О коалиционном равновесии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 519.834 MSC2010: 91A12

О КОАЛИЦИОННОМ РАВНОВЕСИИ © В. И. Жуковский

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова факультет вычислительной математики и кибернетики кафедра оптимального управления Ленинские горы, МГУ, ВМК, 2 учебный корпус, Москва, ГСП-1, 119991, Российская Федерация

e-mail: [email protected]

© Л. В. Смирнова

Государственный гуманитарно-технологический университет факультет информатики кафедра информатики ул. Зеленая, 22, Орехово-Зуево, 142611, Российская федерация e-mail: [email protected]

About Coalitional Equilibrium.

Zhukovskiy V. I., Smirnova L. V.

Abstract. In this paper, consider the n-person normal form game under uncertainty. Many coalition related concepts of equilibrium or solutions have been introduced for n-person normal form games. The main initial motivation for the inception of this direction of research is to overcome one of the drawbacks of Nash equilibrium (NE), namely, NE is not immune against coalition deviation. A coalition may improve the payoff of all its members by collectively deviating from NE. In this article, the Coalitional Equilibrium (CE), is introduced for normal form games under uncertainty. Regarding the undetermined parameters, it is assumed that the players know their range of variation only; no probability information is available (for known or unknown reasons). In the process of modelling game phenomena, considering uncertainty leads to more adequate results and decisions, which is supported by the numerous publications related to this domain (a google search on the topic "mathematical modelling under uncertainty", returns more than one million links to related works). The uncertainty appears because of incomplete information about the players' strategy sets, the strategies being selected by each player and the related payoffs.

A question arises: How a player can, at the same time, consider the game's strategic and cooperation aspects, and the presence of uncertainty when selecting his/her strategy?

In this paper, the following approach to formalize the cooperation aspect of the game is adopted. It is assumed that the cooperation character of the game consists in the fact that any nonempty subset of players has the possibility to form a coalition through communication and coordination by agreeing to select a bundle of strategies to achieve the best possible payoff for all its members. This assumption means that the interests of all possible coalitions are considered.

Further, it is also assumed that the game is without side payments or non-transferable utility. The concept of coalitional equilibrium (CE) is introduced for the described game. This concept is based on the synthesis of the notions of individual rationality and collective rationality in normal form games without side payments, and a proposed coalitional rationality. Sufficient conditions for the existence of CE in pure strategies are established via the saddle point of the Germeier convolution function of the players' payoff functions. Finally, following the approach of Borel, von Neumann and Nash, a theorem of existence of CE in mixed strategies is proved under common minimal mathematical conditions for normal form games (compactness of players' strategy sets, uncertainty set and continuity of payoff functions).

Keywords: Normal form game without side payments, uncertainty, guarantee, mixed strategies, Germeier convolution, saddle point, equilibrium

Введение

Математическая модель кооперации в конфликте для данной статьи представлена кооперативной игрой N лиц в нормальной форме без побочных платежей и при учете неопределенных факторов (интервальных неопределенностей). Считаем, что о неопределенностях участникам конфликта известны лишь границы изменения, а какие-либо вероятностные характеристики отсутствуют (по тем или иным причинам). Учет неопределенностей при моделировании реальных конфликтов позволяет получать более адекватные результаты, что подтверждается, например, большим числом публикаций (более 1 млн. работ в Google Scholar по запросу «mathematical modelling under uncertainty»). Сами неопределенности возникают за счет неполноты (неточности) знаний о реализациях выбранных участниками конфликта своих стратегий: «In these matters the only certainty is there is nothing certain» (Pliny the Elder) (в этой жизни определенно только то, что нет ничего определенного) (Плиний Старший1). Например, экономическая система как правило, подвергается неожиданным труднопрогнозируемым возмущениям как извне (изменение количества и номенклатуры поставок, скачки спроса на товары, выпускаемые данным производством), так и изнутри (появление новых технологий, поломка и замена оборудования, несовпадение реальных сроков пуска нового оборудования с планируемыми сроками и так далее); появление новых технологий может служить причиной возмущений в экологических системах; в механических — температурные, а также погодные условия. Возникает вопрос: как при выборе стратегий одновременно учесть как кооперативный «характер» конфликта, так и наличие неопределенностей?

1Плиний Старший (ок. 23-79) — римский писатель, ученый.

Особенность кооперативного «характера» конфликта в том, что в нем учитываются интересы любой возможной коалиции — объединении игроков (участников конфликта), приобретающих возможность согласованного выбора своих стратегий с целью достижения возможно лучших результатов. При этом предполагается:

во-первых, если игроки коалиции договорились в результате переговоров о совместных действиях, то этот договор в течение игры должен выполняться, то есть соглашения обязательны;

во-вторых, игроки лишены возможности передавать остальным «коллегам по конфликту» часть своего результата (выигрыша) (то есть ограничиваемся играми без побочных платежей — так называемые игры с нетрансферабельными выигрышами);

в-третьих, выполнено свойство персональности, именно, выигрыш пустой коалиции равен нулю; согласно этому принципу ненулевых выигрышей могут достичь только действующие («живые») игроки.

1. ИГРА ГАРАНТИЙ

Рассматривается математическая модель конфликта с N участниками в виде нормальной формы кооперативной игры N лиц при неопределенности и нетрансфе-рабельными выигрышами

Г = (N = {1,..., N}, (Xi}i€N, YX, {fi(x, y)}ieN).

В Г множество участников (игроков) N = {1,...,N}, игрок i ассоциируется с порядковым номером i G N; в Г каждый из N участников выбирает и использует свою стратегию xi G Xi С (i G N), в результате образуется ситуация

x = (xi ,...,xN ) G X = ]/[ Xi С (n = Ui); независимо от их действий в

íeN íeN

Г реализуется (интервальная) неопределенность y G Y С Rm; на множестве пар

(x,y) G X x Y определена функция выигрыша каждого i-го игрока fi(x,y), значение которой называется выигрышем этого игрока i. На содержательном уровне, цель каждого игрока в Г — выбор такой своей стратегии x* (i G N), при которой выигрыш каждого становится возможно большим, при этом они должны учитывать возможность создания любой коалиции и реализации любой, в том числе и стратегической, неопределенности вида y(x) : X ^ Y, y(-) G YX.

Известная французская пословица гласит: «Entre bouche et cuiller vient souvent grand encombrier» (пока несешь ложку в рот, нередко возникает помеха), но учет неопределенности приводит к многозначности функции выигрыша каждого игрока

fi(x,Y) = У fi(x, y). Такая многозначность несомненно затрудняет исследование ver

кооперативных игр вида Г и поэтому предлагаем оценивать качество функционирования каждого i-го игрока в Г не значением его функции выигрыша /¿(ж,у), а ее (нижней) гарантией /¿[ж]. Можно предложить следующий способ построения таких гарантий.

Именно, в качестве гарантии /¿(ж, у) Vy Е Y выбираем

fi[x] = min /i(x,y).

Действительно, отсюда следует /¿[ж] < /¿(ж,у) Vy Е Y и поэтому нижнюю границу качества функционирования i-го игрока при реализации в Г ситуации ж Е X можно оценить числом /¿[ж] (то есть при любых неопределенностях у Е Y функция /¿(ж,у) не может стать меньше /¿[ж]). Заметим, что существование непрерывной на X скалярной функции / [ж] будет следовать из компактности (замкнутости и ограниченности) множеств Xj (i Е N), Y и непрерывности /¿(ж, у) на X х Y.

2. Коалиционная равновесность

Пусть 2м — множество всех коалиций (не пустых подмножеств множества М), т. е. 2м = {К|К С М}. Для каждой коалиции К Е 2м обозначим через —К множество М\К, т. е. —К = М\К. В частности —г = М\{г}. Тогда коалиционная структура {К, —К} является разбиением всего множества игроков N. Для данной коалиционной структуры любую ситуацию ж = (х,... ) можно представить в виде ж = (жк,ж-к), где жк Е Хк = П X?, ж-к Е Х-к = П X?.

Напомним два понятия из теории кооперативных игр без побочных платежей [1]: для ситуации ж* Е X в игре гарантий

Г = (N, (Xi}i€N, {/¿[ж]}^ = min /¿(ж,у)>

выполняется:

a) условие индивидуальной рациональности (при обозначениях ж = (ж^ж—¿), X—i = Xj), если

j€N\{i}

/¿[ж*] > /° = max min /¿[ж^ж—¿] = min /[ж0, ж—] (i E N),

xi x — i —г x — —i

в силу чего, если игрок i применяет максиминную стратегию ж0, то его выигрыш /j [ж0, ж—] > /0 Уж— E X-i (i E N);

б) условие коллективной рациональности: х* максимальна по Парето в N критериальной задаче Г® = (X, {/¿[х]}^), то есть при Ух € X несовместна система неравенств /¿[х] > /¿[х*] (г € м), из которых, по крайней мере, одно неравенство строгое. Заметим, что если для любых х € X будет ^ / [х] < ^ /¿[х*],

¿ем ¿ем

то х* максимальна по Парето в Г®;

в) на основе модификаций концепций равновесия по Нэшу и по Бержу [2, 3, 4] для Гй введем условие коалиционной рациональности:

/¿[х*] > /¿[хк,х-к] Ухк € Хк,УК € 2м (г € М).

Определение 1. Ситуацию х* € X назовем коалиционно равновесной, если она одновременно удовлетворяет условию индивидуальной рациональности, условию коллективной рациональности и условию коалиционной рациональности для «игры гарантий» Гй.

Замечание 1. Условие индивидуальной рациональности означает, что игроку имеет смысл объединяться с другим в коалицию, если при этом он получит выигрыш не меньший, чем он сам себе может «обеспечить», применяя свою максиминную стратегию. Условие коллективной рациональности приводит игрока к «самому большому» (в векторном смысле!) вектору выигрышей. Наконец условие коалиционной рациональности делает его выигрыш устойчивым к отклонению от х* отдельных игроков или любых возможных коалиций.

3. Достаточное условие

В соответствии с определением 1, коалиционно равновесная ситуация х* должна удовлетворять экстремальным ограничениям, «диктуемым» условиями индивидуальной и коллективной рациональности и условием коалиционной рациональности. Однако все эти условия являются следствием (Ж2 + 1)-го неравенста:

/¿[х*] > /¿[х*,х_,-] Ух- € X-. (г,^ € М), (1)

£ /¿[х] < £ /¿[х*] Ух € X, ¿ем ¿ем

где х — (х *,..., х N).

При формулировке достаточных условий существования коалиционно равновесной ситуации воспользуемся подходом, предложенным в [5]. Для этого введем N -вектор z = (zi,... , zN) Е X и <^(x, z) — гермейеровскую свертку [6] функций (x, z) (r = 1,...,N +1):

(x,z) = max{/i[zj,x-j] - /i[z]} (j Е N)

<^N+1(x,z) = ^ /i[x] [z], (2)

¿eN ¿eN

w(x,z) = max (x,z).

r=1,...,N+i

Седловая точка (x0,z*) Е X x Y скалярной функции <^(x, z) из (4) определяется цепочкой неравенств

^(ж, z*) < <^(x°, z*) < <^(x°, z) V x, z Е X. (3)

Теорема 1. Если удалось найти седловую точку (x°,z*) Е X x X функции ^(x,y), то минимаксная стратегия z* является коалиционно равновесной ситуацией игры rg.

Доказательство. Действительно, при z = x° из (4) следует ^(x°,x°) = 0. Тогда по транзитивности из (5) получаем [<^(x°,z*) < 0] ^ [<^(x, z*) < 0 Vx Е X], что и означает, в силу (4), справедливость (3). □

Замечание 2. Согласно теореме 1 построение коалиционно равновесной ситуации сводится к нахождению седловой точки (x°, z*) гермейеровской свертки <^(x, z) из (4). Именно, получили следующий конструктивный способ построения коалиционнно равновесного решения игры Г:

во-первых, построить по формуле (4) скалярную функцию <^(x,z), во-вторых, найти седловую точку (x°,z*) функции <^(x, z) (удовлетворяющую цепочке неравенств из (5)),

в-третьих, определить значения N функций /¿[x*] (i Е N).

Тогда пара (z*, /[z*] = (/1[z*],..., /N [z*])) Е X x RN образует коалиционное равновесие игры Гй: игрокам следует использовать свои стратегии из ситуации z*, обеспечивая тем самым себе гарантии /¿[z*].

4. Существование коалиционного равновесия в смешанных

стратегиях

Нужно обладать большим оптимизмом, чтобы надеятся найти ситуацию коалиционной равновесности в чистых стратегиях даже для игр двух лиц. Поэтому, следуя подходу Эмиля Бореля [8], Джона фон Неймана [9], Джона Нэша [2, 3] и их последователей, установим существование коалиционнно равновесной ситуации в смешанных стратегиях. Однако перед этим приведем ряд вспомогательных утверждений, на которые «опирается» доказательство теоремы существования.

4.1. Вспомогательные сведения. Здесь обозначаем через comp — множество всех компактов (замкнутых и ограниченных подмножеств евклидова n^-мерного пространства ), а непрерывность на X х Y скалярной функции /¿(ж, у) обозначаем /i(-) е C(X х Y).

Рассматриваем снова кооперативную игру без побочных платежей Г. Не оговаривая особо, предполагаем для элементов упорядоченного множества Г выполнение следующих требований:

Условия 1.

Xi е compRni (i е N), Y е compRm, /¿(-) е C(X х Y). (4)

Перейдем к понятию смешанного расширения игры Гй, включающее смешанные

стратегии, ситуации, математическое ожидание функций выигрыша.

Будем предполагать, что для игры Г выполнены ограничения (8), тогда /¿(ж, у)

непрерывна на произведении компактов X х Y, где X = П Xi. На каждом компакте

ieN

Xi С (i е N) построим борелевскую а-алгебру B(Xi) — множество подмножеств Xi таких, что Xi е B(Xi), причем B(Xi) замкнута относительно операций дополнения и объединения счетного числа множеств из B(Xi), кроме того, B(Xi) является минимальной а-алгеброй, которая содержит все замкнутые подмножества компакта Xi. Согласно математической теории игр, смешанную стратегию i-го игрока vi(-) будем отождествлять с вероятностной мерой на компакте Xi. Вероятностная мера есть неотрицательная скалярная функция vi(-), определенная на борелевской а- алгебре B(Xi) подмножеств компакта Xi С и удовлетворяющая двум условиям:

1) U Qfc^ = U V (Q^) для любой последовательности {Q^lbU попарно не

пересекающихся элементов из B(Xi) (свойство счетной аддитивности функции Vi(-));

2) ^(Х^) = 1 (свойство нормированности) и поэтому ^ (ф^) < 1 для всех е

е В(Хг).

Обозначим через множество смешанных стратегий ¿-го игрока (г е Н). Построим ситуацию в смешанных стратегиях в виде меры-произведения

V(¿ж) = ^1(^X1) ... ^(¿ж^), множество которых обозначим через {V}, а также математическое ожидание /¿[V] = = J/[ж]V(¿ж). Получаем смешанное расширение игры гарантий Г, обозначим ко-

X

торое через

Г = (Н = {1,..., N}, {/¿[V] = I/¿[ж^(¿ж)}гек). (5)

X

Аналогично определению 1 введем

Определение 2. Ситуацию в смешанных стратегиях V*(•) е {V} назовем коалиционно равновесной в смешанном расширении (5) (или коалицонно равновесной ситуацией в смешанных стратегиях для игры Гй), если

во-первых, ситуация V*(•) коалиционно рациональна для игры (5), то есть

/¿И,...,^,...,^] < /¿[V*] (•) еК} (к е }; г,^ е Н)

(множество коалиционно рациональных ситуаций игры (5) обозначим {V*}); во-вторых, V*(•) максимальна по Парето в ^критеральной задаче

Г = ({V}, {/¿[V]Ьн), то есть при всех V(•) е {V} несовместна система неравенств

/¿[V] > /¿[V*] (г е Н), из которых, по крайней мере, одно строгое.

Очевидно достаточное условие максимальности по Парето; оно составляет содержание следующего замечания.

Замечание 3. Смешанная ситуация v*(-) е {v} максимальна по Парето в Г? = ({v}, {/¿[v]}ieN>, если

v gg^ E fi[v ] = E fi[v *].

{ } ¿eN ¿eN

Утверждение 1. Если в игре Гй множества Xi е compRni и /¿[-] е C(X) (i е N), то для функции

w(x,z )= max (x,z) (6)

r=1,...,N+1

имеет место неравенство

max / (x,z)^(dx)v(dz) < / max (x,z)^(dx)v(dz) (7)

r=1,...,N+1 J J r=1,...,N+1

Ix! X x!

при любых G {v}, v(•) G {v}; здесь, напомним, скалярные функции (x,z) определены в (4).

Доказательство. В самом деле, из (6) для каждого x, z G X следует

(x,z) < max (x, z) (r = 1,...,N + 1).

r=1,...,N +1

Интегрируя затем обе части этих неравенств с произвольной мерой-произведением ^(dx)v(dz) в качестве интегрируемой меры, получаем

v)= / (x,z)^(dx)v(dz) < / max (x,z)^(dx)v(dz) J J r=1,...,N+1

I xI IxI

при всех G {v}, v(•) G {v} и каждом r = 1,..., N + 1. Поэтому

max (u, v)= max / (x,z)u(dx)v(dz) < r=1,...,N+1 r=1,...,N+1 J

X x!

< / max (x, z)u(dx)v(dz) V^(-) G {v},v(■) G {v},

J r=1,...,N+1 XX

что доказывает (7).

□

Замечание 4. Фактически (7) является обобщением известного свойства операции взятия максимума: максимум суммы не больше суммы максимумов.

Утверждение 2. Если в игре Гй выплнены условия 1, то функция <^(x, z) из (6) непрерывна на X х (Z = X).

Доказательство даже более общего утверждения (непрерывность функции максимума конечного числа непрерывных функций) имеется во многих учебных пособиях по исследованию операций, например, в [7, с. 54, 187].

4.2. Теорема существования. Приведем центральный результат настоящего раздела статьи: докажем существование коалиционно равновесной ситуации в смешанных стратегиях в игре Гй при выполнении условий (8).

Теорема 2. Если в игре Гй множества Xj G comp Rni и /¿[•j G C(X) (i G N), то в этой игре существует коалиционно равновесная ситуация в смешанных стратегиях.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную антагонистическую игру

Г" = ({1, 2}, {X, Z = X },p(x,z)>.

В игре Г" множество X стратегий x первого (максимизирующего <^(x,z)) игрока совпадает с тем же X. Одним из решений Г" является седловая точка (x0,z*) G G X х X, именно, для нее при всех x G X и каждом z G X имеет место цепочка неравенств

^(x,z*) < ^(x°,z*) < p(x°,z). Теперь игре Г" поставим в соответствие ее смешанное расширение

Г" = ({1, 2}, {и}, {v)>,

где { v} — множество смешанных стратегий v(•) второго, а {и} = {v} — множество смешанных стратегий первого игрока, функция выигрыша первого (математическое ожидание)

v)= J ^(x,z)^(dx)v(dz). (8)

XxX

Решением игры Г" (смешанного расширения Г") также будет седловая точка (u°, v*), определяемая двумя последовательными неравенствами

<^,v*) < <^°,v*) < <^°,v) (9)

при любых v(•) G {v}, uO G {v}.

Эту пару V*) иногда называют решением игры Г" в смешанных стратегиях.

В 1952 г. Ирвинг Гликсберг установил [10] теорему существования равновесной по Нэшу ситуации бескоалиционной игры N > 2 лиц в смешанных стратегиях, откуда (для частного случая — антагонистической игры Г") следует утверждение: пусть в игре Г" множество X С Кга суть непустой компакт, а функция выигрыша первого игрока непрерывна на X х X (у нас непрерывность — в утвержде-

нии 2). Тогда для игры Г" существует решение V*), определенное в (9), то есть существует седловая точка в смешанных стратегиях.

С учетом (8) неравенства (9) примут вид

/ max (x,zWdx)v*(dz) < J r=1,...,N+1

XxX

< / max (x,z)n°(dx)v *(dz )< J r=1,...,N+1

X xX

< / max (x,z )n°(dx)v (dz) J r=1,...,N+1

Xx X

при всех v(■) G {v}, G {v}. Положив в

) = / max (x,z)^°(dx)v (dz)

J r=1,...,N+1 Xx X

меру Vj(dzj) = ^0(dxi) (i G N) и тогда v(dz) = (dx), получаем, с учетом (9), что = 0. Аналогично приходим к <^(v*,v*) = 0 и тогда из (9) имеем

^°,v *) = 0.

Из v*) = 0 и неравенства в (9) (по транзитивности) приходим к

v*) = / max (x,z)^(dx)v*(dz) < 0 V^(-) G {v}.

J r=1,...,N+1 Xx X

Согласно утверждению 1 отсюда получаем

0> / max (x,zWdx)v*(dz) > max / (x,zWdx)v*(dz). J r=1,...,N+1 r=1,...,N+1 J

Xx X Xx X

Поэтому для всех r = 1,... , N + 1 будет

J (ж, < 0 У^(^) е {V}.

ХхХ

Выделим два случая.

I случай (г = 1,..., N). Здесь, согласно (4) и нормированности V(•), приходим, например, при г = 1

0 > (x,z)^(dx)v*(dz) = / max {/¿[z^ x2,..., xN] — /¿[z]} ^(dx)v*(dz) >

J J ieN

Ix! Xx!

> J /¿[zi, x2,... ,xN]^(dx)v*(dz) — J /¿[z]v*(dz^y ^(dx)=

XxX X X

= /i[V>2,...,^N] — /i[v*] (i G N).

Аналогично устанавливается справедливость при r = 2,... , N следующих неравенств:

0 > /¿[^1,^,^3,... ] - /¿[V*],

0 > .. ^-ъ ^] - *]

для г е N.

Согласно определению 2 тогда V*(•) — ситуация коалиционной рациональности в смешанных стратегиях для игры Г.

II случай (г = N +1). Согласно (4) и нормированности V(•) и приходим к

0>

XX

^(dx)v *(dz)

/ /¿[^] ¿ен ¿ен

= I Е^[ж]^ж) / V- I Е=

X ¿ен X XX ¿ен

= Е /¿м - Е /¿[V * ].

¿ен ¿ен

Тогда, учитывая замечание 3 видим, что ситуация в смешанных стратегиях V*(•) е е {V} игры Г будет максимальна по Парето в N -критериальной задаче

Г = «V}, /V]}<€К>.

Таким образом, для ситуации в смешанных стратегиях V*(•) игры Гй установлена ее коалиционная рациональность и одновременно максимальность по Парето. Следовательно, в силу определения 2, ситуация в смешанных стратегиях V*(•) будет коалиционно равновесной в игре Гй и пара (V*,/[V*]) образует коалиционное равновесие в смешанных стратегиях для Гй.

□

Заключение

В первую очередь здесь отметим новые в теории кооперативных игр результаты, полученные в настоящей статье.

Во-первых, формализовано понятие коалиционного равновесия, учитывающее интересы любой коалиции в игре N лиц.

Во-вторых, установлен конструктивный способ нахождения коалиционного равновесия, сводящийся к отысканию минимаксной стратегии для специальной гермейе-ровской свертки, эффективно строящейся по гарантиям функций выигрыша игроков.

В-третьих, доказано существование коалиционного равновесия в смешанных стратегиях при «привычных» для математической теории игр условиях (непрерывность функций выигрыша и компактность множества стратегий игроков и неопределенностей).

На наш взгляд, немаловажным являются и новые качественные результаты, следующие из настоящей статьи:

1) ситуация коалиционного равновесия х* Е X устойчива к отклонению от нее любых возможных коалиций; игроки отклонившейся коалиции либо «ухудшат» — уменьшат свои гарантированные выигрыши, либо оставят их прежними;

2) понятие коалиционного равновесия применимо, если даже в течение игры меняются коалицонные структуры или даже если все коалиции остаются в наличии;

3) коалиционное равновесие можно использовать при создании устойчивых союзов (альянсов) игроков;

и это далеко не все достоинства коалиционного равновесия!

Но есть еще одно достоинство, которое считаем нужным отметить.

До сих пор в теории кооперативных игр особо акцентировались условия индивидуальной и коллективной рациональности. Но индивидуальным интересам игроков

отвечает концепция равновесности по Нэшу с ее «эгоистическим» характером («каждому свое»); коллективной более соответствует концепция равновесности по Бержу с ее «альтруизмом» («помогать всем, забывая порой о своих интересах»). Однако, такая «забывчивость» не свойственна человеческой сущности игроков. Этот негатив обеих концепций «снимает» коалиционная рациональность.

Описок литературы

1. LUCE, R. D. and RAIFFA, H. (1957) Games and decisions. New York: John Wiley and Sons, Inc.

2. NASH, J. (1951) Non-cooperative games. Annales of Mathematics. 54 (2). p. 286-295.

3. NASH, J. (1950) Equillibrium points in N-person games. Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 36 (1). p. 48-49.

4. BERGE, C. (1957) Théorie générale des jeux a n personnes. Paris: Gauthier-Villar.

5. ZHUKOVSKIY, V., TOPCHISHVILI, A & SACHKOV, S. (2014) Application of probability measures to the existence of Berg-Vaisman quaranteed equilibrium. Model Assisted Statistics and Applications. 9 (3). p. 223-239.

6. Гермейер, Ю. Б. Игры с непротивоположными интересами. — M.: Наука, 1976. — 328 c. GERMEIER, Yu. B. (1986) Non-antagonistic games. Boston: Springer Netherlands.

7. Морозов, В. В., Сухарев, А. Г., Федоров, В. В. Исследование операций в задачах и упражнениях. — M.: Высшая школа, 1986. — 286 c.

MOROZOV, V., SUKHAREV, A. and FEDOROV, V. (1968) Operational research in problems and exercises. Moscow: Higher school.

8. BOREL, E. (1921) La theorie du jeu et les equations integrales a noyau symetrique. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences. 173. p. 1304-1308.

9. NEUMANN, J. v. (1928) Zur Theorie der Gesellschaftspiele. Mathematische Annalen. 100 (1). p. 295-320.

10. Гликсберг, И. Л. Дальнейшее обобщение теоремы Какутани о неподвижной точке с приложением к ситуациям равновесия в смысле Нэша // Бесконечные антагонистические игры / Н. Н. Воробьев. — М.: Физматгиз, 1963. — C. 497-503.

GLICKSBERG, I. L. (1952) A further generalization of the Kakutani fixed point theorem, with application to Nash equilibrium points. Proc. Amer. Math. Soc.. 3 (1). p. 170-174.