CC BY
28
9. Лушников А.А. Некоторые новые аспекты теории коагуляции // Изв. АН СССР, Физ. атмосферы и океана. 1978. Т. 14. № 10. С. 1048-1055.
10..Бурмистров А.В., Коротченко М.А. Весовые алгоритмы метода Монте-Карло для оценки и параметрического анализа решения кинетического уравнения коагуляции // Сиб. журн. вычисл. математики. 2014. Т. 17. № 2. С. 125-138.
11.Burger M., Caffarelli L., Markowich P., Wolfram M.T. On a Boltzmann-type price formation model // Proc. R. Soc. A 2013. V. 469. No. 2157. 20130126.
Simulation of dynamics of multiparticle systems for kinetic model consideration
Mariya Korotchenko, PhD, Research Associate, Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS
Aleksandr Burmistrov, PhD, Research Associate, Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS
We consider four problems, three of which are not related to rarefied gas dynamics, but are described by the Boltzmann type equations. To solve these problems, we propose to use the integral equation of the second kind approach and the weight simulation of Markov chain, the latter is uniquely determined by the coefficients of the integral equations.
Keywords: Monte Carlo method, pair interactions, vehicular traffic flow, coagulation equation, price formation
УДК 512.554
О ГИПОТЕЗЕ ЛЕВОПРИМИТИВНОСТИ
КОНЕЧНОГО ПОЛУПОЛЯ
\
Ольга Вадимовна Кравцова, к. ф.-м.н., доцент Тел. 8 902 925 08 40, E-mail: [email protected] Сибирский федеральный университет http://www.sfu-kras.ru
Изучаются алгебраические свойства полуполя порядка 64, представляющего один из двух известных контрпримеров к гипотезе Г. Вене о левопримитивности конечного полуполя. Описаны подполя, автоморфизмы, спектр, доказана однопорожденность мультипликативной лупы ненулевых элементов.
Ключевые слова: полуполе, спектр полуполя, левопримитивность, автоморфизм.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, гранты 15-01-04897A, 16-01-00707
Конечным полуполем W называется конечное неассоциативное кольцо с единицей е, такое, что множество ненулевых элементов W* = W \ {0} является лупой по умножению. Полуполе является векторным пространством над ассоциативно-коммутативным центром и имеет порядок рп, где р - простое число. Описание строения мультипликативной лупы W* произвольного конечного полуполя W является открытой проблемой. В частности, если W - конечное поле, то W* - цикли-
О.В. Кравцова ческая группа. В 1991 году Г. Вене предположил, что мультипликативная лупа всякого конечного полуполя является либо левопримитивной, либо правопримитивной [1].
Определение 1. Пусть Ш - конечное полуполе и аЕШ. Левоупорядоченные степени элемента а определяются правилом:
а
= е, V/ е М: = аа<*.
Правоупорядоченные степени определяются аналогично.
Определение 2. Конечное полуполе Ш называется левопримитивным (правопримитивным), если найдется такой элемент ае Ш, что Ж* совпадает с множеством всех левоупорядоченных (правоупорядоченных) степеней элемента а.
В 2004 году И. Руа показал [2], что полуполе Кнута порядка 32 не является ни лево- ни правопримитивным, опровергнув гипотезу Вене. Далее, в 2007 году И. Руа и И. Хентзел [3] построили второй контрпример - полуполе порядка 64, также не являющееся ни лево- ни правопримитивным. Кроме того, они привели примеры полуполей порядка 64, являющихся односторонне-примитивными, и доказали, что все полуполя порядка 81 являются и лево-, и правопримитивными.
В работе [4] описано строение полуполя Кнута - Руа порядка 32: перечислены порядки элементов, подполя, указаны некоторые аномальные свойства изотопных полуполей. В настоящей работе автор исследует строение второго известного на текущий момент контрпримера к гипотезе Вене - полуполя Хентзела - Руа порядка 64.
Пусть Ш - 6-мерное линейное пространство над полем 22,
№ = {х = (х1,х2,х3,х4,х5,х6) | хг е^2,/ = 1, ...,6}, А1,А2,...,А6 - матрицы в С!6(2): А1 =Е - единичная матрица,
Ап =
0 1 0 0 0 о (0 0 1 0 0 о 0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1
1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 , Лз = 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 , А4 = 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1
V! 0 0 0 0 1 1? 0 0 1 1 1 11 1 0 0 0 1
0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0
(0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0 1 1
1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 , А6 = 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0
0 1 1 0 0) V0 \0 1 0 1 0 1
1 0 1 1 0 1 0 0
Аг =
Определим отображение в из Ш в кольцо 6х6-матриц над Ъ2:
0(х) =х1А1 +х2А2 +х3А3 +х4А4 +х5А5 +х6А6, хе Ш.
Как показано в [3], detб(x) Ф 0 для всех х^ 0, поэтому в - биекция из Ш в а6(2) и {0}. Умножение * на IV зададим правилом
х* у = х- в (у) =х(у1А1 +у2А2 +у3А3 +у4А4 + у5Л5 +уьА6).
Тогда (Ж, +,*) - полуполе порядка 64; назовем его полуполем Хентзела - Руа. Оно не является ни лево- ни правопримитивным [3]. Нейтральным по умножению является элемент е = (1,0,0,0,0,0).
Лемма 1. Полуполе Хентзела - Руа Ш порядка 64 содержит простое подполе {0, е} порядка 2, единственное подполе F порядка 4 и пять подполей Н^, / = 1, ...,5 порядка 8. Других подполей в Ш нет.
Доказательство. Рассмотрим множество F = {0, е, а = (0,1,0,0,0,1 ),а + е}
и вычислим произведение
а*а = а^ 0(а) = а(А2 +А6) = (1,1,0,0,0,1) = а + е;
отсюда F ^ ^(4) - подполе порядка 4.
Рассмотрим = (0,0,0,0,1,0) и вычислим и :
= к1в(к1) =Мз = (0,0,1,1,0,1), = Л3) = (1,0,0,0,1,0) = е +
Тогда - корень многочлена х3 + х + 1, неприводимого над Ъ2, поэтому множество Ях = {0, е, - подполе порядка 8 в Ш. Аналогично, имеем:
Л2 = (0,0,0,1,0,1), = (0,1,0,1,1,1), Л^3 = Л3) = (1,1,0,1,1,1) = е + Щ, Н2 = {0,е,к2,к22.....Л|};
Л3 = (0,0,0,1,1,1), Л! = (1,1,1,0,1,0), Л^3 = Л3) = (1,0,0,1,1,1) = е + Л3,
Н3 = {0,е,к3,к23.....Щ};
Л4 = (0,0,1,0,0,0), = (0,1,1,0,0,0), = Л3) = (1,0,1,0,0,0) = е + к4, Н4 = {0, е,
Л5 = (0,0,1,0,1,0), = (1,1,0,1,0,1), Л^3 = Л3) = (0,1,0,1,0,1) = е + Щ, Я5 = {0,е,Л5,Л§.....ЛЦ}.
Поскольку элементы Л3, К4 - корни многочлена х3 +х + 1, К2, Л5 - многочлена х3+х2 + 1 (неприводимых над 22), то Яь Я2, Я3, Я4, Я5 являются подполями порядка 8 в полуполе Ж.
Рассмотрим множество и = Ш \ (F и Ях иЯ2 иЯ3 иЯ4 иЯ5). Для каждого элемента х£ и левая и правая третьи степени не совпадают:
х(3 = х * (х* х) ^ (х* х) *х = х3).
Следовательно, полуполе Ж не содержит подполей, кроме простого подполя, F и Я^, / = 1, ..,5.
Определение 3. Левым порядком элемента аЕШ, аф е, назовем такое наименьшее натуральное число т = |а|г, что = е. Правый порядок |а|г определим аналогично. Порядком |а| назовем наименьший показатель степени элемента а, при некоторой расстановке скобок равной единичному элементу. Множество порядков (левых, правых) всех элементов лупы будем называть ее спектром (левым, правым).
Очевидно, что |а|<|а|г и |а|<|а|г для всех аф е. Введем обозначение для подмножеств элементов в Ш, имеющих определенный левый и правый порядок: пусть для а,Ь,с ЕМ
МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
К(а, Ь,с) = {хе W | |х|г = а, |х|г = Ь, |х| = с}.
Тогда, очевидно,
^(3,3,3) = {хе Ж | |х|г = |х|г = |х| = 3} = {а = (0,1,0,0,0,1),е + а = (1,1,0,0,0,1)}, ^ = ^"(3,3,3) и{0, е};
К(7,7,7) = {хе W | |x|l = |x|r = |х| = 7} = (Ях иЯ2иЯ3иЯ4иЯ5) \ {0, е}, |ВД7,7)| = 30;
^(7,7,7) и{0, е} - объединение всех подполей порядка 8. Далее, ^(6,6,6) = {хе Ж | |х|г = |х|г = |х| =6} =
= {ах = (0,0,0,1,0,0),а2 = (0,0,1,1,1,0),а3 = (0,1,0,0,1,1),а4 = (0,1,1,0,1,1), а5 = (0,1,1,1,0,0),а6 = (0,1,1,1,1,0),е + а±,е + а2,е + а3,е + а4,е + а5,е + а6}, |К(6,6,6)| = 12;
К(7,7,6) = {хе Ж | |х|г = |х|г = 7, |х| =6} =
= {Ь1 = (0,0,0,0,0,1),Ь2 = (0,0,0,1,1,0),Ь3 = (0,1,0,1,1,0),е + Ь1,е + Ъ2,е + Ь3}, ^(7,7,6^ =6;
^(12,12,7) = {хе Ж | |х|г = |х|г = 12, |х| = 7} =
= {сх = (0,0,1,0,0,1),с2 = (0,0,1,1,0,0),с3 = (0,1,0,1,0,0),е + сх,е + с2,е + с3}, |К(12,12,7)| = 6;
^(15,15,5) = {хе Ж | |х|г = |х|г = 15, |х| = 5} =
= {й1 = (0,0,0,0,1,1),^2 = (0,0,1,0,1,1),й3 = (0,1,1,0,0,1),е + й1,е + й2,е + й3],
|К(15,15,5)| = 6.
Из этого перечисления следует
Лемма 2. Спектр лупы W* ненулевых элементов полуполя Ш Хентзела - Руа порядка 64 равен {1,3,5,6,7}, левый и правый спектры совпадают и равны {1,3,6,7,12,15}.
Замечание 1. Для любого элемента хе Ж* левый и правый порядки равны,
|х|г = |х|г,
для любого элемента хе Ж* \{е} (левый, правый) порядок элемента е+ х равен (левому, правому) порядку элемента х,
|е+х| = |х|, |е + х|г = |х|г, |е + х|г = |х|г.
Лемма 3. Отображение Ц): х ^ х2, хе Ж, является биекцией на Ш, причем
ф(к(3,3,3)) = к (3,3,3), <р(ВД7,7)) = К(7,7,7), <р(К(6,6,6)) = К(6,6,6),
^(К(7,7,6)) = К(12,12,7), ^(^(12,12,7)) = ^(15,15,5), ^(К(15,15,5)) = К(7,7,6).
Доказательство. Вычисляя для каждого хЕ№ значение
^(х) = х * х = хб(х) = х(х1Л1 + х2А2 +х3А3 + х4А4 +х5А5 + х6Л6),
отмечаем, что {^(х) | х Е W} = Ш. Укажем орбиты элементов Ш под действием ф. Для упрощения записи обозначим элемент х = (хх х6) числом
32хх + 16х2 + 8х3 + 4х4 + 2х5 +х6,
тогда (0,0,0,0,0,0) ^ 0, е = (1,0,0,0,0,0) ^ 32,
^(3,3,3) = {17,19}, ^(6,6,6) = {4,14,19,27,28,30,36,46,51,59,60,62},
ВД6,6) = {1,6,22,33,38,54}, ^(12,12,7) = {9,12,20,40,44,52},
^(15,15,5) = {3,11,25,35,43,57}.
Остальные элементы ^(7,7,7) и образуют 10 орбит длины 3:
(2,13,15), (5,23,50), (7,58,61), (8,24,16), (10,53,31),
(18,37,55), (21,63,42), (26,29,39), (34,45,47), (40,56,48).
Элементы каждой орбиты записаны в порядке (х, ф(х),^2(х),..). Множество К(6,6,6) является объединением двух орбит длины 6:
(4,27,46,36,59,14), (19,62,28,51,30,60).
Множество К(7,7,6) и ^(12,12,7) и ^(15,15,5) есть объединение трех 6-элементных орбит:
(1,9,57,33,41,25), (3,38,52,35,6,20), (11,54,12,43,22,44),
причем для каждого х Е ^(7,7,6)
^(х) Е ^(12,12,7), ^2(х) Е ^(15,15,5), ^3(х) Е ^(7,7,6).
Отметим также, что ^ не является автоморфизмом полуполя Ш, так как условия
(р{х + у) =(р{х) + (р{у), ^(х* у) =(р{х) * (р{у)
выполняются не для всех элементов полуполя. Также заметим, что =6.
Лемма 4. Каждый элемент х Е К(6,6,6) и ^(7,7,6) и ^(12,12,7) и ^(15,15,5) порождает лупу Ж*, причем для любого п> 10 все -е степени элемента х исчерпывают Ж*.
Доказательство. Третья степень каждого элемента хЕ и определяется двумя способами:
х(3 =х * (х* х) Ф (х* х) *х = х3).
Вычисляя последовательно четвертые, пятые и следующие степени элемента х всеми возможными способами, получаем все элементы 1/К*. Для каждого х выберем наименьшее число п = п(х) такое, что все -е степени элемента х образуют Ж*, тогда
п(х) = 8 для х Е К(7,7,6),
МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
п(х) = 9 для хе К(6,6,6) U ^(15,15,5), п(х) = 10 для х е ^(12,12,7).
Лемма доказана.
Лемма 5. Группа автоморфизмов полуполя Ш имеет порядок 6 и изоморфна симметрической группе
Доказательство. Если т - автоморфизм полуполя Ш, то для всех х,у еШ
т(х + у) =т(х) + т(у), т(х* у) =т(х) * т(у).
Очевидно, т является линейным преобразованием векторного пространства Ш и задается некоторой 6х6-матрицей Т над Ъ2. Выберем базис Ш:
е1 = (1,0,0,0,0,0) = е, е2 = (0,1,0,0,0,0), е3 = (0,0,1,0,0,0),
е4 = (0,0,0,1,0,0), е5 = (0,0,0,0,1,0), е6 = (0,0,0,0,0,1)
и выясним, при каком условии верно
т(е1 *е/) = т(^) *т(еу), /,) = 1,2, .,6.
Так как *еу = е£б(еу) = е£Лу, то т(е£ *еу) = е£Л/Т; далее
т(е1) *т(еу) = е£Г0(еуГ) = е{Гв(г)1,г)2,...,г)6) = е{Г^1=1^кАк.
В силу произвольности / = 1, .,6 получим условие
Т16к=1^}кАк=А}Т, ] = 1.....6. (1)
Для 7 = 1 имеем = 1, *;12 = ^3 = -" = £1б = 0. Каждая матрица Те С!6(2), удовлетворяющая условию (1), задает автоморфизм полуполя Ш. Этому условию удовлетворяют ровно 6 матриц:
Тл =
Тл =
/1 0 0 0 0 0
' 0 0 0 1 1 1 1110 10 10 1110 .001111.
\0 1 0 11 0/
/1 0 0 0 0 0\ 0
0
11110 0 .10 10 10.
4 0 0 0 0 1
т7 =
/1^ 0 0 0 0 1
0 10 0 10
1110 11 .001101!
4 0 0 110/
1
0 0 0 0 0
г, =
0 0 0 1
1 1 1
1
V?
1 о 0
о 0
1 1
1 1 1
0 1
У
0 0 0 0 00
г. =
V
110 1 0 10 0 1111 1111 0 0 0 1
1 1 1 1 1
/
Так как Т2 = Г12, Тх = Г|, Т3 = Г42 = Г52 =Е, то
Aut W = {Т1,Т2,Т3,Т4,Т5,Т6} = 53.
Лемма доказана.
Замечание 2. Обозначим ^(т) множество элементов полуполя Ш, фиксируемых преобразованием т. Непосредственными вычислениями выясняется, что
T(T1)=T(T2) = F, Т(Т3) = Н2, Т(Т4) = Н4, Т(Т5~) =Я3.
Автор считает, что все перечисленные выше результаты (леммы 1-5) являются новыми. Ослабление ассоциативности умножения приводит к появлению свойств конечного полуполя, являющихся аномальными в сравнении со свойствами конечного поля. Отметим, что изученное полуполе Хентзела - Руа содержит пять различных подполей одного и того же порядка 4 (свойство, невозможное для поля GF(64)). Кроме того, порядок мультипликативной лупы ненулевых элементов не делится на порядки элементов 5 и 6, а также на правые (левые) порядки 6, 12 и 15. Однако даже не являющееся ни лево-, ни правопри-митивным полуполе W удовлетворяет условию однопорожденности лупы W*.
Литература
1. Wene G.P. On the multiplicative structure of finite division rings // Aequation Mathematicae. 1991. № 41. С. 222-233.
2. Rúa I.F. Primitive and non-primitive finite semifields // Commun. Algebra. 2004. Вып. 32. № 2.С. 793-803.
3. Hentzel I.R., Rúa I.F. Primitivity of finite semifields with 64 and 81 elements // Int. J. Algebra Comput. 2007. Вып. 17. № 7. С. 1411-1429.
4. Левчук В.М., Штуккерт П.К. Строение квазиполей малых четных порядков // Тр. ИММ УрО РА. 2015. Вып. 21. № 3. С. 197-212.
On right-primitivity conjecture for finite semifield
Olga Vadimovna Kravtsova, PhD., Associate Professor, Siberian federal university
The author consider the algebraic properties of the semifield of order 64 that is one of two known counter-examples to G. Wene conjecture of left-primitivity for any finite semifield. The subfileds, automorphisms and spectrum are described. It is proved that the multiplicative loop of non-zero elements of this semifield is singly-generated.
Keywords - semifield, spectrum of semifield, left-primitivity, automorphism.
УДК 539.37
МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕДЛЕННОГО ДВИЖЕНИЯ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
В СХОДЯЩЕМСЯ КАНАЛЕ
Ольга Игоревна Кузоватова, к ф.-м.н, доцент Тел.: 8 391 206 2116, e-mail: [email protected] Сибирский федереальный университет http://www.sfu-kras.ru
Для исследования локализации деформаций при движении сыпучей среды под действием собственного веса в сходящемся канале используются вариационные принципы теории предельного равновесия, установленные в рамках специальной математической модели материала, по-разному сопротивляющегося растяжению и сжатию. Получена оценка для коэффициента запаса.
