ГИПЕРЦИКЛИЧЕСКИЕ И ХАОТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ ФУНКЦИЙ, АНАЛИТИЧЕСКИХ В ОБЛАСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 16. № 3 (2024). С. 88-95.

УДК 517.93

ГИПЕРЦИКЛИЧЕСКИЕ И ХАОТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ ФУНКЦИЙ, АНАЛИТИЧЕСКИХ В ОБЛАСТИ

А.И. РАХИМОВА

Аннотация. В данной статье рассматривается пространство Н(Q) функций, аналитических в односвязной области Q комплексной плоскости, наделенное топологией равномерной сходимости на компактах. Изучены вопросы гиперцикличноети, хаотичности и часто гипер цикли чноети некоторых операторов в этом пространстве. Доказано, что линейный непрерывный оператор в Н(Q), коммутирующий с оператором дифференцирования, гиперцикличеекий. Также показано, что данный оператор является хаотическим и часто-гиперциклическим в Н(Q).

Ключевые слова: пространство аналитических функций, гиисрцикличсский оператор, хаотический оператор, часто гиисрцикличсский оператор.

Mathematics Subject Classification: 37С20

1. Введение

1.1. Цель работы. Линейный непрерывный оператор Т : X ^ X в топологическом пространстве X образует дискретную динамическую систему {Tra}raeNU{0}, Для описания поведения этой системы были введены такие характеристики дня операторов, как цикличность, гинерцикличноеть, чаето-гинерцикличноеть, хаотичность и многие другие. Задача описания гиперциклических операторов в пространстве Н(C) функций, аналитических в комплексной плоскости, рассматривалась Маклейном |1|, Биркхофом |2|, Годефруа |3|, Шапиро |4|, Кимом |5|, |6| и другими авторами, а хаотических и часто-гинер циклических операторов в Н(C) — в работах Гроссе-Эрдманна, Пэрис [ ], Баярт, Матерона [ ], Дева-ни |10| и других.

Основы теории хаотических операторов были заложены Девани |10|, Бэнкс, Брукс и другие авторы в статье |11| рассмотрели условия хаотичности Девани и доказали, что условие существенной зависимости оператора от начальных условий вытекает из условий топологической транзитивности и наличия плотного множества периодических точек. Годефруа, Шапиро |3| показали, что любой оператор свертки, характеристическая функция которого отлична от постоянной, является хаотическим в Н(C),

Понятие часто-гинер циклического оператора ввели Баярт и Гривакс в статье |12| дня пространства Н(C), Бонилла и Гроссе-Эрдманн в работе | | привели примеры таких операторов и векторов в Н(C). В книгах Гроссе-Эрдманн, Пэрис [ ] и Баярт, Матерон [ ] имеются подробные сведения но динамике линейных операторов, в том число но хаотическим и часто-гиперциклическим операторам. В работе Лишанского |9| изучена динамика линейных операторов в пространствах Харди функций, аналитических в круге.

A.I. Rakhimova, Hypercyclic and chaotic operators

in space of functions analytic in domain.

© Рахимова A.II. 2024.

Поступила 10 августа 2023 г.

В случае пространств функций, аналитических в односвязной области па комплексной плоскости, задачи о гиперцикличности, хаотичности и часто-гинер цикличности линейных непрерывных операторов ранее не рассматривались. Данная работа посвящена изучению этих вопросов в пространстве таких функций.

Пусть П — произвольная односвязная область на плоскости С. Определим как Н(П) пространство аналитических в П функций и наделим его топологией равномерной сходимости на компактах из П, задаваемой системой норм

pm(f) = sup |/(z)1, т = 1 2,...,

где Кт — компакты в П с непустой внутренностью такие, что Кт С intКт+1, т е N и

оо

(J Кт = П. По теореме Римана система полиномов полна в Н(П), значит, пространство

п= 1

сепарабельно. Также оно метризуемо. Тогда Н(П) является пространством Фреше, Отметим, что оно инвариантно относительно дифференцирования и относительно сдвига, если П = Па = {z е С : |Im zl < а} — горизонтальная полоса на плоскости С гДе ° е R, ° > 0-Результаты статьи приведены в теоремах 2,1, 3,1 и 3,2, Доказано, что линейный непрерывный оператор Т в Н(П), коммутирующий с оператором дифференцирования, гинерциклический (теорема 2,1), а также он хаотический (теорема 3,1) и часто-гинерциклический (теорема 3,2),

1.2. Основные определения. Пусть X — топологическое векторное пространство над полем С. Орбитой элемента х оператора Т : X ^ X называется множество

Orb(7» = {Тпх}00=о

([ , опр, 1,2], [ , введ,, опр, 0,1]), Элемент х е X называется периодической точкой оператора Т, езди найдется число п е N такое, что Тпх = х ([7, опр, 1.23], [8, опр, 6,5]), Обозначим через span Е линейную оболочку множества Е в топологическом векторном пространстве.

Линейный непрерывный оператор Т : X ^ X называется гиперциклическим оператором ([ , опр, 2,15], [ , введ,, опр, 0,2]) в пространстве X, если существует элемент х е X, орбита которого плотна в X. Элемент х е X является гиперциклическим вектором оператора Т в X.

Непрерывный оператор Т : X —у X в топологическом векторном пространстве X называется топологически транзитивным, соли дня любых непустых открытых множеств А, В С X существует такое число п е N, что Тп(А) П В = 0 ([ , опр, 1.11], [ , теор, 1.2]).

Оператор Ф : Y ^ Y в метрическом пространстве (Y, d) называется хаотическим, если выполнены следующие условия Девани (|10, опр. 8,51): Ф

ет 6 > 0 такое, что для любого элемента х е Y и ^го любой окрестности U найдутся точка у е U и число п е N такие, что ¿(Фпх, Фпу) > ö] Ф

Ф

пространстве Y.

Нижняя плотность ([ , опр, 9,1], [ , § 6,3, п. 6,3,1, опр, 0,2]) множества А С N densA определяется по формуле

dens А = liminf #{п е-^^—}.

N^o N

Пусть X — топологическое векторное пространство. Линейный непрерывный оператор Т : X ^ X называется часто-гиперциклическим оператором ([ , опр, 9,2], [ , опр, 6,16]),

если найдется такой элемент х G X, что для любого непустого открытого подмножества U С X выполняется уел овне densj п G N : Тпх G U} > 0. Элеме нт х G X является часто-гиперциклическим вектором оператора Т в X. Заметим, что класс часто-гинерциклических операторов содержится в множестве гинерциклических операторов (|7, опр, 9,2|, |8, опр, 6,16|),

В дальнейшем нам понадобятся приведенные ниже теоремы:

Теорема 1.1 (Теорема Годефруа^Шапиро, [ , следствие 1.3]). Пусть Т : X ^ X — линейный непрерывный оператор в сепарабельном пространстве Фреше X, подпространства

Х0 = spanjx G X : Тх = Хх, X G C : |А| < 1} У0 = spanjx G X : Тх = Хх, X G C : |А| > 1}

плотны в X.

Тогда Т — гиперциклический оператор.

В работах |7| и |11| доказаны следующие факты:

Теорема 1.2 ([ , теорема 1]). Если, в метрическом пространстве X оператор Т : X ^ X топологически транзитивный и множество его периодических точек всюду плотно в X, то оператор Т обладает существенной зависимостью от начальных условий.

Теорема 1.3 (Теорема Биркгофа о транзитивности, [ , теорема 2,19]). Если X пространство Фреше, то для линейного непрерывного оператора, Т : X ^ X топологическая, транзитивность и гиперцикличность равносильны,.

В силу теоремы 1,2 условие (А) следует из условий (В) и (С), поэтому дальше при доказательстве хаотичности оператора его проверка не требуется. Из теоремы 1,3 следует, что дня гинерциклического оператора в пространстве Фреше достаточно проверить плотность множества его периодических точек в этом пространстве. Заметим, что множество периодических точек является линейным подпространством.

Теорема 1.4 ([ , теорема 2,33]). Пусть Т — линейный, оператор в комплексном векторном, пространстве X. Тогда множество периодических точек оператора, Т задается, в виде

Per(T) = span {ж G X : За G Q : Тх = eawix}.

Пусть Т — оператор в комплексном топологическом векторном пространстве Фреше X и T — единичная окружность. Набор функций Ej : T ^ Н(П), j G J, называется охватывающим полем собственных векторов, соответствующих собственным значениям с единичным модулем, если Ej (w) G ker(T — wl) для всex w G T, j G J и множество span{Ej (w)}weT jeJ плотно в X. Векторное поле называется соответственно непрерывным, или С2-гладким, если каждая функция Ej, j G J соответственно непрерывна или дважды непрерывно дифференцируема по w на T ([ , определение 9,21]),

Теорема 1.5 ([ , теорема 9,22]). Пусть Т — оператор в комплексном, сепарабельном пространстве Фреше X. Тогда справедливы следующие утверждения:

a) если оператор Т имеет непрерывное охватывающее поле собственных векторов, соответствующих собственным значениям, с единичным, модулем, то он хаотический;

b) если, оператор Т имеет С2-гладкое охватывающее поле собственных векторов, соответствующих собственным значениям, с единичным, модулем, то он часто-гиперциклический.

Мы воспользуемся также следующей теоремой.

Теорема 1.6 ([ , лемма 2,34]). Пусть Л С C — множество, содержащее предельную точку, тогда, множество

span{ еЛг, z е П} л

плотно в Н(П).

2. Гиперциклические операторы

Дня операторов, коммутирующих с дифферепдировапием, справедливо следующее утверждение:

Теорема 2.1. Пусть линейный непрерывный оператор Т в пространстве Н(П) коммутирует с оператором дифференцирования и не является скалярным, кратным, тождественного отображения. Тогда Т — гиперциклический оператор в Н(П).

Доказательство. Для любого А е C ряд Тейлора

^ = у zn ^ п\

п=0

сходится равномерно па компактах плоскости, значит, он сходится в топологии пространства Н(П). Функцию Т(z,\) = Tz(eXz) можно представить в виде поточечно сходящегося по А ряда

+ f ( П)

Т(z,X) = Y А е C.

^ п\

п=0

По теореме Абеля этот степенной ряд сходится равномерно па компактах плоскости, поэтому Tz (eXz) — целая функция по переменной А,

Так как Т коммутирует с D, то при каждом А е C верно равенство

И И

т'(eXz) = ±Tz(eXz) = Tz-f (eXz) = \TZ(eXz), z е П. az az

Решение дифференциального уравнения T'z (eXz) = \TZ (eXz) имеет вид

Tz(eXz) = aT(\)eXz, z е П, А е C.

Поскольку функция Tz (eXz) целая по А, то aT(А) — целая функция. Отметим, что aT(А) не тождественна постоянной: если aT(А) = с, оде с = const, то Tz(eXz) = ceXz, а в силу того, что система экспонент полна в Н(П), получим Tf = cj, f е Н(П), что противоречит условию теоремы.

Рассмотрим множества W\ = {А е C : |aT(А)| < 1} и W2 = {А е C : |aT(А)| > 1}. Они открытые и непустые: если W2 = 0, то aT(А) ограничена, значит, постоянна, а если W\ = 0, то 1/aT(А) ограничена. Определим Х0 = span(eA^}zeWl и Уо = span{eA2:}zew2- Множества X0 и Y0 плотны в Н(П), Таким образом, по теореме оператор Т гиперциклический в Н (П).

□

Операторы из следствий 2,1-2,4 линейные непрерывные и коммутируют с оператором дифференцирования, поэтому они удовлетворяют теореме 2.1.

Следствие 2.1. Пусть полином Р(z) = Y1 anzn, где т е N и, ап е C, п е (0; т), отли-

т

vп

.ОП*

п=0 т

чен от постоянной. Тогда оператор Т = anDn является, гиперциклическим в Н(П).

га=0

Положим Qa = {z G C : |Im z| < а}, оде о G R, о > 0,

Следствие 2.2. Пусть заданы числа т G Nu, a,j G R, Cj G C, j G (1; m). Тогда onepa-

m

mop Tf (z) = Cj f (z + dj) при условии, что он не кратен тождественному, гиперцик-

3 = 1

лический в Н(Пст).

Следствие 2.3. Пусть N G Nu т G N, для вс ex j = 0,1,..., N и к = 1, 2,... ,т

заданы числа Cjk G C и точки ak G R. Тогда оператор

N т

Tf (z) = ЕЕ(°3 f )(z+), j=0 k=l

действующий в Н(Пст) и, не кратный тождественному, является гиперциклическим в Н(Пст).

Следствие 2.4. Оператор Мр[f](z) = (Fw,f (z + w)), где F G H*(Qa), носитель которого лежит на вещественной оси, гиперциклический в Н(Пст) (см. [ , теорема 17.3]).

Приведем пример по гиперциклического оператора.

Пример 2.1. Пусть X G R \ {0} и b G R — фиксированные числа. Тогда, оператор Tf(z) = f'(Xz + b) при условии |А| < 1 не гиперциклический в Н(Пст).

Доказательство. Очевидно, оператор Т линейный и непрерывно отображает Н(Пст) в Н(Пст), Рассмотрим произвольную функцию f G Н(Пст), Действие оператора Т п раз на функцию f имеет вид

' 1 - Хп^

п(п — 1) / \ f {

Tnf (z) = А -V2 f (n) ( Xnz + b(-

1 - А

Возьмем произвольный компакт К С Qa. Очевидно, что

sup

zeK

Xnz + b

/1 - Xn \

^T-X )

b

1 - \ J 1 - А

значит, для некоторого N G N при п > N

0,

Xnz + b

/1 - Хп \

VT-X )

b

а

Обозначим

1 - \ J 1 - А

'1 - Хп

< -, z G К. 4

zn = Xnz + b

/1 - Xй \

[т-х).

По интегральной формуле Коши при п > N

п\

Г'Ы =

А 1 = I

f (С R (С - ;

поэтому

22ra+iп! i 4\ п

И^ ^г^. max _ |/(£)| := С^-J п\,

ап+1 ь |< f

где С0 = 2 max |/(£)|. Тогда при п > N, z G К

К-т^ I<

п(п —1) , ч f 4\ П п(п-1)

lTnf(z)l = |А|—lf(n)(zn)l ^ Со[4J п\|А|-

то есть

шах |Тп/(г)| -► 0.

Поскольку К — произвольный компакт, то Tпf (г) ^ 0 при п ^ ж в топологии пространства Н), В частности, множество {Тп/ограничено в пространстве Н(Пст) и не может быть всюду плотным.

□

3. Хаотические и часто-гиперциклические операторы

Дня операторов, коммутирующих с дифференцированием, выполняются следующие утверждения о хаотичности и часто-гинерцик.ничпости.

Теорема 3.1. Пусть линейный непрерывный оператор Т в пространстве Н(П) коммутирует с оператором дифференцирования и не является скалярным, кратным, тождественного отображения. Тогда Т — хаотический оператор.

Доказательство. Покажем справедливость утверждения, проверив определение хаотичности. В теореме было показано, что Т — гиперциклический оператор в пространстве Фреше Н(П), В силу теорем и осталось показать, что Т имеет плотное множество периодических точек в Н(П),

При доказательстве теоремы получили, что действие оператора Т на экспоненты определяется но формуле

Т (еХг) = ат (\)еХг,

где ат(А) — целая функция, отличная от постоянной, А € С, г € П. Введем обозначение (р(\) = ат (А).

По теореме совокупность периодических точек оператора Т задается в виде

V = врап{/ € Н(П) : За € О : Т/(г) = /(г)}.

Тогда множеством собственных значений, соответствующих функциям из V, является

Ш = {А € С : За € О : р(А) = еажг}.

Поскольку ^(А) — непостоянная целая функция, то она принимает все значения, кроме, может быть, одного значения. Значит, ее образ ^(С) пересекает единичную окружность Т. Так как непостоянная голоморфная функция ^(А) является открытым отображением, то бесконечно много точек А = ^-1(еат), оде а € О, лежат в некотором компакте в С. Отсюда получим, что Ш имеет предельную точку. По теореме 1.6 V = врап{еХ2:}Хе ^ плотно в Н(П). Следовательно, оператор Т хаотический в Н(П).

□

Теорема 3.2. Пусть линейный, непрерывный, оператор Т в пространстве Н(П) коммутирует с оператором дифференцирования, и не является, скалярным, кратным тождественного отображения. Тогда Т — часто-гиперциклический оператор.

Доказательство. Доказательство теоремы основывается па теореме 1.5.

В теореме было показано, что Т — гиперциклический оператор в пространстве Фреше Н(П). При ее доказательстве получили, что действие оператора Т на экспоненты равно

Т (еХг) = ат (Х)еХх,

где ат(А) — целая функция, отличная от постоянной, А € С, г € П. Обозначим ^(А) = ат(А), Из предыдущего уравнения видно, что числа ^(А) входят в множество

собственных значений оператора Т, а экспоненты eXz являются его собственными функциями.

Поскольку р — целая функция, отличная от постоянной, то по теореме Пикара множество р(С) содержит всю единичную окружность, кроме, возможно, одной точки. Возьмем точку w £ T так, чтобы в точке г, <p(z) = w, производная р'(z) была отлична от нуля: р(z) = 0, В этом случае функция р отображает некоторую открытую окрестность U точки г конформно в некоторую открытую окрестность U точки w.

Пусть ф = р-1 : U ^ U — обратное отображение, оно голоморфно в U. Зафиксируем некоторую нетривиальную замкнутую дугу единичной окружности 7 с U, содержащую точку w. Возьмем С2-гладкую функцию f : T ^ C такую, что f(w) = 0 и f = 0 вне 7 Определим функцию Е : T ^ Н(П) в виде Е(Л) = /(Л)Поскольку множество V = {ф(Л), Л £ 7, f (Л) = 0} очевидным образом имеет предельные точки, то по теореме F множество span{/(Л)е,ф(Л) £ V} плотно в Н(П), Очевидно, набор из одной функ-Е

зпачепиям с единичным модулем. Тем самым, теорема 3,2 следует из теоремы 1,5,

□

Поскольку операторы из следствий - линейные непрерывные в Н(П) и коммутируют с оператором дифференцирования, то дня них справедливы теоремы 3.1 и 3,2,

Следствие 3.1. Пусть полипам,

т

Р (z) = ^anzn,

п=0

т

где т £ N и an £ C, п £ (0; т), отличен от постоянной. Тогда, оператор Т = Y1 anDn

п=0

Н(П)

Положим Пст = {z £ C : |Imz| < а}, оде а £ R, а > 0,

Следствие 3.2. Пусть заданы числа т £ N и, aj £ R, Cj £ C, j £ (1; т). Тогда, оператор

т

Тf(z) = Y1 cjf (z + aj) при условии, что он не кратен тождественному, хаотичен и =1

часто-гиперцикличен, в Н(Пст).

Следствие 3.3. Пусть N £ N и т £ N, для всех j = 0,1,..., N и к = 1, 2,... ,т

заданы числа Cjk £ C и, точки, ak £ R. Тогда оператор

N т

Т /(*) = ЕЕ °jk (Dj f)(z + ak), j=0 k=1

действующий, в Н(Пст) и, не кратный тождественному, хаотический и часто-гиперциклический, в Н(Пст).

Следствие 3.4. Оператор MF[f](z) = (Fw, f(z + w)), где F £ Н*(ПСТ), носитель которого лежит на вещественной оси, хаотический и часто-гиперциклический в Н(Пст) (см. |14, теорема 17.3\).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. G.R. MacLane. Sequences of derivatives and normal families // J. Anal. Math. 2, 72-87 (1952).

2. G.D. Birkhoff. Démonstration d'un théorème élémentaire sur les fonctions entières // C. R. 189, 473-475 (1929).

3. G. Godefrov, J.H. Shapiro. Operators with dense, invariant, cyclic vector manifolds // J. Funct. Anal. 98:2,"229—269 (1991).

4. R.M. Gethner, J. Shapiro. Universal vectors for operators on spaces of holomorphie functions // Proc. Amer. Math. Soc. 100:2, 281-288 (1987).

5. В.Э. Ким. Гиперциклические и хаотические операторы на пространстве целых функций // Труды Института математики с ВЦ УНЦ РАН. 1, 126-130 (2008).

6. В.Э. Ким. Гиперцикличность и хаотичность операторов обобщенной свертки, порождаемых оператора,ми Гельфонда-Леонтьева // Мат. заметки. 85:6, 849-856 (2009).

7. K.-G. Grosse-Erdmann, A. Peris Manguillot. Linear chaos, Springer, Berlin (2011).

8. F. Bavart, E. Matheron. Dynamics of Linear Operators, Cambridge University Press, Cambridge (2009).

9. А.А. Лишанский. Существование гиперциклических подпространств у операторов Теплица, // Уфим. мат. ж. 7:2, 109-113 (2015).

10. R.L. Devanev. An introduction to chaotic dynamical system,s, Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Redwood City, С A etc. (1989).

11. J. Banks, J. Brooks, G. Cairns, G. Davis, P. Stacev. On Devaney's definition of chaos // Am. Math. Mon. 99:4, 332-334 (1992).

12. F. Bavart, S. Grivaux. Frequently hypercyclic operators // Trans. Am. Math. Soc. 358:11, 50835117 (2006).

13. A. Bonilla, K.-G. Grosse-Erdmann. Frequently hypercyclic operators and vectors // Ergodic Theory Dvn. Svst. 27:2, 383-404 (2007).

14. B.B. Напалков. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука (1982).

Алсу Ильдаровна Рахимова, Институт математики с ВЦ УФ! III РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]