CC BY
44
УДК 511.48:519.61
И. Д. Ильяшенко
ОБЗОР ЭФФЕКТИВНЫХ АЛГОРИТМОВ ПОДСЧЕТА ЧИСЛА ТОЧЕК ЯКОБИАНА ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ КРИВОЙ НАД КОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ
Рассмотрены различные алгоритмы нахождения порядка якобиана, их область применения и эффективность.
Various algorithms for finding of the order of Jacobian, their range of use and efficiency are considered.
Ключевые слова: гиперэллиптическая кривая, якобиан, подсчет точек, дискретный логарифм.
Key words: hyperelliptic curve, Jacobian, point counting, discrete logarithm.
Пусть p — простое число, Fq — конечное поле, где q = pl . C — гиперэллиптическая кривая рода
g, определенная над полем Fq вида у2 = f(x), гдеf(x) — многочлен степени 2g + 1 в Fq (x).
Пусть JC — якобиан кривой C, а Jc (Fq) — группа рациональных точек якобиана, а %(t) —
характеристический многочлен эндоморфизма Фробениуса кривой C, тогда # Jc (Fq) = х(1),
поэтому задачу отыскания порядка якобиана можно свести к нахождению %(t).
В случае кривой рода 2
Не существует эффективного обобщенного способа вычисления числа рациональных точек якобиана произвольной эллиптической или гиперэллиптической кривой. Но созданы алгоритмы для конкретного семейства кривых, которые являются весьма быстрыми.
Колм О'Хегертэй сравнил [1] методы подсчета точек якобиана гиперэллиптических кривых над простыми полями и полями характеристики 2. Он сравнил время работы этих алгоритмов и определил их практическое применение для различных характеристик полей. Для полей характеристики 2 О'Хегертэй рассмотрел два алгоритма.
Алгоритм Коблица. Подсчет точек якобиана происходит за счет вычисления коэффициентов дзета-функции самой кривой и решения квадратных уравнений, построенных с их помощью. Алгоритм применим только для кривых рода 2, так как для кривых большего рода вычисление коэффициентов дзета-функции слишком сложно.
Алгоритм Сакая — Сакурая позволяет вычислять порядок якобиана для кривых произвольного рода над полями малых характеристик. Этот алгоритм является рекурсивным и сводится к нахождению порядка якобиана над полями меньшего размера.
Последний алгоритм работает гораздо медленнее, но зато применим для кривых произвольного рода.
Для кривых над простыми полями О'Хегертэй привел алгоритмы Хассе — Витта, Фурукавы — Кавазо — Такахаши и Коблица.
Алгоритм Хассе — Витта. Данный алгоритм возводит многочлен Дх) из уравнения кривой в степень (р - 1)/2, где р — характеристика поля (причем 64 < р < 100 000, то есть применение данного поля в криптографии небезопасно). Коэффициенты полученного многочлена являются начальными значениями для рекурсивной функции, которая в итоге находит числа в1 и э2 для формулы (2).
Алгоритм Фурукавы, Кавазо и Такахаши также рекурсивен, но требует вместо возведения в степень нахождения а є Бр, не являющегося квадратичным вычетом, и числа с = 1(шод р) из
р = с2 + 2й2, где й — целое.
Xq(t) = t4 — sa t3 + s212 — stqt + q2, где Sj eZ, |Sl| sS 4Jq , |s2| ^ 6q. Тогда
# jc (Fq) = q2 + 1 — s1(q + 1) + s2.
(1)
(2)
Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. 20l0. Вып. l0. С. l08—lll.
" 'п ^
Алгоритм Коблица применим для кривых вида у + у = хп, п = 2£ + 1, р = 1(шод п), где g — род кривой. Для подсчета точек здесь используют суммы Якоби вида ]Т (х, х) = ^ х(і)х(1 - і), причем
ієБ г
р
вся сложность алгоритма сводится именно к нахождению этих сумм. Алгоритм Коблица по скорости сравним с алгоритмом Фукуравы, Кавазо, Такахаши.
А если поле произвольно и наша криптосистема работает с определенным типом кривых?
Кавазо, Такахаши и Фурукава рассмотрели в [3] семейство гиперэллиптических кривых у2 = х5 + ах над большим конечным полем . Основная идея алгоритма такова. Для данных кривых характеристический многочлен Фробениуса имеет вид (1). Значения в1, в2 ограничены: |"2^ |в1|-2Ц ] ^ в2 ^ ^q+l+(NC|(g)-(q+l))/g + 2q^. Пусть ц = р — простое, причем р > 64. Тогда,
чтобы найти в1, в2, необходимо рассмотреть максимум три возможных значения в2, найти для них число точек и проверить умножением на произвольную точку якобиана.
Позднее Ханеда, Кавазо, Такахаши расширили рассматриваемое семейство до
гиперэллиптических кривых у2 = х2к+1 + ах, предложив эффективный алгоритм вычисления порядка якобиана при помощи сумм якобстала фк г (а) = ^ Х2(хк+1 + ах), где а є Бр, г = 1, ..., g, х2
хєБ г
— элемент порядка 2 поля БрГ. Число рациональных точек кривой над полем БрГ при этом равно |С(БрГ)| = рг +1 + Фкг(а). Тогда находим характеристический многочлен Фробениуса из условия
2 £ 2£
Хі(і) = П(і - аі), тогда |С(Б г)| = рг +1 + ^аг . С помощью данного алгоритма авторы выделяют і=1 р і=1
наиболее приемлемые для безопасности конечные поля и соответствующие порядки якобианов.
Кавазо, Такахаши и Фурукава показали, что в некоторых случаях необязательно вычислять непосредственно точное значение порядка якобиана. Можно найти предполагаемые значения и проверить их. Имея на руках ограничение порядка якобиана, зависящее от размера поля, мы можем сократить количество таких чисел для проверки.
С. Халоуи показала в [4] верхние и нижние возможные границы для числа рациональных точек абелевых многообразий и якобианов. Если задано конечное поле ^ размерности £, то для
абелевого многообразия А: (с/ + 1 - 2^):‘- < #А(Р ) < (с/ + 1 + 2^)8. Для якобианов всевозможнъгх кривых над полем ^ это так же применимо, причем ІЧІ£) 5 < (с] + '^+(Nq(g)-(q + Ї))/g)g, где Ыч($) — максимальное число точек, которое может содержать кривая в Б?. Также для якобианов приведена асимптотическая оценка при росте размерности £: ц
На смену криптографии с использованием спаривания Вейля на эллиптических кривых приходит спаривание на якобианах гиперэллиптических кривых. Для того чтобы осуществить это спаривание, Кристиан Равншой в [5 — 7] предложил вероятностный алгоритм нахождения образующих группы кручения якобиана гиперэллиптической кривой рода 2 над конечным полем Б?. Для этого автор использует спаривание Тейта и «диагонализацию» множества случайно
выбранных точек (Рі, ., Р4, Q1, ., Q4} якобиана с использованием эндоморфизма Фробениуса. Тем самым автор касается нахождения подходящих для криптографии гиперэллиптических кривых, то есть кривых, якобианы которых содержат большие циклические подгруппы.
При работе с якобианами перед исследователями всегда стоят две трудности. Одна заключается в том, что элементы якобиана не всегда можно представить в компактной форме в отличие от элементов алгебраических торов. Ко второй трудности относится проблема вычисления дискретного логарифма.
Рассмотрим понятие «обобщенного» якобиана, упоминаемое Изабель Дешен [8; 9]. Это некоторая алгебраическая группа гиперэллиптической кривой. Она является обобщением таких структур, как якобиан и тор. «Обобщенный» якобиан аналогичен обычному, но вместо линейного отношения эквивалентности между дивизорами вводят специальное О ~т V, если 3/ є К(С) ,
, Ш
такой, что (f = D - D' и f = 1(mod m), где C — некоторая кривая над конечным алгебраически
замкнутым полем K, а m — положительный дивизор.
Элементы данной группы можно представить в виде пары (k, P), где k е Gm, P е C . Для такого представления описан групповой закон.
«Обобщенные» якобианы обладают полезными свойствами как обычных якобианов (маленький размер ключа), так и торов (компактное представление элементов). Однако решение проблемы дискретного логарифма здесь остается не менее сложной задачей, чем на самой кривой или в конечном поле. Гэлбрэйт и Смит показали, что данная проблема является и не более сложной [10]. Эффективный алгоритм решения проблемы дискретного алгоритма в якобиане гиперэллиптической кривой рассмотрен К. Нагао [11]. Он основан на работах Харли и Терьялу и использует множества гладких и почти гладких дивизоров относительно множества B сР, где
Р = (P | -P е Р). Генерируем множества гладких дивизоров, затем находим числа sv по модулю | Jq | такие, что ^svv = = 0(mod| Jq |, где v — почти гладкий дивизор. Подставляя значения в
V
-^svav /^sVPV(mod | Jq |), находим дискретный логарифм.
V V
Список литературы
1. Colm O hEigeartaigh. A comparison of point counting methods for hyperelliptic curves over prime fields and fields of characteristic 2 // Cryptology ePrint Archive. 2004.
2. Haneda M., Kawazoe M., Takahashi T. Suitable curves for genus-4 HCC over prime fields: point counting
formulae for hyperelliptic curves of type y2 = x2k+1 + ax // Ibid.
3. Furukawa E., Kawazoe M, Takahashi T. Counting points for hyperelliptic curves of type y2 = x5 + ax // Ibid. 2002.
4. Haloui S. The minimum and maximum number of rational points on jacobian surfaces over finite fields. URL: http://arxiv. org/abs/1002.3683.2010.
5. RaVnshoj C. R. Generators of Jacobians of genus two curves / / Cryptology ePrint Archive. 2008.
6. RaVnshoj C. R. Non-cyclic subgroups of Jacobians of genus two curves // Ibid.
7. RaVnshoj C. R. Non-cyclic subgroups of Jacobians of genus two curves with complex multiplication // Ibid.
8. Dechene I. Arithmetic of generalized Jacobians // Ibid. 2006.
9. Dechene I. On the security of generalized Jacobian cryptosystems // Ibid.
10. Galbraith S. D., Smith B. A. Discrete logarithms in generalized Jacobians / / Ibid.
11. Nagao K. Improvement of theriault algorithm of index calculus for Jacobian of hyperelliptic curves of small genus // Ibid. 2004.
Об авторе
Илья Дмитриевич Ильяшенко — студ., РГУ им. И. Канта, e-mail: tommplay@ googlemail. com.
Author
Ilya Ilyashenko — student, IKSUR, e-mail: tommplay@googlemail. com.
