О генерации кривых p-ранга 1 рода 2 над конечными полями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.772.7

А. В. Лежнин

О ГЕНЕРАЦИИ КРИВЫХ Р-РАНГА 1 РОДА 2 НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ

Даются явные методы генерации кривых рода 2 p-ранга 1 над различными конечными полями.

Explicit methods of generations of curves of genus 2 of p-rank 1 over finite fields are produced.

Ключевые слова: кривая над полем, конечное поле.

Key words: curve over field, finite field.

1. Пусть k — поле конечной характеристики p, C — проективная гладкая кривая рода g > 0, определенная над k, k(C) — поле рациональных функций C над k. Пусть на C существует такая совокупность раз-

g

личных рациональных точек P1,..., Pg, что дивизор ^ Pi неспециален.

i=1

Выберем для каждой Pi локальный ti є k (C) и определим адель r поля

1

k в смысле Шевалле, положив (ri )P = —, если P = Pi, и (ri )P =0 иначе.

ti

Пусть A(D) — пространство аделей, кратных дивизору D. Тогда адели r1,...,rg, g > 0, образют базис k-векторного пространства A/(A(0) + k(C)), g g

так как дивизор^Pi неспециальный. В частности, rf =^а^т^mod(A(0)+k(C)),

i=1 j=1

где A = (atj) — матрица g x g, называемая матрицей Хассе - Витта.

Эта матрица имеет два основных свойства.

1. При замене неспециальной системы точек (Pi) другой и системы

(ti) другой матрица A преобразуется по закону A ^ S 1 AS(p), где S —

невырожденная (g, g)-матрица с элементами из k, а S(p) — матрица с

элементами — p-ми степенями соответствующих элементов S.

2. Если k алгебраически замкнуто, то циклические неразветвленные расширения k(C) степени p — во взаимно однозначном соответствии с элементами базиса линейного пространства над простым полем из c,

c(p)A = с. Размерность этого линейного пространства r равна рангу AA(p)... A(p ). Число классов дивизоров порядка p поля k(C) равно pr.

Теорема 1. Пусть кривая C рода g определена над полем k характеристики p >0 из q = pn элементов и на ней есть неспециальная система g рациональных точек. По свойству 1 матрица A Хассе - Витта кривой C определена с точностью до преобразований S-1 AS^, где S - невырожденная матрица

171

© Лежнин А. В., 2013

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2013. Вып. 10. С. 171-173.

172

с элементами из к, а характеристический многочлен |Ак-ХЕ| матрицы Ак = АА(р)...А(р ) - абсолютный инвариант С. Верно тс(^) = (-1)?А^Д-ХЕІ, где л(Х) - редуцированный по модулю р характеристический многочлен эндоморфизма к :(х) ^ (хц) якобиева многообразия ] кривой С.

2. Пусть к — алгебраически замкнутое поле характеристики р > 0 и ї є к(С) — функция с йї = 0. Каждую / можно записать единственным образом: / = /р + /(ї +...+_/р-1їр-1, / є к (С). Очевидно, что _/р-1 = -йр-1 / / йїр-1.

Пусть ю = /йї дифференциал. Обозначим через С(ю) := /р-1 йї.

Определение. р-1-линейное отображение С — оператор Картье - (Тэйта).

Можно доказать, что: 1) С не зависит от выбора ї; 2) С действует на регулярных дифференциалах.

Предложение 2. Оператор Картье имеет следующие свойства: 1) С(ю1 + ю2) = С(ю1) + С(ю2); 2) С(/р ю) = / С(ю); 3) С( й/) = 0; 4) С(/р-1й/) = й/.

Регулярные дифференциалы й/ — точные дифференциалы. При этом дифференциал ю точный тогда и только тогда, когда С(ю) = 0..

Регулярные дифференциалы й///— логарифмические дифференциалы, причем С(й/ //) = С(/р-1 й/ //р) = С(/р-1 й/) // = ¿/ //.По теореме Якобсона дифференциал ю логарифмический, если и только если С(ю) = ю.

Оператор Картье дает информацию по части р-кручений якобиана.

Предложение 3. ]ае(Х)[р](к) канонически изоморфен аддитивной группе регулярных логарифмических дифференциалов. В частности, эта группа является конечной группой порядка рг.

Теорема 4. Пусть С (соответственно А) - кривая рода g (абелево многообразие размерности g), определенная над к0 = V п. Инвариант Хассе - Витта С (А) есть сумма кратностей ненулевых корней редуцированного по модулю р многочлена Фробениуса С (А) над к.

Определение. р-ранг абелева многообразия А над полем к характеристики р — целое г = г(А) такое, что группа А[р](к) точек р-кручения над алгебраическим замыканием к поля к имеет порядок рг. При этом под р-рангом кривой С подразумевается р-ранг его якобиана ]с.

3. Пусть к — конечное поле из ц = рп элементов и л — ц-число Вейля. Для любого вложения поля К = С2(тс) в С л ^ д/л — комплексное сопряжение на К. Так как этот автоморфизм К не зависит от выбора вложения, обозначим его х ^ х и назовем комплексным сопряжением. Если обозначить К0 фиксированное поле комплексного сопряжения, то К0 действительно и К либо равно К0, либо СМ-поле, то есть мнимое квадратичное расширение действительного числового поля.

Лемма 5. Простое абелево многообразие А над к из ц = рп элементов имеет размерность 2 и р-ранг 1, если и только если три условия верны для его эндоморфизма Фробениуса к:

1) поле есть СМ-поле степени 4;

2) простое р разлагается на множители в К как рОК = р1 р1 р2, где е ={1, 2};

3) выполняется кОК = рПР2п/2 с е таким же, как в (2).

Заметим, что условие (3) означает, что en четное.

Следствие 6. Простая абелева поверхность A/K р-ранга 1 абсолютно простая, то есть простая над к, и она изогенна якобиану кривой C над k.

Замечание. Условия (1) — (3) леммы эквивалентны тому, что характеристический многочлен f = X4 - я1 X3 + ( a2 + 2q ) X2 - qa1 X + q2 для п удовлетворяет условиям: 1)/неприводим; 2) ordp(a1) = 0; 3) ordp(я2), ^ и/2;

4) (a2 + 4q)2 - 4qa|! не является квадратом в кольце р-адических целых Z .

4. Примеры кривых, имеющих род 2 и р-ранг 1 над конечным полем.

r ^ Уравнение L-многочлен

x6 + x4z2 + xz5 + y2 z4 =0 81 i4 + 72 i3 + 30t2 + 8t +1

x6 + x5z + x 4z2 + y2 z4 + z6 =0 8114 + 18t3 + 3t2 + 2t +1

x6 + x4z2 + xz5 + y2 z4 =0 8114 + 7213 + 30t2 + 8t +1

x5 + x4z + x2 yz2 + xz4 + y 2z3 =0 64t4 - 56t3 + 24t2 - 7t +1

x6 + x5z + x3z3 + xyz4 + xz5 + y2 z4 =0 64t4 + 56t3 + 24t2 + 7t +1

x6 + x5z + xyz4 + y2 z4 + z6 =0 64t4 - 8t3 - 4t2 -1 +1

x6 + x 5z + x4 z2 + x 3z3 + xz5 + y2 z4 =0 625t4 - 25t3 - 40t2 -1 +1

F25 x6 + x4z2 + xz5 + y2 z4 =0 625t4 + 300t3 + 86t2 + 12t +1

x6 + x3 z3 + x2z4 + xz5 + y2 z4 =0 625t4 + 100t3 + 54t2 + 4t +1

Список литературы

1. O'Connor L. H., McGuire G., Naehrig M. et al. A CM construction for curves of genus 2 with p-rank 1 // Journal of Number Theory (special edition on Elliptic Curve Cryptography). 2011. Vol. 131. P. 920 — 935.

2. Serre J. P. Sur la topologie des variete algebraiques en characteristic p// Sympos. Internac. Topologia algebraica, Mexico, 1956

3. Манин Ю. И. О матрице Хассе — Витта алгебраической кривой // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1961. 25:1. С. 153—172.

4. Hasse H., Witt E. Zyklische unverzweigte Erweiterungskörper vom Primzahlgrad p über einem algebraischen Funktionenkörper der Charakteristik p // Monatshefte f. Math. und Phys. 1936. 43. P. 477 — 492.

5. Deuring M. Die Typen der Multiplikatorenringe elliptischer Funktionenkrper // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1941. 14. P. 197 — 272.

6. Norman H. Many rational points: coding theory and algebraic geometry / / Kluwer Academic Publishers, 2003. P. 47—55.

Об авторе

Александр Валерьевич Лежнин — ассист., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: [email protected]

About the author

Alexandr Lezhnin — Ass., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.

E-mail: [email protected]

173