CC BY
5Имеет место следующая лемма, определяющая преобразование обобщенного конуса Ко над полукольцом Ор при умножении на (р х р)-матрицу слева.
Лемма 9. Пусть — обобщенный матричный конус над полукольцом Ор и А — (р х р) -матрица. Тогда, множество = АК\ также является обобщенным матричным конусом над полукольцом Бр. В качестве критической статистики для проверки гипотезы (5) против альтернативы (6) рассмотрим
-2 ±.-2
H(X) = q-2 ■ а
proi 1 2Х)
Q
-1
proi i 2I)
T
где проектирование относится к скалярному произведению, определяемому матрицей Q . Заметим, что
след 1г(с[2 • а2 ■ Н(Х)) есть сумма квадратов длин вектор-строк матрицы ргсу _1 поэтому
(£ ^Кв)
в силу лемм 8 и 9, а также результатов, изложенных в работе [3], для 1т(И(X)) имеет место следующая теорема.
Теорема. Пусть X = 2 + М = (х\,...,хп)— (р х п)-матрица, составленная из случайных р-векто-ров, такая, что
уве(Х) ~ д ■ а ■ ХрХп(уве(М)^ 0 Я).
Тогда, статистика 1г(И(X)) обладает, следующими свойствами:
1) при гипотезе (5) для г ^ 0
Р [tr(И(X)) ^ г] < Р [tr(И(2)) ^ г] ;
2) если матричный конус Ко является многогранным, то для г ^ 0
pn
P [tr(H(Н)) ^ r] = di ■ P
i=0
2 m ^ r X2 (l)
где Г (г, к) =0 щи г = 0.
Автор считает приятным долгом выразить благодарность научному руководителю профессору Ю.Н. Тюрину за постановку задачи, ценные обсуждения и постоянное внимание к работе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Kashitsyn P.A. Multivariate model with a Kronecker product covariance structure: S.N. Roy method of estimation // Math. Methods Statist. 2011. 20, N 1. 75-78.
2. Kashitsyn P.A. Multivariate model with correlated observation units // Theory Probab. and Appl. 2011. 56, N 3. 602-606.
3. Тюрин Ю.Н. Проверка конических гипотез // Математика. Механика. Информатика: Тр. конф., посвящ. 10-летию РФФИ. М.: Физматлит, 2005. 289-307.
Поступила в редакцию 03.12.2012
УДК 511
О ГЛОБАЛЬНОЙ И ЛОКАЛЬНОЙ РЕАЛИЗУЕМОСТИ РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ БЕРТРАНА В ВИДЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ
О. А. Загрядский1, Д. А. Федосеев2
В работе исследуется задача реализуемости двумерных римановых многообразий Бертрана, являющихся конфигурационным пространством обратной задачи динамики, как поверхностей вращения, вложенных в R3. Решается также задача локальной реализуемости (вблизи параллели) изучаемых римановых многообразий.
1 Загрядский Олег Александрович — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: grcpozagQmail.ru.
2 Федосеев Денис Александрович — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: denfedexQyandex .ru.
Ключевые слова: многообразие Бертрана, поверхность вращения, гамильтоновы системы.
The problem of possibility to represent two-dimensional Bertrand's Riemannian manifolds being a configuration space of the inverse problem of dynamics as surfaces of revolution embedded into R3 is studied and solved as well as the problem of local readability (near a longitude) of the manifolds under consideration.
Key words: Bertrand's Riemannian manifold, surface of revolution, Hamiltonian systems.
1. Введение. В работе fl] введено понятие римаповых многообразий Бертра,па (см. определение 1 ниже). Они являются двумерными конфигурационными многообразиями без экваторов, гомеоморфными кольцу (0,1) х S1 и инвариантными относительно действия группы O(2), задачи о движении частицы по замкнутым орбитам в центральном поле [1].
Определение 1. Римановым многообразием Берт,ра,на, называется 2-мерное многообразие Sctt ~ Ictt х S1, Ic,t С (-ж, 0) с координатами (O,y mod 2п), оснащенное римановой метрикой
, 2 dO2 dy2
—__I г
u,0ll..r..t //lO , ,/1 ОЧО '
^ {в2 + с - Ьв-2)2 ц,2{в2 + с - М-2)'
где € М, ц > 0 — параметры многообразия. Многообразие Бертрана состоит из кс^ € {1, 2} связ-
ных компонент. Компонента, соответствующая к = 1, называется основной, а соответствующая к = 2 — дополнительной. Дополнительное многообразие существует только при Ь < 0. Многообразия Бертрана образуют трехпараметрическое семейство.
кс ь
Пусть 1с^ = ^¿^к,с,г С М. Интервш! Тс^ имеет следующий вид в зависимости от пары параметров
(с, t) G R2 : (—оо, 0) при t = 0, с ^ 0; у-оо,~c+vf+4t j при t = 0, с < 0; у-оо,~c+vf+4t j при
t > 0; U о) при t < 0, с < (—оо, — \f—t) U (— \f—t, 0) при
t < 0, с ^ -2v^i.
Многообразия Бертрана являются многообразиями вращения, а именно указанная риманова метрика может быть записана в виде
'1 0 ,0 f2(r)/
в координатах (r, ф mod 2п), где r = r(9). Эти координаты связаны с координатами (9,ф mod 2п) следующим соотношением:
_I_-a2f2(r) (1)
de - e2 + c-te-2 } [г)- [ )
Любая окружность вида {$о} х S1,d0 £ Ik, c,и называется параллелью, граничная параллель {в0} х S1 называется полюсом (экватором, абсолютом соответственно), если f (r(90)) = 0 (соответственно f'(r(00)) = 0, f(r(0o)) = Из соотношения (1) получаем, что одна из граничных параллелей любого многообразия Бертрана является полюсом: окружность х S1 — для основного многообразия, {0} х S1 — для до-
полнительного многообразия, а другая граничная параллель — экватором или абсолютом в зависимости от того, выполнены оба неравенства t ^ 0, с > —2y/—t или хотя бы одно из них. При наличии экватора и выполнении условия t < 0 основная и дополнительная поверхности вместе с экватором образуют грушевидную поверхность.
Заметим, что не все многообразия Бертрана являются "настоящими" поверхностями вращения, вложенными в R3. Например, многообразия (So , o,ds2 о о) являются конусами, причем в случае ¡1 < 1 угол при вершине соответствующего конуса больше 2п и он не может быть вложен в R3 как поверхность вращения. Возникает естественная задача — описать множество троек параметров (¡,c,t), таких, что соответствующее многообразие Бертрана может быть реализовано. В случае, когда многообразие не может быть реализовано целиком, возникает вопрос о локальной реализуем,ост,и: указать максимальные подынтервалы Ii С Ic , t, такие, что многообразие Ii х S1 с метрик ой ds, c , t реализуемо как поверхность вращения.
В п. 2 настоящей работы доказывается следующая теорема, анонсированная в [1, следствие 2, п. (В)] (кроме случая t < 0, — 2л/—t < с < 0).
Теорема 1. Верпы следующие утверждения о реализуемости римановых многообразий Бертрама, (Ik,c,t х S1 ,ds2ßct) целиком:
1) дополнительное многообразие не реализуемо никогда;
2) основное многообразие реализуемо тогда и только тогда, когда соответствующая тройка параметров (/i,c,t) принадлежит следующим областям: {р ^ 2, с ^ —2y/—t,t ^ 0},{1 ^ р < 2, с ^ —2л/—t^/h(jl), t ^ 0}, где h € Homeo+((0, +оо), R) — сохраняющий ориентацию гомеоморфизм интервалов, определенный формулой h(p) := ^ "эт/л4^ ^ •
Пункт 3 посвящен проблеме локальной реализуемости многообразий Бертрана и ее полному решению. Полученный ответ согласуется с результатом Ж. Г. Дарбу [2]. Однако Дарбу ограничился случаем р = 1, поэтому в его ответе отсутствуют, скажем, поверхности вращения постоянной гауссовой кривизны (кроме сферы).
Следует отметить, что изучение поверхностей Бертрана (и поверхностей вращения вообще) представляет значительный интерес с точки зрения теории интегрируемых гамильтоновых систем и их инвариантов (подробнее см., например, [3-5]).
2. Глобальная реализуемость римановых многообразий Бертрана. Рассмотрим по очереди различные области изменения тройки параметров (р, с, t) и докажем результаты о реализуемости соответствующих многообразий как поверхностей вращения, вложенных в R3.
Многообразие Бертрана (Ik,c,t, dss, c , t) реализуемо как поверхность вращения, вложенная в трехмерное евклидово пространство, тогда и только тогда, когда на всем интервале изменения в е Ik,c,t выполняется неравенство \f'((г(в)))\ ^ 1. При этом поверхность вращения имеет вид x = f (r)cos^>,y = f(r)sin= g(r), где g(r) = ± J л/l — (f'(r))2dr. В случае, когда указанное неравенство выполнено только на подынтервалах Ii е Ik, c, t, можно говорить о локальной реализуемости данного многообразия Бертрана (см. п. 3).
В силу (1) имеем f'(r) = g^gf = — ^ • Воспользовавшись тем, что в интересующее нас
неравенство входит модуль производной f и на области изменения в функция в2 + c — te-s положительна, получим следующий вид критерия реализуемости многообразия Бертрана:
(в4 + t)s < р2в4(в4 + св2 — t). (2)
Лемма 1. Дополнительное риманово многообразие Бертрана (k = 2) не реализуемо ни при каких значениях параметров (р, с, t). Более того, никакая окрестноеть полюса {0} х S1 в дополнительном многообразии не реализуема.
Доказательство. Дополнительная поверхность Бертрана существует только при t < 0. Но точка в=0
t значение левой части неравенства в точке в = 0 равно ts > 0. Следовательно, в силу непрерывности неравенство (2) нарушается вблизи полюса {0} х SК Лемма доказана. □
Лемма 2. Основное многообразие Бертрана (k = 1) щи t = 0 реализуемо тогда и только тогда, когда р ^ 1,с ^ 0. Более того, при 0 < р < 1 нереализуем,а, любая окрестное ть полюса {—те} х S1; при р = 1, с < 0 нереализуемо, любая окрестность любой параллели; при р > 1, с < 0 нереализуем,а, любая
{— V^c} х S1.
Доказательство. Поскольку интервал изменения в является подынтервалем луча (—те, 0), при t = 0
неравенство (2) приобретает вид
в2(р2 — 1) + ср2 ^ 0. (3)
Рассмотрим случаи:
1) р < 1. В этом случае неравенство (3) нарушается при в ^ —ж и любая окрестность полюса многообразия не реализуема ни при каких значениях с;
2) р = 1. Неравенство (3) принимает вид с ^ 0, поэтому многообразие реализуемо тогда и только тогда, когда с ^ 0;
3) р > 1. В этом случае неравенство (3) всегда выполнено при с ^ 0. Докажем, что при отрицательных значениях с оно нарушается. Заметим, что в этом случае неравенство обращается в равенство при
^ = =: и нарушается при в Е (0_,О). С другой стороны, для рассматриваемых поверхностей
интервал изменения в имеет вид (—оо, — Vх—с). Таким образом, для реализуемости многообразия необходимо и достаточно, чтобы ^ —л/—с. Вычисление показывает, что последнее неравенство не может быть
р. □ Лемма 3. Основное многообразие Бертрана при t > 0 не реализуемо ни при каких значениях пара,-(р, с, t)
Доказательство. Утверждение леммы следует из того, что правый конец интервала изменения в при t > 0 — это корень уравнения в2 + с — te-2 = 0. Отсюда заключаем, что в этой точке правая часть неравенства (2) обращается в нуль, а левая строго положительна. Следовательно, в силу непрерывности
в
не может быть реализовано. □
Лемма 4. Основное многообразие Берт,рана при t < 0, с < —2не реализуемо ни при каких значениях параметра ц > 0. Более того, любая окрестность абсолюта в основном многообразии Бертрана не может быть реализована.
Доказательство. В рассматриваемой области {t < 0, с < —2y/—t} правая часть неравенства (2)
имеет нули на луче (—оо, 0) в точках = ~\j■> ПРИ этом точка 0\ (отвечающая знаку "+"
в
Заметим далее, что левая часть неравенства положительна всюду на луче (—оо, 0), за исключением точки до = —\[—t. Отсюда следует, что если в\ ф во, то вблизи в\ правая часть близка к нулю, а левая близка к значению (в4 + t)2 > 0. Следовательно, в этом случае вблизи абсолюта {ei} х S1 многообразие не реализуемо ни для какого значения ц. Вычисления показывают, что в1 > во. Лемма доказана. □
Лемма 5. Основное многообразие Берт,ра,на при t < 0, с = —2реализуемо как поверхность вращения, вложенная в R3, тогда и только тогда, когда, ц ^ 2. Более того, при 0 < ц ^ 1 любая окрест,-ность любой параллели не может быть реализована, а при 1 < ц < 2 любая окрестность абсолюта в основном многообразии не может быть реализована.
Доказательство. Для римановых многообразий, соответствующих точкам кривой {(с, t) £ R2 | t < 0, с = — 2-^/—t}, неравенство (2) принимает вид
{l-^ + ^i^ + t <0. (4)
Поскольку в рассматриваемом многообразии в2 — y/—t > 0, неравенство (4) может быть переписано следующим образом:
(1 - ц)в2 + v^i < 0. (5)
Рассмотрим случаи:
1) ц < 1. В этом случае при любом в е R левая часть неравенства (5) положительна и неравенство не выполняется. Поэтому вблизи любой параллели {во} х S1 риманово многообразие нереализуемо;
2) ц > 1. Чтобы выполнялось неравенство (5) на всем интервале изменения в, необходимо и достаточно, чтобы отрицательный корень уравнения (1 — ¡л)в2 + у7—t = 0, равный := —^Jбыл не меньше
до = —\[—t (правый конец интервала изменения в). Это условие выполняется в точности для всех /л ^ 2. При 1 < ц, < 2 неравенство (4) нарушается на подынтервале (в-, во). Лемма доказана. □
Лемма 6. Основное многообразие Берт,рапа, при t < 0, с > —2реализуемо в следующих областях
изменения параметров и только в них: {t < 0,1 ^ ц < 2, — 2у7—tл/'^^ cl) {í < 0, /х ^ 2, — 2\/—t <
c}. Более того, при 0 < ц < 1 или ц = 1, c < 0 любая окрестность полюса х S1 не может быть
реализована.
0<ц<1
нереализуемо. Рассмотрим функцию S = 5(в) = (в4 +1)2 — ц2в4(в4 + св2 — t). Критерий реализуемости (2) в терминах функции ¿принимает вид 5(в) ^ 0. Но в случае 0 < ц < 1 имеем 5(в) ^ + го при в ^ —ж, а значит, неравенство нарушается. Более того, заметим, что в случае ц = 1 поведение функции 5(в) при в — го определяется знаком с, а потому при с < 0,ц = 1 многообразие нереализуемо.
Покажем теперь, что для с ^ 0 многообразия реализуются при всех ц ^ 1. С этой целью вычислим производную:
5'(в) = 2в3(4(1 — ц2)в4 — 3ц2 св2 + 2t(2 + ц2)).
Заметим, что в концах а := —оо и b := —\[—t интервала (а, Ь) = (—оо, — t) изменения в выполнены следующие неравенства: 5(a) < 0, 5(b) < 0, 5'(a) > 0, 5(b) > 0. Это означает, в частности, что если на промежутке (a, b) содержится не более одного корня уравнения 5'(в) = 0, то на всем этом промежутке 5(в) < 0. Проверка показывает, что при с ^ 0 имеет место именно этот случай.
Докажем оставшуюся часть леммы. Для этого преобразуем неравенство (2) и приведем его к следующему эквивалентному виду:
/АМ + + х:=в2. (6)
Воспользуемся аналогом вышеприведенного рассуждения: вычислим критические точки функции г(х); поскольку на концах интервала неравенство (6) выполнено, его необходимо и достаточно проверить в критических точках функции г(х). В исследуемом случае х пробегает интервал (\/—'1, +оо). Вычисления
показывают, что корнями уравнения г'(х) = 0 являются точки ±\/—'? и Рассматриваем только
знак + перед корнем в силу того, что х > 0. Заметим, что первая критическая точка совпадает с концом интервала. Проверка показывает, что вторая положительная критическая точка принадлежит интервалу изменения х, если и только если \р\ < 2. Тем самым доказан промежуточный результат: при р ^ 2 неравенство (6) выполнено и соответствующее риманово многообразие Бертрана реализуемо.
Остается проверить, какие ограничения на р £ (1,2) накладывает условие р2с ^ г . Имеем
* (Vl5) = ~1)(8 + /х2) =
Решая полученное неравенство относительно р, заключаем, что неравенство (6) выполнено, если и только если с ^ —2^—th(p), причем функция h = h(p) строго возрастает от — оо до +оо при р е (0, оо); h( 1) = 0, h(2) = 1. Лемма доказана. □
Из лемм 1-6 следует теорема 1.
3. Локальная реализуемость римановых многообразий Бертрана. В случае, когда многообразие Бертрана не может быть реализуемо целиком, возникает вторая важная задача — поиск максимальных подынтервалов I С таких, что риманово многообразие Ii х S1 с метрикой ds^ct реализуемо как
поверхность вращения. Верна следующая теорема.
Теорема 2. Риманово многообразие Берт,рама, (Ik,c,t, dss, Ctt) реализуемо целиком в виде поверхноет,и вращения в R3 тогда и только тогда, когда оно являетея основным (к = 1) и тройка параметров (р, c, t) принадлежит области, указанной в теореме 1. Для остальных знанений к (P,c,t) £ R3,p > 0; верны следующие утверждения о локальной, реализуемости многообразий Бертрана:
1) пусть t = c = 0, 0 < р < 1. Риманово многообразие нереализуемо даже локально (т.е. любая окрестность любой параллели нереализуем,а);
2) пусть t = 0,c> 0,р < 1. Реализуема часть многообразия, примыкающая к экватору {0} х S1;
3) пусть t = 0,c < 0. При р ^ 1 многообразие нереализуемо даже локально. При р > 1 реализуема, часть многообразия, примыкающая, к полюсу {+те} х S1;
4) пусть t > 0,c ^ 0. При р > 1 реализуема, часть многообразия, примыкающая к полюсу {+те} х S1; при р ^ 1 поверхность нереализуем,а, даже локально;
5) пуст ь t > 0,c > 0. Пр и р ^ 1 реализуема часть многообразия, примыкаю щая к полюсу {+те} х S1;
2
целиком риманово многообразие никогда не реализуемо. При 0 < р < 1, — f¿< h(p) реализуем "поясок" в
окрестности параллели {—^/хо} х S*1 (отвечающей локальному минимуму Хо > 0 функции z(x)), края,
()
2
Наконец, при 0 < р < 1, —^ h(p) многообразие Бертрана нереализуемо даже локально;
6) пусть t < 0, с < — 2 Vх—t. При 0 < р ^ 1 ни основное, ни дополнительное м,н,огообра,зи,я, нереа-
2
лизуемы даже локально. При 1 < р, —^ h(p) реализуема часть основного многообразия Бертрана, прилегающая к полюсу {+00} х S1. При р > 1, —^ < h(p) у основного многообразия реализуема часть, прилегающая к полюсу {+00} х S1, а у дополнительного реализуем "пояс" вокруг парам,ели, {—^/хо} х S1, отвечающей локальному минимуму Хо > 0 функции z(x);
7) пусть t < 0, с = — 2\/—t. При р ^ 1 ни основное, ни дополнительное многообразия нереализуем,ы, даже локально. При р £ (1, 2) реализуема часть основного многообразия Берт,рана, прилегающая к абсолюту {+оо} х S1. При р = 2 реализуемо все основное многообразие. При, р> 2 реализуем,ы, все основное многообразие и окрестность абсолюта {\/--t} х S*1 дополнительного;
8) пусть t < 0, с > — 2\/—t. При 0 < р < 1 и у основного, и у дополнительного многообразия реализуемы части, прилегающие к экватору t} х S1. При с ^ 0, р ^ 1 основное многообразие Бертрана реализуемо целиком, а у дополнительного реализуема часть, прилегающая к экватору { \f—t} х S*1. При c < 0 р = 1 и у основного, и у дополнительного многообразия реализуема часть, прилегающая к экватоРУ х S1; при р > 1, — > h(p) реализуем,ы, часть основного многообразия, прилегающая к полюсу {+оо} х S1, часть дополнительного многообразия, прилегающая к экватору t} х S1, и, часть основного многообразия, прилегающая к экватору {v^—t} х S1; при, р > 1 — ^ h(p) основное многообразие реализуемо целиком, а у дополнительного — часть, прилегающая к экватору {х S*1.
В каждом из случаев указанная реализуемая часть многообразия Бертарана максимальна в следующем смысле: любая окрестность любой параллели, не содержащейся, в указанной части, нереализуем,а, в виде поверхности вращения в М3.
Более того, в каждом, из случаев границей реализуемой части многообразия Берт,рапа,, прилегающей к полюсу либо абсолюту, является параллель, отвечающая ближайшему к полюсу (абсолют,у) корню по 9 уравнения (в4+г)2—ц294(94+св2—г) = 0; границами реализуемого "пояса" вокруг определенной параллели {90} х Б1 являются параллели, отвечающие корням этого уравнен ия, ближайшим к 90.
Доказательство. Для доказательства теоремы воспользуемся критерием реализуемости (2) в форме (6):
2 2ч г(2 + и2) г2
/л2с ^ х{х) := (1 ~/л2)х + у Р '
+
3
х := в2.
X хз
Задача сводится к поиску числа точек, которые принадлежат интервалу изменения переменной 9 (или х
точками и концами интервала изменения переменной. Для решения этой задачи рассмотрим производную г'(х) правой части неравенства и найдем ее положительные корни. Простые вычисления показывают, что существует зависимость (таблица) между числом положительных корней х > 0 уравнен ия г'(х) = 0 и параметрами г, ц.
£ /л
0 < /л < 1 /1 = 1 ^ е (1,2) /л = 2 /л>2
£ < 0 1_ 1 2 1 2
£ = 0 0 оо (все значения х) 0 0 0
£ > 0 1+ 0 0 0 0
В таблице 1± означает существование единственного положительного корня ж±, где ж_|_ =
Х- = \/—7; а 1 (без индекса) означает, что у производной г'(х) имеется единственный положительный корень кратности два.
Рассмотрим области изменения тройки параметров (ц, с, г) с учетом интервала изменения переменной
х,
не нужно: в них риманово многообразие Бертрана реализуемо целиком):
1) г = 0,с = 0, 0 < ц < 1. Из графика функции г(х) ясно, что в этой области многообразие нереализуемо даже локально;
2) г = 0,с> 0, 0 < ц < 1. В этой облети функция г (х) монотонно возрастает, ¿(0) = 0, г(+го) =
поэтому реализуема часть многообразия Бертрана, примыкающая к {0} х Б1;
3) г = 0, с < 0. В этой области многообразие Бертрана нереализуемо даже локально;
4) г > 0. Если ц > 1, то г(х) монотонно убывает и реализуема часть многообразия, примыкающая к {+го} х Б1; целиком многообразие никогда не реализуемо. Если ц < 1, то имеется один корень производной г'(х). Поскольку г(+го) = и этот корень не кратный, он доставляет локальный минимум функции г(х). Следует проверить, как изменение параметров влияет на взаимное расположение конца интервала изменения х и этого корня, а также в каких условиях минимальное значение г(х) на интервале изменения х не превосходит /л2с. Вычисления показывают, что это возможно только при — ^ < Ь,(/л) (см. лемму 6). При этом реализуется "поясок" в окрестности параллели, отвечающей локальному минимуму функции г(х), края которого никогда не достигают концов интервала изменения х. Наконец, при ц = 1 функция г(х) монотонно стремится к +0 при х ^ Следовательно, при с ^ 0 многообразие Бертрана нереализуемо даже локально, а при с > 0 реализуема его часть, прилегающая к полюсу {+оо} х 51;
5) £ < 0, с < —2В случае /л ^ 1 вычисления показывают, что неравенство (6) не выполняется ни при каком х, поэтому при ¡л ^ 1 поверхность не реализуется даже локально. При ¡л £ (1)2] видно, что прямая г = с/л2 проходит ниже первого экстремума, равного и ниже г(х\), г(хэ),
где Х\г2 = ~с±л^с2+— — края основного и дополнительного многообразий Бертрана, что следует из критерия реализуемости в форме (1). Иными словами, реализуема только часть основного многообразия, прилегающая к полюсу {+го} х Б К Наконец, при ц > 2 реализуема часть основного многообразия Бертрана, прилегающая к полюсу {+го} х Б1. Дополнительное многообразие реализуемо локально в окрестности параллели, отвечающей второму экстремуму (ж = ) функции г(х), тогда и только тогда, когда
п 1
х(х) > с/л2. Это эквивалентно тому, что /л > 1, < к(/л)]
6) £ < 0, с = —2В случае /л ^ 1 неравенство (6) выполнено в единственной точке х = \<Г—Ь, где оно обращается в равенство. Но точке х = отвечает абсолют риманова многообразия Бертрана, поэтому
при /л ^ 1 многообразие нереализуемо даже локально. При /л £ (1, 2) видно, что прямая z = с/л2 проходит через первый (z(y/—t)) экстремум, т.е. реализуема только часть основного многообразия, прилегающая к полюсу х SК При /л = 2 функция z(x) монотонно убывает, поэтому в данном случае реализуется
все основное многообразие. Наконец, при /л > 2 реализуется все основное многообразие Бертрана и часть дополнительного, прилегающая к экватору {\f—t} х S1, что следует из того, что прямая z = с/л2 проходит через первый экстремум, а допустимая область изменения переменной х есть в точности R>o \ {V—t}',
7) t < 0, с > —2 i- Если с ^ Ои /л < 1, то имеется единственный минимум z(x) в точке х = л/^t. Вычисления показывают, что в этой области как у основного, так и у дополнительного многообразия реализуема часть, прилегающая к экватору {л/—t} х S1. При /л > 1,— > h(/i) (см. лемму 6) реализуема всегда часть основного многообразия, прилегающая к полюсу {+00} х S1, часть дополнительного многообразия, прилегающая к экватору х S1, и часть основного многообразия, прилегающая к
экватору t} х S1. Во всех прочих случаях основное многообразие Бертрана реализуемо целиком, а у дополнительного реализуема часть, прилегающая к экватору {V~t} х S1.
Теорема 2 доказана. □
Следствие. Для указанных в теоремах 1 и 2 римановых многообразий Бертрана, реализуемых в виде поверхностей вращения, соответствующие поверхности вращения задаются параметрически в
-=^TcV^ у=*=^ ^ ** т ■■= ± /
При этом вдоль граничной параллели {в0} х S1 поверхности Ii х S1, не являющейся ни полюсом, ни абсолютом,, ни экватором, (т.е. в0 + c — td-2 е {0, в4 + t = 0), поверхность вращения касается
плоскости, содержащей эту параллель. Вдоль граничной параллели {в0} х S1, являющейся экватором, поверхность вращения касается цилиндра,, содержащего эту параллель.
Авторы приносят благодарность А.Т. Фоменко за постановку задачи, A.B. Борисову, Е.А. Кудрявцевой, И. X. Сабитову за полезные замечания и обсуждения.
Работа выполнена при поддержке грантов Правительства РФ № 11.G34.31.0054, РФФИ № 13—01— 00664-а и программы "Ведущие научные школы РФ" НШ-1410.2012.1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Загрядский О.А., Кудрявцева Е.А., Федосеев Д.А. Обобщение теоремы Бертрана на поверхности вращения // Матем. сб. 2012. 203, № 8. 39-78.
2. Darboux G. Sur un problème de mécanique // Despeyrous T. Cours de mécanique. Vol. 2, note XIV. P.: A. Herman, 1886. 461-466.
3. Fomenko A. T. Symplectic geometry. 2nd revised ed. N.Y.: Gordon and Breach, 1995.
4. Fomenko A. T., Konyaev A.Yu. New approach to symmetries and singularities in integrable Hamiltonian systems // Topol. and its Appl. 2012. 159. 1964-1975.
5. Фоменко А. Т. Топологический инвариант, грубо классифицирующий интегрируемые строго невырожденные гамильтонианы на четырехмерных симплектических многообразиях // Функц. анализ и его прил. 1991. 25, № 4. 23-35.
Поступила в редакцию 20.02.2013
УДК 512.562+519.1
ОЦЕНКА КОЛИЧЕСТВА ПЕРЕСТАНОВОЧНО-УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ
М. И. Харитонов1
В работе доказывается, что количество п-элемептпых перестановочно-упорядоченных множеств с максимальной антицепью длины к не более min { щу?, ^"(„-'fc)?)2 } • Также доказывается, что для количества перестановок (n) чисел от 1 до n с максимальной убывающей подпоследовательностью длины не больше к справедливо неравенство ■ Проводится обзор работ, посвященных биекциям и связям между парами линейных порядков, парами диаграмм Юнга, целочисленными двумерными массивами и целочисленными матрицами.
1 Харитонов Михаил Игоревич — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: mikhailkharitonovQyandex.ru.
