CC BY
5Решетневские чтения. 2018
УДК 519.45
О ГРУППАХ С ТОЧКАМИ
В. И. Сенашов
Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31 Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 Е-mail: [email protected]
Определение точки в группах с условиями конечности введено В. П. Шунковым. Мы приводим обзор результатов исследований по группам с точками. Исследования могут быть использованы при кодировании информации при сеансах космической связи.
Ключевые слова: группа, инволюция, условие конечности, точка, система подгрупп.
ON GROUPS WITH POINTS
V. I. Senashov
Reshetnev Siberian State University of Science and Technology 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation Institute of Computational Modelling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation Е-mail: [email protected]
Definition of point in the groups with finiteness conditions introduced by V. P. Shunkov. We present a survey of the results of studies on groups with points. Studies can be used to encode information during sessions of space communications.
Keywords: group, involution, finiteness condition, point, system of subgroups
Точками группы G называются элементы конечного порядка следующего типа:
а) единица - точка в том и только том случае, если множество элементов конечного порядка из G конечно;
б) a - неединичный элемент и для всякой неединичной конечной подгруппы K < G, нормализуемой элементом a, множество конечных подгрупп из NG ^), содержащих a конечно.
Определение точки введено В. П. Шунковым (см., например, [1]).
Исследования могут быть использованы при кодировании информации при сеансах космической связи.
В докладе мы приводим свойства групп, обладающих точками.
Приведем примеры групп, в которых имеются точки.
Конечные группы являются примерами групп, в которых каждый элемент является точкой.
Группа Новикова-Адяна, периодические произведения Адяна конечных групп без инволюций [2], периодический монстр Ольшанского [3] являются примерами групп, в которых каждый неединичный элемент является точкой.
Единичная группа и группы без кручения - группы с единственной точкой.
Группа с конечной периодической частью - группа, в которой каждый элемент конечного порядка является точкой.
Свободное произведение неединичной конечной группы и любой другой неединичной группы - группа с бесконечным множеством точек.
Никакая группа не может содержать одновременно бесконечное множество конечных подгрупп с нетривиальным пересечением, содержащим точку a, и нетривиальную конечную нормальную подгруппу.
Никакая группа не может обладать одновременно бесконечным множеством конечных подгрупп, содержащих точку a, и конечным нетривиальным инвариантным множеством элементов конечного порядка.
Бесконечная черниковская группа не обладает точками.
Напомним, что группа называется черниковской, если она либо конечна, либо является конечным расширением прямого произведения конечного числа квазициклических групп.
Никакая группа с разрешимыми конечными подгруппами не обладает бесконечной локально конечной подгруппой, содержащей точку a.
Никакая группа без инволюций не обладает бесконечной локально конечной подгруппой, содержащей точку. Отсюда вытекает, что никакая группа без инволюций не обладает бесконечной локально конечной подгруппой, содержащей точку.
Прикладная математика
Инволюцией в группе называется элемент второго порядка.
Любое бесконечное множество 3 конечных подгрупп группы G с пересечением T = ^ H, где i -
He3
инволютивная точка, почти целиком (за исключением, быть может, конечного числа) состоит из подгрупп, изоморфных группам Фробениуса с дополнениями, содержащими T , или группами типа SZ (Q),
SL2 (Q), где Q - поле характеристики два, T = РХ(с)
и Р - некоторая силовская 2-подгруппа таких подгрупп.
Библиографические ссылки
1. Шунков В. П. Mp -группы. М. : Наука, 1990. 180 с.
2. Адян С. И. Проблема Бернсайда и тождества в группах. М. : Наука, 1975. 335 с.
3. Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группе. М. : Наука, 1989. 348 с.
References
1. Shunkov V. P. Mр -gruppy [Mp -groups]. Moscow,
Nauka Publ., 1990. 180 p.
2. Adyan S. I. Problema Bernsayda i tozhdestva v gruppakh [The problem of Burnside and identity in groups]. Moscow, Nauka Publ., 1975. 335 p.
3. Olshansky A. Yu. Geometriya opredelyayushchikh sootnosheniy v gruppe [Geometry of defining relations in a group]. Moscow, Nauka Publ., 1989. 348 p.
© Сенатов В. И., 2018
