CC BY
32
УДК 372.851 Д. А. Кириллова
О ГРАФИЧЕСКОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ
Современный Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования предполагает ориентацию на личностные, метапредметные и предметные результаты образования. По степени значимости для успешности ученика в жизни метапредметные результаты превалируют над предметными, но в настоящее время нет достаточно прозрачных методик их формирования, а также средств оценки качества их достижения. Цель работы — исследовать возможности графического метода решения текстовых задач как способа формирования метапредметных результатов образования. Решение текстовых задач играет ключевую роль в осознании того, что математика не является наукой, оторванной от реальной жизни. Всякую формулу можно наполнить жизненным содержанием, и, наоборот, изучая реальные явления, можно описывать их математическими моделями. Исследование взаимосвязей разных разделов математики, в частности, графической иллюстрации, геометрических образов и алгебраических выражений учат школьников мыслить «объёмно», понимать взаимопроникновение различных понятий не только в области математики, но и в других предметных областях. Как показал опыт, ученики, освоившие графический метод, в дальнейшем показывают лучшие результаты не только в учебной деятельности. Они чаще принимают участие в конкурсах учебных исследований в разных предметных областях, успешно проходят конкурсный отбор в образовательные учреждения высшего образования. Графический метод решения текстовых задач способствует интеллектуальному и творческому развитию учащихся. Этот метод позволяет раскрыть не только связь между реальными процессами и математическими формулами — их моделями, но и позволяет шире смотреть на задачи, возникающие как в учебной практике, так и за пределами школьной парты.
Ключевые слова: текстовая задача, метапредметные результаты обучения, графический метод решения.
DOI: 10.24412/2227-1384-2020-4-75-83
В основе современного Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования (ФГОС ООО) лежит систем-но-деятельностный подход, который предполагает ориентацию на результаты образования (личностные, метапредметные и предметные). Планируемые результаты освоения образования выделены в примерной основной образовательной программе основного общего образования (ПООП ООО) и представлены подгруппами универсальных учебных действий.
Метапредметные результаты образования включают в себя, в частности, овладение обучающимися межпредметными понятиями и уни-
Кириллова Дина Александровна — кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры информационных систем, математики и прававой информатики (Приамурский государственный университет имени Шолом-Алейхема, Биробиджан, Россия); e-mail: dina_kir_03@mail.ru.
© Кириллова Д. А., 2020
75
версальными учебными действиями, а также способность их использования как в учебной, так и в познавательной и социальной практике. Исследованию компонентов содержания обучения математики и видов познавательной деятельности, которые носят метапредметный характер, то есть являются основой для формирования универсальных учебных действий, посвящены, например, работы [4; 7; 10; 12; 16].
Говоря об иерархии результатов обучения по степени значимости для успешности ученика в жизни, мы можем сказать, что метапредметные результаты превалируют над предметными. В то же время учителю-предметнику понятно, как достичь предметных результатов, но остаётся открытым вопрос: каким образом достигаются метапредметные результаты обучения. Возможностям подготовки будущих учителей математики к применению метапредметных технологий обучения посвящены работы [3; 13 — 15]. В настоящее время наличие проблемы обусловлено противоречием между необходимостью готовить на уроках математики учеников к решению жизненных задач и недостаточным пониманием учителей, как, решая математические задачи, добиться этого. В связи с этим зачастую ученики воспринимают математику как науку, не связанную с реальной жизнью.
Для формирования метапредметных результатов образования интерес представляют такие содержательные компоненты учебного предмета «Математика», посредством которых можно формировать схемы мышления и действий, которые позволят учащимся овладеть:
- навыками переработки информации, сопоставления и анализа фактов;
- способами определения проблем в стандартных и нестандартных ситуациях;
- навыками нахождения альтернативного решения;
- способностью задавать вопросы и формулировать гипотезы, определять цели, планировать, выбирать способ действий, контролировать, анализировать, корректировать свою деятельность.
Применение графиков функций к решению текстовых задач является эффективным средством достижения в основном двух метапредметных результатов образования.
1. Умение создавать, применять и преобразовывать знаки и символы, модели и схемы для решения учебных и познавательных задач.
Ключевая идея заключается в том, что всякая формула в математике имеет практическую интерпретацию. Эта идея чётко прописана во ФГОС ООО: «Изучение предметной области „Математика и информатика" должно обеспечить: осознание значения математики и информатики в повседневной жизни человека; формирование представлений о математике как ... универсальном языке науки, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления» [8].
Любое буквенно-числовое выражение, формула, уравнение или функция являются описанием какой-то реальной ситуации. Например,
76
глядя на запись у = 200х + 5, можно увидеть не только линейную функцию или линейное уравнение с двумя неизвестными, но и реальный сюжет. Это человек задумался у банкомата над тем, сколько наличных ему надо снять для покупки конфет (так уж случилось, что в магазине, где продаются его любимые конфеты, нет безналичного расчёта). В этом уравнении: 200 — стоимость одного килограмма конфет в рублях, х — вес планируемой покупки в килограммах, 5 — стоимость пакета в рублях (да, пакет он с собой не взял, а конфет надо купить немало), у — минимальная сумма, которую ему надо иметь, чтобы оплатить покупку.
Решение сюжетных задач играет ключевую роль в осознании этой идеи [2; 5; 9]. Никак иначе невозможно объяснить, что формулы могут быть наполнены жизненным содержанием. Формализация условия текстовой задачи приводит к появлению уравнения, системы уравнений или неравенств, функции или системы функций, графической иллюстрации, что способствует формированию таких универсальных учебных действий, как умения:
- создавать абстрактный образ предмета и / или явления;
- строить модель на основе условий задачи и / или способа её решения;
- переводить информацию из графического или формализованного (символьного) представления в текстовое и наоборот.
2. Умение самостоятельно планировать пути достижения целей, в том числе альтернативные, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач.
Основная идея в том, что у любой математической задачи есть несколько способов решения. Математика как наука имеет множество подразделов, при этом они не являются изолированными друг от друга, они взаимопроникают друг в друга, что позволяет изучать одни и те же объекты с помощью разных математических инструментов. Например, можно сказать, что у = 200х + 5 есть аналитическое задание линейной функции, и говорить о её свойствах (области определения, монотонности и так далее), а можно сказать, что это уравнение описывает прямую на плоскости с заданной на этой плоскости декартовой системой координат. Можно исследовать положение этой прямой относительно координатных осей, а дописав уравнение ещё одной прямой у = 200х, можно говорить об их взаимном расположении на плоскости. Связь этих двух подходов можно сформулировать так:
- геометрической иллюстрацией такого понятия из математического анализа, как линейная функция, является прямая, что приводит к понятию «график функции»;
- алгебраически геометрический объект — прямая — может быть описан линейным уравнением, что приводит к понятию уравнения прямой на плоскости.
77
Овладение учащимися графическим методом решения текстовых задач способствует формированию таких универсальных учебных действий, как умений:
- обосновывать и осуществлять выбор наиболее эффективных способов решения учебных и познавательных задач;
- выбирать из предложенных вариантов и самостоятельно искать средства / ресурсы для решения задачи / достижения цели.
Часто решение задач графическим методом приводит к необходимости использования и геометрических фактов. Проиллюстрируем взаимосвязь геометрического, алгебраического и графического взгляда на одно и то же явление — равномерное движение.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C . На рисунке 1 обозначены стороны треугольника стандартно a, b , c и острый угол а .
Рис. 1. Прямоугольный треугольник
ABC
По определению тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике можно выписать соотношение:
a
tga = -.
b
(1)
Если теперь в этом же треугольнике катет ВС обозначить буквой Я,
$
а катет АС — буквой t, то правая часть равенства (1) примет вид у, что
наталкивает на мысль о формуле, связывающей скорость V, время t и
расстояние Я при равномерном движении:
$
V = 7' (2)
Рис. 2. Геометрическая иллюстрация, связывающая скорость, расстояние и время при равномерном движении
78
То есть геометрической иллюстраций равномерного движения является прямоугольный треугольник, в котором тангенс острого угла представляет собой скорость движения, противолежащий катет этого острого угла — расстояние, а прилежащий катет — время движения.
Формула (2) даёт алгебраическую модель равномерного движения. Её можно переписать иначе, выражая одну из трёх характеристик:
V = —, 5 = V • г, г = — .
г V
Полагая в каждой из трёх формул одну из характеристик известной постоянной, получим шесть различных функций (четыре линейных и две обратные пропорциональности), выражающих зависимость между двумя оставшимися переменными характеристиками:
V = ^, 5 ^ г, г =
г V
V = — • 5, 5 = г0 • V, г = — • 5 .
г о ^
Строя графики этих функций, получаем графические модели равномерного движения.
Достижение указанных выше метапредметных результатов обучения реализуется посредством таких предметных результатов изучения предметной области «Математика и информатика», как:
- овладение системой функциональных понятий, развитие умения использовать функционально-графические представления для решения различных математических задач, для описания и анализа реальных зависимостей;
- использование свойств функций и их графиков при решении задач из других учебных предметов;
- умение иллюстрировать с помощью графика реальную зависимость или процесс по их характеристикам;
- овладение основными методами решения сюжетных задач: арифметическим, алгебраическим, перебором вариантов, геометрическим, графическим, умение применять их в новых по сравнению с изученными ситуациях;
- умение конструировать и исследовать функции, соответствующие реальным процессам и явлениям, интерпретировать полученные результаты в соответствии со спецификой исследуемого процесса или явления;
- умение выбрать оптимальный метод решения задачи и осознавать выбор метода, рассматривать различные методы, находить разные решения задачи, если возможно.
С помощью графиков функций рационально решаются задачи, в которых описывается некоторый непрерывный процесс: движения, работы, заполнения зала зрителями, горения свечи и т. д. В школьных задачах, как правило, описываются процессы с постоянной скоростью их
79
протекания. Поэтому, независимо от вида процесса, его характеристики (скорость протекания процесса, время — продолжительность процесса, результат процесса — пройденный путь, вспаханная площадь поля, выполненная работа с необозначенным содержанием и т. д.) связаны линейной зависимостью, что приводит к необходимости исследования линейной функции и построению её графика [6]. Несмотря на очевидную связь между реальными процессами и математическими функциями, учащиеся редко встречаются на уроках математики с моделированием непрерывных процессов в виде функции, чаще они сталкиваются с такими задачами на уроках физики. Это увеличивает разрыв между реальными жизненными явлениями и математическими понятиями.
В течение 2017—2020 годов на базе Приамурского государственного университета имени Шолом-Алейхема был реализован ряд образовательных программ для школьников Еврейской автономной области. В рамках этих программ проводилось обучение графическим методам решения текстовых задач. Как показал опыт, ученики, освоившие графический метод, в дальнейшем показывают лучшие результаты не только в учебной деятельности. Они чаще принимают участие в конкурсах учебных исследований в различных предметных областях, успешно проходят конкурсный отбор в образовательные учреждения высшего образования.
В настоящее время отсутствуют технологии, позволяющие точно определить уровень сформированности метапредметных результатов образования. В качестве средства оценки метапредметных результатов образования может выступать, например, специализированная олимпиада по математике [6]. Говоря о вопросах поиска технологий мониторинга метапредметных и результатов освоения учебных дисциплин, можно отметить работу [11], которая посвящена определению подхода к мониторингу универсальных учебных действий обучающихся на уроках математики в 7—9 классах и созданию его надёжных средств.
Графический метод решения текстовых задач способствует интеллектуальному и творческому развитию учащихся. Этот метод позволяет раскрыть не только связь между реальными процессами и математическими формулами — их моделями, он позволяет шире смотреть на задачи, возникающие как в учебной практике, так и за пределами школы. Учителя математики уделяют этому методу недостаточно внимания, аргументируя это тем, что он плохо понимается учениками. Хотя логическая цепочка обратная: графический метод решения задач ученики не понимают, потому что ему уделяется мало внимания.
Список литературы
1. Арефьева И. Г. Математика. Минск: Аверсев, 2008. 253 с.
2. Егупова М. В., Мошура Ю. В. О роли задач на приложения математики в достижении метапредметных образовательных результатов / / Наука и школа. 2019. № 2. С. 80-88.
80
3. Жук Л. В. Методика формирования готовности будущих учителей математики к применению метапредметных технологий обучения / / Научно-педагогическое обозрение. 2018. № 1. С. 135-141.
4. Корчажкина О. М. Метапредметное содержание образования во ФГОС общего образования / / Педагогика. 2016. № 2. С. 16-24.
5. Ларина Г. С. Анализ практических задач по математике: теоретическая модель и опыт применения на уроках / / Вопросы образования. 2016. № 3. С. 151-168.
6. Одоевцева И. Г., Кириллова Д. А. Олимпиада по математике как средство оценки метапредметных результатов образования / / Перспективы развития математического образования в Твери и Тверской области: сб. науч. тр. научно-практ. конф. (18 февраля 2017 г., г. Тверь). 2017. Т. 2. С. 52-54.
7. Панкова О. А. Возможности учебного предмета математика для достижения метапредметных результатов освоения основной образовательной программы начального общего образования// Педагогические науки. 2019. № 3. С. 28-34.
8. Приказ Министерства образования и науки Российской Федерации № 1897 от 17 декабря 2010 г. «Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования» / / Министерство просвещения Российской Федерации: банк документов [Электронный ресурс]. URL: https://docs.edu.gov.ru/document/8f549a94f631319a9f7f5532748d09fa/
9. Рослова Л. О. Формирование метапредметных результатов обучения средствами практико-ориентированных заданий с математическим содержанием // Отечественная и зарубежная педагогика. 2017. № 2. С. 69-78.
10. Тестов В. А. О некоторых видах метапредметных результатов обучения математике / / Образование и наука. 2016. № 1. С. 4-20.
11. Шкерина Л. В., Гаврилюк А. С., Табинова О. А., Шашкина М. Б. Бипредметный мониторинг результатов освоения универсальных учебных действий обучающимися 7 — 9 классов в процессе обучения математике / / Перспективы науки и образования. 2020. № 2. С. 179-194.
12. Chudinsky R., Volodin A. & Bykanov A. Studying the Impact of Contextual Data on the Outcomes of the Individual Educational Achievements of the Fourth-grade Pupils While Assessing the Metasubject Results Obtained at the General Education Institutions of Voronezh Region / / 5th International Conference on Education, Language, Art and Inter-cultural Communication (ICELAIC 2018): Advances in Social Science Education and Humanities Research. 2018. № 289. С. 28-35.
13. Hodanova J. Modern technology implementation in future mathematics teachers training / / 9th Annual International Conference of Education, Research and Innovation: ICERI Proceedings. Nov. 14 — 16. 2016. С. 8010 — 8015.
14. Perminov E. A., Testov V. A. Modelling methodology as the basis for implementation of an interdisciplinary approach in the training of students of pedagogical specialties / / Obrazovanie i nauka-education and science. 2020. № 22 (6). С. 9-30.
15. Petrova H. Formation of metasubject universal skills in students // Pedagogika-Pedagogy. 2015. № 87 (4). С. 533-538.
16. Sergeeva M. G., Sinelnikov I. Yu., Sukhodimtseva A. P. Metasubject abilities development in upper secondary school students as a pedagogical problem // International Conference on Education Environment for the Information Age (EEIA 2017): Eur opean Pr ocee dings of Social and Behavi oural Sciences. 2017. № 28. С. 531-539.
81
•Je -Je -Je
Kirillova Dina A.
ON THE GRAPHICAL METHOD FOR SOLVING PLOT PROBLEMS
(Sholom-Aleichem Priamursky State University, Birobidzhan, Russia)
The modern Federal State Educational Standard presupposes an orientation towards personal, metasubject and subject educational results. For the success of the student in present and future life, metasubject educational results are more important than subject results. But, at present, there are no sufficiently developed methods of their formation, and there are also no means of assessing the quality of achieving metasubject educational results of education. The purpose of the research is to study the possibilities of the graphical method for solving plot problems to achieve metasubject results of education. Solving plot problems helps to understand that mathematics is not a science remote from real life. Any formula can be filled with life content, and, conversely, by studying real phenomena, one can describe them with mathematical models. The study of the interrelationships of different branches of mathematics, in particular, graphic illustration, geometric images and algebraic expressions, help students to think more, to understand the interpenetration of various concepts not only in mathematics, but also in other subject areas. Experience shows that pupils who have mastered the graphic method show better results not only in educational activities in the future. They more often take part in competitions in different subject, and successfully pass competitive selection to educational institutions of higher education. The graphic method for solving plot problems contributes to the intellectual and creative development of pupils.
Keywords: plot task, the graphical method, metasubject educational results.
DOI: 10.24412/2227-1384-2020-4-75-83
References
1. Aref'yeva I. G. Matematika (Mathematics), Minsk, Aversev, 2008, 253 p. (In Russ.).
2. Yegupova M. V., Moshura YU. V. On the role of problems in the application of mathematics in achieving meta-subject educational results [O roli zadach na prilozheniya matematiki v dostizhenii metapredmetnykh obrazovatel'nykh rezul'tatov], Nauka i shkola, 2019, no. 2, pp. 80—88. (In Russ.).
3. Zhuk L. V. Methods of forming the readiness of future mathematics teachers for the use of meta-subject learning technologies [Metodika formirovaniya gotovnosti budush-chikh uchiteley matematiki k primeneniyu metapredmetnykh tekhnologiy obucheniya], Nauchno-pedagogicheskoye obozreniye, 2018, no. 1, pp. 135—141. (In Russ.).
4. Korchazhkina O. M. Metasubject content of education in the Federal State Educational Standard of General Education [Metapredmetnoye soderzhaniye obrazovaniya vo FGOS obshchego obrazovaniya], Pedagogika, 2016, no 2, pp. 16—24. (In Russ.).
5. Larina G. S. Analysis of practical problems in mathematics: a theoretical model and application experience in the classroom [Analiz prakticheskikh zadach po mate-matike: teoreticheskaya model' i opyt primeneniya na urokakh], Voprosy obrazovaniya, 2016, no. 3, pp. 151—168. (In Russ.).
6. Odoyevtseva I. G., Kirillova D. A. Olympiad in mathematics as a means of assessing metasubject results of education [Olimpiada po matematike kak sredstvo ot-senki metapredmetnykh rezul'tatov obrazovaniya], Perspektivy razvitiya mate-maticheskogo obrazovaniya v Tveri i Tverskoy oblasti: sb. nauch. tr. nauchno-prakt. konf. (Prospects for the development of mathematical education in Tver and the Tver region: collection of articles. scientific. tr. scientific and practical. conf.), Tver, 2017, vol. 2, pp. 52—54. (In Russ.).
7. Pankova O. A. Opportunities of the academic subject of mathematics for achieving metasubject results of mastering the basic educational program of primary general
82
education [Vozmozhnosti uchebnogo predmeta matematika dlya dostizheniya metapredmetnykh rezul'tatov osvoyeniya osnovnoy obrazovatel'noy programmy nachal'nogo obshchego obrazovaniya], Pedagogicheskiye nauki, 2019, no. 3, pp. 28—34. (In Russ.).
8. Prikaz Ministerstva obrazovaniya i nauki Rossiyskoy Federatsii № 1897 ot 17 dekabrya 2010 g. «Ob utverzhdenii federal'nogo gosudarstvennogo obrazovatel'nogo standarta osnovnogo obshchego obrazovaniya» (Order of the Ministry of Education and Science of the Russian Federation No. 1897 dated December 17, 2010 "On the approval of the federal state educational standard of basic general education"). Available at: https://docs.edu.gov.ru/document/8f549a94f631319a9f7f5532748d09fa/ (In Russ.).
9. Roslova L. O. ormation of metasubject learning outcomes by means of practice-oriented tasks with mathematical content [Formirovaniye metapredmetnykh rezul'tatov obucheniya sredstvami praktiko-oriyentirovannykh zadaniy s mate-maticheskim soderzhaniyem], Otechestvennaya i zarubezhnaya pedagogika, 2017, no. 2, pp. 69 — 78. (In Russ.).
10. Testov V. A. About some types of meta-subject outcomes of teaching mathematics [O nekotorykh vidakh metapredmetnykh rezul'tatov obucheniya matematike], Obrazovaniye i nauka, 2016, no. 1, pp. 4—20. (In Russ.).
11. Shkerina L. V., Gavrilyuk A. S., Tabinova O. A., Shashkina M. B. Bi-subject monitoring of the results of mastering universal educational actions by students of grades 7 — 9 in the process of teaching mathematics [Bipredmetnyy monitoring rezul'tatov osvoyeniya universal'nykh uchebnykh deystviy obuchayushchimisya 7—9 klassov v protsesse obucheniya matematike], Perspektivy nauki i obrazovaniya, 2020, no. 2, pp. 179 — 194. (In Russ.).
12. Chudinsky R., Volodin A., Bykanov A. Studying the Impact of Contextual Data on the Outcomes of the Individual Educational Achievements of the Fourth-grade Pupils While Assessing the Metasubject Results Obtained at the General Education Institutions of Voronezh Region, 5th International Conference on Education, Language, Art and Inter-cultural Communication (ICELAIC 2018): Advances in Social Science Education and Humanities Research, 2018, no. 289, pp. 28—35.
13. Hodanova J. Modern technology implementation in future mathematics teachers training, 9 th A nn ual In terna tiona I Conference of Educa Hon, Research and Innova Hon: ICERI Proceedings, Nov 14-16, 2016, pp. 8010—8015.
14. Perminov E. A., Testov V. A. Modelling methodology as the basis for implementation of an interdisciplinary approach in the training of students of pedagogical specialties, Obrazovanie i nauka-education and science, 2020, no. 22 (6), pp. 9— 30.
15. Petrova H. Formation of metasubject universal skills in students, Pedagogika-Pedagogy, 2015, no. 87 (4), pp. 533 — 538.
16. Sergeeva M. G., Sinelnikov I. Yu., Sukhodimtseva A. P. Metasubject abilities development in upper secondary school students as a pedagogical problem,
17 European
Proceedings of Social and Behavioural Sciences, 2017, no. 28, pp. 531—539.
* * *
83
