Научная статья на тему 'О ГИПЕРЦИКЛИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРАХ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ'

О ГИПЕРЦИКЛИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРАХ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
1
1
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
гиперциклический оператор / весовое пространство / оператор частного дифференцирования / оператор сдвига / оператор свертки / целая функция / hypercyclic operator / weight space / partial differentiation operator / shift operator / convolution operator / entire function

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Рахимова Алсу Ильдаровна

В данной работе изучаются гиперциклические операторы в инвариантном относительно дифференцирования весовом пространстве Фреше–Шварца целых функций Fϕ. Доказана гиперцикличность в этом пространстве нетривиальных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами конечного порядка и дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами бесконечного порядка, характеристическая функция которых есть целая функция экспоненциального типа. Доказано, что линейный непрерывный оператор в этом пространстве, отличный от кратного тождественному оператору и коммутирующий с операторами частного дифференцирования, является гиперциклическим. Аналогичные утверждения выполняются для конечной и бесконечной сумм сдвигов, а также конечной суммы композиций сдвига и дифференциального оператора. Приведены теоремы о гиперцикличности оператора свертки в этом пространстве.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On hypercyclic operators in weighted spaces of entire functions

In this paper we have studied various hypercyclic operators in the weighted space of entire functions Fφ. Hypercyclic operators play an important role in the theory of dynamical systems. Note that questions about hypercyclic operators have been considered in detail only in spaces of entire and analytic functions. And in the weighted spaces of entire functions, such operators are not yet very well studied and provide a large number of research problems. The space Fφ is defined as follows. Let φ = {φm(z)}∞m=1 — arbitrary family of functions convex in Cn taking real values and satisfying some conditions on their growth i1)–i4). Now for each function we introduce a weighted normed space Fm consisting of from integer functions in Cn. Let Fφ denote their projective limit. Then it is a Frechet–Schwarz space of type (FS). Next for the space Fφ one can find additional conditions on the weight functions, under which it will be invariant under differentiation. It can also be shown that, under the same conditions, it is shift-invariant. Then we can consider the problems of hypercyclicity in it partial differentiation and shift operators, their compositions, convolution operator and operators commuting with differentiation. Theorem 1 proves hypercyclicity in the space Fφ partial differentiation operator ∂ ∂zj , j ∈ {1; n} with respect to any of the complex variables. In Theorem 2 hypercyclicity in this space of a finite sum of such operators was shown α∈Zn +: |α|≤m cαDα z f, and in Theorem 3 — their infinite sum ∑ α∈Zn +: |α|≥0 cαDα z f under certain conditions on the coefficients of the series. Theorem 4 states that the shift operator by some constant Ta : f(z) ∈ Fφ → f(z + a), where a ∈ Cn, and it is not equal to zero, is hypercyclic in Fφ. By Theorem 5 it follows that a continuous linear operator T in the space Fφ, which commutes with partial differentiation operators and is not equal to a scalar multiple of the identity mapping, is hypercyclic in the given space. The following corollaries follow from this theorem. The finite sum of shifts and the sum of compositions of shifts with partial differentiation operators are hypercyclic. Also, under certain requirements for the coefficients of the series, the infinite sum of shifts will be hypercyclic. Theorem 6 considers an operator of the form Tf(z) = ∑n j=1 cj (∂/∂zj) (f(λz+b)), where all numbers λ ∈ C, b ∈ Cn and cj ∈ Cn, j ∈ {1; n} fixed. Then this operator is hypercyclic in the space Fϕ under the condition |λ| ≤ 1. Next in Theorem 7 consider a generalized function with compact support S, whose FourierLaplace transform is not identical to a constant value. Then we can make sure that the convolution operator of the form MS[f](z) = St(f(z +t)) is hypercyclic in Fϕ. We also consider the case when the additional condition are satisfied for the family of functions φ, and S is defined as a continuous linear functional on Fφ. Then the convolution operator MS[f] will also be hypercyclic in Fφ.

Текст научной работы на тему «О ГИПЕРЦИКЛИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРАХ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ»

УДК: 517.547, 517.555 MSC2010: 32A15, 47A16

О ГИПЕРЦИКЛИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРАХ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ

© А. И. Рахимова

Уфимский УНИВЕРсИТЕТ НАУКИ И ТЕХНОЛОГИЙ ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

ул. Заки Валиди, 32, Уфа, 450076, Российская Федерация Е-МА1Ы [email protected]

ON HYPERCYCLIO OPERATORS IN WEIGHTED SPACES OF ENTIRE FUNCTIONS.

Rakhimova A. I.

Abstract.

In this paper we have studied various hypercyclic operators in the weighted space of entire functions Fp. Hypercyclic operators play an important role in the theory of dynamical systems. Note that questions about hypercyclic operators have been considered in detail only in spaces of entire and analytic functions. And in the weighted spaces of entire functions, such operators are not yet very well studied and provide a large number of research problems.

The space Fp is defined as follows. Let p = {pm(z)}^_i arbitrary family of functions convex in Cn taking real values and satisfying some conditions on their growth ii) ¿4). Now for each function we introduce a weighted normed space Fm consisting of from integer functions in Cn. Let Fp denote their projective limit. Then it is a Frechet Schwarz space of type (FS).

Next for the space Fp one can find additional conditions on the weight functions, under which it will be invariant under differentiation. It can also be shown that, under the same conditions, it is shift-invariant. Then we can consider the problems of hypercyclicity in it partial differentiation and shift operators, their compositions, convolution operator and operators commuting with differentiation.

Theorem 1 proves hypercyclicity in the space Fp partial differentiation operator -J^, j G {1; n} with respect to any of the complex variables.

In Theorem 2 hypercyclicity in this space of a finite sum of such operators was shown

caDaaf, and in Theorem 3 their infinite sum ^ caDZaf under certain aeZ+: |a|<m aeZ+: |a|>0

conditions on the coefficients of the series.

Theorem 4 states that the shift operator by some constant Ta : f (z) G Fp —> f (z + a), where a G Cn, and it is not equal to zero, is hypercyclic in Fp .

By Theorem 5 it follows that a continuous linear operator T in the space Fp, which commutes with partial differentiation operators and is not equal to a scalar multiple of the identity mapping, is hypercyclic in the given space.

The following corollaries follow from this theorem. The finite sum of shifts and the sum of compositions of shifts with partial differentiation operators are hypercyclic. Also, under certain

requirements for the coefficients of the series, the infinite sum of shifts will be hypercyclic.

n

Theorem 6 considers an operator of the form Tf (z) = ^ Cj-J^-(f (Az + b)), where all numbers

j=i

A £ C, b £ Cn and Cj £ Cn, j £ {1; n} fixed. Then this operator is hypercyclic in the space F^ under the condition |A| < 1.

Next in Theorem 7 consider a generalized function with compact support S, whose Fourier-Laplace transform is not identical to a constant value. Then we can make sure that the convolution operator of the form Ms[f ](z) = St(f (z +1)) is hypercyclic in Fv. We also consider the case when the additional condition are satisfied for the family of functions p, and S is defined as a continuous linear functional on Fp. Then the convolution operator Ms [f] will also be hypercyclic in Fp.

Keywords: hypercyclic operator, weight space, partial differentiation operator, shift operator, convolution operator, entire function

Введение

Линейный непрерывный оператор Т на сепарабельном локально выпуклом пространстве X называют гиперциклическим, если существует элемент х € X (называемый гиперциклическим вектором) такой, что ее орбита ОтЬ{х,Т} = {х,Тх,Т2х,...} плотна в X. Такие операторы играют важную роль в теории динамических систем. Первые результаты теории гиперциклических операторов были получены для рассматриваемого с обычной топологией равномерной сходимости на компактах комплексной плоскости пространства целых функций Н(С). А именно, в 1929 году Дж. Д. Биркхоф [1] доказал, что существует целая функция / такая, что множество, состоящее из функций /(г), /(г + 1), /(г + 2),..., плотно в Н(С), что означает гиперцикличность оператора Т в Н(С), действующего по правилу (Т/)(г) = /(г +1), а в 1952 году Дж. Р. Маклейн [2] доказал, что существует функция / € Н(С) такая, что множество, состоящее из функций /, /', /'',..., плотно в Н(С), что означает гиперцикличность оператора дифференцирования в Н(С).

В работах К.-Г. Гроссе-Эрдманна [7] и Г. Петерсона [8] приведен большой обзор гиперциклических операторов для различных пространств. Проблема гиперцикличности в произвольных линейных топологических пространствах рассматривалась Г. Годефруа и Дж. Г. Шапиро [9], Р. М. Гефнером и Дж. Г. Шапиро [10], К. Китаи [11]. Основными результатами статей [9] и [10] являются приведенные

ниже критерии гиперцикличности в сепарабельном пространстве Фреше. В статье [9] также доказано утверждение о гиперцикличности в H(C) любого оператора свертки, характеристическая функция которой не тождественна постоянной. А в работе [10] приведены доказательства теорем о гиперцикличности из работ Дж. Д. Биркгофа и Дж. Р. МакЛейна, а также некоторых обобщений В. Лу, В. П. Сейделем и Дж. Л. Вальшем теоремы Биркгофа.

В дальнейшем было показано, что многие важные в приложениях классы операторов в пространствах целых функций (как одной, так и многих переменных) обладают этим свойством [3, 14]. В работах В. Э. Кима [3], Р. Арона и Д. Маркосе [4] изучались различные гиперциклические операторы в H(C). У них также имеется подробный обзор литературы по данной теме. В этой области еще можно отметить статьи Дж. Бэса [5] и Дж. Дж. Бетанкура [6], они занимались гиперцикличностью в H(C) различных операторов и операторов свертки, ассоциирующих с оператором Данкла.

Цель работы. В последнее время большое внимание уделяется изучению динамических свойств таких классических операторов, как оператор дифференцирования, оператор Харди, оператор сдвига, в весовых пространствах целых функций. В частности, в [12-14] были найдены условия гиперцикличности оператора дифференцирования в весовых банаховых пространствах целых функций, задаваемых при помощи радиальных весовых функций. Однако, жёсткая структура банаховых пространств затрудняет исследование динамических свойств таких важных в приложениях операторов, как дифференциальные операторы конечного и бесконечного порядка, операторы свёртки, что побуждает к их рассмотрению в пространствах с менее жёсткой структурой, например, счётно-нормированных пространствах. Имея это в виду, определим весовое пространство целых функций комплексных переменных следующим образом.

Пусть < = {^т}ш=1 — семейство выпуклых в Cn функций <m : Cn —У R таких, что для любого m 6 N:

¿1) lim ^Zr =

¿2) <m (z) > <m+1 (z), z 6 Cn;

¿3) lim (<m(z) - <m+i(z)) =

z^-ra

¿4) существуют постоянные am > 0 и bm > 0 такие, что

<m+i(z + t) < <m(z) + bm, z 6 Cn, t 6 Cn : \t\ < am.

Далее для каждого т € N определим пространство

= {/ € Н(Сп), / : Сп С : рт(/) = впр(|/(г)|е-Ут(г)) < то}.

геСп

Очевидно, — банахово пространство. Отметим, что для всех т € N вложения С непрерывны в силу условия г2), а ввиду условия г3) они вполне непре-

оо

рывны. Положим = П С обычными операциями сложения элементов и

т=1

их умножения на комплексные числа образует линейное пространство. Снабдим его топологией проективного предела пространств Топология пространства также может быть определена с помощью метрики

Рт(/1 - Л)

Р(/1,/2) = Е

т=1 1 + Рт(/1 - /2) '

Будучи проективным пределом компактной последовательности банаховых пространств , — пространство Фреше-Шварца. В силу условия ¿4) пространство

инвариантно относительно дифференцирования (см. Лемма 5). Также пространство ^^ является инвариантным относительно сдвига (см. Теорема 4).

Отметим, что пространства вида в связи с различными задачами комплексного анализа встречались в работах многих математиков [15]-[22].

Цель данной работы — изучение задачи о гиперцикличности в оператора дифференцирования и линейных непрерывных операторов, коммутирующих с дифференцированием, а также при дополнительных предположениях о семействе < задачи о гиперцикличности операторов сдвига и свёртки.

Следующие утверждения важны для всей теории гиперциклических операторов.

Теорема А (Теорема Годефруа-Шапиро [9]). Пусть Т : X ^ X — линейный непрерывный оператор в сепарабельном пространстве Фреше X, подпространства XI] = Ып{х € X : Тх = Ах, А € Сп, |А| < 1} и У] = Ьт{х € X : Тх = Ах, А € Сп, |А| > 1} плотны в X, тогда Т — гиперциклический оператор.

Теорема В (Теорема Китаи-Гефнера-Шапиро [10]). Пусть X — сепара-бельное пространство Фреше и Т : X ^ X — линейный непрерывный оператор. Пусть XI], У] — плотные подмножества X и последовательность (Бк )0=1 отображений Бк : Уо ^ X таковы, что:

1) Тк ^ 0 поточечно на XI] при к ^ то;

2) Бк ^ 0 поточечно на У] при к ^ то;

3) ТкБк = I на У]. Тогда оператор Т является гиперциклическим.

Обозначения. Для точек u = (ui,...,un), v = (v1,...,vn) из Cn определим (u,v) = u1v1 + ••• + unvn, ||u|| — евклидова норма в Cn. Для мультииндекса а = (а1,..., an) G Z+ и точек z = (z1,..., zn) G Cn полагаем |а| = а1 + ... + an, Dj = , j = 1, ...n, Da = zan. Если пространство инвариантно относи-

тельно сдвига, то для любого a G Cn через Ta обозначаем оператор сдвига на вектор а в Fp, то есть Ta : f G ^ f (z + a).

Для произвольной вещественнозначной функции <£> в Cn такой, ^(z)

что lim ——— = определим преобразование Юнга-Фенхеля

<£>(z) = sup (Re (z, t) — <£>(t)), z G Cn. В нашей работе из условия i1) следует,

tecn

что их преобразования Юнга-Фенхеля ipm(z) ограничены во всем Cn.

Основная часть

В дальнейшем нам понадобятся следующие утверждения:

Лемма 1. Полиномы плотны в

Доказательство. Пусть / С ^ч>. Возьмём произвольное число е > 0. Утверждение будет доказано, если покажем, что для произвольно взятого числа е > 0 найдётся полином Р такой, что р(/, Р) < е. Теперь выберем натуральное число N = N(е) так,

те

чтобы ^ 2т < 2. Далее отметим, что для любого т € N

т=М+1

|/^ ^ 0,г (1)

Действительно, оценим выражение в виде

|/(^)| = |/(^)| е^т+1 (г)-¥т(г) < р 1(/)е^т+1(г)-^т(г) е^т(г) е^т+1(г) — 1'гп+1У.] ) ■

Отсюда и из условия ¿3) вытекает (1). В силу установленного факта можно воспользоваться Теоремой 4 из [17], согласно которой полиномы будут плотны в каждом Значит, можно подобрать полином Р так, что (/ — Р) < 2. Тогда учитывая, что Р1(/ — Р) — Р2(/ — Р) — ■ ■ ■ — Рм (/ — Р) < 2, получим, что р(/, Р) < е. □

Поскольку из них можно выбрать некоторое подмножество полиномов с рациональными коэффициентами, то оно образует счетное всюду плотное множество в пространстве

Лемма 2. Пространство ^^ сепарабельно.

В силу условия ¿х) функция / : Л € Сп ^ еА2 принадлежит ^^ для любого г € Сп. Поэтому всюду в Сп корректно определена функция Б^г) := БА(еА2), г € Сп, которую называем преобразованием Лапласа функционала Б. Далее приведем следующие леммы:

Лемма 3. Пусть Б — линейный непрерывный функционал на ^ч>. Тогда функция Б)(г) = (Б?, е(^) целая в Сп, причём для любого а € выполняется равенство = Бс (ее<с'г>), г € Сп.

Доказательство. Зафиксируем произвольную точку j € Cn. Покажем, что функция S аналитична в точке j. Далее для всех z из шара ||z — j|| < 1 в Cn определим функцию (f) = — — (f, z — n)e&n>, f € Cn.

Отсюда следует неравенство (A)| < (1 + |A| + |A|2)|Z—z|2eRc Az. Вместе с условием ii) эта формула дает оценку pm(gz) < C||Z — z||2, где C — некоторая постоянная. Отсюда в силу непрерывности функционала S получим, что S(gz) = o(||z — n||) при z ^ j.

Пользуясь линейностью S, имеем

S(z) — S(n) = Sc(e«-z>) — Sc(e«'n>) = Sc((f, z — n)e«'n>) + Sc(g*(f)) = (2)

n

= £ Sc(fje«'n>)(zj — j) + o(||z — n||), z ^ r. j=i

Отсюда по определению аналитичности получим, что S'(z) — голоморфная функция в точке n и -Jff. S>(z) = S^(fjz € Cn. Поскольку j — произвольная точка в

Сп, то Б'(г) аналитична во всем Сп, значит, она является целой функцией. Тогда при 7+ выполняется равенство

всех а € Z+ выполняется равенство DZ:S(z) = S^(faz € Cn. □

Лемма 4. Если ^ € Сп — открытое непустое множество, то система экспонент

V

{е^'^Кш при фиксированном числе f € Cn полна в пространстве F

Доказательство. Применим теорему Хана-Банаха о непрерывном продолжении линейного функционала. Возьмем произвольный линейный непрерывный функционал Б € такой, что Б^ (е^'^) = 0 для всех г € Нужно показать, что Б — нулевой функционал.

По Лемме 3 Б>(г) = (Б^, е^'^) — целая функция в пространстве Сп, поэтому по теореме единственности Б^ (е^'2^) = 0 для всех г € Сп. Поскольку в силу Леммы 3 при всех а € И+ и г € Сп справедлива формула ДаБ^г) = Б^ (£то получим ДаБ'(г) = Б?= 0. Значит, при всех а € И+ выполняется Б^(£а) = 0.

Тогда для любых полиномов p(z) 6 Fv S(p) = 0. Ввиду плотности полиномов по Лемме 1 в Fv для всех f 6 выполняется S(f) = 0, поэтому S — нулевой функционал. Следовательно, система экспонент при фиксированном £ 6 Cn полна в Fv. □

В силу Леммы 4 любую функцию в F^ можно приблизить некоторой суммой функций из . Поскольку любую функцию из F^ можно приблизить неко-

торой функцией из zgQ, то множество LinX плотно в Fv. Если ^ 6 Cn —

открытое непустое множество, то линейная оболочка системы экспонент Lin{e^'^}zg^ при фиксированном числе £ 6 Cn плотна в пространстве Fv.

Далее покажем, что оператор частного дифференцирования непрерывен в Fv.

Лемма 5. В пространстве Fv оператор частного дифференцирования д^-., где j = 1,..., n, непрерывен и отображает его в Fv.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Доказательство. Возьмем некоторую функцию f 6 F^. В силу аналитичности функции f любая ее частная производная аналитична, поэтому т^f 6 H(Cn). Используя интегральную формулу Коши, получим равенство

A f (z) = -L- i_f (£1,..., £n) d£i ...d£n_

f (Z) (2rn)n J (£i - zi) ■ ... ■ (£j-i - Zj-i)(£• - z-)2j - z-+i) ■ ... ■ (£n - zn),

(3)

где R и г-, j = 1,..., n — положительные константы, z — фиксированная точка из

некоторого ограниченного шара B(0, R) = {z 6 Cn : |zj| < R, j 6 {1; n}}, а £ — точка

из границы поликруга Пг = {£ = (£i,..., £n) : |£j - zj| = rj, rj > 0, j 6 {1; n}}.

Далее введем обозначения ki = max {rj}, = min {rj} и из (3) найдем оценку

je{i;n} je{i;n}

сверху:

J- f (z)

(Д + гх)... (Д + гп) (Д + к1)П

<-2- тах I/(£)| < , п+1 тах I/(0|. (4)

гх... г5--1г|г5-+1... гп к.

Из определения нормы для любого т € N получим формулу |/(*)| < Рт+1 (/

В силу г4) при всех т € N получим оценку

Бир ( ехр(тах^т+1(£)) ехр(-^т(^)П < ехЫ вир(^т+1(^) - <£т(г))) < еСт.

' ^ге Сп '

Вычислим с помощью (4) норму действия оператора

Pm(d~f(z)) < (Rfc++ii) Pm+i(f) sup (exp(max^m+i(£))exp(-^m(z<

r,Cm I

^ eCm(R + ki)n ( ) C ( <

< -7П+1-Pm+if ) = Cmpm+i(/) < TO.

k2

Таким образом, оператор т^ действует из Фт+х в Фт для любых ш € М, значит, он непрерывен и т^ : ^ , где ] = 1,..., п. □

Далее приведем утверждения о гиперцикличности для дифференциальных операторов и оператора сдвига.

Теорема 1. В пространстве Fv оператор частного дифференцирования T = т^-для любого j = 1,..., n гиперциклический и его образ лежит в Fv.

Доказательство. Выше было показано, что оператор T линейный и непрерывный. Докажем его гиперцикличность с помощью теоремы Гефнера-Шапиро.

Функция для всех z, f € Cn принадлежит пространству

Fv, так как она целая и для всех m € N выполняется оценка

Pm(e<?'z>) = exp ( sup (Re (f, z) — ^m(f))) = eVm(z) < то. V J

Вычислим характеристическую функцию оператора: T(A) = -Jdjr= Aj.

Введем множества W1 = {z € Cn : |zj | < 1} и W2 = {z € Cn : |zj | > 1}, множества

W1 и W2 открытые и непустые. Определим линейные оболочки X0 = Lin{e^'^}zgWi

и = Lin{e^'^}zgw2, тогда по Лемме 4 множества X0 и Y0 плотны в Fv. Заметим,

что точки z фиксированные из Cn, а оператор T действует по f.

Действие оператора на экспоненту для всех k € N и z € Cn имеет вид

Tk = zk. Тогда при фиксированном z € W1 и любых m € N верна формула:

Pm(Tk(e«'z>)) = |zj|k exp Г sup (Re (f, z) — ^m(f))) = |z,|keVm(z) < то. (5)

V £gCn /

Значит, из того, что € Fv, для всех k € N получается Tk€ F

v

Для всех г € в силу ^ | < 1 следует Тк (е^'^) -V 0 в Ф^. Ввиду полноты

множества по Лемме 4 для любых / € Х0 вытекает, что Тк(/) -V 0 в

Для точек г € Ж2 определим для произвольного к € N отображение Бк : У0 ^ таким, что Бк(е^'^) = . Поэтому при всех ш € N выполняется соотношение:

Pm(Sk(e«'z>)) = |zj|-k exp ( sup (Re (f, z) — (f))) = |z,|-keVm(z) < то. (6)

\/

Тогда при z € W2 по условию |zj| > 1 получим Sk(e^'z^) -\ 0 в Fv. Из пол-

k^ro

ноты системы {e^'z^}zgw2 для любых f € Y следует, что Sk (f) -> 0 в Fv. Также

k^ro

заметим, что при всех k € N справедливо равенство TkSk(f) = f. Таким образом, все требования теоремы B выполнены. Следовательно, оператор T гиперциклический в пространстве Fv. □

Теорема 2. Пусть в пространстве задан некоторый полином с постоянными коэффициентами Ф(г) = X] с»га, £ € Сп, отличный от константы. Тогда

ае2+: |а|<т

оператор Т : / € —\ ^ с^Д/ гиперциклический в ^ч>.

|а|<т

Доказательство. Очевидно, оператор Т линейный. Покажем его непрерывность. Возьмем произвольную функцию / € Частные производные функции / для произвольного мультииндекса а в силу его голоморфности в Сп можно представить в виде

)(г) = ^— [ /(£) ^ (7)

П={£: |=г7-, т, >0, ¿е{1;п}}

где Я и г^, ^ = 1,... ,п — положительные константы, £ — фиксированная точка из некоторого ограниченного шара В(0, Я) = {г € Сп : ^| < Я, ^ € {1; п}}, а £ — точка из границы поликруга Пг = {£ = (£1,..., £п) : _ | = г^, г^ > 0, j € {1; п}}.

Введем обозначения к1 = шах {г^} и к2 = шт {г^}. Далее из формулы (7) найдем оценку сверху

(г)| < а!(я|а|+к1 )П шах |/(£)|. (8)

Тогда в силу (8) получается оценка

|Т/(г)| < £ |с«||£а/(г)| = (Я + ^ глах |/(£)| £ ^-¿т. (9)

|а|<т |а|<т 2

Из определения нормы при всех т € N и г € Сп верно неравенство |/(г)| < Рт+1(/)е^т+1 Вычислим, используя формулу (9), норму действия оператора

/ ч ч\ *—л а!

Pm(Tf) < (R + ki)nPm+i(/) suP ( exp (max^m+i(0) exp ( - )П V |c«|

zec" V СеПг 7 |a|<m '

(10)

По условию i4) при всех m G N справедливо соотношение sup ( exp (max<£>m+i(0) exp (-^m(zШ < exp ( sup (<£m+i(z)-<£m(z))) < eCm = cm < то.

zgc'1 ^ ?еП z / zgc'1

В силу ограниченности числа m G N выполняется неравенство

Е, , a! (m + 1)nm! ~ |Са| ,,+-. < - max |Са| = Cm < ТО,

|a|<m 2

4а|+1 при k2 < 1,

где т =

k2 при k2 > 1.

Отсюда следует, что норма из формулы (10) конечная:

Pm(T/) < Cmcm(R + kl)npm+l(f) = Cmpm+i(/) < TO.

Значит, для всех / 6 Fv функции Т/ лежат в F^. Таким образом, рассматриваемый оператор Т линейный и непрерывный. Докажем с помощью теоремы Гефнера-Шапиро, что он гиперциклический.

В Теореме 1 показано, что при всех z, £ 6 Cn принадлежит Fv. Вычислим характеристическую функцию оператора: Т(А) = Y1 саАа = Ф(А).

|a|<m

Введем множества W1 = {z 6 Cn : |Ф^)| < 1} и W2 = {z 6 Cn : ^(z)| > 1}. По условию теоремы Ф^) — не равный константе полином, тогда W1 и W2 открытые и непустые. Определим линейные оболочки X0 = Lin{e^'z^}zgwi и Y0 = Lin{e^'z^}zgw2, по Лемме 4 множества X0, Y0 плотны в Fv. Заметим, что точки z фиксированные из Cn, а оператор Т действует по £.

Действие оператора на экспоненту для всех k 6 N и z 6 Cn имеет вид Tk= ^(z))kТогда при значениях z 6 W1 и любых m 6 N верна формула

pm(Tk(e«'z>)) = |Ф(z)|k sup(|e<?'z>= |ф^)|ke^(z) < to. (11)

£e<c»

Значит, из того, что 6 Fv, для всех k 6 N следует Tk(e^'z^) 6 F^.

Для всех z 6 W1 из условий |Ф^)| < 1 и Tk= ^(z))kвытекает

Tk-\ 0 в Fv. Ввиду полноты множества {e^'z^}zgwi по Лемме 4 следует,

что для любых / 6 X0 Тk(/) -> 0 в F^.

Для точек z 6 W2 определим для всех k 6 N отображение Sk : Y0 ^ Fv таким, что Sk= . Значит, для любых m 6 N получается соотношение

Pm(Sk(e«'z))) = |Ф(z)|-k exp ( sup (Re (£, z) - ^m(£))) = |Ф(z)|-ke^m(z) < to. (12)

V £gCn /

Тогда при z 6 W2 в силу |Ф(z)| > 1 и Sk= выполняется

(Ф(г))к

5к(е^'^) -> 0 в Fч>. Из полноты системы {е^'^}^^ следует, что для любых

к^-те

/ € У0 (/) -^ 0 в Flp. Также для любого к € N справедливо равенство

к^-те

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Тк$к(/) = /. Следовательно, все требования теоремы В выполнены. Оператор Т гиперциклический в пространстве Fv,. □

Теорема 3. Пусть Ф(г) = ^ — непостоянная целая функция в про-

|а|>0

странстве тогда определим оператор Т : / е

-^ X] с»^^/. Тогда

|а|>0

если Ф(г) — функция экспоненциального типа, то оператор Т гиперциклический в р.

F

Доказательство. Легко убедиться, что оператор Т линейный, теперь проверим его непрерывность. Возьмем произвольную функцию / е Введем обозначения идентично Теореме 2. Как было показано в доказательстве Теоремы 2, для производных при любых а е и г е Сп выполняется неравенство

(г)| < а!(Д|+к1 )П тах |/(£)|.

I ^ \ л - к|а| П

Далее оценим действие оператора на функцию:

а!

|T/ (z)| < ^ |c«||Da/(z)| < (R + )nmax |/ (£)| £ |c«|

|a|>0 |a|>0 k2

По определению нормы для любых z G Cn и m G N получается оценка |/(z)| < pm+i(/)ep"+l(z). По условию i4) при всех m G N справедливо соотношение

sup ( exp (max<pm+i(0) exp (—Pm(z))) < exp ( sup (<£>m+1(z)-<£>m(z))) < ec" = c^ < то. Вычислим для произвольных m G N его нормы:

a!

pm(T/) < cm(R + kl)nPm+1 (/) |cJ |a|+1 .

(13)

|a|>0 k2

Для непрерывности оператора T : —> Fp в силу (13) необходимо выполнение условия

. Cm(R + ki)n a!

Pm(T/) < -k-Pm+1(/) |Ctt| <

2 |a|>0 k2

Поскольку величины c"(R;+fcl) и pm+1(/) конечные, то требуется сходимость ряда Jfa\ |ca|. Найдем условие для коэффициентов ca, при котором данная сумма ко-

|a|>0 k'2

нечная.

Применим для этого признак сравнения. В качестве мажоранты возьмем степенной ряд b ,+1)р, где р — произвольное число такое, что р > n, а b — некоторая

|a|>0 (|а| '

положительная постоянная. Тогда при всех a G Z+ должно выполняться условие "jjk |ca| < (|a|+1)р . Отсюда для коэффициентов ca при всех a G Z+ получим такое

требование:

b k

|а| 2

|Ca| < л „Л ^р . (14)

а! (|а| + 1)р'

Следовательно, ввиду формулы (14) для функции Ф(г) получается оценка

1|а| _ (V

|Ф(*)| < £ |Ca| |zI'"1 < b £ < b E ^ = beT|",

1 при к2 < 1,

где т = ^

к2 при к2 > 1.

Таким образом, для непрерывности оператора Т необходимо выполнение условия (14), то есть Ф(г) должна быть функцией экспоненциального типа.

Далее всюду полагаем, что функция Ф(г) экспоненциального типа. Тогда рассматриваемый оператор Т линейный и непрерывный. Докажем, что он гиперциклический. Для этого в дальнейшем воспользуемся теоремой Гефнера-Шапиро.

В Теореме 1 было показано, что функция е^'2^ при всех г, £ € Сп принадлежит Fv,. Вычислим характеристическую функцию оператора: Т(А) = ^ саАа = Ф(А).

|а|>0

Введем множества И = {г € Сп : |Ф(г)| < 1} и И2 = {г € Сп : |Ф(г)| > 1}. Поскольку Ф(г) — целая функция, по малой теореме Пикара она принимает все значения из Сп, кроме, может быть, одной величины, поэтому И и И2 открытые и непустые.

Определим множества Х0 = , ^0 = , по Лемме 4 Х0 и

Г0 плотны в Fv,. Заметим, что точки г фиксированные из Сп, а оператор действует по £.

Тогда для любого т € N получается формула рт(Тк(е«'2>)) = |Ф(г)|к ехр ( вир (Яе (£, г) - ^т(£))) = |Ф(г)|ке^(2) < то.

V ££сп /

Значит, из того, что е^'2^ € Fv,, следует Тк(е^'2^) € Fv,.

Для всех г € И выполняется условие Тк(е^'2^) -\ 0 в так как |Ф(г)| < 1

k—>оо

и

Tk(e^'2^) = (Ф(г)) e^'2^. Из полноты системы по Лемме 4 вытекает, что

для любых f е X0 Tk(f) -У 0 в Fp.

Для точек z е W2 определим при любых k е N отображение Sk : Y0 ^ таким, что Sk(e^'2^) = . Значит, для всех m е N выполняется соотношение

Pm(Sk(e«'2>)) = |Ф(я)|-k exp ( sup (Re (£, z) - (£)) ) = ^(z)|-kepm(2) < то.

V £gCn /

Тогда (е«'г>) -► 0 в поскольку |Ф(г)| > 1 и (е<«'г>) = • В силу

полноты множества следует, что для любых / € У0 £к (/) -> 0 в

Также для любого к € N справедливо равенство Тк(/) = /• Таким образом,

выполнены все условия теоремы В. Оператор Т гиперциклический в пространстве

Далее рассмотрим свойства оператора сдвига в пространстве . Из следующей теоремы получается инвариантность относительно сдвига.

Теорема 4. В пространстве определим оператор сдвига Та в виде

Та : /(г) € —^ /(г + а), где а € Сп, причем а = (0, 0,..., 0,0). Тогда Та гиперциклический в .

Доказательство. Оператор Т линейный, покажем его непрерывность. Возьмем некоторую функцию / € докажем, что Т/ € Действие оператора к € N раз на функцию имеет вид Тк/(г) = /(г + ка).

Для всех г € Сп и т € N из определения нормы следует оценка |/(г + а)| < рт+1(/)еРт+1-2+а). В силу условия г4) можно найти конечное число ст, для которого Бир (^т+1(г + а) — <£>т(г)) < ст. Тогда получается неравенство

|Т/(г)| = |/(г + а)| < рт+1(/)еРт+1 Vг € Сп, Vт € N. (15)

Вычислим для произвольных т € N полунормы действия оператора: Рт(Т/) < Рт+1 (/) ехр ( Бир (^т+1 (г + а) — ^га(гШ < еСтрт+1(/) = стрт+1(/) <

(16)

Следовательно, оператор Т непрерывен в По Теореме В покажем его гиперцикличность.

В силу Теоремы 1 для всех г, £ € Сп е^'^ € . Определим характеристическую функцию оператора Т(А) = тогда получим |Т(г)| = еЯсВведем множества

= {г € Сп : |Т(г)| < 1} и Ж2 = {г € Сп : |Т(г)| > 1}. Функция Т(г) целая, по малой теореме Пикара она принимает все значения в пространстве, кроме, может быть, одной величины. Следовательно, и Ж2 открытые и непустые. Обозначим Х0 = и У0 = , по Лемме 4 множества Х0 и У0 плотны

в

Для любых к € N и всех г € Сп действие оператора имеет вид Тк (е<^'2>) = ек<а'2>е<^2>. Тогда для любого т € N при фиксированной точке г получается формула

рт(Тк(е<?'г>)) = |е<а'2> |к ехр ( Бир (Ие (£, г) - ^т(0)) = екЯс<а'г>ерт(г) < то.

Значит, из того, что е<^'2> € Fч>, следует, что Тк(е<^2>) €

Для точек г € Ж из условия |Т(г)| < 1 получается выражение Тк(е<^2>) -\ 0 в

к^-те

Fч>. Из полноты множества (е<^'2>}ге^1 по Лемме 4 вытекает, что для любых / € Х0 Тк(/) -► 0 в

к^-те

При условии г € определим для любого к € N отображение : У0 ^ таким, что 5к(е<^'2>) = е-к'<а'2>е<^2> = (ТТ(г)) ке<^'2>. Значит, для любого т € N справедливо равенство

Pm(Sfc(e<f'z>)) = |e<a'z>|-k exp ( sup (Re <£,z) - ^m(£)) ) = e-kRc<a'z>epm(z) < то.

V fa en J

-fec

Тогда в силу |TT(z)| > 1 следует, что Sk(e<f'z>) -\ 0 в Fp. Ввиду полноты системы

k^-те

{e<f'z>} zgW2 получим, что для любых f G Y0 Sk(f) -^ 0 в Fp.

k^-те

Также для любого k G N выполняется равенство TkSk(f) = f. Все условия теоремы B выполнены. Следовательно, оператор сдвига T гиперциклический в пространстве Fp. □

Приведем следующее утверждение для коммутирующих с дифференцированием операторов.

Теорема 5. Пусть линейный непрерывный оператор T в пространстве Fp коммутирует с операторами частного дифференцирования и не является скалярным кратным тождественного отображения. Тогда T — гиперциклический оператор

в Fp.

Доказательство. Отметим, что для любого z G Cn функция fz(£) := e<f'z> принадлежит Fp, поскольку при каждом m G No его нормы конечные:

Pm(fz) = exp ( sup (Re <£, z) — <£>m(£)) ) = epm(z) < то. Поэтому на Cn x Cn корректно

V fgcn /

определена функция (£, z) = T(fz)(£).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Так как T коммутирует с операторами частного дифференцирования, то справедливо равенство

DjfTf(fz) = TfDjf(fz) = ZjTf(fz), z G Cn, j = 1,... ,n. (17)

Отсюда получим систему уравнений в частных производных: ддгТ(/2) = ^Т(/), ] = 1,...,п. Следовательно, искомая функция имеет вид Т(/) = = аГ(гИз последней формулы вытекает, что существует

функция аГ (г) € Сп такая, что

Т (/) = ат (г )/. (18)

Таким образом, при произвольных г, £ € Сп получим (£, г) = аГЗаметим, что по £ является целой функцией. Докажем, что ^г по г также целая. Действительно, так как Т — линейный непрерывный функционал на то для всех к € ^ найдутся числа ск > 0 и т € N0, для которых

Рк(Т(д)) < Скрт(д), д € (19)

Пусть £, ( € Сп — произвольные точки. Для любого г € Сп такого, что — С|| < 1, рассмотрим функцию (£) := е^'^ — е^'^ — (£, г — С£ € Сп. В силу (19) выполняется |Т(дг^)(£)| < скрт(дг^)ер"1®, £ € Сп. Тогда из оценки Рт(д2,с) < С||г — С||2 в Лемме 3, справедливой при некотором положительном С, и линейности оператора Т получим, что для произвольного £ € Сп

п

^Г(£, г) — (£, С) = £Т(/¿,с)(£)(% — 0) + о(||г — С||), г ^ С,

¿=1

где /¿,С(£) := ОеХР((£ С)).

Следовательно, для каждого фиксированного £ € Сп функция (£, г) голоморфна в точке ( как функция переменного г. Так как ( € Сп была взята произвольно, то ^Т по переменной г является целой функцией. Отсюда и из того, что по Теореме 1 е(?,г) — целая функция по г, вытекает, что аГ — целая функция в Сп. Поскольку по условию оператор Т не является скалярным кратным тождественного отображения, то аГ — непостоянная функция.

Отметим теперь, что если ^ непустое открытое множество Сп, то по Лемме 4 система {/полна в Рассмотрим множества = {г € Сп : |аГ(г)| < 1} и = {г € Сп : |аГ(г)| > 1}. Они непустые и открытые в Сп. Пусть Х0 — линейная оболочка системы {/}ге^1, ^о — линейная оболочка системы {/}ге^2. Множества Х0

и У0 плотны в Тогда линейные оболочки множеств ^ кег(Т—А) и ^ кег(Т—А)

|А|<1 |А|>1

плотны в Таким образом, все условия Теоремы А выполнены, оператор Т — гиперциклический. □

Из Теоремы 5 вытекают следующие утверждения.

Следствие 1. Пусть заданы числа N G N, Cj G C и точки aj G Cn, j = 1, 2,..., N.

N

Тогда оператор Tf (z) = ^ Cj f (z+aj), не кратный тождественному отображению,

j=1

гиперцикличен в Fp.

Доказательство. Очевидно, оператор T коммутирует с операторами частного дифференцирования. По Теореме 4 оператор Ta непрерывен в Fp. Тогда линейный оператор T как конечная сумма сдвигов также является непрерывным в этом пространстве. Из Теоремы 5 следует, что T — гиперциклический в Fp. □

Следствие 2. Пусть N G N и для каждого j = 1, 2,..., N заданы числа Cj G C, точ-

N

ки aj G Cn и мультииндексы aj G Z+. Тогда оператор Tf (z) = ^ Cj (DO7 f )(z + aj),

j=1

действующий в Fp и не кратный тождественному, является гиперциклическим.

Доказательство. В Теореме 2 показано, что при произвольном a G Z+ оператор Da действует непрерывно из Fp в Fp. В силу Теоремы 4 сдвиг Ta тоже непрерывен в Fp. Следовательно, оператор T непрерывный как конечная сумма их композиций. Поскольку он коммутирует с операторами частного дифференцирования, то по Теореме 5 T гиперцикличен в Fp. □

Если Л = (Aj)°=х — заданная последовательность точек Aj G Cn, то для семейства функций <£> при всех m, j G N в силу условия i4) существует зависящая от нее совокупность чисел ^„(Л) = sup (<£>m+1(z + Aj) — <£>m(z)).

zgC'1

Следствие 3. Пусть для семейства <£> заданы последовательность (dj)°=1 комплексных чисел dj и последовательность Л = (Aj)°=1 точек Aj G Cn таких, что

те

lim | A j | = то и ^ |dj |ebj>l (Л) < то для любого m G N. Определим на Fp оператор ^те j=1

те

T(f)(z) = djf (z + Aj), где z G Cn. Тогда T гиперцикличен в Fp. j=1

Доказательство. Пусть f G Fp. Тогда при всех m G N и z G Cn выполняется оценка |f (z + Aj )| < pm+1 (f )ePm+l(z+Aj \ Из условия i4) следует, что |f (z + Aj)| < pm+1(f)epm(z)+b;,m^. Его норма имеет следующий вид:

те

Pm(Tf) = sup(| ]Tdjf (z + Aj)|e-Pm(z)) <

те

V |dj |pm+1 (f) exp ( sup (^m+1(z + Aj) — (z))) < pm+1(f) V] |dj |еь-7',т(Л) < то. j=1 zee j=1

те

<

Следовательно, оператор Т линейный и непрерывный и переводит в Также он коммутирует с операторами частного дифференцирования, поэтому по Теореме 5 оператор Т гиперциклический. □

Следствие 4. Пусть в пространстве Б — обобщенная функция с компактным носителем, причем ее преобразование Фурье-Лапласа Б(г) = Б^ (е^'^) не является константой. Тогда оператор свертки вида М^[/](г) = Б4(/(г + Ь)) гиперцикличен в

Доказательство. Нам нужно доказать, что М^ [/] € при всех / € и линейный оператор М^ отображает непрерывно в Поскольку носитель обобщенной функции Б компактен и любая функция / € целая в Сп, то получим, что

М5[/] € Н(Сп).

В силу компактности носителя Б при произвольной / € существуют компактное множество К в Сп и постоянная С > 0, для которых |Б(/)| < С тах |/(Ь)|. Отсюда следует, что |М$[/](г)| < С тах |/(г + Ь)|. Заметим, что для любого т € N0 по условию г4) можно найти константу ст > 0, удовлетворяющую оценке <£>т+1(г + Ь) — <£>т(г) < ст, где г € Сп, Ь € К. Тогда из определения нормы при всех г € Сп получается неравенство

М [/](г)| < Схрт+1(/)ех^ С тах ^т+1(* + , г € Сп.

V /

Отсюда и из ограниченности компакта К вытекает оценка нормы оператора свертки:

Pm(Ms[/]) < Cxpm+i(/) exp ( sup (max<pm+i(z + t) - <pm(z)) ) < Cipm+i(/)eCm = C2Pm+l(/) < TO.

Следовательно, оператор М5 непрерывно отображает в В работе [19] было доказано, что оператор свертки М5 в Н(Сп) коммутирует с операторами частного дифференцирования. Так как Б(г) не равен постоянной, то М5 не кратен тождественному оператору. Значит, в силу Теоремы 5 оператор М5 гиперцикличен в □

Далее приведем пример гиперциклического оператора, не являющегося сверткой.

п

Теорема 6. Оператор Т/(г) = X] С' дт (/(Лг + Ь)) в пространстве , где числа

Л € Сп, Ь € Сп и С' € Сп, ^ € {1; п} фиксированы, гиперциклический при условии |А| < 1.

Доказательство. Возьмем некоторую функцию / € Оператор Т линейный и непрерывный как конечная сумма операторов частного дифференцирования, а их

непрерывность была доказана в Лемме 5. Покажем ее гиперцикличность, используя теорему Гефнера-Шапиро.

В доказательстве Теоремы 1 было показано, что для всех г, £ € Сп

п

е<?'-> е Введем обозначение Р(г) = X] С'%. Определим множества

5=1

" = {г € Сп : |Р(г)| < 1} и " = {г € Сп : |Р(г)| > 1}, " и " открытые и непустые. Обозначим X = и У = , по Лемме 4 множества X и У плотны в

Вычислим для произвольного п € N действие оператора на степенную функцию:

Т?пе?— = А^Рп(г) ехр (г(лп£ + Ь ( 1—)). (20)

Для значений |А| < 1 получается утверждение Т,Пе?- -^ 0 в множестве X,

? п—^^о

поскольку при всех г € X из формулы (20) получим выражение

Рт(Т?пе?—) = |Р(г)|п|А|^ ехр (Яе (*Ь ( )) ехр (^(Ап£)) ———+ 0.

Определим обратный оператор на множестве У в виде Бе?2 = рт-т- ехр I 4 ' I, тогда выполняется равенство ТБе?- = е?-. Действие оператора на экспоненту при произвольном п € N имеет такой вид:

Б?- = Л^ехр («ЦИ) . (21)

При значениях |А| < 1 верно соотношение Б?1 е?- -\ 0 в множестве У, так как

для любых г € У в силу (21) верно равенство

(п-1)

Рт(Б'е?-) = ^ ехр (— ае (л (—^)) ехр () ——^

Также справедливо условие 3) теоремы В: Т? о Б?е?- = )е-? = е-?. Поскольку выполнены все условия теоремы Гефнера-Шапиро, то в случае |А| < 1 Т — гиперциклический оператор в □

Лемма 6. Пусть для семейства <£> выполнено дополнительное условие

V т, к € N 3 I = /тЛ. € N г = гт,к > 0 : V€ Сп +£) < <£>т(г)+<^.(£)+г, (22)

а Б — линейный непрерывный функционал на Тогда при любых / € функция М^ [/](г) = Б4(/(г + Ь)) целая в Сп и М5 [/] — коммутирующий оператор с операторами частного дифференцирования.

Доказательство. По требованию г4) ^^ будет инвариантным относительно сдвига. Ввиду этого оператор свертки М^ определен всюду на ^^ и также для всех / € ^^ функция М^ [/] определена всюду в Сп.

Докажем, что из условия / € ^^ следует голоморфность функции М5 [/] в Сп. Возьмем любую точку 20 € Сп и произвольное число Н = (Нь..., Нп) € Сп такое, что |Н| < 1. Тогда справедливо равенство

М5[/](^о + Н) - М5[/]Ы - ^М5[^/](^о)Н^ = (23)

5 = 1

п

= & (/(^0 + Н + £) - /(20 + £) - /)(20 + *)Н,-) .

5=1

Также для всех т € N и некоторых чисел Ст > 0 верна оценка

|£(/)| < СтРт(/), / € (24)

Из формул (23) и (24) вытекает соотношение

п

|М5[/](20 + Н) - М5[/](2о) - М5[£>,■/](2о)Нд-1 < Стрт(^), (25)

5=1

п

где 0го,Л(*) = /(20 + Н + £) - /(20 + £) - £ (^/)(20 + , £ € Сп.

5=1

Теперь для любого в € с помощью формулы Тейлора для вещественной и мнимой части функции Ввполучается формула

|(^гоЛ)(£)| < 2п2||Н||2 í г тах |(£а+в/)(£)|, (26)

ае2+: |а|=2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где [20 + 20 + £ + Н] — отрезок, соединяющий точки 20 + £ и 20 + £ + Н. Применяя требование (22), найдем число к € N такое, что к > т + 2, и константу С = С(20) > 0, для которых выполняется оценка <£>к (£) < <£>т(£) + С для всех £ € Сп, удовлетворяющих условию ||£ - £|| < ||201| + 1. Значит, при всех в € с |в| < т верно неравенство

тах |(£а+в/)(£)| < ес№(/Кт(4), £ € Сп. (27)

аег+: |а| = 2

Из формул (26) и (27) следует, что для всех в € с |в | < т |(^гоЛ)(£)| < 2п2ес||Н||2рк(/Кт(4), £ € Сп. Тогда можно оценить норму функции

Рж(^ол) < 2п2ес||Н|2рк(/). (28)

Из неравенств (25) и (28) вытекает соотношение

п

|М5[/](^0 + Л) - М5[/]Ы - ]ТМ5[Д1 < Ст2п2ес||Ь||2рк(/).

Следовательно, функция М^ [/] дифференцируема в данной точке £0 € Сп, а также получается Д(М$[/])(г0) = М^[Д/](г0). Поскольку г0 — произвольная точка, то М^ [/] будет дифференцируема во всем Сп и выполняется Д (М$ [/]) = М5 [Д /], ^ = 1,..., п. В силу последней формулы и инвариантности пространства относительно дифференцирования следует, что функция М5 [/] целая в Сп. □

Лемма 7. Пусть для семейства ( выполнено дополнительное условие

V т,к € N 3 I = 1т,к € N г = гт,к > 0 : V€ Сп (Дг+С) < (т(г) + (к(С) + г (29)

и Б — линейный непрерывный функционал на Тогда оператор свертки

М5[/](г) = БД/(г + С)) отображает в а также он линеен и непрерывен.

Доказательство. Из Теоремы 4 следует инвариантность ^( относительно сдвига. Тогда оператор М5 определен всюду на Очевидно, он линейный. Поскольку функционал Б линейный и непрерывный на то существуют величины к € N и Ск > 0, для которых |Б(/)| < Скрк(/), где / € Таким образом, для всех г € Сп и для любых / € получим оценку

М[/](г)| < Ср(Т/)= С вир 1(Д"/()(г(+)*)1.

*6с", |«|<к ехр(((С))

Возьмем любое число т € N а число I € N из условия (29). Ввиду условий I > к и / € выполняется соотношение

М[/](г)| < Скр/(/) вир +)*)). (30)

¿есп ехр((к (с))

Из требования (29) и формулы (30) следует неравенство

М[/](г)| < Скр/(/)ехр((т(г)).

Тогда оценка нормы функции имеет вид рт(М^[/])| < СкеГт,кр(/), / €

Следовательно, линейный оператор М5 отображает в и он непрерывен.

Из Лемм 6 и 7 вытекает следующая теорема.

Теорема 7. Пусть для семейства функций < выполняется условие (29), а S определен как линейный непрерывный функционал на F{, преобразование Фурье-Лапласа которого S(z) = Sç не является константой. Тогда оператор сверт-

ки Ms[f](z) = St(f (z + t)) гиперцикличен в F{.

Заключение

Изложим кратко полученные в работе результаты. В пространстве F{ оператор частного дифференцирования T = т^ для любого j = 1,...,n гиперциклический и его образ лежит в F{. Если в F{ задан некоторый полином с постоянными коэффициентами Ф^) = £ caza, z G Cn, отличный от константы, то оператор

agz+: |a|<m

T : f G F{ —У £ caDaJ — гиперциклический в F{. В случае, когда зада-

agz+: |a|<m

на Ф(z) = £ caza — непостоянная целая функция в F{, определим оператор agz+: |а|>0

T : f G

-^ £ caD(af. Тогда если Ф^) — функция экспоненциального

agz+: |а|>0

типа, то оператор T гиперциклический в F{.

В пространстве F{ определим оператор сдвига Ta в виде Ta : f (z) G F{ —У f (z + a), где a G Cn, причем a = (0, 0,..., 0,0), тогда T гиперциклический в F{. Положим, что линейный непрерывный оператор T в F{ коммутирует с операторами частного дифференцирования и не является скалярным кратным тождественного отображения. Тогда T — гиперциклический оператор в F{ .

Когда в F{ задана обобщенная функция S с компактным носителем, причем ее преобразование Фурье-Лапласа S(z) = Sç не является константой, то опе-

ратор свертки вида Ms[f](z) = St(f(z + t)) гиперцикличен в F{. Оператор вида

n

Tf (z) = £ Cj¡d-(f (Az + b)), где все числа A G C, b G Cn и cj G Cn, j G {1; n}

фиксированные, гиперциклический в F{ при условии |A| < 1.

Если для семейства функций < при любых m, k G N можно найти числа l = lm,k G N, r = rm,k > 0 такие, что всех z, t G Cn <(z + t) < <m(z) + <k(t) + r, а S определен как линейный непрерывный функционал на F< , то оператор свертки Ms [f ] гиперцикличен в F <.

Список литературы

1. BIRKHOFF, G. D. (1929) Demonstration d'un theoreme elementaire sur les fonctions entieres. C.R. Acad. Sci. 189 (Paris). p. 473-475.

2. MACLANE, G. R. (1952) Sequences of derivatives and normal families. J. Analyse Math. 2. p. 72-87.

3. Ким, В. Э. Полнота систем производных функций Эйри и гиперциклические операторы // Уфимский математический журнал. — 2010, Т. 2, № 4. — C. 52-57.

KIM, V. E. (2010) Completeness of Airy derivative systems and hypercyclic operators. Ufa Mathematical Journal. 2 (4). p. 52-57.

4. ARON, R. & MARKOSE, D. (2004) On universal functions. J. Korean Math. Soc. 41(1). p. 65-76.

5. BES, J. & PERIS, A. (1999) Hereditarily hypercyclic operators. Journal of Functional Analysis. 167. p. 94-112.

6. BETANCOR, J. J. & SIFI, M.& TRIMECHE, K. (2005) Hypercyclic and chaotic convolution operators associated with Dunkl operators on C. Acta Math. Hungar. 106 (1-2). p.101-116.

7. GROSSE-ERDMANN, K.-G. (1999) Universal families and hypercyclic operators. Bull. Amer.Math. Soc. 36. p. 345-381.

8. PETERSSON, H. (2006) Supercyclic and hypercyclic non-convolution operators. J. Operator Theory. 55 (1). p. 133-151.

9. GODEFROY, G. & SHAPIRO, J. H. (1991) Operators with dense, invariant, cyclic vector manifolds. J. Funct. Anal. 98. p. 229-269.

10. GETHNER, R. M. & SHAPIRO, J. (1987) Universal vectors for operators on spaces of holomorphic functions. Proc. Amer. Math. Soc. 100 (2). p. 281-288.

11. KITAI, C. (1982) Invariant Closed Sets for Linear Operators. Ph.D Thesis. Toronto: University of Toronto.

12. BONET, J. (2009) Dynamics of the differentiation operator on weighted spaces of entire functions. Math. Z.. 261. p. 649-657.

13. BONET, J. & BONILLA, A. (2013) Chaos of the differentiation operator on weighted Banach spaces of entire functions. Complex Anal. Oper. Theory. 7. p. 33-42.

14. BEL'TRAN, M. J. (2014) Dynamics of differentiation and integration operators on weighted spaces of entire functions. Studia Mathematica. 221. p. 35-60.

15. EHRENPREIS, L. (1970) Fourier analysis in several complex variables. New York: Wiley-Interscience publishers. 506.

16. Паламодов, В. П. Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. — М.: Наука, 1967. — 488 c.

PALAMODOV, V. P. (1967) Linear differential operators with constant coefficients. Moscow: Nauka. 488.

17. TAYLOR, B. A. (1971) On weighted polynomial approximation of entire functions. Pacific Journal of Mathematics. 36 (2). p. 523-539.

18. HASLINGER, F. (1986) Weighted spaces of entire functions. Indiana University Mathematics Journal. 35 (1). p. 193-208.

19. Напалков, В. В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. — М.: Наука, 1982. — 240 c.

NAPALKOV, V. V. (1982) Convolution equations in multidimensional spaces. Moscow: Nauka. 240.

20. Абанин, А. В., Тиен, Ф. Ч. Классические операторы в весовых банаховых пространствах голоморфных функций // Итоги науки и техники. Серия Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. — 2017, № 142. — C. 3-13.

ABANIN, A. V. & TIEN, F. Ch. (2017) Classical operators in weighted Banach spaces of holomorphic functions. Results of science and technology. The series Modern Mathematics and its applications. Thematic reviews. 142. p. 3-13.

21. Попенов, С. В. О весовом пространстве функций, аналитических в неограниченной выпуклой области в Cm // Матем. заметки. — 1986, Т. 40, № 3. — C. 374-384. POPENOV, S. V. (1986) Weighted space of functions analytic in an unbounded convex domain in Cm. Math. Notes. 40 (3). p. 720-725.

22. Ахтямов, Н. Т., Мусин, И. Х. О существовании базиса в весовом пространстве целых функций // Уфимский математический журнал. — 2009, Т. 1, № 1. — C. 3-15.

AKHTYAMOV, N. T. & MUSIN, I. Kh. (2009) On the existence of a basis in the weighted space of entire functions. Ufa Mathematical Journal. 1 (1). p. 3-15.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.