О канонической рамсеевской теореме Эрдёша и Радо: короткое доказательство с использованием теории ультрафильтров Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИИ СБОРНИК

Том 25. Выпуск 3.

УДК 510

DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-3-396-407

О канонической рамсеевской теореме Эрдёша и Радо: короткое доказательство с использованием теории ультрафильтров

Н. А. В. Мир, Н. Л. Поляков

Мир Наджя Абдул Вахидовна — Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (г. Москва). e-mail: nadzhyamirQyandex.ru

Поляков Николай Львович — кандидат физико-математических наук, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (г. Москва). e-mail: [email protected]

В статье дается короткое доказательство канонической рамсеевской теоремы Эрдёша и Радо с использованием теории ультрафильтров.

Ключевые слова: теорема Рамсея, каноническая рамсеевская теорема, ультрафильтр, ультрарасширение, квази-нормальный ультрафильтр

Библиография: 25 названий. Для цитирования:

Мир, Н. А. В., Поляков, Н. Л. О канонической рамсеевской теореме Эрдёша и Радо: короткое доказательство с использованием теории ультрафильтров // Чебышевский сборник, 2024, т. 25, вып. 3, с. 396-407.

On the canonical Ramsey theorem of Erclos and Rado: a short

proof using ultrafilter theory

N. A. V. Mir, N. L. Polvakov

Mir Nadja AbdulVahidovna — National Research University "Higher School of Economics" (Moscow).

e-mail: nadzhyamirQyandex.ru

Polyakov Nikolay Lvovich — candidate of physical and mathematical science, National Research University "Higher School of Economics" (Moscow). e-mail: [email protected]

Аннотация

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 25. No. 3.

UDC 510

DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-3-396-407

Abstract

The paper gives a short proof of the canonical Ramsey theorem of Erdos and Rado using ultrafilter theory.

Keywords: Ramsey theorem, canonical Ramsey theorem, ultrafilter, ultrafilter extension, quasi-normal ultrafilter

Bibliography: 25 titles. For citation:

Mir, N. A. V., Polvakov, N. L. 2024, "On the canonical Ramsey theorem of Erdos and Rado: a short proof using ultrafilter theory" , Chebyshevskii sbornik, vol. 25, no. 3, pp. 396-407.

1. Введение

Знаменитая теорема Рамсея fl] (инфинитная версия), опубликованная в 1930 г., утверждает^ чт0 для любого конечного разбиения (раскраски) множества [ш]п n-элементных подмножеств множества ш найдется бесконечное однородное множество X С ш (см. [2], Теорема 9.1, а также подробное обсуждение в [3]). Каноническая рамсеевская теорема Эрдёша и Радо, см. [3] (раздел 5.5., теорема 3) есть естественное обобщение теоремы Рамсея на случай произвольных (не обязательно конечных) разбиений. Она утверждает, что для любого разбиения множества [ш]п существует бесконечное каноническое подмножество X С ш. Детальные формулировки приведены в настоящей работе в разделе 1.1. Впервые доказательство этой теоремы было опубликовано в работе [4] в 1950 г., однако оно оказалось неожиданно сложным по сравнению с известными на тот момент доказательствами теоремы Рамсея. Как справедливо отмечает Мате в [5], «это объясняет, почему каноническая рамсеевская теорема часто приводится без доказательства (см., напр., [6]) или только с доказательством для случая п = 2 (см., напр., [3]), который не имеет достаточной общности». Во второй половине XX - начале XXI в. было опубликовано несколько альтернативных доказательств. Их можно найти в работах [7, 8, 9, 10, 11] и [5], из которых работы Радо [8] и Мате [5] мотивированы прежде всего стремлением придать доказательству простоту и ясность.

Начиная с середины XX века для доказательства многих комбинаторных фактов начинает использоваться теория ультрафильтров. Наиболее впечатляющие примеры - простое и изящное доказательство теоремы Рамсея в [3] (раздел 6.2, Теорема 2) и доказательство Галвина и Глайзера теоремы Хиндмана о конечных суммах, впервые опубликованное в [12]. Другие примеры можно найти в монографии [13]. Однако, насколько нам известно, ни одно «ультрафильтровое» доказательство канонической рамсеевской теоремы не было опубликовано.

В данной работе мы восполняем этот пробел и даем короткое доказательство канонической рамсеевской теоремы с использованием теории ультрафильтров. Оно опирается на некоторые основные факты, которые можно найти в монографиях [14] и [15], а также на простейшие свойства ультрарасширения функций произвольной арности. Последнее понятие было введено в начале XXI в. независимо Горанко [18] и Савельевым [19, 20] и (среди прочего) изучалось в работах [21, 22, 23, 24]. В разделе 1.2 мы даем все определения и факты, необходимые для нашего доказательства.

1.1. Теорема Рамсея и каноническая рамсеевская теорема Эрдёша и Радо

В этом разделе мы приводим детальные формулировки теоремы Рамсея и канонической рамсеевской теоремы Эрдёша и Радо.

Для любого множества X и натурального числа (конечного ординала) п £ ш множество всех n-элементных подмножеств множества X обозначается символом [Х]п:

[Х]га = {х С X : |х| = п}.

Множество Р С P(Z) называется разбиением множества Z, если

1. 0 е Р,

2. U V = Z и

3. (УХ, Y еР) X П Y = 0V X = Y.

Определение 1. Для любого натурального числа, п > 1 и разбиения V множества, [X]п множество Y С X называется однородным для V, если существует множество Р е Р, для которого [Y]п С Р.

Теорема 1 (Рамсей [1]). Для любого натурального числа, п > 1 и конечного разбиения Р множества [ш]п существует бесконечное множество X С ш однородное для, Р.

Используя естественную биекцию между множеством [ш]п и множеством возрастающих п-ок натуральных чисел, эту теорему можно переформулировать в терминах функций f : и.

Определение 2. Для любого натурального числа, п > 1 и множесmea X С ш функция f : шп —ш называется постоянной вверх на, множестве X, если

f (xo,xi,.. .,xn-i) = f (уо,у\,..., yn-i)

для всех х0 < х1 < ... < хп-1 е X и у0 <у1 < ... < yn-i е X.

Теорема 2 (Рамсей [1], эквивалентная формулировка). Любая функция f : шп—ш, где 1 < п < ш, с конечным, множеством значений постоянна вверх на, некотором бесконечном множестве X С ш.

Теорема Рамсея имеет много различных версий и обобщений, см., напр., [3]. Одно из обобщений носит название каноническая рамсеевская теорема Эрдёша и Радо.

Для любого разбиения Р множества Z соответствующее отношение эквивалентности обозначается символом ~-р:

х ж-р у & (ЭР еР) х,у е Р

для всех х,у е Z.

Для каждого X С ш и i < \Х| г-ый (в естественном порядке) элемент х е X обозначается символом Х^:

х = Хщ & (х е X ^\x п X \ = i).

Определение 3. Пусть дано разбиение Р множест ва, [ш]п, 1 < п < ш, и множество (индексов) I С п. Множество X С ш называется /-каноническим для Р если

Р Я & Д(P{i\ = Я[г\) íei

для всех р, q е [Х]п. Множест во X С ш называется каноническим для Р, если оно I-каноническое для, Р для некоторого множества I С п.

Теорема 3 (Эрдёш и Радо [4]). Для любого натурального числа, п > 1 и разбиения, Р множества [ш]п существует бесконечное мн ожество X С ш каноническое для Р.

Эту теорему можно переформулировать в терминах функций f : шп —ш.

Определение 4. Для каждого натурального числа п > 1 функция / : шп —ш называется выборочно инъективной вверх на множестве X С ш относительно множества (индексов) I С п, если

для всех х0 < Х\ < ... < xn-i G X и у0 < у\ < ... < yn-i £ X. Функция f : шп —ш называется выборочно инъективной вверх на множестве X С ш, если она, выборочно инъективна вверх на, множестве X С ш относительно некоторого непустого множества индексов I С п.

Пустая конъюнкция, как это обычно принято, полагается тождественной истиной. Поэтому, если функция f : шп —ш выборочно инъективна вверх на множестве X относительно пустого множества /, то она постоянна вверх на множестве X.

Теорема 4 (Эрдёш и Радо [4], эквивалентная формулировка). Любам функция f : шп —ш, где 1 < п < ш, л,ибо постоянна вверх на, некотором бесконечном множестве X С ш, л,ибо выборочно инъективна вверх на, некотором бесконечном множестве X С ш.

Очевидно, теорема Рамсея немедленно следует из канонической рамсеевской теоремы.

1.2. Теория ультрафильтров: некоторые основные сведения

В этом разделе мы приводим все определения и факты из теории ультрафильтров, которые мы будем использовать для доказательства канонической рамсеевской теоремы. Некоторые сведения, выходящие за эти рамки, приводятся в виде замечаний.

Множество всех подмножеств множества А обозначается символом P(А). Ультрафильтром, на множестве А называется (см., напр., [16], глава 15) произвольное множество u С P(Л) удовлетворяющее следующим условиям: для любых множеств В, С С А

1. если В g u и С С 5, то С G u,

2. если В G ии С G u, то В П С G u,

3. В G u ^^^^а и только тогда, когда А \ В £ u.

Множество всех ультрафильтров на множестве А обозначается символом @А.

Каждый ультрафильтр вида С А : a G S}, вде a G А, называется главным ультрафильтром, (порожденным элементом а). Все ультрафильтры на множестве А, которые не являются главными, называются неглавным,и. ZFC влечет существование неглавных ультрафильтров на каждом бесконечном множестве А. Главный ультрафильтр, порожденный элементом a G А обычно отождествляется с самим элементом а и, как правило, обозначается той же буквой.

Определение 5. Для каждой функции f : А —В ультрарасширение f есть функция из множества /ЗА в множесmeo 0В, которая определяется следующим образом:

для всех и € РА.

Предложение 1. Пусть даны множества А, В, функция f : А —В и ультрафильтры и € РА, 0 € @В. Пусть при этом для каждого множества X € и ультрафильтр 0 содержит множество /[X] = {/(х) : х € X}. Тогда /(и) = 0.

Доказательство. Пусть /(и) = 0. Тогда существует такое множество в С что в € 0 и 5 € /(и). По определению ультрарасширенпя функции / последнее означает, что для некоторого множества X € и выполнено (Ух € X) /(х) € т.е. /[X] П 5 = 0. Значит, /[X] € 0, что и требуется.

f(u) = (S С В : (VX G u)(zte G X) f (х) G 5}

Замечание 1. Утверждение, обратное к Предложению 1 тоже верно, см. [15], лемма 3.30, однако оно не используется в дальнейших рассуждениях. Для случая А = В = ш оно немедленно вытекает, из нижеследующего Предложения 3.

Теорема 5. Для любого множества А, ультрафильтра и € 0А и функции f : А —А если ¡'(и) = и, то f (х) = х для, всех х из некоторого множества X € и.

Доказательство можно найти, например, в [15], теорема 3.34 или в [14], теорема 9.2.

Для каждой функции / : Аа —В ее ультрарасширение / : (РА)п —@В определяется рекурсией по п. Напомним, что каждая нуль-местная функция / : А —В отождествляется с некоторой константой Cf € В. Для каждого натурального числа п > 1, функции / : Ап —В и элемента х € А символом ¡(х) обозначим функцию из множества Ап-1 в множество В, которая получена из функции / фиксированием первого аргумента, т.е. удовлетворяет условию:

1\х)(Х1, . . . , Хп_\) = }(Х,Х1, ..., Хп_\)

для всех х,х1,..., хп-1 € А.

Определение 6. Пусть дана функция f : А—

г. Если п = 0 функция f есть нуль-местная функция, которая отождествляется с константой, равной главному ультрафильтру, порожденному константой с^, т.е. / = [в С В : ч € Б}.

п. Если п > 0; то

!Ы и1,..., ип-1) = [Б С В : (УХ € ио)(Зж € X) Б € /(х)(иъ ..., ига-0}.

Корректность этого определения обоснована в работах [18, 19]. Обоснование сводится к рутинной проверке того факта, что для любых ультрафильтров ио,..., ип-1 € @А множество /(ио, и1,..., ип_1) есть ультрафильтр на Л. Легко проверить, что при п = 1 мы получаем определение, которое эквивалентно определению 5. Равносильные определения см. в [24].

Если в пункте гг. определения 6 поменять местами кванторы произвольности и существования, то определена будет та же самая функция /. Это следует из следующего предложения.

Предложение 2. Пусть и € 0А. Тогда, для, любой теоретика-множественной формулы ф(х) (возможно, с параметрами) выполнено

(УХ € и)(3х € X) ф) & (ЗУ € и)(Уу € У) <р(у)

Доказательство. Пусть формула (УХ € и)(Зж € X) р(х) истинна. Тогда множество [х € А : —р(х)} не принадлежит ультрафильтру и. Значит, ультрафильтру и принадлежит дополнение этого множества, т.е. множество У = [х € А : ^(х)}. Следовательно, истинна формула (ЗУ € и)(Уу € У) <р(у).

Пусть, наоборот, истинна формула (ЗУ € и)(Уу € У) ^(у)- Выберем какое-нибудь множество У € и с условием (Уу € У) ^(у)- В каждом элементе X ультрафильтра и выберем элемент х € X П У. Очевидно, этот элемент удовлетворяет формуле ^>(х). Следовательно, истинна формула (УХ € и)(Зж € X) <р(х). Доказательство окончено.

Предложение 3. Для любого неглавного ультрафильтра и € множества X € и, натурального числа, п и функции f : шп —ш множество

[I (хо,Х1,.. .,хп_1) : хо <Х1 < ... < хп_1 € X} принадлежит ультрафильтру ¡'(и, и,..., и).

Доказательство. Индукцией по п. База индукции (п = 0) очевидна. Пусть п > 0 и предложение верно для всех функций д : шп-1 —ш. Обозначим

3 = {/(хо,%1,..., хп-\) :хо <хг < ... < хп-1 € X}. Для каждого множества У € и выберем произвольный элемент ау € У П X и обозначим х (ау) = {х € X : х > а¥} и в(ау) = {/(ау )(х\,.. .,хп-1) : Х\ < ...< хп-\ € X (ау)}.

Поскольку ультрафильтр и неглавный, каждое из множеств X(ау) принадлежит ультрафильтру и. Поэтому по предположению индукции ультрафильтр /(ау) (и, и,..., и) содержит множество Б(ау), а значит, и множество 5 5 5(ау). Для завершения доказательства остается воспользоваться определением 6.

Для получения наиболее короткого доказательства канонической рамсеевской теоремы мы будем использовать понятие квази-нормального ультрафильтра.

Определение 7. Ультрафильтр и € /Зш называется квази-нормальным, если он неглавный, и для любой последовательности Хо,Х1,... элементов ультрафильтра и существует такой элемент X улътрафилътра и, что для любых г < ] € X выполнено ] € Х^.

В монографии [14] (теорема 9.6) можно найти много различных характеризаций квази-

и

ко тогда, когда он селективный, тогда и только тогда, когда он минимальный относительно предпорядка Рудин-Кейслера, и т.д. Из этого вытекает, что квази-нормальные ультрафильтры на ш существуют в предположении истинности континуум-гипотезы (а также некоторых других предположений, включая аксиому Мартина), см., напр., [2].1

Для удобства рассуждений мы будем использовать следующее техническое предложение.

Предложение 4. Пусть и есть квази-нормальный ультрафильтр на ш, У € и, и для, каждого элемента, у € У задано множество Ху € и. Тогда, существует такое множество ^ С ш, что

1. г € и,

2. г су,

3. для любых г < ] € г выполнено ] € Х^.

Доказательство. Дополним семейство {Ху }у^у до некоторой последовательности {Хг}г£Ш элементов ультрафильтра и. Выберем множество X со свойствами из Определения 7. Очевидно, множество г = X П У удовлетворяет всем необходимым условиям.

2. Свойства квази-нормальных ультрафильтров и новое доказательство канонической рамсеевской теоремы

Для каждого натурального числа п, функции / : шп —ш и множества X С ш мы будем использовать обозначение

^[Х] = {¡(хо, Х1,..., хп-1) :хо <Х1 < ... < хп-1 € X}.

Определение 8. Множество В С Р (А) н^ывается ^ой ультра фильтра и € @А, если В С и, и для каждого множества X € и существует множество У € В, для которого У С X.

1Однако, существование селективных ультрафильтров независимо от ZFC, см. [25] или [6].

Теорема 6. Пусть и есть квази-нормальный ультра,фильтр на, ш, п < ш и / : шп —ш. Тогда, множество

[¡¡[X] : X € и} есть база ультрафильтра ¡'(и, и,..., и).

Доказательство. По предложению 3 каждое из множеств /^[Х], X € и, принадлежит ультрафильтру /(и, и,..., и). Поэтому достаточно доказать, что для каждого множества Б € /(и, и,..., и) существует множество X € и, для которого /^[Х] С Б.

Докажем это утверждение индукцией по п. База индукции (п = 0) очевидна. Пусть п > 0 и утверждение теоремы верно для всех функций д : шп_1 —ш. Пусть Б € /(и, и,..., и). Тогда по определению 6 и предложению 2 существует множество У € и для котор ого 5 € /(у) (и, и,..., и) для всех у € У. По предположению индукции для каждого элемента у € У существует множество Ху € и, для которого

¡¡у) [Ху] С Б.

Выберем какое-нибудь множество удовлетворяющее условиям предложения 4. Тогда для любой последовательности х0 < х1 < ... < хп-1 € 2 выполнено [х1 ,х2,... ,хп_1} С ХХ0. Значит,

/(Х0,Х1, . . . , Хп_\) = /(Х0)(Х1,Х2, ..., хп_\) € Б, что и требуется. Доказательство закончено.

Теорема 7. Пусть и есть квази-нормальный ультра фильтр на, ш, X € и, п < ш и I С п. Пусть функции ¡,д : шп —ш выборочно инпективны на множестве X относительно множества I, и имеет место равенство

¡(и, и,..., и) = д(и, и,..., и). Тогда существует такое множество У € и, что

/(хо,Х1,..., хп_\) = д(хо,Х1,..., хп_\) для всех х0 < х1 < ... < хп_1 € У.

Доказательство. Легко проверить, что существует такая функция : ш —что

/(хо,Х1,.. .,хп_1) = р(д(хо,Х1,.. .,хп_1))

для всех хо < Х1 < ... < хп_1 € X. Покажем, что имеет место равенство

/(и, и,..., и) = <р(д(и, и,..., и)).

В силу предложения 1 достаточно показать, что для каждого множества 5 € д(и, и,..., и) множество ^[5] принадлежит ультрафильтру /(и, и,..., и^. Пусть 5 € д(и, и,..., и). Используя теорему 6, выберем множество 2 € и для котор ого д^ [2] С Б. и положим Б' = д^ [2 П X ]. По теореме 6 (или предложению 3) множество 5' принадлежит ультрафильтру д(и, и,..., и), а множество

, Xl, . . . , Хп_ 1 )) : Хо <Х1 < ... < хп_1 € 2 П X} = [/(хо ,Х1,..., хп_1) : хо <Х1 < ... < хп_1 € г П X}

принадлежит ультрафильтру /(и, и,..., и). Значит, множество ^[5] 5 тоже принадлежит ультрафильтру ¡'(и, и,..., и).

Теперь по условию мы имеем

V>(9(u, u,..., u)) = g(u, u,..., u).

По теореме 5 существует такой элемент S" ультрафиль тра g(u, u,..., u), та о <£>(х) = х для всех х £ S". Вновь используя теорему 6, найдем такое множество Y £ u, что g^[Y] С SОчевидно, оно удовлетворяет заключению теоремы. Доказательство закончено.

Замечание 2. Утверждение, обратное Теореме 1, также верно, причем для произвольного ультрафильтра u и функций fug, см, напр. [11]. Однако этот факт, мм не используем в нашей работе.

Теорема 8. Пусть u есть квази-нормальный ультрафильтр на ш. Тогда, для, каждого натурального числа, п и функции f : шп —ш ультрафильтр u содержит такое множество X С ш, что функция f либо постоянна вверх на, множестве X, л,ибо выборочно инъективна вверх на, множестве X.

Доказательство. Докажем теорему индукцией по п. База индукции (п = 0) очевидна. Пусть п > 0, и предположение индукции верно.

По предположению индукции для каждого г £ ш существует такое множество U £ u и такое множество Ii С п — 1, что функция f^) выборочно инъективна вверх на множестве Ui относительно множества Поскольку множество P(п—1) конечно, ультрафильтр u содержит такое множество U, что Ii = Ij для всех i,j £ U. Для простоты будем записывать просто I вместо Ii для некоторого (равносильно, любого) элемента г £ U.

Случай 1: множество V = {х £ ш : f(u, u,..., u) = f(x)(u,..., u)} принадлежит ультра-u

Положим Y = U nV.

Пусть a есть произвольный элемент множества Y. По теореме 7 для каждого элемента у £ Y существует множество X'y £ u, для которого

f(y ,X0,Xl, . . .,Хп-2) = f (у) (хо, Х\, . . .,Хп-2) = f(a)(X0,X\, . . . ,Хп-2) = f(a,Xo,Xl, . . . , Хп-2)

для всех х1 < х2 < ... < хп-1 £ X'y.

Для каждого у £ Y положим Xy = X'y n Uy и выберем множество Z, удовлетворяющее условиям предложения 4.

Покажем, что для всех х0 < х1 < ... < хп-2 £ Z У0 < У1 < ... < уп-2 £ Z выполнены условия

1. f(i ,х0,... ,хп-2) = f (j,X0,..., хп-2) для всех так их i,j £ Z, что г < х0 и j < у0;

2. f(i ,х0,...,хп-2) = f( г, уо,..., Уп-2) ^ Л Xi = yi для ^^^дого такого г £ Z,

что г < ш1п{ж0, у0}.

Действительно, первое из них сразу следует из включения {хо,Х1,..., хп-2} С X[ П X'-, а второе - из включений г С и и {х0,х1,..., хп-2, у0, у1,..., уп-2} С

Остается заметить, что из этих условий следует, что для всех Х0 < Х1 < ... < хп-1 € г, У0 < У1 < ... < уп-1 € г выполнено:

где I' = {i + 1 :i £ I}.

Случай 2: множество V = [х € ш : ¡'(и, и,..., и) = ¡\х)(и,..., и)} не принадлежит ультрафильтру и. Тогда ш \ V = [х € ш : /(и, и,..., и) = /(х) (и,..., и)} € и. Положим У = и П (ш \ V).

Покажем, что для каждого элемента у € У существует такое множество Ху, что

^[К] П ¡¡У)[Х>]= 9.

Для этого выберем любое множество Б, для которого Б € ¡'(и, и,..., и) и ш \ в € ¡\у)(и,..., и). По теореме 6 существуют множества Р^ € и, для которых

Р[Р] С в И /^м С и \ Б.

Очевидно, можно положить Х'у = Р П

Для каждого у € У положим Ху = Х'у П иу и выберем множество 2, удовлетворяющее условиям предложения 4.

Покажем, что для всех хо < х1 < ... < хп_2 € уо < у1 < ... < уп_2 € 2 выполнены условия

1. f (г, хо,..., хп_2) = f (.], уо,..., Уп_2) ^ г = .] для всех таких г, ] € что г < хо и ,] < уо~,

2. f (г,хо,... ,хп_2) = f (г,уо,... ,уп_2) & А хг = Уг для каждого такого г € 2,

ге1

что г < тт[жо, уо}.

Второе из них вновь вытекает из включений 2 С и и [хо,Х1,..., хп_2,уо,у1,..., Уп_2} С Цг-Для доказательства первого допустим, что f (г,хо,... ,хп_2) = f (.],уо,... ,уп_2) для некоторых различных г < хо, ] < уо, и придем к противоречию. Без ограничения общности будем считать, что г < Тогда имеет место включение [], хо,Х1,..., хп_2,Уо, У1,..., Уп_2} С Х[. Значит, /(I, хо,..., хп_2) принадлежит множеству а /(у, уо,..., уп_2) принадлежит

множеству ^[X']. Между тем, эти множества имеют пустое пересечение, что и дает противоречие.

Остается заметить, что из этих условий следует, что для всех хо < Х1 < ... < хп_1 € 2, уо <У1 < ... < уп_1 € 2 выполнено:

/ (хо,х1, . . .,Хп_1) = / (уо ,У1, . . . , Уп_1) & Д Хг = Уг,

Ш"

где I" = [0} и [г + 1 : г € I}. Это окончательно доказывает теорему.

Каноническая рамсеевская теорема Эрдёша и Радо есть очевидное следствие Теоремы 8 (в предположении существования квази-нормального ультрафильтра па ш).

3. Заключение

В работе дано короткое доказательство канонической рамсеевской теоремы с использованием теории ультрафильтров (теорема 8). Оно использует классические результаты этой теории и недавнюю концепцию ультрарасширения функций произвольной арности. Предшествующие доказательству теоремы 6 и 7 публикуются впервые и представляют самостоятельный интерес. В доказательстве использован факт существования квази-нормальных ультрафильтров па ш, независимый от Ъ¥С (и вытекающий, например, из континуум-гипотезы). Остается открытым вопрос, можно ли его элиминировать с сохранением простоты доказательства (сама по себе каноническая рамсеевская теорема, конечно, не требует предположений, выходящих за

рамки ZFC).2 Также остается открытым вопрос о том, можно ли получить короткое «ультрафильтровое» доказательство теоремы 1 из [11], которая является «не-рамсеевской» частью канонической рамсеевской теоремы. Она утверждает, что для каждого натурального числа п > 1 и разбиения V множества [ш]га существует такое конечное разбиение Q множества [ш]2га, что каждое однородное для Q множество X есть конечное объединение множеств канонических для V.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ramsey F.P. On a problem of formal logic // Proc. London Math. Soc.- 1930.- Vol. 30.- P. 264-286.

2. Jeh T. Set theory. The Third Millennium Edition, revised and expanded // Springer.- 2002.769 p.

3. Graham R. L., Rothschild B.L. k, Spencer J.H., Solvmosi J. Ramsey Theory // John Wiley and Sons.- NY.- 1990,- 99 p.

4. Erdos P., Rado R. A combinatorial theorem //J. London Math. Soc.- 1950.- Vol. 25.- P.-249-255.

5. Matet P. An easier proof of the Canonical Ramsey Theorem // Colloquium Mathematicum.-2016,- Vol. 145,- p. 187-191.

6. Halbeisen L.J. Combinatorial Set Theory // Springer Monographs in Mathematics.- London.-2012,- 594 p.

7. Erdos P., Rado R. Combinatorial Theorems on Classifications of Subsets of a Given Set // Proc. London Math. Soc.- 1952,- Vol. s3-2.- № 1,- P. 417-439.

8. Rado R. Note on Canonical Partitions // Bui. of the London Math. Soc.- 1986.- Vol. 18.- № 2,-p. 123-126.

9. Mileti J. R. The canonical Ramsey theorem and computabilitv theory // Trans. Amer. Math. Soc.- 2008,- Vol. 360,- P. 1309-1341.

10. Lefmann H., Rodl V. On Erdos-Rado numbers // Combinatorica.- 1995.- Vol. 15.- 85-104.

11. Polvakov N. L. On the Canonical Ramsey Theorem of Erdos and Rado and Ramsey Ultrafilters // Dokl. Math.- 2023,- Vol. 108,- P. 392-401.

12. Comfort W. Ultrafilters: Some old and some new results // Bull. Amer. Math. Soc.- 1977.- Vol. 83,- P. 417-455.

13. Di Nasso M., Goldbring I., Lupini M. Nonstandard Methods in Ramsey Theory and Combinatorial Number Theory // Springer.- 2019.- 206 p.

14. Comfort W.W., Negrepontis S. The theory of ultrafilters //Springer, Berlin.- 1974.- 481 p.

15. Hindman N., Strauss D. Algebra in the Stone-Cech Compactification. 2nd ed., revised and expanded // W. de Gruvter.- Berlin-N.Y.- 2012.- 591 p.

16. Jeh T. Lectures in Set Theory: With Particular Emphasis on the Method of Forcing // SpringerVerlag.- 1971,- 148 p.

20 теориях, достаточных для доказательства канонической рамсеевской теоремы, см. [9].

406

H. A. B. Map, H. il. rkwiaKOB

17. Polvakov N.L., Shamolin M. Y. On a generalization of Arrow's impossibility theorem // Dokl. Math.- 2014,- Vol. 89,- P. 290-292.

18. Goranko V. Filter and ultrafilter extensions of structures: universal-algebraic aspects // Preprint.- 2007,- 30 p.

19. Saveliev D.I. Ultrafilter extensions of models // Lecture Notes in AICS.- 2011.- Vol. 6521.- P. 162-177.

20. Saveliev D.I. On ultrafilter extensions of models // S.-D. Friedman et al. (eds.). The Infinity Project Proc. CRM Documents 11, Barcelona.- 2012,- P. 599-616.

21. Saveliev D. I., Shelah S. Ultrafilter extensions do not preserve elementary equivalence // Math. Log. Quart.- 2019,- Vol. 65,- P. 511-516.

22. Saveliev D. I. On idempotents in compact left topological universal algebras // Topology Proc.-2014,- Vol. 43,- P. 37-46.

23. Poliakov N.L., Saveliev D.I. On two concepts of ultrafilter extensions of first-order models and their generalizations // Logic, Language, Information, and Computation, Lecture Notes in Computer Science, eds. J. Kennedy, R. J.G.B. de Queiroz, Springer, Berlin, Heidelberg.- 2017.-Vol. 10388,- P. 336-348.

24. Poliakov N.L., Saveliev D.I. On ultrafilter extensions of first-order models and ultrafilter interpretations. Arch. Math. Logic.- 2021,- Vol. 60.- P. 625-681.

25. Wimmers E. The Shelah P-point independence theorem // Israel Journal of Mathematics.-1982,- Vol. 43,- № 1,- P. 28-48.

REFERENCES

1. Ramsey F.P. 1930, "On a problem of formal logic", Proc. London Math. Soc., Vol. 30, pp. 264-286.

2. Jeh, T. 2002,"Set theory. The Third Millennium Edition, revised and expanded", Springer, 769 p.

3. Graham, R. L., Rothschild, B.L., Spencer, J.H., Solvmosi, J. 2015, "Ramsey Theory. 3rd ed", John Wiley and Sons, NY, 99 p.

4. Erdôs, P., Rado, R. 1950, "A combinatorial theorem", J. London Math. Soc., Vol. 25, pp. 249255.

5. Matet, P. 2016, "An easier proof of the Canonical Ramsey Theorem", Colloquium Mathemati-cum, Vol. 145, pp. 187-191.

6. Halbeisen, L.J. 2012, "Combinatorial Set Theory", Springer, London, 594 p.

7. Erdôs, P., Rado, R. 1952, "Combinatorial Theorems on Classifications of Subsets of a Given Set", Proc. London Math. Soc., vol. s3-2, no. 1, pp. 417-439.

8. Rado, R. 1986, "Note on Canonical Partitions", Bui. of the London Math. Soc., vol. 18, no. 2, pp. 123-126.

9. Mileti, J. R. 2008, "The canonical Ramsey theorem and computabilitv theory", Trans. Amer. Math. Soc., vol. 360, pp. 1309-1341.

10. Lefmann, H., Rôdl, V. 1995, "On Erdôs-Rado numbers", Combinatorica, vol. 15, pp. 85-104.

11. Polvakov, N.L. 2023, "On the Canonical Ramsey Theorem of Erdos and Rado and Ramsey Ultrafilters", Dokl. Math., vol. 108, pp. 392-401. *

12. Comfort, W. 1977, "Ultrafilters: Some old and some new results", Bull. Amer. Math. Soc., vol. 83, pp. 417-455.

13. Di Nasso, M., Goldbring, I., Lupini M,. 2019, "Nonstandard Methods in Ramsey Theory and Combinatorial Number Theory", Springer, 206 p.

14. Comfort, W. W., Negrepontis, S. 1974, "The theory of ultrafilters", Springer, Berlin, 481 p.

15. Hindman, N., Strauss, D. 2012, "Algebra in the Stone-Cech Compactification. 2nd ed., revised and expanded", W. de Gruvter, Berlin-N.Y., 591 p.

16. Jeh, T. 1971, "Lectures in Set Theory: With Particular Emphasis on the Method of Forcing", Springer-Verlag, 148 p.

17. Polvakov, N. L., Shamolin M.V. 2014, "On a generalization of Arrow's impossibility theorem", Dokl. Math., vol. 89, pp. 290-292.

18. Goranko, V. 2007, "Filter and ultrafilter extensions of structures: universal-algebraic aspects", preprint, 30 p.

19. Saveliev, D. I. 2011, "Ultrafilter extensions of models", Lecture Notes in AICS, vol. 6521, pp. 162-177.

20. Saveliev, D. I. 2012, "On ultrafilter extensions of models", In: S.-D. Friedman et al. (eds.). The Infinity Project Proc. CRM Documents 11, Barcelona, pp. 599-616.

21. Saveliev, D.I., Shelah, S. 2019, "Ultrafilter extensions do not preserve elementary equivalence", Math. Log. Quart., vol. 65, pp. 511-516.

22. Saveliev, D.I. 2014, "On idempotents in compact left topological universal algebras", Topology Proc., vol. 43, pp. 37-46.

23. Poliakov, N.L., Saveliev, D.I. 2017, "On two concepts of ultrafilter extensions of firstorder models and their generalizations", Logic, Language, Information, and Computation, Lecture Notes in Computer Science, eds. J. Kennedy, R. J. G. B. de Queiroz, Springer, Berlin, Heidelberg, vol. 10388, pp. 336-348.

24. Poliakov, N.L., Saveliev, D.I. 2021, "On ultrafilter extensions of first-order models and ultrafilter interpretations", Arch. Math. Logic, vol. 60, pp. 625-681.

25. WTimmers, E. 1982, "The Shelah P-point independence theorem", Israel Journal of Mathematics, vol. 43, no. 1, pp. 28-48.

Получено: 14.04.2024 Принято в печать: 04.09.2024