CC BY
12Таким образом, учет дивергентных слагаемых в энергии упругости ориентации Франка может быть одной из причин возникновения периодических структур в слое лиотропного нематика. Применение этого подхода также может позволить экспериментально определить величину К24 для подобных сред.
Работа поддержана РФФИ, грант № 14-01-00361.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ликин С. А. Структурные превращения в жидких кристаллах. М.: Наука, 1981.
2. Barbero С., Evangelista L. R., Lelidis I. Spontaneous periodic distortions in nematic liquid crystals: Dependence on the tilt angle // Phys. Rev. E. 2003. 67. 051708-1-4.
3. Голованов А.В., Казначеев А.В., Сонин А. С. Ориентационная неустойчивость лиотропного нематика при течении // Изв. РАН. Сер. физ. 1998. 62, № 8. 1658-1661.
4. Голубятников А.Н., Калугин А.Г. О коротких поверхностных волнах в анизотропных жидкостях // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2001. № 1. 42-43.
5. Калугин А.Г., Голубятников А.Н. О равновесной форме капли тематического жидкого кристалла // Тр. Матем. ин-та РАН. 1998. 223. 171-177.
6. Igosheva М., Kalugin A. Capillary waves in nematic liquid crystal // Mol. Cryst. and Liquid Cryst. 2010. 526. 10-17.
7. Калугин А.Г. О роли дивергентных членов в энергии Франка нематических жидких кристаллов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 1. 69-71.
8. Калугин А.Г. О равновесии слоя нематического жидкого кристалла с неоднородной границей // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2015. № 1. 4-7.
9. Folak R.D., Crawford G.F., Kostival B.C., Doane J. W., Zumer S. Optical determination of the saddle-splay elastic constant K24 in nematic liquid crystals // Phys. Rev. E. 1994. 49. R978-R981.
10. Sparavigna A., Lavrentovieh O.D., Strigazzi A. Periodic stripe domains and hybrid-alignment regime in nematic liquid crystals: Threshold analysis // Phys. Rev. E. 1994. 49. 1344-1352.
11. Голованов А.В., Казначеев А.В., Сонин А. С. Концентрационные зависимости вязкоупругих свойств хро-монического нематика // Изв. РАН. Сер. физ. 1996. 60, № 4. 43-46.
12. Голованов А.В., Казначеев А.В., Сонин А. С. Температурные зависимости вязкоупругих параметров нематика в системе дисульфоиндантрон-вода // Изв. РАН. Сер. физ. 1995. 59, № 3. 62-67.
Поступила в редакцию 10.12.2014
УДК 531.1
О ХАРАКТЕРИСТИКАХ ТОЧНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОРИЕНТАЦИИ ПРИ ПОМОЩИ СПУТНИКОВЫХ АНТЕНН
А. А. Никулин1
В статье проводится анализ точности определения ориентации объекта при помощи спутниковых измерений, полученных от разнесенных антенн, в зависимости от взаимного расположения последних.
Ключевые слова: ориентация, фазовые измерения, спутниковая навигационная система, разнесенные антенны.
The article analyzes the accuracy of determining the orientation of an object by means of satellite measurements from spaced antennas, depending on the relative positions of these antennas.
Key words: orientation, phase measurements, satellite navigation system, spaced antennas.
Определение ориентации. Ориентацию твердого тела можно определить как положение одного ортогонального трехгранника Mz (жестко связанного с телом) относительно некоторого опорного. В спутниковой навигации в качестве такой опорной системы координат используется гринвичская система Or], жестко связанная с вращающейся Землей. Переход от одной системы координат
1 Никулин Алексей Андреевич — асп. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: alexeynikulin.msuQgmail.com.
к другой будем характеризовать матрицей ориентации В : х^ = Вхх. Здесь х^, хг — координаты одного и того же вектора х в осях От], Мг.
Пусть на объекте установлены две спутниковые навигационные антенны или более. Назовем базовым вектором хг (г € — его условный номер, N — количество базовых векторов) вектор,
соединяющий фазовые центры двух антенн. В осях трехгранника Мг, связанного с телом, постоянные координаты х\ базовых векторов определяются при установке антенн точно, а в гринвичской системе координат оцениваются при помощи фазовых измерений спутниковой навигационной системы с некоторой ошибкой [1; 2, гл. 9; 3]: х^ = х^ + гг.
Можно поставить задачу по определению матрицы В:
[X^ , X^ ,
...] =В-[х1,х1,...] + [г1,г2,...],
(1)
где [х* , х2 ,...], \х\, ж2,...], [г1, г2,...] — матрицы, столбцами которых являются координаты векторов.
Предположим, что имеется начальная оценка матрицы ориентации В', допускающая следующее линейное приближение:
Въ(Е + Р)В', (2)
где (3 — вектор малого поворота, компоненты которого определяют повороты вокруг трех перпендикулярных осей;
" 0 /?3 -/V Ь= -Рз о /?1 . р2 -А 0 _
— кососимметрическая матрица, которая строится по элементам вектора (3. Такая ситуация имеет место, например, при определении ошибки ориентации, полученной при использовании инерциаль-ных датчиков угловой скорости. Таким образом, точность определения ориентации определяется ошибкой оценки вектора (3. Подставляя соотношение (2) в (1), получим линейные уравнения для вектора /3:
г = Н/3 + г, (3)
где
г =
Из уравнения (3) видно, что в задаче оценивания вектора /3 координаты базовых векторов, соединяющих фазовые центры антенн, являются параметрами. В зависимости от количества используемых векторов (ТУ) и геометрии их расположения данная система (3) может быть переопределенной, определенной или недоопределенной.
Оценка точности. Хорошо известная характеристика точности задачи определения ориентации при помощи спутниковых измерений АГ)()Р связана с фазовыми измерениями и разрешением целочисленных неоднозначностей в них [4]. По ней сложно оценить влияние расположения антенн на решение задачи. В работе рассматривается упрощенная постановка, когда известны координаты базовых векторов х^ и ошибки их определения независимы и равноточны, поэтому в случае трех и более спутниковых антенн рассматриваются только независимые базовые векторы. Задача решается в рамках метода наименьших квадратов. Для анализа точности определения вектора (3 на основе модели (3) в зависимости от геометрии расположения антенн используем сингулярные числа. Рассмотрим сингулярное разложение матрицы Н : Н = 113УТ, где 17, V — ортогональные матрицы, а Б — прямоугольная диагональная матрица с сингулярными числами на диагонали. Решение задачи (3) можно записать в виде (3 = VБ+ит(г — г). При умножении г на ортогональные матрицы 17, V норма вектора ошибки оценки (3 не меняется. При умножении на ¿>+ ошибка усиливается с коэффициентами [5]. Минимальным сингулярным числом определяется максимальный коэффициент усиления. Если сингулярное число мало, то часто целесообразным оказывается принять нуль в качестве оценки соответствующей переменной, тем самым понизив порядок оцениваемого вектора. Таким образом, минимальным сингулярным числом определяется точность оценки ориентации.
Сингулярные числа можно определить из условия, что их квадраты удовлетворяют уравнению относительно собственных чисел матрицы НТН. Рассмотрим несколько возможных случаев.
.В^' х^_сс г т] &х1 >1"
, Н = , г =
-и'грГЬ _ „п -1—' «ДУ В>х^
Ес,ли в уравнении (3) используется информация только об одном векторе х1, то сингулярные числа матрицы Н имеют следующие значения:
\х
«3 = 0.
В этом случае матрицу ориентации можно определить с точностью до поворота вокруг вектора х1. Ошибка определения будет пропорциональна ошибке определения вектора в гринвичской системе координат Хц и обратно пропорциональна его длине. В случае двух базовых векторов х1, х2 имеем
= л/Р
.1112
+ Р*
2 112
<52,3= \/0
1^1112
+ ||ж2||2 ± ^(Цал112 + ||ж2||2)2 -4||[ал х х2}\\2)
Если векторы х1, х2 коллинеарны, то одно из двух сингулярных чисел 5з будет равно нулю, задача (3) оказывается недоопределенной и сводится к предыдущему случаю. Изменяя угол между векторами х1, х2, можно показать, что наилучшим с точки зрения обусловленности является такое расположение этих векторов, когда они перпендикулярны.
Когда используется информация о трех и более векторах, то квадраты сингулярных чисел удовлетворяют следующему уравнению:
£
х
\2-з2
5>'|2 £
Е
I2-*2
+
£
г<3
X Xй
Е
I2-*2
У\х\х',хк)
0, (4)
1<]<к
где У(х%,х*,хк) = объем параллелепипеда, построенного на векторах хг, х*, хк.
Среди различных геометрических конфигураций антенн более предпочтительной является та, при которой минимальное сингулярное число принимает наибольшее значение.
Далее рассмотрим некоторые частные случаи использования четырех спутниковых антенн, т.е. когда существуют три независимых базовых вектора. Пусть длина базовых векторов одинакова: ||аа|| = I для всех г. Тогда все сингулярные числа линейно зависят от длины векторов I. Это следует из вида уравнения (4). Если антенны располагать в вершинах правильной треугольной пирамиды, то уравнение (4) можно записать в виде
(12(2 + сов(а)) - з2)2(212(1 - сов(а)) - в2) = 0,
где а угол между боковыми ребрами пирамиды, который может принимать значения от 0 до 120°. Максимальное значение минимального сингулярного числа £з достигается в случае расположения антенн в вершинах правильной прямоугольной пирамиды (рисунок).
Для перпендикулярно расположенных векторов уравнение (4) принимает вид
Зависимость сингулярных чисел от угла а между базовыми векторами (боковыми ребрами пирамиды)
1|2
- ||ж2|
- ||ж3|
— ж
™1||2\
0.
В этом случае изменение длины любого вектора влияет на точность определения только двух компонент вектора малого поворота, т.е. на точность определения поворота вокруг двух осей.
Заключение. На основе значений сингулярных чисел матрицы измерения выполнен анализ влияния геометрии расположения антенн на точность определения ориентации. Приведены соответствующие аналитические оценки.
Аналитически показано, что задача определения ориентации твердого тела решается при использовании минимум трех разнесенных спутниковых антенн с невырожденной геометрией, т.е. когда базовые векторы не являются коллинеарными.
Приведены выражения для вычисления сингулярных чисел на основе информации от двух, трех и более спутниковых антенн. Сформулирован критерий сравнения 1'еометрических конфигураций спутниковых антенн с целью выбора наилучшей.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Козлов А.В. Некоторые методы и алгоритмы определения ориентации при помощи иперциальпых и спутниковых навигационных систем: Канд. дне. М., 2010.
2. Giorgi G., Teunissen P.J.G. GNSS carrier phase-based attitude determination // Recent Advances in Aircraft Technology. Vienna: InTech, 2012. 193-220.
3. Baroni L., Kuga H.K. Analysis of attitude determination methods using GPS carrier phase measurements // Mathematical Problems in Engineering. 2012. Article ID 596396 (http://dx.doi.org/10.1155/2012/596396).
4. Odijk D., Teunissen P.J.G., Amiri-Simkooei A.R. Closed-form ADOP expressions for single-frequency GNSS-based attitude determination // International Association of Geodesy Symposia. Vol. 132. Heidelberg: Springer, 2008. 200-206.
5. Головаn Л.Л.. Парусников H.A. Математические основы навигационных систем. Ч. 2. М.: МАКС Пресс, 2012.
Поступила в редакцию 10.12.2014
УДК 517.977.55:612.76
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
СТАБИЛОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕСТОВ СО СТУПЕНЧАТЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ НА СЕНСОРНЫЕ СИСТЕМЫ ЧЕЛОВЕКА
П. А. Кручинин1
Рассмотрены задачи оптимального управления для модели движения человека в случае выполнения стабилометрических тестов, когда он меняет позу при ступенчатом воздействии. Такая ситуация наблюдается при включении гальванической вестибулярной стимуляции или вибрационной стимуляции проприоцепторов мышц голени. В России распространен стабилометрический тест со зрительным ступенчатым воздействием. Характерной особенностью стабилограмм для этих тестов является наличие отчетливо выраженных на траектории центра давления размаха и перерегулирования. Тестам ставится в соответствие решение задач оптимального управления изменением положения перевернутого маятника, управляемого с помощью момента, приложенного в опорной точке. Рассмотрены задача быстродействия и задача оптимальной стабилизации с квадратичным критерием качества. Проведено сравнение решения оптимальных задач с результатами стабилометрических тестов, что позволяет высказать гипотезу о причине появления отмеченных эффектов.
Ключевые слова: изменение вертикальной позы, стабилометрия, оптимальное управление.
The problem of optimal control is considered for a human motion model in the case of stabilometric tests when the posture of a person changes under a stepwise input action. Such a situation is observed in the case of a galvanic vestibular stimulation or a vibrational stimulation of muscles and tendon proprioceptors. The stabilometric test with visual stepwise action is widespread in Russia. A characteristic peculiarity of the center of pressure (COP) trajectories for these tests is the presence of clearly expressed swing-up and overshoot. The solution of optimal control for the inverted pendulum motion controlled by coupling torque is put in correspondence with the results of such tests. The problems of optimal speed-of-response control and linear-quadratic regulator are considered. The solution of these optimum problems is compared with the results of stabilometric tests, which allows one to state a hypothesis on the reasons of the above effects.
Key words: human postural control, stabilometry, optimal control.
Введение. Для анализа изменения человеком вертикальной позы в различных ситуациях используется ступенчатое воздействие на его сенсорные входы. При выполнении стабилографической
1 Кручинин Павел Анатольевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: pkrucMlmech.math.msu.su.
