О классической формуле Ито для обобщенных итовских интегралов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2

Ф. С. НАСЫРОВ, Е. В. ГАПЕЧКИНА

О КЛАССИЧЕСКОЙ ФОРМУЛЕ ИТО ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ ИТОВСКИХ ИНТЕГРАЛОВ

Из обобщенной формулы Ито получена классическая формула Ито. Построена формула, связывающая расширенный симметричный и симметричный интегралы. Формула Ито, локальное время, стохастический интеграл Ито, обобщенный итовский интеграл, стохастический интеграл Стратоновича, симметричный интеграл, расширенный симметричный интеграл

ВВЕДЕНИЕ

Одним из ключевых понятий современного стохастического исчисления является интеграл Ито. Теория стохастического интегрирования начиналась с интегрирования по броуновскому движению. Ито в 40-х гг. прошлого века вывел правила действий со стохастическими интегралами и знаменитую «формулу Ито». Максимально возможное обобщение стохастического интеграла и формулы Ито является важной задачей теории случайных процессов.

Известно, что в случае, когда X(.5) = X(5, о) -стандартный винеровский процесс, а непрерывная детерминированная функция /(я,и) имеет непрерывную частную производную /(в,и), формулу

ди

Ито можно записать в виде (5, X (5))* ёх(5) =

1 г> д

*............... 2 • ди'

где первое слагаемое в правой части равенства есть стохастический интеграл Ито, а в левой части - стохастический интеграл Стратоновича.

В настоящее время существует большое количество разного рода обобщений, с которыми можно познакомиться в работах [1, 3, 9, 10, 12]. Последнее обобщение формулы Ито представлено в работе [5]. Пусть X (я), 5 е [0,1], - стандартный винеровский процесс, /(5), 5 е [0,1], - непрерывная слева предсказуемая функция, для которой конечны стохастический интеграл Ито | /(s)dX(5) и расширенный симметричный интеграл

(Е)£/(у* (а(5,X(5)),X(5))) * dX(5), г е [0,1]. Тогда справедлива формула

: I/(5,X(5))йХ(5) + 1 Ґ А/(5,X(5)^,

•>0 1 10 Ни

(1)

1/(5№(5) = (Е)[о/(г*(а(5, X(s)), Х(5)))* dX(s) -

1 Г' 1

- І1Н1І1Ш— [ — [/т (5,X(5) + £) -/т (5,X(5)-Є)№,

т^л е-^0 2 Л) 2Є

где

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ №№ 04-01-00286, 05-01-97909.

(2)

/т (5,и) = /(5,и)1(/(5,и) < т),

/ (5, и) = / (у*(а>, и), u)), у*(х,и) = т£{« : «(«, и) > х}, а пределы есть пределы по вероятности.

Если вполне регулярная непрерывная функция X(5), 5 е [0,1], обладает непрерывным по временному параметру 5 при п.в. и локальным временем «(«, и), то правую часть формулы (2) можно считать определением обобщенного интеграла Ито, если пределы в правой части понимать не в вероятностном, а в обычном смысле. Таким образом, формула (2) дает возможность без предположений о предсказуемости интеграндов построить интегралы итовско-го типа по определенным классам детерминированных непрерывных функций и случайных процессов, не являющихся мартингалами, если для них существуют расширенный симметричный интеграл и пределы в правой части формулы (2).

Возникают вопросы: как полученные формулы согласуются с первоначальной формулой Ито, какие свойства стохастических интегралов сохраняются, а какие нет. Цель данной работы - представить ответы на некоторые из этих вопросов.

Приведем необходимые обозначения и сведения. Множества Я = (-^,+тс), [0,г], г>0, предполагаются наделенными а -алгебрами борелевских множеств, которые соответственно обозначаются B , Bt, г > 0 ; на этих подмножествах считается заданной мера Лебега Д(.). Для непрерывной функцииX(s), 5 е [0,+^) положим

М(г) = шах^(5): 5 е [0,г]} , т(г) = шт{X(5): 5 е [0,г]}.

Обозначим через sgn(x) знак вещественного числа х, через 1(А) - индикатор множества А, т. е. функцию, равную 1 на А и 0 вне А; далее всюду

а а Ь = шт(а, Ь), а V Ь = шах(а, Ь), к(у, А, В) = sgn(В - А)1(А а В < V < А V В). Пусть X(s), 5 е [0,1], борелевская вещественнозначная функция, т(.) - мера на а - алгебре В1 борелевских множеств отрезка [0,1].

Если мера V, (Г) = 11^ (5) е Г)ё5, Ге В, г е [0,1],

абсолютно непрерывна относительно меры Лебега, то производная Радона-Никодима

Ф. С. Насыров, Е. В. Гапечкина

dv,

а(г, и) =—L (и), и е Я, ёЯ

называется локальным временем функции X(s). Говорят, что случайный процесс обладает локальным временем, если почти все его траектории имеют локальное время. Оказывается, можно всегда считать, что локальное время измеримо как функция двух переменных и является при каждом и неубывающей непрерывной справа функцией по г; меру на В1, которую она порождает, мы будем обозначать а(ёя,и).

Из определения локального времени вытекает, что при п.в. х

___— [1

е|0 2в 30

a(t, x) = lim——11(| X (5) - x |< i) ds

(3)

и для любой ограниченной борелевской функции f(s,u) (см. [11]) справедлива формула

j f (s, X (s))ds = £ I f (s,u)e(ds,u)du .

Назовем непрерывную функцию X(s), 5 е [0,1] с локальным временем а(г,и) вполне регулярной, если для любого отрезка [1ьу справедливо равенство

гМ (г1 ,г2)

• 1(а([г1, г2],и) = 0)ёи = 0.

^т(г!,г2)

В [6] показано, что типичная траектория винеровско-го процесса вполне регулярна. Ряд общих сведений о локальных временах детерминированных функций и случайных процессов приведен в работах [2,4,11]. Рассмотрим разбиения Тп, п е N , отрезка [0,1]:

Т = {4п)}, 0 = ^ < г(п) <... < 4п) <... < т = г,

-n ^lk

n g N , такие

Лп) Лп)

что

Tn <=■ Tn+1 :

n g N .

Xn = max\tkn - tk-i ^ 0 , при n . Через X(n) (s), k I I

s g [0, t], обозначим ломаную, построенную по функции X(s) и отвечающую разбиению Тп. Введем

следующие

обозначения:

Atf = tf - tk->:

[кп)]=[-),гкп)], Aхln) = X(4п))-X(г«).

Определение. Пусть Хф - произвольная непрерывная функция, тогда симметричным интегралом называется

/, X(s)) * dX(s) = Шп£[/(5, X(п) (s))dsAX<(n>,

к Ак [А»]

если предел в правой части равенства существует и не зависит от выбора последовательности разбиений

Тп , П е N .

Достаточное условие существования симметричного интеграла - так называемое условие (Б) (см. [7]).

Определение. Будем говорить, что пара функций X(s), 5 е [0,1], и №,и), 5 е [0,1], и е Я , удовлетворяет условию (Б) на [0,1], если:

(a) Функция X(s), 5 е [0,г], непрерывна;

(b) При п.в. и функция/(в,и), 5 е [0,г], имеет ограниченное изменение и непрерывна справа по 5 е [0,1];

{х (t) M(t) ft

j f(t,v)dv- Г j k(v,X(0),X(t))f(dr,v))dv,

JX(0) Jm(t) JO

• О классической формуле Ито ... 127

(c) При п.в. u справедливо равенство

11(X(s) = u) | f | (ds,u) = 0, где при каждом u

функция \f\(s,u) есть полное изменение функцииf(T,u) по переменной т на отрезке [0,s];

(d) Полное изменение \f\(t,u) функции f(s,u) по переменной s на отрезке [0,t] локально суммируемо по u.

Пусть функции X(s) и f(s,u) удовлетворяют условию (S) на [0,t], тогда симметричный интеграл может быть вычислен по формуле

If (s, X (s))* dX (s) =

!.X (t) M(t) M

f (t, v)dv - Г

X (0) Jm(t)

где

M(t)=max{X(s): s g [0,t]}, m(t)=min{X(s): s g [0,t]},

k(v, A,B) = sgn(B - A)1(A л B < v < A v B).

Для симметричного интеграла справедлива формула стохастического дифференциала в форме Стратоновича:

f (t, X (t)) - f (0, X (0)) =

= £ fl (s, X(s)) * dX(s) + J'f/ (s, X(s))ds.

Симметричный интеграл совпадает с интегралом Стратоновича в случае, когда оба интеграла существуют иX(s) есть винеровский процесс.

В простейшем случае, когда f(X(s)) = X(s), даже интегральные суммы симметричного интеграла и интеграла Стратоновича совпадают.

Пусть X(s), s g [0,/] - непрерывная функция с

локальным временем a(s,u), f(s), s g [0,t] - суммируемая функция. С функцией f(s) можно связать некоторые специальным образом построенные функции, зависящие только от функций X(s) и ^(s) = a(s, X (s)) и эквивалентные ей по мере Лебега,

например, f (s) = f*(%(s),X(s)) при п.в. s g [0,t], где ft*(x,u) = f (у* (x,u))1(a(t,u) > x),

Y*(x,u) = inf{s : a(s,u) > x} . Функция ft*(x,u), также как и функция f*(%(s), X (s)), называется представлением функции f(s) на отрезке [0,t].

Определение. Расширенным симметричным интегралом называется (см. [7]) интеграл по специальным образом построенному заряду по одному из представлений функции f(s), например:

(E) jo f (^(s), X(s)) * dX(s) = £+^ ft*(x, u)G, (dxdu),

где Gt(dxdu) - заряд, однозначно определяющийся своими значениями на «прямоугольниках» A*B:

fX (t)

Gt(A x B) = I 1((a(t,u),u) g A x B)du -

JX (0)

1

—j 1((a(t,u),u)g A \{0}xB)sgn(u -X(0))du + 1

+ — I 1(u g B,a(t,u) > 0)sgn(u - X(0))du1(0 g A). 2

и

Можно показать (см. [7]), что расширенный симметричный интеграл для определенного класса инте-грандов есть несобственный симметричный интеграл, т. е. представляется в виде предела симметричных интегралов. Пусть функции X(s), s g [0,+^), и f(s,u), s g [0,+ro) , u g R , удовлетворяют условию (S), и функция X(s) обладает локальным временем a(t, u). Рассмотрим функцию вида

1 pu+i

fe(s,u) = — I f (Y*(a(s,v),v),v)dv . Тогда

2i“-i

lim| fe (s,X(s)) * dX(s) =| + f* (x,u)Gt (dxdu).

Расширенный симметричный интеграл может быть вычислен по формуле

p * pX (t) *

j + ft (x, u)Gt (dxdu) = j ft (a(t, u),u)du-

JR+xR

1 fM (t) * *

_ J [ft (a(t, u),u) - ft (0, u)]sgn(u - X(0))du.

2 m(t) t t

(4)

Таким образом, расширенный симметричный интеграл строится для определенного класса инте-грандов вида /(^(^),X(5)), и этот класс достаточно широк в том смысле, что для каждой суммируемой на [0,г] функции /(&•) существуют различные представления, для которых расширенный симметричный интеграл может быть определен.

ВЫВОД КЛАССИЧЕСКОЙ ФОРМУЛЫ ИТО

Наша ближайшая цель - вывести из обобщенной формулы Ито (2) вариант классической формулы Ито.

Лемма. Пусть X(s), 5 е [0,1] - непрерывная вполне регулярная функция с локальным временем а(г,и), непрерывным по переменной г при п. в. и. Тогда справедливы следующие соотношения:

(a) Ишу* (а(5,X(5) + е),X(5) + е) = 5 при п.в. 5;

£ч10

(b) Иш/*(а(5, X (5)-е), X (5)-е) = 5 при п.в. 5;

еч10

(c) Ц(^(5) >и)*dX(s) =Ц(^(5)>u)dX(s) + 1а(г,и) .(5)

Доказательство. Сначала докажем соотношение (а). Согласно определению функции у*(х,и) и непрерывности локального времени а(г, и) по переменной г при п. в. и для &'<г имеем

у* (а(5,и),и) = [1(а(т, и) < а^и^т =

: Jo1(а([т,s],u) > 0)dт.

Поэтому в силу вполне регулярности функции X(s) величина у*(а(&',и),и) при п. в. и равна

[1(т(т,5) < и < М(т,s))dт = г -

- [ 1(и < т(т, ,5)^т -[ 1(и > М(т, ,5)^т.

Следовательно, в силу существования локального времени для X(s) достаточно убедиться, что оба не-

отрицательных выражения [1(0 < X (5) - т(т, 5) <е)dт

"1'<0 > X(5) - М(т, 5) > е^т стремятся к нулю при е ^ 0.

Предположим, что найдется множество

Т0 е В(Я) такое, что

Иш [ 1(X(5) - т(т, 5) < е^т > 0 при те Т0.

е ^ 0 ^ 0

В силу вложенности множеств, определяющих индикаторы подынтегральных выражений, нетрудно убе-

диться, что предел равен

J 1(X (s) - m(т, s) = 0^т.

0

Следовательно, ввиду предположений леммы и теоремы Фубини

[[ 1(X(5) - т(т, 5) = 0)dsdт> 0.

JwТ0

Но последнее противоречит тому факту, что отраженная функция X (5) - т(т, 5) обладает локальным временем, если для функции X(s) локальное время существует. Доказательство соотношения (Ь) проводится аналогично.

Докажем справедливость формулы (с), используя формулу (2). Действительно, положим /(5, V) = /(V) = 1^ > и) в формуле (2). Для такой подынтегральной функции расширенный симметричный интеграл сводится к симметричному интегралу, а предел в правой части формулы (2) прямо вычисляется по формуле (3) и оказывается равным а(г, и).

Заметим, что формула (5) является обобщением формулы Танаки (см. [8]) на случай произвольной непрерывной функции X(s) с локальным временем а(г,и) , непрерывным по г при п.в. и.

Теорема. Пусть X(s), 5 е [0,1] - вполне регулярная непрерывная функция с локальным временем а(г,и), непрерывным по г при п. в. и, /(&’,и) - произвольная непрерывная слева функция, имеющая совместно непрерывные частные производные первого порядка //(5, и) и /и/(5, и). Тогда из определения обобщенного интеграла Ито для X(s), которое дается формулой (2), вытекает классическая формула Ито

[/(5, X(5))* (IX(5) =

= [/(5, X(5)^ (5) + 1 / (5, X (5)^5, где в левой части стоит симметричный интеграл.

Доказательство. Для удобства разобьем доказательство на шаги.

Шаг 1. Пусть/(5,и), (5,и) е [0,1]хЯ - произвольная функция с непрерывными частными производными первого порядка. Выведем формулу Ито сначала для функций, удовлетворяющих дополнительному предположению /(0, и) = 0 .

Ф. С. Насыров, Е. В. Гапечкина В силу формулы для вычисления расширенного симметричного интеграла (4) и того факта, что 5 < у*(а(г, и), и), если 5 < г, имеем

(Е(5, X (5))* dX (5) =

«•X (г) л г ,

= Г Г /* (5,и)1(5 < (а(t,u>,u>>dsdu -

1 гМ (г) гг

2 «*т(г) «Ю ^

Ввиду вполне регулярности функции X(s) для 5 < г неравенство 5 < у*(а(г,и),и) при п. в. и равносильно неравенству т(^',г)<и<М(5,г). Поэтому, ввиду соотношения

1(т(Б, 1) < и < М(б, 1)) = 1-1(и < ш(8,1)) -1(и > М(8,1)), расширенный симметричный интеграл равен

(.X (г)

'(0) ‘

1 1 f

S = — lim— J A(s,i)ds,

4 i^0 — J0

J>M (t) <»t .

! fs (s,u)1(s < y* (a(t,u),u))sgn(u -X(0))dsdu.

m(t) J0

fX (t)

f (t, u) du -

X(0)

ЙХ (t) /

f (s, u)[1(u < m (s, t)) + 1(u > M (s, t))] dsdu

X (0) s

1 ft ( s ,t)

_ JJ fs (,u)sgn(u - X(0))dsdu.

2 0 m( s,t) s

Далее, поскольку среднее слагаемое равно нулю, то расширенный симметричный интеграл равен

к * /

If (s, X (s))* dX (s)

+

ds.

М pх (г) . 1 рМ () .

• Г ,/ с^и^и — Г / (5,и^п(и -X(0))du

•'й •'X (0) 2 *т(5,г)

Выражение в квадратных скобках в правой части последнего равенства можно преобразовать следующим образом:

1(X(0) < X(5)) [ /' (5, и^и -

"А X (0.x оГ5

-1(Х(0) > X(s))J f'(s, u)du -

x (ЛХ (0)] s

- -1(X(0) < X(s))

- Il(X(0) > X(s)) = |l(X (0) < X(s)) + Il(X(0) > X(s))

![ X (s)X (0)]“

■jx W _

X(0) M(s,t) X(0) j-X (s) m(s,t) X(s) m(s,t)

pX (0) pM (s,t)

J + J

m(s,t) X(s)

JX (s) - J

m(s,t) X

J

X

J

X

m(s,t) X(s) m(s,t) M(s,t) JX (s) M(s,t) JX (s)

X(0)

X(s)

fs (s, u)du -

f/(s, u)du =

fs (s, u)du +

fs (s, u)du =

X(s) -

m(s,t) X

»M (s,t) X(s)

fs (s,u)du =

1 M(s,t) /

-L , fs(s, u)sgn(X(s) - u)du.

2 m(s,t)

• О классической формуле Ито ... 129

1 ft

lim-

4 eJ-0 e

где

A(s, e) = f ( y * (a(s, X (s) + e), X (s) + e), X (s) + e) -

- f (Y* (a(s, X (s) - e), X (s) - e), X (s) - e).

Положим A(s, e) = Aj (s, e) + A 2 (s, e) + A3 (s, e), где Aj (s, e) = f ( y * (a(s, X (s) + e), X (s) + e), X (s) + e) -

- f (Y* (a(s, X (s) + e), X (s) + e), X (s)),

A 2 (s, e) = f ( y * (a(s, X (s) + e), X (s) + e), X (s)) -

- f (Y* (a(s, X (s) - e), X (s) - e), X (s)),

A 3 (s, e) = f ( y* (a(s, X (s) - e), X (s) - e), X (s)) -

- f (Y* (a(s, X (s) - e), X (s) - e), X (s) - e).

Поскольку функция f(s,u) обладает совместно непрерывной частной производной f, (s, u), то, записав приращения Ak (s,e), k=1,3, согласно формуле Ньютона - Лейбница как интегралы от производной fu (s, u), для k=1,3, в силу леммы имеем

lun-1A k (s, e)ds = j f (s, X (s))ds.

ej.0 e J0 J0

Так как A2(s,e) равно

Г fT(t,X(s))[1(r < Y* (a(s,X(s) + e),X(s) + e)) -

0

- 1(t< y* (a(s,X(s) - e),X(s) - e))]ds, то в силу теоремы Фубини выражение

1 1 f

S = — lim— A 2 (s, e)ds

1 4 ej,0 e0 2V '

можно представить в виде

lim-1 jt If' (r,X(s))[1(r < y* (a(s,X(s) + e),X(s) + e)) -

ei0 4e0 Jr

- 1(r < Y* (a(s,X(s) - e),X(s) - e))]dsdr.

Ввиду соображений о вполне регулярных функциях, использованных выше, выражение в квадратных скобках при п. в. s равно

1(m(r, s) < X (s) + e < M(r, s)) --1(m(r, s) < X (s) - e < M(r, s)) =

= 1(-e < X(s) - M(r, s) < 0)-1(0 < X(s) - m(r, s) < e). Следовательно, записав в выражении S1 с помощью приведенных выше формул внутренний интеграл как разность интегралов с локальными временами отраженных вверх и вниз функций (см. [8]), в силу теорем Лебега о предельном переходе под знаком интеграла и дифференцировании интегралов Лебега получим

S = jin- J Jtfr (т,X(s))[l(-i < X(s) -M(^s) < 0)

4 і'Ю і j0 Jт

-1(0 < X(s) - m(v,s) <-)]dsdт =

< 0) -

Таким образом, мы пришли к формуле

(E)Jf (s, X(s)) * dX(s) =Jf (s, X (s)) * dX(s) -

1 ft *M (s,t) /

N fs (s,u)sgn(u -X(s))duds.

0 m s

2

(s,t)

Шаг 2. Вычислим последнее выражение в обобщенной формуле Ито, равное

11' [Я (т, X (5)[ №,0) - вт (*,0)].

4 **0 т

Заметим, что из задачи отражения (см. [2], [8]) и аналога формулы Танаки (5) вытекает следующее представление локальных времен отраженных в нуле вверх и вниз функций на временном отрезке [т,1]:

вт([т, р],0) = 2( X (т) - т( т, р)),

Рм([т, р],0) = 2(М (т, р) - X (т)).

Поэтому, воспользовавшись этими представлениями локальных времен, имеем

51 = ^ II /т( т, X (5))М (т, ds)dт -

- 7 I I- / (т, X (5))т( т, ds)d т.

Поскольку функции 5 ^ М (5, т) , 5 ^ т(5, т) растут только в точках 5: X(5) = М(5, т), 5: X(5) = т(5, т) соответственно, то в силу теоремы о замене переменных в интеграле Лебега получим

1 с- с- ,

5 = 2" II /т ( т,М (т, 5))М(т, ds)dт -

1 г' г' /

-— IJ f( т, m(^ ,))от(т, ds)dт =

Шаг 3. Подставляя все полученные выражения в обобщенную формулу Ито (2) получим классическую формулу Ито в случае, когда /(0, и) = 0 . Чтобы избавиться от этого дополнительного условия заметим, что выше мы доказали, в частности, формулу Ито для гладких функций вида/(&',и)=/(и). Для произвольной гладкой функции /(&’,и) имеем: /(&',и) = =[/(5,и)-/(0,и)]+ /(&’,и), поэтому, в силу аддитивности доказанной выше формулы Ито, последняя будет справедлива и без дополнительного условия, наложенного на функцию /(&’,и).

Следствие. Пусть Х(&'), 5 е [0,1] - непрерывная вполне регулярная функция с локальным временем а(г,и), непрерывным по переменной г при п. в. и, а /(&’,и), 5 е [0,1] - функция с непрерывной первой производной //(5,и) и такая, что пара (Х(5),/(5,и)) обладает свойством (Б). Тогда справедлива формула, связывающая симметричный и расширенный симметричный интегралы:

(Е)[/(5, X(5)) * (IX(5) =[/(5, X (5)) * (IX(5) -

1 м [М (5,-) ,

------•• / (5, и) sgn(u - X(s))duds.

2 •^0•^m(.s',t>

Замечание. Из последней формулы следует, что если подынтегральная функция имеет вид /(5,Х(&')) = =/(Х(5)), то расширенный симметричный интеграл совпадает с симметричным. Если, к тому же Х(&') -стандартный винеровский процесс, то в этом случае расширенный симметричный интеграл есть обычный стохастический интеграл Стратоновича (см. [7]).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бородин, А. Н. Асимптотическое поведение локальных времен возвратных случайных блужданий с бесконечной дисперсией / А. Н. Бородин // Теория вероятности и ее применение. 1984. Т. 29, вып. 2 (266). С. 312-326.

2. Ватанабе, С. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы / С. Ватанбе, Н. Икеда. М. : Наука, 1986. 448 с.

3. Маккин, Г. Стохастические интегралы / Г. Маккин. М. : Мир, 1972.

4. Насыров, Ф. С. О локальных временах для функций и случайных процессов / Ф. С. Насыров // Теория вероятности и ее применение. 1995. Т. 40, вып. 4. С. 798-812.

5. Насыров, Ф. С. Обобщенная формула Ито и потра-екторные итовские интегралы / Ф. С. Насыров // Вестник УГАТУ. 2005. Вып. 6 (1). С. 33-40.

6. Насыров, Ф. С. Об отражении непрерывных функций и случайных процессов, обладающих локальными временами / Ф. С. Насыров // Теория вероятности и ее применение. 1995. Т. 40, вып. 4. С. 665-669.

7. Насыров, Ф. С. Симметричные интегралы и их применение в финансовой математике / Ф. С. Насыров // Труды МИРАН. 2002. Т. 237. С.265-278.

8. Чжун, К. Введение в стохастическое интегрирование / К. Чжун, Р. Уильямс. М. : Мир, 2002. 152 с.

9. Bouleau, N. Sur la variation quadratique des temps lo-caux de certaines semi-martingales / N. Bouleau, M. Yor // C.r. Acad. sci. Paris, 1981. Serie I. V. 292, No. 9. P. 491-494.

10. Follmer, H. Quadratic covariation and an extension of Ito’s formula / H. Follmer, P. Protter, A. Shiryayev // Bernoulli. 1995. V. 1. P. 149 - 169.

11. Geman, D. Occupation densities / D. Geman // The Annals of Probability. 1980. V. 8, No. 1. P. 1-67.

12. Wang, A. Generalized Ito’s formula and additive fun-stionals of Brownian motion / A. Wang // Z. Wahrscheinlich-keitstheor. verw. Geb. 1977. B. 41, H. 2. S. 153-159.