CC BY
7
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 9. Ш 4 (2017). С. 45-54.
УДК 517.957
о глобальной неустойчивости решении
гиперболических уравнений с нелипшицевой нелинейностью
Я.Ш. ИЛЬЯСОВ, э.э. холоднов
Аннотация. В ограниченной области О С Кга, рассматривается гиперболическое уравнение вида
Предполагается, что 1 < а < р < т.е. нелинейность в правой части уравнения
является нелипшицевого типа. Такой тип нелинейности, как правило, вызывает трудности в применении стандартных подходов теории нелинейных дифференциальных уравнений. Дополнительная сложность связана с наличием в уравнении р-лапласиана Др(-) := div(|V(-)|p-2V(-)). В первом результате доказывается теорема о существовании, так называемого, основного стационарного состояния уравнения. Доказательство этой теоремы основывается на методе многообразия Нехари. В главном результате работы, показано, что любое основное стационарное состояние рассматриваемого уравнения является неустойчивым глобально по времени. Доказательство основывается на развитии метода исследования устойчивости решений гиперболических уравнений, предложенного Пеином и Саттингером.
Ключевые слова: устойчивость решений, нелинейные гиперболические уравнения, метод многообразия Нехари, р-лапласиан.
Mathematics Subject Classification: 35J61, 35J92, 35J50
где Q - ограниченная область в Rn с гладкой границей dQ, п > 1, A G R, Др(-) := div(|V(-)|p-2V(-)) - ^лапласиан, 1 < р < Предполагается, что a G (1 ,р), т.е. нелинейность в правой части является нелипшицевого типа. Особый интерес к таким проблемам связан с тем, что они могут обладать решениями с компактными носителями в Q (см. напр. [1-3,5,16] и обзор литературы в них). Однако, несмотря на то, что имеется достаточно большое число работ, посвященных таким решениям, вопрос об их устойчивости для соответствующих нестационарных проблем: параболических, гиперболических, уравнения Шредингера и т.д., изучен в меньшей степени. Основная сложность здесь связана с тем, что присутствие в правой части (В.1) нелипшицевой нелинейности вызывает
Y.Sh. Il'yasov, Е.Е. Kholodnov, On global instability of solutions то hyperbolic équations with non-Lipschitz non-linearity.
©Ильясов Я.Ш., Холоднов Э.Э. 2017.
Поступила 28 августа 2017 г.
Введение
Рассматривается краевая задача Дирихле
(В.1)
трудности в применении методов, основанных на исследовании соответствующих линеаризованных уравнений. Другая трудность заключается в том, что большинство известных результатов о существовании решений с компактными носителями в О, как правило, не конструктивны и носят абстрактный характер, что препятствует в дальнейшем исследованию детальных свойств этих решений таких, как например, устойчивость,
В работах [4,5,8,10], для уравнений с нелипшицевыми нелинейноетями найдены решения с компактными носителями в О, которые, к тому же, являются основными состояниями. Оказывается, что данное дополнительное свойство позволяет получать определённые результаты об устойчивости таких решений, В частности, в работе [4] получены результаты об устойчивости решений (В,1) (при р = 2) типа основного состояния с компактными носителями в О для соответствующей параболической задачи.
Цель данной работы - исследовать устойчивость стационарных решений гиперболического уравнения
'юи = + - 1ь1а-2у, х Е О,
4=0 : = 0,
4=0 = щ
= = 0.
Для этого сначала доказывается существование стационарных решений уравнения (В,2) типа основного состояния. Доказательство этого результата основывается на использовании метода многообразия Нехари, Такой подход позволяет получить некоторые дополнительные качественно-геометрические свойства этих решений, необходимые для дальнейшего, В основном результате, мы доказываем, что стационарные решения типа основного состояния гиперболической задачи (В,2) глобально неустойчивы. Доказательство данного результата основывается на развитии подхода, предложенного в [13,15], для исследования устойчивости решений гиперболических уравнений.
1. Основной результат
В дальнейшем, Ш := Щ^О) обозначает соболевское пространство, которое задается пополнением С^(О) по норме:
Ml = Ц Р.
р* обозначает критический показатель Соболева, который определяется как
п < р,
рп
-, п > р.
п — р
(-, ■) обозначает скалярное произведение в пространстве L2(Q) и различные сопряжения в соответствующих дуальных пространствах, А1 - минимальное собственное значение оператора —Ар с граничными условиями Дирихле, Как известно,
f0 lVulpdx
Ai = inf J0 . 1
\o J0 |u|p dx
Задача (B.l) имеет вариационную форму с функционалом Эйлера-Лагранжа следующего вида:
Фл(и) = Ч |Vu|p dx — А Î |u|p dx + 1 Î lui- dx, u G W. (2)
PJo P Jo a Jо
Мы будем рассматривать слабые решения и\ задачи (В,1), т.е. критические точки функционала (2):
ОиФх(их)(ф) = 0, Щ е (3)
где ОиФ\(и\) - производная то Фреше, Слабое решение и\ задачи (В,1) называется основным состоянием (основным, стационарным состоянием (В,2)), если выполняется неравенство ФлМ < Фл(^л) для любого другого слабого решения т\ е Ш \ 0 этой задачи (В.1).
Мы будем исследовать задачу (В,1) методом многообразия Нехари, Соответствующая минимизационная задача Нехари задаётся следующим образом:
Фл = 1п£{ФлЫ: и е Мх}, (4)
где
= (и е Ш \ 0 : Ф'» := ОиФх(и)(и) = о) (5)
многообразие Нехари, Отметим, поскольку любое нетривиальное решение задачи (В.1) принадлежит N\, a, N\ = 0 при Л < А1; то (В,1) то имеет решений при Л < Ai, кроме тривиального и = 0,
Нашим первым основным результатом является
Теорема 1. Пусть 1 < a < р < дQ является, С1'1 -многообразием с некоторым, 7 G (0,1]. Тогда при всех X > Х1
1. Фл > 0; _
2, существует основное состояние и\ задачи (В.1), при этом, и\ > 0 в Q и и\ G С(Q) при некотором, ¡3 G (0,1).
Замечание 1. Аналогичный результат, в случае р =2, пол,учен в [5].
Следующий функционал
мах) = \f кi2 dx+- i vгdx - - i ieipdX + 1 i ir dX, с G w, с G l2(Q)
2 J n P J n P J n a J n
называется функционалом, энергии задачи (В,2),
Пусть (v0,v\) G W х L2(Q) Следуя работе [13], мы будем называть v(t) := v(t; v°,v1) слабым решением задачи (В,2) на [0,Т], где Т < если оно удовлетворяет следующим условиям:
(10) отображение [0,Т] э t м- v(t) G W непрерывно в слабой топологии, W;
(20) существует отображение [0,Т] э t м- vt(t) G L2(Q) непрерывное в слабой топологии, L2(Q), такое что выполняется, равенство
т,Ф)\Ц = Г (ь.ш) dx, (6)
j ti
при всех t1,t2, 0 < t1 < t2 ^ T и всех ф G L2(Q)-,
(30 ) для, любо го w : [0,T] ^ W, удовлетворяющего сво йствам, (1°), (2°), выполняется равенство
(Vt (t),w(t)) \ I = Г [(vs(s),ws(s))-J11
(|Vw(s)|p-2Vw(s), Vw(s)) + (AKs)|p-2u(s) - lv(s)la-2v(s),w(s))] dx; (7)
(4°) справедливо неравенство
Ex(v(t),vt(t)) < Ех(ь°,ы), V G [0,T]. (8)
Пусть Тт := Тт(v0, v1) G (0, - максимальное значение такое, что при всех Т G (0, Тт) существует слабое решение v(t; v0, v1) задачи (В,2) на [0, Т]. В случае Тт = будем говорить, что соответствующее v(t; v0, v1) является глобальным решением (В,2),
Отметим, из теоремы 1 вытекает, что задача (В,2) обладает глобальным решением, Действительно, слабое решение uA задачи (В,1) является также слабым решением uA(t;uA, 0) = uA задачи (В,2 ) на [0, +œ).
Однако, поскольку уравнение (В,2) содержит нелипшицеву нелинейность, вопрос о том, что обладает ли задача (В,2), при произвольном (v0, v1) G W x L2(Q), слабым решением v(t; v0, v1) с некоторым Тт(v0, v1) G (0, является, насколько нам известно, открытым, В данной работе мы не исследуем этот вопрос.
Мы будем говорить, что слабое решение v\(t; v0, v1) задачи (В,2) является глобально неустойчивым, если для любого е > 0 найдутся такие (w0,w1) G W x L2(Q): ||v0 — w0|^ < e и ||v1 — w1|^2 < e, что будет выполняться одна из следующих альтернатив: 1) задача (В,2) не имеет слабых решений с начальным условием (w0,w1)-, 2) задача (В,2) обладает слабым решением wA(t; w0, w^, то при этом Тт(1щ, w1) < 3) существует глобальное на [0, решение w\(t;w0,w1) задачи (В,2) такое, что
/ |vA(t; v0, v1) — w\(t; w0, w1)|2 dx ^ при t ^ (9)
Jn
Основным результатом данной работы является следующая теорема:
Теорема 2. Пусть 1 < а < р < дП является С1,7-многообразием с некоторым,
7 G (0,1]. Тогда, при всех \ > \1 любое основное состояние uA задачи, (В.1) является, глобально неустойчивым решением гиперболической, задачи, (В. 2).
Замечание 2. В данной, работе не рассматривается, существование основных состояний, задачи, (В.1) с компактными носителями в П. Тем не менее, из доказанной, теорем,ы, 2 вытекает, что если, такие решения существуют, то они являются, глобально неустойчивыми для, (В. 2).
2. Существование основного состояния задачи (В.1) Введём обозначения
Н\(и) := i |Vu|p dx — XÎ |u|p dx, F(u) := Î |u|a dx. Jn Jn Jn
Рассмотрим функционал Нехари,
3>'x(u) := H\(u) + F (u). (10)
Из (1) вытекает, что NA = 0, тогда и только тогда, когда X > Х1. Заметим, что <£x(u) > 0, Vu G ^.Действительно, если u G NA, то H\(u) = —F (u), откуда, учитывая 1< а<
ФаМ = ^^ F (u) > 0. (11)
а
Рассмотрим минимизационную задачу (4). Отметим, что для любого u G Na
Dwu^A(u)(u,u) = (а — p) |u|a dx < 0. (12)
n
Как известно (см. [7,11]), условие (12) является достаточным для того, чтобы любое решение u задачи (4) являлось критической точкой функционала ФД^, Рассмотрим функционал расслоения ( [14])
Ju(r) = Фа(ru), г> 0. (13)
Пусть Н\(и) < 0. Тогда существует единственный корень г* = г*(и) > 0 уравнения
^ (г) = гр-1Нл(и) + га-1Р (и) = 0. (14)
Действительно, учитывая На (и) < 0, находим
i
р — а
При этом, как легко видеть, г*(и) является точкой глобального максимума для Зи(г). Отсюда вытекает, что задача (4) эквивалентна следующей:
ФЛ = 1п£|ФЛ(г*(ь)ь) : 1 = 1, Н\(ь) < 0}, (16)
где
р
-а
Фл(г *(ф) == . (17)
Ра (-H\(v))p-
Доказательство теоремы, 1. Рассмотрим минимизирующую последовательность (vn) задачи (16), т.е.
lim ФЛ(г^) = ФА. (18)
га^+те
Отметим, что ||ira||i = 1, поэтому по теоремам Банаха-Алаоглу и Соболева существует подпоследовательность, снова обозначаемая (vn), тэдсс1я5 что V га —7 w слабо в W и vn —у w сильно в L7(П) при 1 < 7 < р*. Покажем, что w = 0, Предположим противное: пусть w = 0 тогда fQ |vn\p dx — 0 и в этом случае
i \Vvn\p dx -xj | vn\pdx =1 -xj | wra|pdx > 0, (19)
Jn Jü Jü
для достаточно больших п. Но это противоречит условию, что НЛ(vn) < 0 для п = 1, 2..., Следовательно, w = 0, Отсюда и го (11) вытекает ФЛ > 0, Рассмотрим
ип = r*(vn)vn. (20)
Заметим, что r*(vn) ограничена. Действительно, из (15) и, из выше доказанного, следует, что F(vn) ограничен, а НЛ(уп) не стремится к нулю. Отсюда, в силу (15), имеем 0 < С1 < r*(vn) < С2 < где С1, С2 то зависят от п. Следовательно, существует предельная точка иЛ такая, что для некоторой подпоследовательности, снова обозначаемой (ига), выполняется ига — иЛ слабо в W и ига — иЛ сильно в L7(П) при 1 < 7 < р*. Отсюда, из слабой полунепрерывности снизу нормы || • ||1; вытекает
||иЛ11 < liminf 11ига11 = d,
га^+те
Фл (иЛ) < lim inf Фл (ига) = ф ЛИ Ф'лЮ < lim inf Ф'лК) = 0.
га^+те га^+те
Таким образом, если ||иЛ|1 = d, то Ф'Л(иЛ) = 0 ФЛ(иЛ) = фЛ, и иЛ - ненулевая минимизирующая точка (4),
Предположим, что ||иЛ|1 < d, тогда Ф'Л(иЛ) < 0 и ФЛ(иЛ) < фЛ, Покажем, что этого не может быть. Действительно, в этом случае существует i е (0,1) такое, что Ф'Л(£иЛ) = 0, Заметим, т.к. lim^+^j F(ига) — F(иЛ), то мы имеем
- lim Нл(ига) = фл - —F(ил) и lim Нл(ига) = -F(ил).
рга^+те а га^+те
Отсюда
Обозначим
ур уа ур уа
= -Нх(их) + — Р(их) <- 11ш1п£ Нх(ип) + —Р(их) =
р а р п^+те а
1 ТР — 1 1а
Фх - -Р(их)--Р(их) + -Р(их) =
а а
£ ( 1 - *Р У - 1 ^ П/ \ ф х + -+- Р (их).
а
(1 — Тр Та — 1\
т = (— + —)Р ы- (21)
Значения этого функционала на границах следующие
1(0) = (1 - ^ Р(их) < 0, 1(1) = 0.
а
При этом
1'(г) = (-гР-1 + е-1) р(их) > 0, У€ (0,1). (22)
Следовательно, 1(Т) < 0 для 0 <Ь ^ 1 и Фх(Тих) < Фх. Однако Ф'х(Тих) = 0, т.е. Ых € Их. Получили противоречие с определением Фх, Следовательно, действительно их - ненулевая минимизирующая точка (4),
Заметим, что Фх(и) = Фх(|и|), Уи € Ш и, если и € Ых, то и |и| € Ых. Следовательно, |их| также решение задачи (4), т.е. можно считать, что их > 0 на О. Отметим, что по условию граница дО является С ^-многообразием при некотором 7 € (0,1]. Отсюда, применяя стандартную теорию регулярности решений квазилинейных краевых задач [6,12,17], получаем, что их € С1'13(О) при некотором @ € (0,1), Теорема 1 доказана, □
3. Основная лемма
Следующая лемма нам понадобится ниже при исследовании устойчивости решений (В.2). "
Лемма 1. Пусть (ип) последовательноеть в Ш \ 0, такая что Ф'х(ип) < 0 м Ф'х(ип) ^ 0. Тогда, справедливо неравенство
11ш1п£Фх(ип) > Фх- (23)
п^+те
Доказательство. Пусть дана последовательность (ип) С Ш \ 0 такая что Ф'х(ип) < 0 и Ф'х(ип) ^ 0. Запишем данную последовательность в следующем виде: ип = гпуп, где гп = Ци^^ и || ьп]\1 = 1. Поскольку (^ограничена в Ш, то по теоремам Банаха-Алаоглу и Соболева, без ограничения общности, можно считать, что уп ^ V сходится сильно в Ь1 (О) при 1 <7 < р* и уп ^ V слабо в Ш для некоторого V € Ш. Докажем от противного, что V не равняется нулю. Действительно, пусть уп ^ 0 в ЬР(О), Тогда Нх(уп) ^ 1 и Р(уп) ^ 0, Однако, это влечёт
1 Нх(Уп) < Нх(Уп) + га-РР(Ьп) = 1 Ф'х(ип) < 0. (24)
п
п
г п ^ 0, Тогда
Нх(Уп)+ та-РР(Юп) ^ +Ж, (25)
так как Ра(уп) ^ Р(у) = 0, Опять получили противоречие.
Предположим, что гп стремится к бесконечности. Тогда F(ип) = r^F(vn) ^ при п ^ и, так как Нх(ип) + F(ига) ^ 0, то -Нх(ип) ^ при п ^ Отсюда,
Фл(Ип) =(Нх(ип) + ^Ф'дЫ ^ + ГС. (26)
\ pa ) а
Следовательно, неравенство (23) справедливо.
Теперь рассмотрим случай, когда (гп) ограничено и, следовательно, (ига) ограничено. Тогда, как и выше, без ограничения общности, можно считать, что существует предел w такой, что ип ^ w сходится сильно в L7 (П) при 1 < 7 < р* и ип ^ w слабо в W. Рассуждая аналогично предыдущему, можно показать, что w = 0 и Ф'Л^) < 0. Отсюда, если ||ига||1 = ||w||1; то Ф'Л^) = 0 и получаем требуемое Фл(ига) = Фл(w) > Фд.
С другой стороны, невозможна ситуация, когда Ф'л^) < 0. Действительно, пусть Ф'Л^) < 0. Тогда найдется такое t е (0,1), что Ф'л(£и>) = 0. Рассуждая также как и при доказательстве теоремы 1, получаем следующее неравенство:
ФЛ(Ь) < liminf Фл(ига) + 1(1), (27)
где I(t) функция, определённая в (21). Как было показано выше, /(¿) < 0. Поэтому, если liminfra^+^ ФЛ(ига) < Фл, тогда Фд(£ги) < Фд. Однако Ф^(й^) = 0, т.е. iw е Nx. Получили противоречие с определением Фа- □
4. Доказательство глобальной неустойчивости задачи (В.2)
В этом параграфе мы докажем теорему 2. Введём множество
© = {(£,Ф) е (W \ 0) х L2(П) : Ел(£,ф) < фА, Ф'л(£) < 0}. (28)
Заметим, что основное состояние ил лежит на границе множества ©, так как Ех(их, 0) = фЛ, Ф/Л(иЛ) = 0.
( )
мальном интервале [0,Тт), Тт ^ Заметим, (20) влечет, что отображение v(t) слабо абсолютно непрерывно из [0,Т] в L2(H) при любых Т е (0,Тт). Действительно, так как vt(t) слабое непрерывное отображение из [0,Т] в L2(П), то из (6) вытекает неравенство
|<г;&),ф) - <v(t 1),ф)1 < [2l(vs(з),ф)1 dx < max |<t;s(s),0)|(t2 - ti), Vф е L2(n),
Jt i sG[0;T ]
< ( ) , ф) [0 , Т]
абсолютно непрерывно на [0,Т] при всех ф е L2(n).
Лемма 2. Пусть
L( ) = 2( x, ) x Jn
где v(x, t) слабое решение (В.2). Тогда, при всех t е (0,Т), существует производная L(t). Кроме этого, почти всюду на, (0,Т), при Т е (0,Тт), существует L(t) и выполняется равенство
L(t) = 2 I (|^t(t)|2-|V(t)|p + A|w(t)|p-|^(t)|a) dx п.в. на(0,Т). (30)
Jn
Доказательство. Введём функцию P(t, s) = <v(t), v(s)). Так как v(t) слабо абсолютно непрерывная функция из [0,Т] в L2(n), то функция P(t, s) дифференцируема почти всюду по t е (0, Т) и ее (0, Т) , Учитывая, что wt слабо непрерыв на из [0, Т] в L2(n), получаем
из (6), что частные производные —P(t, s) и ~Q~P(t,s) непРеРывны- Отсюда, по свойству
дифференцируемости функции многих переменных вытекает, что функция Р(Ь, в) дифференцируема в точке (Ь, Ь). Таким образом, существует Ь(Ь) и
Ь(Т)= (1Р •'> + 1Р * ->)
з=г
Отметим, что (7) при ф = ь(Ь) дает
(Vа(в)|2 -IV«( в )|Р + Л|г>(8)1Р -IV(в)|а)
Тогда
Ш, у(г))\12 = Г / (м5)|2 - |V^ ( ^ )|Р + лнз)1р-|ф)|а) ¿хйх.
Л1 ¿п
Ь(Ь) - Ь(Ь 1) = 2 Г / ^)|2 - IVг;(з)1Р + Л|г;(з)1Р - |г;(в)|а) ¿хйх. (31)
Отсюда, по абсолютной непрерывности интеграла Лебега вытекает, что Ь(Ь) является абсолютно непрерывной функцией, что влечёт существование производной Ь(Ь) почти всюду па (0,Т) и справедливость (30), □
Лемма 3. Пусть ь(Ь) глобальное решение (В.2) такое, что (г>(0),^(0)) € О. Тогда,
(ь(£), ь^)) € О для всех Ь € [0,
( )
г>(0) = у0, vt(0) = ^ми, что (у0, V-]) € О. Тогда, в силу (8),
Фх(ь(1)) < Е(ь(Ь), ь^)) < Е(Vо, V!) < Фх, У € [0, +ю). (32)
Предположим от противного, что (у(Ь), Ьг(Ь)) покидает область О. В силу (32), это возможно только тогда, когда существует ¿0, такое что Ф/х(^(Ь0)) > 0. Обозначим через Ь1 наименьший момент времени, когда Ф^^ 1)) > 0. Тогда Фл(^(Ь)) < 0 при 0 < Ь < Ь1 и Фл('и(Ь 1)) > 0 Из слабой полунепрерывности нормы || ■ ||1 вытекает
0 < Ф^ь^ 1)) < 11ш1п£ Ф^ь^)) < 0.
Следовательно, неравенство Фд Ь1)) > 0 невозможно. Предположим, что Фд (^(Ь1)) = 0, Тогда ^ € Мх и, следовательно, Фх(у(Ь1)) > Фх. Однако это противоречит (32), Лемма доказана, □
Лемма 4. Если, (ь0, у1) € О и ь(Ь) глобальное решение (В.2), тогда, /п |г>(Ь)|2 ¿х ^ при Ь ^
Доказательство. Рассмотрим Ь(Ь) = /п |г>(Т)!2 ¿х. Тогда по лемме 2, мы имеем Ь(Ь) = 2(у^), у(1))И
Щ = 2[ [ | - [ V (t)|Рdх + Л [ ^ (t)|Рdх - [ \и (t)|аdх) (33)
\Jn ип ип ип /
(0, Т)
- фх«Ь)) = - / |Vг;(^¿х + л( ^(Ь)^ <1х - [ ^(Ь)^ <1х > 0, У > 0. (34)
Откуда следует, что Ь(Ь) > 0 п.в. па (0,Т),
Покажем, что найдётся Ь0 > 0 такое, что будет выполняться Ь(Ь0) > 0, Предположим противное, т.е. Ь(Ь) < 0 для всех Ь > 0. Тогда, поскольку Ь(Ь) > 0 и Ь(Ь) выпукла, то Ь(Ь) должно стремиться к конечному значению при Ь ^ Следовательно,
L(t) ^ А, L(t) ^ 0, L(t) ^ 0 при t ^ для некоторого А е [0, +гс>). Тогда из (33) и (34) мы получаем
lim / |vt(t)l2dx = 0. (35)
п
Отсюда, учитывая, что из (8) вытекает
1 I |vt(t)l2 dx + 1 f |V(t)lpdx - - f |v(t)lpdx + 1 f |v(t)la dx <E(vo, vi),
2 Jn pJn P Jn a Jп
имеем следующую оценку
liminf ФЛ (v(t)) < E(v0, v1). (36)
t^+x
С другой стороны, поскольку L(t) ^ 0 при t ^ то (33) и (35) влечет
ФЛ(v(t))= f |V(t)lpdx - - i \u(t)lpdx + i lv(t)la dx ^ 0. Jn Jn Jn
при t ^ Отсюда, учитывая (34), по лемме 1 получаем
Ит^ФЛ (v(t)) > ФЛ > E(v0, v1).
t^+X
Получили противоположное к (36), Таким образом, действительно, найдётся t0 > 0 такое, что L(t0) > 0,
Учитывая, что L(t) > 0, мы можем записать
i L(s) dx = L(t) - L(t0) > 0. (37)
Jt 0
Тогда
i (L(s) - L(h)) dx = L(t) - L(U) - L(t0)(t - t0) > 0.
Jt 0
Отсюда, поскольку L(t0) > 0, заключаем
L(t)= I lv(t)l2dx >L(t0)(t - U) + L(t0) ^ (38)
Jn
□
Завершение доказательства, теоремы, 2. Пусть иЛ основное состояние (В,1) и е > 0, Будем рассматривать такие г > 1, которые удовлетворяют неравенству |г - 1| < -——.
||иЛ Н 1
Тогда ||иЛ - гил!^ < е. Мы получим доказательство теоремы, если покажем, что для любого глобального решения v(t; v0, v\) задачи (В,2) с начальными условиями v0 = гиЛ, v1 = 0 (при условии существования такого решения) выполняется
lim / |иЛ - v(t; v0, v1)l2 dx = (39)
n
Покажем это. При г > 1, справедливы неравенства
Ел(ГиЛ, 0) < Фл, Ф'Л(ГиЛ) < 0, (40)
означающие, что (гиЛ, 0) е О. Тогда, по лемме 4 мы имеем
/ lv(t; v0, Vi)l2 dx ^ при t^
Jn
что влечет (39), □
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Н. Brezis Solutions of variational inequalities with compact support // Uspekhi Mat. Nauk. 1974. V. 129. P. 103-108.
2. J.I. Diaz Nonlinear Partial Differential Equations and Free Boundaries / / Pitman Research Notes in Mathematics Series. 1985. V. 106.
3. J. I. Diaz On the Haim, Brezis pioneering contributions on the location of free boundaries // Proceedings of the Fifth European Conference on Elliptic and Parabolic Problems; A special tribute to the work of Hai'm Brezis, (M. Chipot et al. eds.), Birkhauser Verlag, Bassel. 2005. P. 217-234
4. J. I. Díaz, J. Hernández, Y. Ilyasov Flat solutions of some non-Lipschitz autonomous semAlinear equations may be stable for N > 3 // Chinese Annals of Mathematics. Series B. 2017. V. 38. No. 1. P. 345-378.
5. J. I. Díaz, J. Hernández, Y. Ilyasov On the existence of positive solutions and solutions with compact support for a spectral nonlinear elliptic problem with strong absorption // Nonlinear Analysis Series A: Theory, Mehods and Applications. 2015. V. 119 P. 484-500.
6. E. DiBenedetto С1+a local regularity of weak solutions of degenerate elliptic equations // Nonlinear Anal. 1983. V.7 No 8. P. 827-850.
7. Y.S. Il'vasov Nonlocal investigations of bifurcations of solutions of nonlinear elliptic equations // Izv. Math. 2002. V. 66. No 6. P. 1103-1130.
8. Y. S. Ilyasov, Y. Egorov Hopf maximum principle violation for elliptic equations with non-Lipschitz nonlinearity // Nonlin. Anal. 2010. V. 72. P. 3346-3355.
9. Y. Il'vasov A duality principle corresponding to the parabolic equations // Phvsica D: Nonlinear Phenomena. 2008. V. 237. No 5. P. 692-698.
10. Y. S. Il'vasov On critical exponent for an elliptic equation with non-Lipschitz nonlinearity // Dynamical Systems, Supplement. 2011. P. 698-706.
11. Y. S. Il'vasov On extreme values of Nehari manifold method via nonlinear Rayleigh's Quotient // Topological Methods in Nonlinear Analysis. 2016. V. 6. P. 1-31.
12. G. M. Lieberman Boundary regularity for solutions of degenerate elliptic equations // Nonlinear Anal. 1988. V. 12. No. 11. P. 1203-1219.
13. L. E. Payne and D. H. Sattinger Saddle points and instability of nonlinear hyperbolic equations // Israel Journal of Mathematics. 1975. V. 22 No. 3. P. 273-303.
14. S.I. Pohozaev On the method of fibering a solution in nonlinear boundary value problems // Proc. Stekl. Ins. Math. 1990. V. 192. P. 146-163.
15. D. H. Sattinger On global solution of nonlinear hyperbolic equations // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1968. V. 30. No. 2. P. 148-172.
16. J. Serrin and H. Zou Symmetry of ground states of quasilinear elliptic equations // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1999. V. 148. No. 4. P. 265-290.
17. P. Tolksdorf Regularity for a more general class of quasilinear elliptic equations //J- Differential Equations. 1984. V. 51. No. 1. P. 126-150.
Явдат Шавкатович Ильясов, Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112, 450077, г. Уфа, Россия E-mail: Ilyasov02@gmail.com
Эмиль Эдуардович Холодное, Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112, 450077, г. Уфа, Россия E-mail: emil.kholod@gmail.com
