О КАНОНИЧЕСКОМ РАЗЛОЖЕНИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КАСАТЕЛЬНОГО РАССЛОЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА СО СВЯЗНОСТЬЮ ПОЛНОГО ЛИФТА Текст научной статьи по специальности «Физика»

Н.А. Осьминина

(ПГПУ им. В. Г. Белинского)

О КАНОНИЧЕСКОМ РАЗЛОЖЕНИИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИВНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КАСАТЕЛЬНОГО РАССЛОЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА СО СВЯЗНОСТЬЮ ПОЛНОГО ЛИФТА

Получено каноническое разложение произвольного инфинитезимального проективного преобразования касательного расслоения второго порядка Т2 (Мп) со связностью полного лифта V .

Пусть Мп _ дифференцируемое многообразие класса Сю, V- линейная связность без кручения, заданная на Мп. На касательном расслоении T2 Мп

связность V индуцирует линейную связность V c, удовлетворяющую условию:

v cXIIY = (V Y (1)

для любых X, Ye F0 (Mn), X11, Y1 - полные лифты векторных полей Xи Y

из Мп в T2 Мп.

Векторное поле Xe (T2(Mn),Vc) порождает в касательном расслоении T2 Мп инфинитезимальное проективное преобразование тогда и только тогда, когда

LXVc(YZ = Ф( Y)Z + $(Z)Y, (2)

где Lx - производная Ли вдоль векторного поля X; Ф - линейная форма

на T2 Мп; Y, Z- векторные поля на T2 Мп.

Выберем на Мп координатную окрестность (U,x'). Тогда в координатной окрестности (n~l(U),(X,Х , X)) векторное поле X можно разложить по векторам натурального репера:

XX = Xd i + Xd. + Xu. (3)

Для нахождения X, X, X будем интегрировать систему дифференциальных уравнений (2). Запишем ее в развернутом виде.

5 в д с~А + Xм д м Г£ + д ВХМ Г Ас + д с Xм ГМ -д МХАГМ =8$ФС + 8£фв, (4)

где ГС - компоненты связности Vе в координатной окрестности расслоения (Т2 Мп)У ); А,В,С,Ме{\,..., п, !,..., п, Т,...,п} = Л.

Будем интегрировать систему уравнений (4) при различных комбинациях индексов {А,В,С} из множества Л. Придерживаемся следующей последовательности. Во-первых, интегрируем (4) при значениях

{У,у,к},{уу,к},{У,у,к},{уу,к} индексов {А,В,С}. Затем придадим индексам

{А,В,С} значения {У,у,к},{У,у,к},{уу,к},{У,у,к}. Далее рассмотрим систему

уравнений (4) при значениях {У,у,к},{у у,к},{У,у,к},{у у,к} индексов {А,В,С}.

Интегрируя (4) при остальных значениях индексов {А,В,С} из множества Л и, учитывая предыдущие результаты, получим условия, накладывающиеся на компоненты тензоров, входящих в каноническое разложение.

Используя лифты И3уЬ,а = 0,1,2, Ь = 1,2, введенные в [1], каноническое разложение произвольного инфинитезимального проективного преобразования касательного расслоения второго порядка со связностью полного лифта можно записать:

X = X11 + У1 + 2° + Рн°у2 + Сн°г' + Он'г2 + Кн'г' + Рн2?2 + дн2Г1 +

(5)

+ (рн'у2У2 + (рн2У2У2 + ^(ггС))н'г'г1 + ^(ггС))н2™2 + (К о С)н2т,

где ГС - след тензорного поля С, (^о С)^ = -1 С Я?, а тензорные поля, входящие в это разложение, удовлетворяют условиям:

(к=VF = ~, Ф=ргх+vtc:,

Фк=р.гХ+\рХх(дкГ:+ГГ)+

+ Хф^кС+V С'г'+С?Я1К + (кя^) ^кр' V р = 0, р„,щу, = 0, г? у = 0, г? у = 0, Г'Я? = 0

(Я = = Е^кЯ-, V (к = 0,

О?-? = 2(Я? = 2в?К' ('Я? = VVСк +

CSRljmk + CkRRsm + CnjRmsk ~ 0 , ^m^s + Цш ~ GmR

Vp + V jPj = -V VX + XmRjm, VkP = VkKj.

Нетрудно показать, что данное разложение единственно.

Список литературы

1. Осьминина Н.А. О некоторых лифтах касательного расслоения второго порядка со связностью полного лифта // Движения в обобщенных пространствах: Межвуз. сб. науч. тр. Пенза, 1999.

N.A. Osminina

ABOUT CANION DISTRIBUNION FREE INFINITESIMAL PROJECT TRANSFORMATION TANGENT BUNDLES 2-ORDER WITH CONNECTION OF COMPLETE LIFT

It is got canion distribution free infinitesimal project transformation tangent bundles 2-order with connection of complete lift.

УДК 514.75

К.В. Полякова

(Калининградский государственный университет)

ТЕНЗОР ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ И АБСОЛЮТНЫЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЕРЕНЕСЕНИЯ

Многомерная поверхность проективного пространства рассмотрена как многообразие касательных плоскостей. Произведена нормализация 2-го рода Нордена. Внесением в дифференциальные уравнения для нормализующего квазитензора X форм коаффин-ной связности получены ковариантный дифференциал и ковариантные производные квазитензора X относительно коаффинной связности. Найдено выражение для внешнего дифференциала от ковариантного дифференциала X. Линейные комбинации компонент объекта коаффинной кривизны, стоящие при внешних произведениях базисных форм в полученных выражениях, образуют тензор, названный тензором параллельности. Его обращение в нуль имеет инвариантный смысл, состоящий в том, что параллельное перенесение нормали 2-го рода является абсолютным, т.е. осуществляется при ее смещении вдоль всей поверхности. И обратно, если параллельное перенесение нормали 2-го рода в коаффинной связности реализуется вдоль всей поверхности, то кова-риантные производные компонент X равны нулю относительно этой связности. Следо-