(х) + д(х) ■ и(х), (1)
' г т
-. Следуя 11.31
-Г дх2
n д2и
где А = ^—-. Следуя [1,3], назовём оператор Гельмгольца (1) разделимым в пространстве
¿=1 дх,
Ц (Я"), если для всех функций и(х) е Ж>2ос(Я") Ц (Я") таких, что Ци\ е Ц (Я"), выполняются
включения
(А + k2 )u(х) е L (Rl, q(х)и(х) е L (Rl-
i
Для удобства записи вводим обозначение G( х) = q 2( х).
Адрес для корреспонденции: Каримов Олимжон Худойбердиевич. 734063, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АНРТ. E-mail: [email protected]
Определение. Будем говорить, что функция д(х) принадлежит классу М^3, если выполняются следующие условия:
I.
д1и\2 <8\и\2 , Ух е Я";
II. Т
1=1
О " 2( х) О 3( х)
дх,.
<а, , Ух е Я";
III.
_1 О " 2 и
2
Ои , Ух е Я"
IV. Т
1=1
д-2( х) ^ д( х)
дх.
<а, , Ух е Я".
Теперь сформулируем основной результат настоящей работы.
Теорема. Пусть функция д(х) принадлежит классу . Тогда при выполнении условий:
ах + 4а2к < 4, а3+ 4к 8 < 4
(2)
оператор Гельмгольца (1) разделяется в пространстве Ь2 (Я") и для всех решений и(х) е W2hc(Я") Ь2 (Я") уравнения
-(Д + к2)и(х) + д(х) ■ и(х) = /(х)
(3)
с правой частью /(х) е Ь2(Я") выполняется следующее коэрцитивное неравенство
Д + к 2)и; Ь2 ( Я") + ди; Ь2 (Я
+Т
¿=1
д2 ; Ч Я")
дх,.
д2 и; ^ ( Я")
< М\\/( х); Ь2( Я" )|
(4)
где число М >0 не зависит от и(х).
Далее мы остановимся на некоторых основных моментах доказательства этой теоремы. Сначала сформулирем две леммы.
Лемма 1. Пусть в уравнении (3) правая часть /(х) принадлежит пространству Ь2 (Я") и
пусть решение и(х) уравнения (3) принадлежит классу №21ос(Я") (Я"). Тогда функции
д2(х)и(х), - (1 = 1,") принадлежат пространству Ь2(Я").
дх
2
Лемма 2. Пусть выполняются условия II-III, (2). Тогда если функция u(x) принадлежит классу WfocCR") ^L(R") и удовлетворяет уравнению (3) с правой частью f(x) G L2(R") > то
3 1 dkl _
функции q4(x)u(x), q4(x)- (i = 1,n) принадлежат пространству L2(R").
dx
Пусть ((x) G Cg (R") — фиксированная неотрицательная функция, обращающаяся в единицу при | x |< 1. Положим ((x) = (p(sx), (s > 0) . Используя равенство
(f (u) = —Z
fd2u
i=1
Л
2(squ
v °xi
— k2(u, (squ) + (q(x)u(x), (squ),
где ( , ) - скалярное произведение в пространстве Ц (Я"), после несложных преобразований получим:
где
(f, (qu) = Z Kis) (u)+(qu (qu)=
(5)
K(s)(u) = Z
i=1
^ du d( ^ —,—- qu
vdx у
Kf(u) = Z
i=1
^ du dq ^ —u
Vdxi dxi у
Kf(u) = Z i=1
Теперь поочерёдно оценим функционалы:
' du du ^
^ &г у
K(s)(u) = k2 (u,(qu) .
Kls)(u) = Z
i=1
^ du d( ^ —,—s qu
Vdx, dxi у
Так как
d(s
dx
< M0 s, то, применяя неравенство Коши-Буняковского, получим следующую оценку
для K(s)(u)
K1)
i=1
^ 4 du d( 3 Л q4-,—^ q4 u
v dxi dxi у
<Z
i=1
du
dx
d(sq 4 u dx,.
< M о
4 du f —
dx,.
q4u
Отсюда следует, что lim K[s)(u) = 0.
s^-0
Для функционала K2s) (u), применяя неравенство Коши-Буняковского, получим следующую
оценку
п
3
Vsq 2( х) ; L2( R )
ox,
•q>eq 3х)-^;^R")
ox,
Далее, используя неравенство ab < a2 + b2) при a — -sJP • c, b — d
2 VP
и при
c —
pEq ^ 2 ;L( R" )
ox,
d —
■q>sq 3х)^;^R")
ox,
имеем
|Kf|<|Z ^ ¿=1
q ч х) ; l2( Rn)
ox,
+—E
2 Ж
•q>sq Чх)L2(R")
ox,
где P - произвольное положительное число. Отсюда получим
P " ( - Г u - Г u ^ гт
|Kf(x)|<PE q 2( х) |^Л2(х) ^ +^3(qu,^qu) .
2 ¿=1 ^ Ох. Ох. j 2 P
Относительно функционалов K^\u) (m = 3,4) получаются следующие оценки
Ks)(u)\ <E
^£q2 Ги; 4( R")
|к( г )(u) <Sk2(qu,vequ) .
Здесь 8,ст3 - такие же константы, как в условиях I, IV. На основе вышеполученных оценок из
равенства (5) находим некоторое неравенство, которое после перехода к пределу при £ ^ 0 примет следующий вид
f; L2( R" )|| J qu; L2( R" )|| >
1 _ k 2S 2 P
\
qu; L2{ R" )f + (1 _P)E 2 ¿=i
q1 ; L2( R") ох,
Подбирая число Р так, чтобы выполнялись неравенства <У3 + 2рк28 < <У3 + 48к2 < 4, из полученных неравенств после несложных преобразований получим коэрцитивное неравенство (4). Разделимость оператора Гельмгольца (1) в пространстве £2 (Я" ) следует из коэрцитивного неравенства (4) .
Теорема доказана.
Поступило 18.01.2015 г.
2
¿=1
ЛИТЕРАТУРА
1. Everitt W.N., Gierz M. An example concerning the separation property for differential operators. -Proc.Roy.Soc.Edinburg A., 1973, v.71, pp.159-165.
2. Everitt W.N., Gierz M. A Dirichlet type result for ordinary differential operators. - Math. Ann., 1973, v.203, 2, pp.119-128.
3. Бойматов К.Х. Теоремы разделимости. - ДАН СССР, 1973, т.213, №5, с.1009-1011.
4. Бойматов К.Х. Коэрцитивные оценки и разделимость для эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка. - ДАН СССР, 1988, т.301, №5, с.1033-1036.
5. Бойматов К.Х. О методе Эверитта и Гирца для банаховых пространств.- ДАН РТ, 1997, т.356, №1, с.10-12.
6. Отелбаев М. Коэрцитивные оценки и теоремы разделимости для эллиптических уравнений в rn.-Труды Математического института АН СССР, 1983, т.161, с.195-217.
7. Исхоков С.А., Мохамед А.С. Разделимость общего эллиптического дифференциального оператора с матричными коэффициентами в весовых пространствах. - ДАН РТ, 1992, т.35, №3, с. 45-51.
8. Saleh Omram, Khaled A.Gepeel. Separation of the Helmholtz Partial Differential Eduation in Hildert Space. - Ady. Studies Theor.Phys., v.6, 2012, №9, рр.399-410.
О.Х.Каримов
ОИДИ ХУСУСИЯТ^ОИ КОЭРСИТИВЙ ВА Ч,УДОШАВАНДАГИИ
ОПЕРАТОРИ ГЕЛМГОЛС
Институтиматематикаи ба номи А.Цураеви Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Хосиятх,ои коэрситивй таткик гардида, чудошавандагии оператори Гелмголс дар фазой
L (R") исбот карда шудааст.
Калима^ои калиди: оператори Гелмголс - нобаробарии коэрситивй - цудошавандагй.
O.Kh.Karimov
ON COERCIVE PROPERTIES AND SEPARABILITY HELMHOLTZ OPERATOR
A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of sciences of the Republic of Tajikistan
Coercive properties and a separation for Helmholtz operator in space L2(Rn) is proved.
Key words: Helmholtz operator - coercive inequality- separability.
