О геометрических представлениях конечных групп, имеющих абелеву подгруппу индекса 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.542.1,512.542.7

В. Ф. Скородумов1, В. В. Штепин1'2, Д. В. Штепип1

Российский государственный университет им. А. Н. Косыгина (Технологии. Дизайн. Искусство) 2 Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)

2

.1

О геометрических представлениях конечных групп, имеющих абелеву подгруппу индекса 2

Исследуются некоторые общие свойства геометрических представлений конечных групп. Доказано, что сумма всех операторов геометрического представления любой конечной группы равна 0. Как следствие, одномерное тривиальное представление не входит в геометрическое представление какой-либо конечной группы. Далее, если группа С содержит абелеву подгруппу А индекс а 2, то при некоторых условиях все векторы геометрического графа из А и С \ А равноудалены друг от друга. Изложенные результаты иллюстрируются на примерах обобщенных групп кватернионов и Ql2^ В частности, все неприводимые комплексные представления наибольшей размерности этих групп получены из их геометрических представлений.

Ключевые слова: геометрический граф группы, геометрическое представление конечной группы, конечномерное неприводимое представление, обобщенные группы кватернионов, внешний автоморфизм группы кватернионов

On geometric representations of finite groups that have an abelian subgroup of index 2

In this paper, we study some general properties of geometric representations of finite groups. We prove that the sum of all operators of geometric representations equals to zero for any finite group. Consequently, a one-dimensional trivial representation is not contained in a geometric one of any finite group. Moreover, if a group G has an abelian subgroup A of index two then under certain conditions the vectors of its geometric graph from A and G \ A are equidistant from each other. We illustrated our results with examples of generalized quaternion groups, namely Q8 and Q12- We prove in particular that all of maximal dimension complex irreducible representations of these groups may be built from their geometric representations.

Key words: group's geometric graph, geometric representation of the finite group, finite dimensional irreducible representation, generalized quaternion groups, outer automorphism of quaternion group

1. Введение

Пусть С — конечная мультипликативная группа порядка п. В работах [1, 2] было введено новое понятие геометрического графа, группы, который строится на основании вычисления расстояний между элементами группы:

V. F. Skorodumov1, V. V. Shtepin1'2, D. V. Shtepin

xThe Kosygin State University of Russia 2 Moscow Institute of Physics and Technology

2

1

(1)

xec

© Скородумов В.Ф., Штепин В. В., Штепин Д. В., 2024

(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2024

где &x(gi,9j) — наименьший целый неотрицательный показатель степени к, для которого

справедливо равенство: хкgi = gj, или, если такое к не существует, то ox(gi,gj) 0.

Расстояния р', определенные формулой (1), вообще говоря, не удовлетворяют неравенству треугольника, по этой причине эти расстояния называют мнимыми. Однако если элементы группы G разместить на сфере единичного радиуса в евклидов ом пространстве Rm так, чтобы евклидовы расстояния между элементами графа сохраняли свойства равенства (неравенства) расстояний р', то мы придем к следующему определению.

Определение 1. Геометрический граф группы G (геометрическая реализация) — граф группы G на сфере единичного радиуса в евклидовом пространстве Rm наименьшей размерности (обозначим его V), в котором евклидовы расстояния р (назовем их действительными) между элементами группы удовлетворяют соотношению

р(9» gj) = р(9к, gi) ^ р'(gi, 93) = р'(9к, gi) v^ j, k, i.

Выпуклую оболочку векторов геометрического графа обозначим Р(G). Будем рассматривать геометрический граф группы G порядка п как набор п различных векторов G = [х\,х2,..., хп} единичной длины в евклидовом пространстве Rm. В дальнейшем мы будем отождествлять элементы группы G и соответствующие им векторы геометрического графа.

В работе [3] было показано, что для любой конечной группы геометрический граф реализуется в пространстве размерности

dim V < |G| - 1.

В работе [1] были доказаны предложения 1.1 1.1. которые описывают основные свойства геометрического графа группы.

Предложение 1.1. Для любых элементов х, у, д группы G имеет место равенство

р' (х,у) = р' (дх,ду).

Следствие 1. Для любых элементов х, у, д группы G имеют место равенства р(х,у) = р(дх,ду) и (х,у) = (дх,ду) (здесь (х, у) — скалярное произведение векторов х и у евклидова пространства V).

Предложение 1.2. Если Х\,Х2,... ,хт — базис евклидова пространства V, состоящий из векторов графа, то дх\,дх2,...,дхт — тоже базис V.

Предложение 1.3. Пусть х £ G и

т

X — ^ ^ tt% Х% ,

г=1

где х1,х2,..., хт — базис V, состоящий из векторов графа. Тогда

т

дх = ^2 aigxi.

i=1

Будем считать, что действие д £ G продолжается с векторов графа по линейности на все векторы пространства V.

Следствие 2. Действие д в V является линейным оператором Тг(д).

Предложение 1.4. Отображение из G в GL(V), задаваемое соответствием д ^ ТГ(д), является линейным представлением группы G.

Определение 2. Представление д ^ Тр(д) называется геометрическим представлением группы G.

Отметим, что геометрическое представление любой конечной группы является ортогональным, так как операторы представления сохраняют евклидово скалярное произведение в пространстве V. Более того, в отличие от работ [4, 5] геометрическое представление является гомоморфизмом группы многогранника Р (G), расстояния между вершинами которого определяются внутренними свойствами самой группы G. Другие способы построения представлений групп вращений правильных многогранников в R3 были предложены одним из авторов в работе [6].

2. Сумма операторов геометрического представления произвольной группы

Этот раздел посвящен доказательству менее очевидных свойств геометрических представлений, которые не упоминались в предыдущих работах [1, 2, 3].

Теорема 1. Сумма всех операторов геометрического представления произвольной конечной группы G является нулевым оператором.

Доказательство. Пусть V — пространство, в котором реализуется геометрическое представление группы G, т.е. евклидово пространство наименьшей размерности, в котором выполняется равенство

P(9i,9j) = P(9k,gi) ^ р'(9i,9j) = р'(9к,gi) Уг,j,k,l,

где р' — мнимые расстояния между векторами графа, ар — соответствующие евклидовы расстояния.

Пусть также Tr : G ^ GL(V) — геометрическое представление группы G, которое на векторах геометрического графа определяется равенством

Tv(9)9i = 99ь

а на остальные векторы V оператор Тт(д) распространяется по линейности. Утверждение теоремы 1 равносильно тому, что

S = Е Тг(9) = О .

geG

Имеем для любого gi £ G:

Sgi = Y1, Tr(9)9i = Y1,99%.

geG geG

При g, пробегающем группу G, векторы ggi пробегают все векторы геометрического графа этой группы, поэтому

Sgi = ^ д.

geG

Итак, если ^ д = 0, то оператор S переводит все базисные векторы V в 0 (поскольку geG

ввиду того, что V = (gi,g2,..., дп) среди векторов графа Г можно всегда выбрать базис V), а значит, S = О, и утверждение теоремы 1 доказано.

Покажем далее, что предположение х = — ^ д = 0 приводит к противоречию с опре-

п geG

делением геометрического графа группы.

Согласно предыдущим равенствам, для любого gi £ G выполняется Sgi = то, где х = 0, т.е. rkS* = dimlmS* = dim(x) = 1.

Отметим, что Sx = 5 1 —

п

= — У) Sg = — (пх + пх + ■ п gee п

■ + пх) = пх, то есть вектор

х является собственным вектором для оператора S с собственным значением п. Далее,

Tr(g')S = Тг(д') ^ Тг(д) = ^ Тг(д'д) = ^ Тг(д) = S,

geG geG geG

причем это равенство верно для любого д' £ G. Тогда

S2 = S-S = J ^Тг(д') J S = ^Tr(g')S = ^S =

\geG J geG geG

Итак, оператор S удовлетворяет уравнению S2 — п^в = О, то есть многочлен t2 — Ш является аннулирующим для оператора S. В частности, минимальный многочлен ps(t) оператора S является делителем многочлена t2 — Ы. Следовательно, ps(t) не имеет кратных корней. Но тогда по критерию диагонализируемости оператора в терминах его минимального многочлена S является диагонализируемым оператором. Учитывая, что rkS = 1, в подходящем базисе S приводится к виду

0 ... 0 \ 0 ... 0

S =

(А 0

\ о о ... о)

где Л — ненулевое собственное значение оператора Отметим, что Л обязательно должно быть корнем аннулирующего многочлена £2 — п. Действительно, если V — собственный вектор для 5 с собственным значением Л, то

0 = (Б2 — пБ)у = Б (Бь) — п(Бу) = (Л2 — пЛ)у,

откуда Л(Л — п) = 0. Но Л — ненулевое собственное значение, следовательно, Л = п. Итак, в подходящем базисе пространства V оператор 5 приводится к виду

S =

п 0 00

00

0 0

"0J

Выше МЫ "у^Кб ОТМ6ЧсЦ1И ^ "ЧТО Бх = пх, то есть в подходящем базисе в качестве первого базисного вектора можно взять вектор х. Пусть теперь координаты вектора дг € Г в базисе пространства V:

( ац\

Ы%2

дг =

, где m = dim V.

y^im/

Тогда

Sg г =

(пац\

0 .0..

п х,

/ а\

о

х =

и, тем самым, ац = а для всех г Пусть тогда

/а\

91 =

д[

W

,92 =

/а\

д2

W

9п =

/а\

к \ )

(2)

где векторы д[, д^,..., д'п имеют т — 1 координату и принадлежат линейной оболочке (&2,ез,..., Нормируем полученные векторы:

- 9[ -

91 = M ' 52

92

\д2У

, 9п

д'п

\9'п\

Покажем, что векторы gî, g2, ..., дп также образуют геометрический граф той же группы G, но уже в пространстве меньшей размерности, чем т. Так как gî, д2, ..., дп образовывали геометрический граф группы G, то

(9', 9j) = (9k, 9i) & р'(ди 9з) = р'(9k, 9i) Уг, j, k, l. В базисе координаты векторов gî,g2,... ,дп удовлетворяют условиям (2), поэтому

(9i,9j) = (9k, 9i) & а2 + (9'i,9'j) = «2 + (9k,9i) & (9i,9j) = (9k,9i)

или

( 9i 9'j \ ( gk g'i \

Vï—^/ VVî-^2, Vï—^J

& (9',9j) = (gk,gi*).

Итак, векторы д\, ,..., дп все имеют длину 1 и удовлетворяют условию

Р^и 9з) = р(9к,д.I) ^ р'(9г, 9з) = р'(9к, 91) Уг, 3, к, I.

Таким образом, граф группы С может быть ревизован в пространстве {е2, е3,..., ет) < V, что противоречит определению геометрического графа группы С в пространстве V.

Следовательно, наше предположение, что х = — ^ д = 0, было неверно, и

п

дес

х = 0 ^ Б = О. Теорема 1 доказана.

Следствие 3. Сумма всех векторов геометрического графа равна 0.

□

Доказательство. Из доказательства теоремы 1 видно, что предположение ^ д = 0 принес

водит к противоречию с определением геометрического графа. □

Следствие 4. Одномерное тривиальное представление ^группы С не входит в качестве подпредставления в геометрическое представление Тр группы С.

Доказательство. По формуле кратности вхождения неприводимого представления в данное представление [8]:

ШЕ = (ХЕ, Хг) = щ £ 1 ■ хг(д) = ^ Е ^Тг(д) == С и ^ Тг(д) j = уС аО = 0.

Итак, кратность вхождения одномерного тривиального представления ^группы С в представление Тг равна 0, что и требовалось доказать. □

3. Группы, имеющие абелеву подгруппу индекса 2

В этом разделе мы рассмотрим группы G, имеющие абелевы подгруппы индекса 2. Оказывается, при некоторых естественных условиях, векторы геометрического графа из G и G \ А равноудалены.

Для доказательства основной теоремы данного раздела рассмотрим следующие две леммы.

Лемма 1. Для любого автоморфизма p группы G справедливо равенство

, ((g)) = а^-1{х)(е, д). (3)

Доказательство. Заметим, что (p-1 (x))k = д равносильно xk = ((g), поэтому левая часть (3) отлична от нуля тогда и только тогда, когда отлична правая (напомним, что ах(gi, gj) может быть равен 0, если наименьший целый неотрицательный показатель степени к, для которого справедливо равенство xkgi = gj, не существует).

Пусть ах(е,p(g)) = к > 0. Тогда xk = ((g) и одновременно (p-1(x))k = д. Следовательно, 0 < &v-i(x)(e-, д) ^ к. Предположим, что , д) = I < к. Тогда

(p-1 (x))1 = д и xl = p(g), где 0 < I < к. Но это противоречит предположению, что

ах(е, p(g)) = к. Лемма доказана. □

(

р (е, д) = р'(е ,p(g)).

Доказательство. По определению мнимого расстояния между элементами группы,

р'(е, ((g)) = Y1 ах(е, Р(д)) = (по лемме 1) = ^ a^-i(x)(e, д) = хес хес

= &<р-1(х)(е, д) = р' (e, g).

v-1(x)eG

Лемма 2 доказана. □

Следствие 5. Если элементы gi и $2 группы G сопряжены, то

р' (е, gi) = р' (е, 92).

x

д ^ дх = xgx-1, является внутренним автоморфизмом рж в группе G. □

( G

р (д ъ д2) = р (p(g i),p(g2))

для любых gi, д2 £ G.

Доказательство. Согласно лемме 2 имеем

р' (е ,д-1д2) = р'(е, p(g-1g2)).

Отсюда

р (.g-lgi ,g-lg2) = р (p(g 1 )-1p(g i),p(g i)-1p(g2)).

Однако левые сдвиги на группе сохраняют мнимые расстояния между элементами [2], поэтому

р (д ъ д2) = р (p(g i),p(g2)).

□

Теорема 2. Пусть А — абелева подгруппа в конечной группе G, причем (G : А) = 2, и пусть В = G \ А. Тогда

а) все классы сопряженных элементов, принадлежащие В, равномощны;

G (

ная этим автоморфизмом, действует транзитивно на множестве классов сопряженных элементов, принадлежащих В, то р'(а, b) = const независимо от выбора элементов а £ А и b £ В.

Доказательство, а) Так как А<G, то действие G на себе сопряжением оставляет инвари-

А В

Далее, для любого а £ А и для любо го b £ В выполнено а ■Ь £ В, так как иначе мы бы получили b £ А П В, что невозможно.

G а1 =

А В

G = {ai, а2,... ,as, bi, b2,..., bs}. Тогда таблица Кэли группы G имеет вид

'А-А А-ВN

(А А А В\ \В А В в)

п =

п \В А В Ву

Выше мы показали, что матрица А ■ В в каждой строке и в каждом столбце содержит все элементы В, причем каждый — в точности один раз. Но тогда матрица В ■ В состоит

А

Введем обозначения:

bG = {bx\x £ G} = {xbx-i\x £ G} — класс сопряженных элементов, порожденный b £ В, bA = {ba\a £ А} — орбита элемента b при действии на него сопряжениями с помощью А

Тогда для любого b £ В имеет место равенство

bG = bAuB = bA у bB = bA y ЬЬА = bA у (bb)A = bA y ^ =

Но тогда, переходя к мощностям, будем иметь

\bG\ = \ЬА\ = (по теореме о мощности орбиты) = \ А : St(b)\, (4)

где

St(b) = {а £ А\аЬа-i = b} = {а £ А\аЬ = ba}.

Остается заметить, что если элемент ао из подгруппы А коммутирует с некоторым элементом Ь £ В, то он же коммутирует и с любым другим элементом Ь' £ В, так как найдется а £ А = а

а0Ь' = а0аЬ = аа0Ь = аЬа0 = Ь'а0.

Итак, мощность \St(6)\ не зависит от выбора b £ В а в силу равенства (4) и мощность \bG\

В £ В

б) Покажем сначала, что

р (е, bi) = р' (е, Ь2) = ■■■ = р (е, bs) = const. (5)

Действительно, для любых двух элементов bi и bj £ В найдется последовательность автоморфизмов группы G, переводящая bi в bj. Тогда, применяя лемму 2, получим равенства (5).

а £ А £ В а ■ £ В

а £ А £ В

р(а, Ь) = р(е,a-1 b) = const,

где константа та же, что и в равенствах (5). Теорема 2 доказана. □

4. Неприводимые комплексные представления обобщенной группы кватернионов

Наглядным примером групп, имеющих абелеву подгруппу индекса 2, являются обобщенные группы кватернионов.

Обобщенная группа кватернионов Q4¿, t ^ 2 — это группа, порожденная двумя элементами, х ж у с соотношениями:

Q4í = (х,у \хг = у2, уху-1 =х-1).

Из определяющего соотношения вытекает, что

у2 = хь = (у-1х-1 у) = (у-1х-1 у) ■ (у-1х-1у).....(у-1х-1 у) = у-1х—у.

-1

у2 х1 = х-1,

следовательно, х2г = е, поэтому огёж = 21, огду = 4.

Любой элемент группы Q4¿ можно однозначно записать в виде

ш = хгуз, где 0 21 — 1, ]=0,1.

Таким образом, порядок группы Q4¿ равен Q4t имеет абелев нормальный делитель А = (х) индекса 2, и, следовательно, Q4¿ — разрешимая группа, в то же время не существует представления Q4t = А х Н, так как Q4t обладает только одним элементом у2 = хг порядка 2, у2 = хг € А.

Обобщенная группа кватернионов Q4t является примером нерасщепляемого расшире-А

Опишем неприводимые комплексные представления группы Q4¿. Легко проверить, что Q4í — эт0 подгруппа индекса 4, причем факторгруппа Q4t/Ql4t изоморфна У4, если Ь четно, и изоморфна С4, если Ь нечетно.

Хорошо известно, что всякий характер % группы Q4¿ имеет вид

X = Хг о p,

где р — каноническая сюръекция Q4¿ на Q4t/Ql4t> а Хг пробегает характеры факторгруппы. Получаем следующую таблицу характеров группы Q4t■

Таблица1

Таблица одномерных представлений группы Q4t

X У

Х1 1 1

Х2 —1 е

Хэ 1 — 1

Х4 —1 —е

где

1, , , .

Неприводимые комплексные представления размерности больше 1 также хорошо известны [7]. Они задаются матрицами

п.(.,)=е; к), п.^(1

где к = 1, 2,... — 1 и ( — первообразный корень степени 21 из 1.

Замечание. Покажем, что двумерное представление Тк двойственно представлению Tt-k в следующем смысле:

Т— (д)=Х2(д)Тк (((g)), Где ( — внешний автоморфизм группы Q^t, ТбОрбМЫ 2l

( :G ^ G, где №\=*-1>

[V(y) = ху.

Действительно, пусть Т'(д) = х^(д)Тк(((g))■ Простые вычисления показывают, что

(—wik \

-6 ' = Т— (х)

0 -et

г(»>=(о,, (-i)kf~)

уее t 0 у

/ / —

Теперь унитарная замена базиса е\ = е\; е^ = е * е2 одновременно приводит обе матрицы Т'(х) и Т'(у), соответственно, к матрицам Т^^х) и Т^^у). Следовательно, представление Т' изоморфно представлению

Задача построения неприводимых двумерных представлений обобщенной группы кватернионов, которая в общем случае предполагает рассмотрение — — 1 представления, после

этого замечания сводится к построению Т^, где к = 1, 2,..., —

Покажем, что неприводимые комплексные представления наибольшей размерности в случае обобщенной группы кватернионов небольшого порядка могут быть построены при помощи геометрических графов этих групп.

5. Геометрические графы групп кватернионов

Рассмотрим простейшую группу кватернионов <8-

<^8 = {е,х,х2,х3,у,ху,х2у,х3у}, огёх = 4, оМу = 4. Для вычисления геометрического графа группы нам потребуется таблица Кэли.

Т а б л и ц а 2

Таблица Кэли группы <8

и

* e x x2 x3 У xy x2y x3y

e e х х2 х3 У ху 2 х2у 3 х3у

x х 2 х2 х3 е ху 2 х2у 3 х3у У

x2 х2 х3 е х 2 х2у 3 х3у У ху

x3 х3 е х х2 3 х3у У ху 2 х2у

У У 3 х3у 2 х2у ху х2 х е х3

ХУ ху У 3 х3у х2у х3 х2 х е

x2y 2 х2у ху У х3у е х3 х2 х

x3y 3 х3у 2 х2у ху У х е х3 х2

Мнимые расстояния между элементами группы, вычисленные по формуле (1), представлены в табл. 3.

Согласно предложению 1.1, количество чисел 4 и 13 в каждой строке и каждом столбце таблицы мнимых расстояний одинаково.

ТаблицаЗ

Таблица мнимых расстояний между элементами группы Q8

* e x x2 x3 У xy x2y x3y

e 0 4 13 4 4 4 4 4

x 4 0 4 13 4 4 4 4

x2 13 4 0 4 4 4 4 4

x3 4 13 4 0 4 4 4 4

У 4 4 4 4 0 4 13 4

ХУ 4 4 4 4 4 0 4 13

x2y 4 4 4 4 13 4 0 4

x3y 4 4 4 4 4 13 4 0

Покажем, что для группы кватернионов Qg выполняются все условия теоремы 2. Циклическая подгруппа А, порожденная элементом х, является подгруппой индекса 2. Классы сопряженных элементов имеют следующий вид: {е}, {х2}, [х, хэ}, {у, х2у}, [ху, хэу}.

Рассмотрим внешний автоморфизм, введенный в замечании 1:

<р :G ^G,

где

1£>(х) = X 1,

<р(у) = хУ.

Этот автоморфизм переставляет смежные классы, принадлежащие множеству В = G\A (отметим, что эти классы равномощны, как было доказано в теореме 2). Тогда по этой же теореме все мнимые расстояния в табл. 3 между элементами х £ A и у £ В должны быть равны. Это значительно облегчает вычисление табл. 3.

Чтобы построить геометрический граф группы, нам потребуется вычислить евклидовы расстояния р(Qi, Qj) между элементами группы Q%. Евклидово расстояние между элементами группы Qi и Qj определено однозначно, если определен косинус угла между векторами графа, соответствующими ^ и gj. Пусть cosZ(e,х) = a, a cosZ(e,х2) = b. Из определения геометрического графа группы следует, что

-1 <a< 1, -1 < b< 1, a = b.

(6)

Матрица косинусов углов между векторами геометрического графа принимает следующий вид:

Г

1 a a a a a a

a 1 a a a a a

a 1 a a a a a

a a 1 a a a a

a a a a 1 a a

a a a a a 1 a b

a a a a a 1 a

a a a a a a 1

Заметим, что матрица, элементами которой являются косинусы углов между векторами графа, фактически является матрицей Грама.

Будем искать значения а и Ь, удовлетворяющие системе (6), при которых ранг матрицы Грама Г принимает наименьшее возможное значение (оно и будет равно размерности геометрической реализации графа группы Q8).

Теорема 3. Для группы кватернионов Qg геометрический граф реализуется в евклидовом пространстве V размерности 4. С точностью до ортогонального преобразования пространства векторы графа имеют координаты: е = (1, 0, 0, 0) х = (0,1, 0, 0) х2 = (-1, 0, 0, 0),

х3 = (0, -1, 0, 0),у = (0, 0,1, 0),ху = (0, 0, 0,1), х2у = (0, 0, -1, 0) х3у = (0, 0, 0, -1).

Qg

зуется в пространстве V, dim V < 4.

От противного, если бы такая реализация существовала, то кратность корня Л = 0 v характеристического многочлена матрицы Г была бы не меньше, чем 5. Характеристический Г

Х(Л) = (Л + Ь - 1)4(Л - 6a -b- 1)(Л + 2a -b- 1)3.

Его корнями являются: (1 - Ь) — кратности 4, 6a + b + 1 — кратности 1, -2a + b + 1

cosZ(e,х2) = 1, то есть векторы е и х2 геометрического графа совпадают), оставшиеся корни имеют суммарную кратность не больше, чем 4.

Покажем, что существует единственная с точностью до ортогонального вращения реа-V dim V = 4 теристического многочлена:

(6a + b + 1 = 0, \-2a + b + 1 = 0.

a = 0 = - 1

Qg

Г

(1 0 -1 0 0 0 0 0

0 1 0 -1 0 0 0 0

-1 0 1 0 0 0 0 0

0 -1 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 -1 0

0 0 0 0 0 1 0 -1

0 0 0 0 -1 0 1 0

0 0 0 0 0 -1 0 1

(7)

Из явного вида матрицы Грама (7) получаем, что

V = {е, х, х2,х3) ® {у, ху, х2у, х3у).

Видно, что векторы е и ж2 противоположны, то же самое относится к векторам х и х3. Более того, эти пары векторов ортогональны друг другу. Следовательно, мы можем считать, что их координаты в М4 имеют вид: е = (1, 0, 0, 0) х = (0,1, 0, 0) х2 = (—1, 0, 0, 0), х3 = (0, -1, 0, 0).

Оставшиеся векторы графа образуют подграф, изоморфный подграфу {е,х,х2,х3}. Поэтому, без ограничения общности, их координаты можно положить равными у = (0, 0,1, 0^ ху = (0, 0, 0,1), х2у = (0, 0, -1, 0^ х3у = (0, 0, 0, -1).

Теорема доказана. □

Замечание. Доказанная теорема 3 дает не просто вложение группы Q8 в пространство V. Наше построение распространяется на вложение алгебры кватернионов Н в это пространство. Действительно, если мы отождествим элементы е с 1, х с г, у с ], ху с к, то геометрический граф примет вид {±1, ± г, ±к}, а векторы пространства V отождествятся с алгеброй кватернионов Н = {а ■ 1 + Ь ■ г + с •] + 6, ■к, а,Ъ,с,й € М}.

Таблица!

Характеры неприводимых комплексных представлений группы <<8

Я8 е х х2 у ху

Т1 1 1 1 1 1

Т2 1 1 1 _1 _1

Тз 1 _1 1 1 _1

Т4 1 1 _1 1

Т5 2 0 -2 0 0

Характеры неприводимых представлений < были перечислены в разделе 4. Отметим, что характеры принимают постоянные значения на классах сопряженных элементов, поэтому в заголовке таблицы характеров указаны только представители классов.

Отметим, что <8 обладает единственным неодномерным неприводимым представлением Т5 размерности 2.

Выпишем матрицы операторов геометрического представления Тдеот для порождающих элементов группы в базисе (е,х,у, ху) .

Тдеот(х) —

0 -1 0 0 0 0 -1 0

1 0 0 0 , Тдеот(у) — 0 0 0 1

0 0 0 -1 1 0 0 0

0 0 1 0 0 -1 0 0

Теорема 4. Геометрическое представление группы <8 разлагается в прямую сумму неприводимых:

Тдеот — Т5 ФТ5.

Доказательство. Кратность тг вхождения неприводимого представления Т в представление Тдеот вычисляется по формуле [8]:

тг — (Хг, Хдеот).

По этой формуле находим: т1 — т — т3 — т4 — 0 и т5 — 2. Следовательно, геометрическое представление группы <8 разлагается в прямую сумму неприводимых:

Тдеот — Т5 ® Т5.

(8)

Найдем двумерные инвариантные подпространства, в которых реализуются представления, изоморфные Т5.

В разделе 4 было отмечено, что группа <8 имеет единственное неприводимое двумерное комплексное представление с матрицами

Т5(Х) — (■ -) , ТМ — (1 .

Укажем ортонормированный базис в пространстве С4, согласованный с разложением в прямую сумму (8):

А —

0

0

г

\Т2/

—

(Щ /2 0 № /2 0

«... со , е4

0 0

0

0

г

(9)

В этом базисе операторы геометрического представления Тдеот(х) и Тд^оут(у) принимают вид

Тдеот(%)

/i 0 0 0 0 —1 0 0

0 —i 0 0 , Тде<от(у) — 1 0 0 0

0 0 i 0 0 0 0 —1

\0 0 0 —i 0 0 1 0

Таким образом, мы разложили геометрическое представление группы Qg в прямую сумму неприводимых. Теорема доказана. □

Замечание. С помощью геометрического графа мы построили неприводимое представление группы кватернионов наибольшей размерности. Аналогичная задача для группы вращений правильного тетраэдра была решена в работах [3, 6].

6. Группа кватернионов Ql2

Напомним, что группа Ql2 определяется равенством

Ql2 = {х, у\х3 = У2, уху 1 = х 1).

Ее таблица Кэли имеет вид:

Таблицаб

Q

12

* e x x2 x3 x4 x5 y xy x2 y x3y 4 x4y x5y

e e х х2 х3 4 х4 х5 У ху х2у 3 х3у 4 х4у 5 х5у

x х х2 х3 4 х4 х5 е ху 2 х2у 3 х3у 4 х4у 5 х5у У

x2 х2 х3 4 х4 х5 е х 2 х2у 3 х3у 4 х4у 5 х5у У ху

x3 х3 4 х4 х5 е х х2 3 х3у 4 х4у 5 х5у У ху 2 х2у

x4 4 х4 х5 е х 2 х2 х3 4 х4у 5 х5у У ху 2 х2у 3 х3у

x5 х5 е х х2 х3 х4 5 х5у У ху 2 х2у 3 х3у х4у

y У 5 х5у х4у 3 х3у 2 х2у ху х3 х2 х е х5 х4

xy ху У 5 х5у х4у х3у х2у х4 х3 х2 х е х5

x2y 2 х2у ху У 5 х5у х4у х3у х5 х4 х3 х2 х е

x3y 3 х3у 2 х2у ху У 5 х5у 4 х4у е х5 4 х4 х3 х2 х

4 x4y 4 х4у 3 х3у 2 х2у ху У х5у х е х5 4 х4 х3 х2

x5y 5 х5у 4 х4у 3 х3у 2 х2у ху У х2 х е х5 4 х4 х3

Приведем таблицу 6 мнимых расстояний, вычисленных по формуле (1).

Q12

таблицы мнимых расстояний одинаковыми числами (четверки) в правой верхней и левой нижней подматрицах 6 х 6.

Классы сопряженных элементов в Q12 имеют вид: {е}, {х3}, {х,х5}, {х2,х4}, {у,х2у,х4у}, {ху,х3у,х5у}.

Пусть cos Z(e ,х) = a, a cos Z(e ,х2) = b, cos Z(e ,х3) = с, cos Z(e, у) = d. Получим следу-

ющую матрицу Грама:

Г

1 а а а а а а а а

а 1 а а а а а а а

а 1 а а а а а а а

а 1 а а а а а а а

а 1 а а а а а а а

а а 1 а а а а а а

А а а а а а 1 а а

а а а а а а а 1 а

а а а а а а а 1 а

а а а а а а а 1 а ь

а а а а а а а 1 а

И а а а а а а а 1

(10)

Таблицаб

Таблица мнимых расстояний между элементами группы

* е X X2 X3 X4 X5 У XV XV 4 XV XV

е 0 6 9 19 9 6 4 4 4 4 4 4

X 6 0 6 9 19 9 4 4 4 4 4 4

X2 9 6 0 6 9 19 4 4 4 4 4 4

X3 19 9 6 0 6 9 4 4 4 4 4 4

X4 9 19 9 6 0 6 4 4 4 4 4 4

X5 6 9 19 9 6 0 4 4 4 4 4 4

У 4 4 4 4 4 4 0 6 9 19 9 6

4 4 4 4 4 4 6 0 6 9 19 9

XV 4 4 4 4 4 4 9 6 0 6 9 19

XV 4 4 4 4 4 4 19 9 6 0 6 9

4 4 4 4 4 4 4 9 19 9 6 0 6

XV 4 4 4 4 4 4 6 9 19 9 6 0

Теорема 5. Для группы кватернионов <12 геометрический граф реализуется в евклидовом пространстве V размерности 4. С точностью до ортогонального преобразования пространства векторы графа имеют координаты:

е — (1, 0, 0, 0), х2 — (-1/2, л/3/2, 0, 0), х4 — (-1/2, -/3/2, 0, 0), у — (0, 0,1, 0), х2у — (0, 0, -1/2, /3/2), х4у — (0, 0, -1/2, -/3/2),

х — (1/2, /3/2, 0, 0),

х3 — (-1, 0, 0, 0),

х5 — (1/2, -/3/2, 0, 0), ху — (0, 0,1/2, /3/2), х3у — (0, 0,-1, 0), х5у — (0, 0,1/2, -/3/2)

Доказательство. Доказательство того, что геометрический граф группы <12 не реализуется в пространстве размерности меньше 4, аналогично теореме 3. Характеристический многочлен матрицы Грама (10) имеет вид

Х(Х) — (X -а + Ь + с- 1)4 • (X + а + Ь -с- 1)4 • (X + 2а - 2Ь + с - 1)2

• (X - 2а - 2 Ь -с- 6с! - 1) • ( X - 2 а - 2Ь - с + 6 й - 1).

Как и в теореме 3, ранг матрицы (10) достигает минимального значения, когда максимальное число корней х(А) обращается в 0. По кратности корней видно: для того чтобы не менее девяти корней обратились в 0, необходимо, чтобы в 0 обращались корни кратности 4:

a + b — с = 1, a — b — с = —1,

откуда получаем b = 1, что противоречит определению геометрического графа.

Покажем теперь, что в пространстве dim V = 4 геометрический граф реализуется. Для этого должны аннулироваться восемь из корней х(А) (с учетом кратности) за исключением Х1 = a — b — с + 1 или А2 = —a — b + с + 1.

А1 = 0 А2 = 0

г

a — — = — 1 , —2a + 2b — с = —1, * 2a + 2b + c + 6d = —1, 2 a + 2b + c — 6 d = —1,

решением которой являются а = -1/2, Ь = -1/2, с = 1, с! = 0, а значение с = 1 противоречит определению геометрического графа.

Во втором случае, А1 = 0, а А2 = 0, получаем аналогичную систему, решением которой является а = 1/2, Ь = -1/2, с = —1, (I = 0. Так как й = 0, то линейные оболочки (е,х,х2,х3,х4,х5) и (у,ху,х2у,х3у,х4у,х5у) ортогональны друг другу. Следовательно, каждая из этих шестерок векторов реализуется в евклидовом пространстве размерности 2. Легко заметить, что косинусы углов между векторами подграфа {е,х,х2,х3,х4,х5} такие же, как косинусы углов между радиус-векторами вершин правильного шестиугольника. Таким образом, с точностью до ортогонального поворота плоскости, мы получаем координаты векторов, указанные в формулировке теоремы.

Теорема доказана. □

Замечание. Как и в теореме 3, вложение Ql2 в V продолжается до вложения алгебры кватернионов Н в это же пространство. Сопоставим вектору е геометрического графа кватернион 1, вектору (х + х2) кватернион г, вектору у кватернион а вектору

л/3

~Г- (ху + х2у) кватернион к. Тогда векторы пространства V отождествятся с алгеброй ква-3

тернионов Н = а ■ 1 + Ь - г + с - ] + й - к, а,Ъ,с,й € М.

В табл. 7, следуя разделу 4, приведем характеры неприводимых комплексных представлений ГруППЫ Ql2■

Таблица7

Характеры неприводимых комплексных представлений группы Ql2

Q12 е х х2 х3 У ху

Ti 1 1 1 1 1 1

Т2 1 — 1 1 —1 i —i

Т3 1 1 1 1 —1 —1

Т4 1 — 1 1 —1 —i i

Т5 2 1 —1 —2 0 0

Тб 2 — 1 —1 2 0 0

С4

Тдеот

Тдеот( х) —

1 1/2 ->/3/2 0 0

/3/2 1/2 0 0

0 0 1/2 -/3/2

0 0 /3/2 1/2

Тдеот (у) —

0 0 -1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 -1 0 0

Следовательно, характер геометрического представления задается таблицей:

<12 е х х2 х3 у ху

Т Тдеот 4 2 -2 -4 0 0

Теорема 6. Геометрическое представление группы <12 разлагается в прямую сумму неприводимых:

Тдеот — Т5 ® Т5.

Доказательство. Вычислим кратности тг вхождения неприводимого представления Тг в представление Тдеот. По формуле: т1 — т2 — т3 — т4 — 0 т5 — 2, т6 — 0. То есть геометрическое представление группы <12 разлагается в прямую сумму неприводимых:

Тдеот — Т5 ® Т5.

Найдем двумерные инвариантные подпространства, в которых реализуются представ-Т5

Т5(х)— ^ Д,) (1 -).

Базис (9), полученный выше для группы <8, позволяет разложить в сумму неприводимых также и геометрическое представление группы <12■ В нем операторы геометрического представления Тдеот(х) и Тдеот(у) принимают вид

Тд

деот

( х) —

/е 31 0 0 0 0 -1 0 0

0 -31 е з1 0 0 , Тдеот(у) — 1 0 0 0

0 0 ж 1 е з1 0 0 0 0 -1

0 0 0 е" Ж V 0 0 1 0

Таким образом, мы разложили геометрическое представление группы <12 в прямую сумму неприводимых. Теорема доказана. □

Замечание. При £ — 3 группа <12 имеет два неприводимых двумерных комплексных представления:

Т5(х) — Тб(х) —

(езг 0 \ V 0 е" Ж V

ез 0

/

е з 0

е зг

Т5(у)-(1 -1) ПЫ — (1 0).

Как было доказано в разделе 4, представление Те может быть получено из представления Т5 посредством внешнего автоморфизма р:

Те =Т2(д)Т5(р(д)).

0

7. Заключение

В работе доказаны новые свойства геометрических представлений конечных групп. В частности, доказано, что сумма всех операторов геометрического представления равна нулевому оператору, откуда вытекает, что сумма всех векторов геометрического графа равна 0. Далее, мы показали, что тривиальное одномерное представление не входит в разложение на неприводимые геометрического представления Тг-

Отдельно мы рассматриваем геометрические представления групп С, имеющих абелеву подгруппу А индекса 2, а также внешний автоморфизм р, транзитивно переставляющий классы сопряженных элементов из В = С \ А. Для таких групп удалось доказать (теорема 2), что У а € А и УЬ € В имеет место равенство

А В

изоморфны. В разделе 4 мы применяем полученные нами результаты к обобщенной группе кватернионов Q4t■ Эти группы имеют серию двумерных комплексных неприводимых представлений, которые нумеруются индексом к €{1, 2,... — 1}. Мы доказали следующий факт:

где Х2 — характер группы Q4t, указанный в табл. 1, а р — внешний автоморфизм группы Q4t, удовлетворяющий условиям теоремы 2:

Следовательно, задача построения неприводимых двумерных представлений Q4t: которая предполагает рассмотрение Ь — 1 представления, сводится к построению Т'к, где

По-видимому, все неприводимые представления наибольшей размерности могут быть построены с помощью геометрического графа конечной группы G. Эта гипотеза справедлива для группы четных подстановок А4 [3], а также для групп кватернионов малого порядка, как показано в разделах 5 и 6 настоящей работы.

В данной работе мы построили геометрические графы групп Qg и Q12, для них dim V = 4

на языке геометрических графов приводит к разложению графа в ортогональную прямую сумму двух подграфов, отвечающих нормальной подгруппе (изоморфной С4 для Qg и Сб

Q12

Qg Q12

алгебру кватернионов H. Список литературы

1. Штепин В.В., Беликова В.А. О геометрических представлениях циклических групп // Академия наук Украины. Труды ИПММ. 2010. Т. 20. Р. 196-205.

2. Штепин В.В., Фрасинич В.А. О геометрическом представлении циклической группы С8 // Академия наук Украины. Труды ИПММ. 2013. Т. 27. Р. 250-257.

3. Скородумов В.Ф., Штепин Д.В. О геометрическом представлении группы вращений правильного тетраэдра // Труды МФТИ. 2023. Т. 15, № 2. Р. 74-87.

4. Schulte E.L., Williams G.I. Polytopes with Preasigned Automorphism Groups // Discrete Comput. Geom. 2015. V. 54. P. 444-458.

p(a, b) = const.

Tt_k (g)^X2(g)Tk (p(g)),

5. Doignon J.-P. Any Finite Group is the Group of Some Binary, Convex Polvtope // Discrete Comput. Geom. 2018. V. 59. P. 451-460.

6. Зиза K.H., Штепин В.В. Геометрические реализации неприводимых представлений групп вращений правильных многогранников в трехмерном пространстве // Труды МФТИ. 2016. Т. 8, № 4. С. 18-34.

7. Кертис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. Москва : Наука, 1969.

8. Винберг Э.Б. Линейные представления групп. Москва : Наука, 1985.

References

1. Shtepin V. V., Belikova V.A. On geometric representations of cyclic groups. National Academy of Sciences of Ukraine, Proceedings of Institute of Applied Mathematics and Mechanics. 2010. V. 20. P. 196-205. (in Russian).

2. Shtepin V. V., Frasinich V.A. On geometric representation of the cyclic group C8. National Academy of Sciences of Ukraine, Proceedings of Institute of Applied Mathematics and Mechanics. 2013. V. 27. P. 250-257. (in Russian).

3. Skorodumov V.F., Shtepin D. KOn geometric representation of regular tetrahedron's rotation group. Proceedings of MIPT. 2023. V. 15, N 2. P. 74-87. (in Russian).

4. Schulte E.L., Williams G.I. Polvtopes with Preasigned Automorphism Groups. Discrete Comput. Geom. 2015. V. 54. P. 444-458.

5. Doignon J.-P. Any Finite Group is the Group of Some Binary, Convex Polvtope. Discrete Comput. Geom. 2018. V. 59. P. 451-460.

6. Ziza K.N., Shtepin V. V. Geometric realizations of irreducible representations of regular polvhedra rotation groups in three-dimensional space. Proceedings of MIPT. 2016. V. 8, N 4. P. 18-34. (in Russian).

7. Curtis C., Reiner I. Representation theory of finite groups and associative algebras. Moscow : Nauka, 1962. (in Russian).

8. Vinberg E.B. Linear group representations. Moscow : Nauka, 1985. (in Russian).

Поступим в редакцию 21.01.2024