О характеристическом свойстве отображений с ограниченным потенциалом градиента Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.54

Б. В. Соколов

О ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОМ СВОЙСТВЕ ОТОБРАЖЕНИЙ С ОГРАНИЧЕННЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ ГРАДИЕНТА

Для некоторого подкласса отображений с ограниченным потенциалом градиента доказывается, что «обобщенный принцип длины и площади» является характеристическим свойством этих отображений.

Основным методом исследования метрических и граничных свойств отображений из классов BLp'a(k), В1?а, как плоских, так и пространственных, является метод, основанный на систематическом использовании неравенств типа «длины и площади» [1-3]. Возникает вопрос: в какой мере этот метод соответствует природе этих отображений? Для отображений с ограниченными интегралами Дирихле доказано [1, 4], что «обобщенный принцип длины и В1Т \к), ВВ* “ площади» является характеристическим свойством этих отображений. Аналогичный результат имеет место для пространственных гомеоморфизмов шара с ограниченным потенциалом градиента [5]. В данной статье мы распространяем соответствующее утверждение на ACL-гомеоморфизмы областей класса К, [6].

Пусть В" - евклидово и-мерное пространство, xeR", x = (xi,x2,...,^)U|=(x12 + x2+... + x2)w;B-шар |х|<1;5 -его граница в /?. Если D - область в пространстве I?, то через 3D и D обозначим соответственно границу и замыкание области D в F?. Пусть

D,(y)={xdD:\x-y\<r},

Sr (y)={xeD:\x-y\=r}.

Область Del? называется жордановой, если ее граница 3D гомеоморфна (п - 1)-мерной сфере пространства I?. Область D называется односвязной, если любую замкнутую жорданову кривую, лежащую в D, непрерывным преобразованием можно стянул, в точку.

Можно показать, что каждая компонента множества Sr(y), SJy) * 0 делит односвязную область D ровно на две подобласти. Если aeD, yedD и г< | а - у\, то через d(y, г) обозначим максимальную из компонент множества D \ SJy), не содержащих точку а и имеющих на своей границе точку у. Пусть Г/у) - относительная граница области d(y, г) в D.

Определение 1. Пусть Del? - ограниченная односвязная жорданова область. Будем говорить, что область D принадлежит классу областей Кр 0 < у < 1, если выполнены следующие условия:

1) для некоторой точки aeD и каждой точки yedD существуют такие числа с(у,у) >0ир,0<р< р(а, 3D), что

ds

гг о-)РТ (*> dD)

^c(Y,y>r"-1-T,Vr6(0,P),

где р(дг, 3D) - евклидово расстояние от точки х до границы области 3D\ ds - элемент площади сферы;

2) существует натуральное число N такое, что для почти всех ге(0, Р) любые две точки х’, х"€ГДу) можно связать на Г,(у) цепочкой сферических кругов Ки Къ ..., Кт в том смысле, что К,еГДу), K,r\K,+i * 0 для /=1,2, \ух'еК\,х!'еКт и m<N.

Если SJy) = ГгО) и коэффициент с(у,у) равномерно ограничен по у е 3D, то будем говорить, что область D принадлежит классу К°.

Теорема 1. Класс К° не пуст; шар Be К°, Vye(0, 1).

Доказательство. Очевидно, что условие 2) определения 1 для шара В выполнено. Проверим условие 1).

Пусть г, фь q>2,..., ф„_ 1 - координаты точки хеВ в сферической системе координат с центром в произвольной точке yeS, причем угол <pi отсчитывается от направления

Оу , 0 < ф! < 71/2, <!>;€ [0,2я), / ■= 2,3,..., п -1.

Легко видеть, что еслиxeSjy) = {хеВ: |х-у | = г}, то <pi€[0, \р), где г)/ = v|/(r) таково, что

U(r, ф, Фг. •••, <P»-i) I = 1 и 0 < \|/ < тг/2.

Так как при геф, 1) функция

1*0-, V. Фг.ф»-112= 1 +r2-2rcos<p,

выпукла по 9>ie[0, \р) и cosxp = г/2, то при 0 < ср/ < ф(г)

|x(r,y,<p2 ,..,ф„_, )|2<(1-г)2+^-г<2-г^(г,ф,). Поэтому, полагая t = 1 - y[g, получим

f flk

s, <x)Pr

■ f

s,(x)(l-kl)T

<(2лГ1г',-'х

od-V7)T

= (2 лГ'г

-2Ji-x

r(2-r)

что и требовалось доказать.

Замечание 1. Легко видеть, что если область Del? представима как объединение конечного числа шаров из Л”,то D е Ку.

Определение 2. Функцию к(()'Ф> оо)-»[0,+оо) будем называть ядром, если она удовлетворяет следующим условиям:

1) k(t) непрерывна, не возрастает и lim k(t) = <»;

2) \k(t)tn-'dt<oo. о

Определение 3. Будем говорить, что отображение f.D-*I?,f= ..../„[принадлежит классу BLfca(k),

1 < р < оо, ае(- оо, ао), если / непрерывно в области Del? и имеет в D первые обобщенные производные 3f,/ Зхр i, j = 1, 2, ..., п в смысле С.Л. Соболева, для которых

(/.*>£)= К (/,*>Р“ (x,3D>*(|x-y|)^<A/<oo

D

для всех точек yeD, где

Л(/,х)=

i:(rw

1/2

21

ядро k(t) удовлетворяет условию p~'dt= оо.

о

Назовем отображение f.D->F" отображением с ограниченным потенциалом градиента, feBLpa(k), если feBIJjf(k) в D при каком-либо конечном М

При надлежащем выборе ядер k(t) классы BLP’ а(к) включают в себя ограниченные квазиконформные отображения и отображения с ограниченными интегралами Дирихле [3]. Мы опираемся на следующее утверждение, представляющее собой модификацию хорошо известного неравенства [2].

Теорема 2. Пусть

и пусть Г, = Гг(у), yedD, 0 < г, й г < r2 < р(a, D). Тогда для почти всех гб[гь г2]

®' (/,Г, )<Crp"-”~a /Л' (/,*)р“ (x,dD)ds,

г,

где и (f, Гг)- колебание отображения / на множестве Г„ постоянная С = С(п, р, а, у, у).

Следствие 1. Если MJ) - измеримая неотрицательная почти всюду на (0, 1) функция, то в условиях и обозначениях теоремы

Г" (x,dD)k{\x-y\)dx,

<•! Г Dnrl

ГДе D« = Urr-

Пусть ядро k(t) таково, что для некоторых чисел а, (3, а£0, 0<Р<лГ_а^Л(О^^”р-Тогда имеет место следующая Теорема 3. Пусть/- ACL-гомеоморфизм области DaRI" класса Ку (0 < у < 1) на ограниченную область G<zR". Тогда следующие условия эквивалентны:

1) fBBLp'\k), + а>0, 0<у<1;

2) найдется аддитивная функция множества Ф(ЕУ), заданная на подмножествах UcD, такая, что Ф (1У)< оо, и

для любой подобласти D = [Jr, существует

"К'Т'г )

ф(вгг )

ге |г,, г21, при котором а р (/, Г,- ) < г,'г .

гг р-гх р

Это утверждение можно доказать с помощью неравенства (1), используя схему доказательства теоремы 2 [5] для ACL-гомеоморфизмов шара.

Замечание 2. Условие k(t) < t ~ р(0 < Р < п) можно заменить условием на функцию множества Ф:

jC>'(jr)A( |jc —jc0 |)т&«» для почти всех Хое£>.

D

ЛИТЕРАТУРА

1. Суворов Г.Д. Обобщенный «принцип длины и площади» в теории отображений. Киев: Наукова думка, 1985.

2. Овчинников И.С., Суворов ГД. Преобразования интеграла Дирихле и пространственные отображения // Сиб. маг. ж. 1965. Т. 6, № 6. С. 1292-1314.

3. Куфарев Б.П., Соколов Б.В. О соответствии границ при отображениях шара // Метрические вопросы теории функций и отображений. Киев: Наукова думка, 1975. Вып. 7 С. 93-104.

4. Иванов О.В. Характеристическое свойство отображений класса BLnl И Сиб мат. ж. 1978. Т. 19, № 6. С. 1403-1405.

5. Соколов Б.В. Характеристическое свойство отображений с ограниченным потенциалом градиента // Актуальные проблемы современной математики. Т. 4. (в печати).

6. Куфарев Б.П., Соколов Б.В. О граничном соответствии при отображениях областей из R" // ДАН. 1978. Т. 243, № 3. С. 568-571.

Статья представлена лабораторией математического анализа научно-исследовательской части Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 25 октября 1999 г.

22