О коэрцитивных свойствах и разделимости нелинейного оператора Гельмгольца с матричным потенциалом в весовом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2016, том 59, №7-8_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.948

О.Х.Каримов

О КОЭРЦИТИВНЫХ СВОЙСТВАХ И РАЗДЕЛИМОСТИ НЕЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА ГЕЛЬМГОЛЬЦА С МАТРИЧНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Институт математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан

(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 14.03.2015 г.)

В работе исследованы коэрцитивные свойства нелинейного оператора Гельмгольца с матричным потенциалом в весовом пространстве Ь2рР(Е")1 и доказана его разделимость в этом весовом пространстве. Рассмотренные нелинейные операторы не являются слабыми возмущениями линейных операторов.

Ключевые слова: нелинейный оператор Гельмгольца, матричный потенциал, коэрцитивное неравенство, разделимость, весовое пространство.

1. Пусть р(х) - положительная функция, определенная в Я", 1 - некоторое натуральное число. Символом Ц (Я")1 обозначим пространство вектор-функций и(х) = (щ (х),...,и1 (х)),

Uj (x) е L (R"), (j = ) с конечной нормой

1

|щЬ2р{Я")1 \\=Щ p{x)\U]{x)f dx\ .

■Г

Пространство Ц (Я") является гильбертовым пространством, и в нём скалярное произведение определяется с помощью равенства

1

(u,v)P = Р(x)uj(x)°j(x)dx ■

Рассмотрим оператор Гельмгольца с нелинейным матричным потенциалом

Ци\ = (-А + к2 )и( х) + V (х, и( х))и( х), (1)

" д2

где А = ^—-, а значения V (х,й), х е Я", йё С являются квадратными положительно-

¿=1 дхг

определёнными эрмитовыми матрицами из En.dC .

Адрес для корреспонденции: Каримов Олимжон Худойбердиевич. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/4, Институт математики АН РТ. E-mail: [email protected]

Определение 1. Уравнение (1) (и соответствующий ему дифференциальный оператор), следуя [1,2], называется разделимым в Ь2 р(Я")', если (-А + к2)и(х), У(х, и(х))и(х) е (Я")' V

и(х) е Ь2р(Я")' пШ221ос(Я")' такие, что /(х) е Ь2р(Я")'.

Разделимость дифференциальных выражений и соответствующие неравенства коэрцитивности исследованы во многих работах (см. [1-5] и имеющиеся там ссылки). Коэрцитивные оценки и разделимость для эллиптических операторов второго порядка в линейном случае при I = 1 изучалась в работе [4]. Вопрос о разделимости оператора Гельмгольца в линейном случае (т.е. в случае V (х, и( х))и( х)) = д( х), исследовался в работах [6] и [7]. В работе [8] изучалась разделимость

нелинейного оператора Шредингера в весовом пространстве (Я")1.

В данной работе рассматривается нелинейный оператор Гельмгольца в весовом пространстве

Ь2 (Я")'. Следует отметить, что разделимость нелинейных дифференциальных операторов в

основном исследовалась в случае, когда исследуемый оператор является слабым возмущением линейного оператора. В отличие от этого, рассматриваемые ниже нелинейные дифференциальные операторы могут не являться слабым возмущением линейного оператора.

2. Для г(,) (/ = 1,2) положим <г(1),г(2)> = ^г'рг^ . Далее обозначим

У=1

(и, V) = |<и(х), у(х))ёх, если интеграл в правой части абсолютно сходится.

Я"

Предположим, что значения матрица- функции V (х,а) е С (Я" х С'; Еп&С) являются квадратными положительно-определёнными эрмитовыми матрицами порядка I . Введём следующие обозначения

р(х1,х2,х"¿^^-¿М^-П) = VУ2(х®),(х е Я,£]е Я) в( х1 , х2,..., х" ,

где со определяется по формуле со = + ///,. + ///,).

Здесь V 2(х,а) определяется как квадратный корень от положительно-определенной эрмитовой матрицы.

Определение 2. Будем говорить, что матрица-функция V(х,а) принадлежит классу

Х\, Х2

1о1,02

х е Я\ о = (£ + щ,.. + щ) еС', П = Сц + /ц,.. + щ):

а ^ , если выполняются следующие условия для всех

1

Р 2(х,и)и

2

<8х\\Р{х,и)и^, (2)

I

¿=1

Г \(х,и) дР(хи) Г"Чх,и)

дх.

¿А х, и) й + / ч и) й С1

г 2(х х, и)П; С1

V _1(х, и)и|| <д2\\и ||2,

I

1=1

е 2(х,и)

д<2( х, и) -1

дх.

е ч х, и)

Тн/~1(х,и) ^

д е( х,и й + у} г - Ч х, и) ^^^ й; С1

дц

(х, и)П; С1

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

Сформулируем основной результат работы. Справедлива следующая

5 5 к X

Теорема 1. Пусть матрица-функция V(х,й) принадлежит классу Та 1^ 212 и пусть

весовая функция р(х) принадлежит классу С1 (К") и для всех х е Я",й = +Щ,- ■ +щ) £ С1 удовлетворяет неравенству

I

др(х) р ч хе" чх, й)

дх.

<а.

(8)

Тогда при выполнении условий

0< <1, 0< а2 <1, к+ 2^к2+а <4, %2+ 252к2+а <4,

нелинейный оператор Гельмгольца (1) разделяется в пространстве Цр(Я")1 и для всех решений и(х) е Ь2р(Я")1 пЖ21ос(Я")1 уравнения

-(А + к 2)и( х) + V ( х,и( х))и( х) = / ( х) с правой частью /(х) е Ц (Я") выполняется следующее коэрцитивное неравенство

(А + || + || V (х,и(х))и(х);Ь2 р(Кп)1 || +

+¿11 г^(хМх))^-Ар(кп)' ||+ \\г^(хМх)Мх);12р(кп)'

(9)

¿=1

<М\\/(х)-Ь2р(К")1 ||,

где положительное число М не зависит от и(х), /(х).

Далее мы остановимся на некоторых основных моментах доказательства этой теоремы. Сначала сформулируем без доказательства две вспомогательные леммы.

2

Лемма 1. Пусть в уравнении (1) вектор-функция /(х) принадлежит пространству Ь2 (Я")1 и вектор-функция и(х) принадлежит классу Ь2 (Я")' пЖ21ос(Я")'. Тогда, при

ди

выполнении условия (8), вектор-функции У2{х,и{хУ)и{х), - (/ = 1,2,.. .,/7) принадлежат

дх.

пространству Ь2 (Я") .

Лемма 2. Пусть выполнены условия (2) - (4), (8). Тогда, если вектор-функция и(х) из класса ^2р(Я") пЖ21ос(Я") является решением уравнения (1) с правой частью /(х) е Ь2 (Я"), то

ди .

вектор-функции Р2(х,и(х))и(х), Р2(х,и(х))-, / = 1,...," принадлежат пространству Р(Я") .

дх.

3. Пусть ((х) е Со (Я") - фиксированная неотрицательная функция, обращающаяся в единицу при \ х \< 1. Для любого положительного числа £ положим ( (х) = (£х) . Используя равенство

(/, р(У (х, и)и) = (-Аи, р(У (х, и)и) - к2 (и, р(У (х, и)и) +

+(У ( х, и)и, р(У ( х, и)и),

где ( , ) скалярное произведение в пространстве Х2 (Я")1, после несложных преобразований получим

(

ди

д и

\

(/,р(£(х,и)и) = Т —,Р(У(х,и)— + В£(и) + В£(и) + В£(и) -

дх,

дх,.

г=1 J

+В£(и) - к2 (и, р(У (х, и)и) + (V(х, и)и, р(£У (х, и)и),

(10)

где

В£(и) = , Р( Ж( х, и)и

г=1 удхг дхг

ди

В£(и) = Т , р(рХ(^

ди] дЖ(х, и) ди] дЖ(х, и)

В££и) = Т

1=1 дхг

+ 1ш-

дхг. дп

)и

1 J

Л

ди дО( х, и) —, р(£ и

Удхг дхг J

ди др

В£(и) = Т тт х и)и

г=1 К^г дхг

Здесь и далее значения Ж(х, и).

дЖ( х, и) дЖ( х, и) дЖ( х, и)

дх.

дП1

взяты в точке

(х1,...,хиДем1(х),...Дем/(х),1тм1(х),...,1тц(х)) . Так как Коши-Буняковского, можно получить оценку:

д(

дх.

< М0£ , то, применяя неравенство

1

\BS(u)\< M0s£

i=l

F x, u) du; LP Rn)

dx.

F 2( x, u)u; L2p( Rn)

В силу леммы 2 отсюда следует, что lim \ BS(u) \= 0. Относительно функционалов BEm (u),

m^-0

ш = 2,3,4, получаются следующие оценки:

\Bm(u)\<*2 z i=1

5u

(S F (X, u) ^; Lp( Rn)'

öx.

ß n ( cu du у

\Bm(u)\^~Z F(xu)^~,P(F(xu)^~ + (v(xu)uP(V(xu)uX

Z i=i l dxi dxi ) zß

ß n ( du du Л а

\ Bm(u)\^—Z F(x U)^^, P^S17^ u)~ +— (V(x u)u P(PsV(X u)u) .

2 1=1

i

2 ß

Здесь ( - произвольное положительное число, и к С2 и с - константы из условий (6), (7) и (8). На основе вышеполученных оценок, учитывая неравенство (5), из равенства (10) находим

\(f (V(x u)u)\ Ё

(

1 - к —

Л

2ß

2ß

(V ( x, u)u, (pV ( x, u)u) +

+ (1 -ß-— )-t f^u, (mV (x, u) ju) - \ BS(u) \ .

Kdx,

i У

Далее применим неравенство Коши-Буняковского и затем, переходя к пределу при £ ^ 0, получим неравенство

"2 ,pV

■(V ( x, u)u, V (x, u)u) + (1 -ß- — )-Z —, V ( x, u) —

dx,

du

V ~ i

f

1

V

du Л

dx У

\

2ß

(11)

Далее подбираем числа ( >0 так,чтобы выполнялись условия

+ к 5 <1, ( + с <1. 2( 2 2

Теперь из неравенства (11) после несложных преобразований получим коэрцитивное неравенство (9). Разделимость нелинейного оператора Гельмгольца в весовом пространстве Ц (Я")1 следует из коэрцитивного неравенства (9). Теорема доказана.

Поступило 27.04.2015 г

2

п

п

n

ЛИТЕРАТУРА

1. Everitt W.N.,Gierz M. - Proc.London Math.Soc., 1971, v.3, p.301.

2. Everitt W.N.,Gierz M. - Proc.London Math.Soc., 1972, v.24, p.756.

3. Бойматов К.Х. - Труды МИАН СССР, 1984, т.170, с.37-76.

4. Бойматов К.Х. - Доклады АН СССР, 1988.Том301, 5, с.1033-1036.

5. Отелбаев М. - Труды МИАН СССР, 1983, т.161, с.195-217.

6. Saleh Omram and Khaled A. Gepreel. Adv.Studies Thetor. Phus., 2012, №9, v.6, pp. 399-410.

7. Каримов О.Х. О коэрцитивных свойствах и разделимости оператора Гельмгольца.-Доклады Академии наук Республики Таджикистан, 2015, т.58, №3, с.198-203.

8. Каримов О.Х. О разделимости нелинейных дифференциальных операторов с матричными коэффициентами. - Доклады Академии наук Республики Таджикистан, 2005. ^XLVIII, №3-4, с.38-43.

О.Х.Каримов

ОИДИ ХОСИЯТ^ОИ КОЭРЦИТИВЙ ВА ЧУДОШАВАНДАГИИ ОПЕРАТОРИ ГАЙРИХАТТИИ ГЕЛМГОЛТС ДАР ФАЗОИ ВАЗНДОР

Институти математикаи ба номи А. Чураеви Академияи илм^ои Цумх^урии Тоцикистон

Дар макола хосиятдои коэрцитиви оператори гайрихаттии Гелмголтс бо потентсиали матритсавй дар фазои вазндор Z2 (Rn)1 тадкик карда шуда ва чудошавандагии оператори

Гелмголтс дар ин фазо исбот карда шудааст. Оператори гайрихаттии дар долати умум ошуби сусти оператордои хаттй намебошад.

Калима^ои калиди: оператори гайрихаттии Гелмголтс, потентсиали матритсавй, нобаробариуои коэртситивй, цудошавандагй, фазоуои вазндор.

O.Kh.Karimov

COERCIVE PROPERTIES AND SEPARABILITY NONLINEAR HELMHOLTZ OPERATOR WITH A MATRIX POTENTIAL IN THE WEIGHTED SPACE

A.Juraev Institute of Mathematics, Academy of sciences the Republic of Tajikistan

In this paper, we investigated the coercive properties of the nonlinear Helmholtz operator with matrix potential in the weight space L2,p(Rn)1. The nonlinear operators are not a weak perturbation of linear operators.

Key words: nonlinear Helmholtz operator, matrix potential, coercive inequality, separability, weighted space.