О ФУНКЦИЯХ ТИПА ВАН ДЕР ВАРДЕНА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2023. Т. 23, вып. 3. С. 339-347

Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2023, vol. 23, iss. 3, pp. 339-347

mmi.sgu.ru https://doi.org/10.18500/1816-9791-2023-23-3-339-347, EDN: BUXAKG

Научная статья УДК 517.518.153

О функциях типа ван дер Вардена

А. И. Рубинштейн, Д. С. Теляковский0

Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ, Россия, 115409, г. Москва, Каширское ш., д. 31

Рубинштейн Александр Иосифович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики, [email protected], htpps://orcid.org/0000-0001-8863-5438, AuthorlD: 14669

Теляковский Дмитрий Сергеевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, [email protected], htpps://orcid.org/0000-0003-1579-2154, AuthorlD: 14223

Аннотация. Пусть и(t) — произвольная функция типа модуля непрерывности, у которой w(t)/t ^ при t ^ +0. Для u(t) на отрезке [0; 1] построена непрерывная нигде не дифференцирумая функция Vu(х) типа ван дер Вардена, для которой выполнены следующие условия: 1) модуль непрерывности функции Vu(х) удовлетворяет оценке 0(u(t)) при t ^ +0; 2) найдется число с > 0, для которого в каждой точке х0 при х ^ х0 выполнено limsup (х)-Vuj(х0)|/ш(\х-х01) > с; 3) в каждой точке х0 при х ^ х0 выполнено liminf (x)-Vu(xq)\/^(|ж-жо|) = 0.

Ключевые слова: модуль непрерывности, нигде не дифференцируемая функция, функция типа ван дер Вардена

Для цитирования: Рубинштейн А. И., Теляковский Д. С. О функциях типа ван дер Вардена // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2023. Т. 23, вып. 3. С. 339-347. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2023-23-3-339-347, EDN: BUXAKG

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0)

Article

On functions of van der Waerden type A. I. Rubinstein, D. S. Telyakovskii0

National Research Nuclear University MEPhI, 31 Kashirskoe shosse, Moscow 115409, Russia

Aleksandr I. Rubinstein, [email protected], htpps://orcid.org/0000-0001-8863-5438, AuthorlD: 14669

Dmitrii S. Telyakovskii, [email protected], htpps://orcid.org/0000-0003-1579-2154, AuthorlD: 14223

Abstract. Let w(t) be an arbitrary modulus of continuity type function, such that w(t)/t ^ as t ^ +0. We construct a continuous nowhere-differentiable function Vu(x), x e [0;1], that

satisfies the following conditions: 1) its modulus of continuity satisfies the estimate 0(w(t)) as t ^ +0; 2) for some positive с at each point x0 holds limsup (х)-Уш(x0)|/ш(\x-x01) > с as x ^ x0; 3) at each point x0 holds liminf (ж)-'Уш(x0)\/u(\x-x01) = 0 as x ^ x0. Keywords: modulus of continuity, nowhere-differentiable function, van der Waerden type function For citation: Rubinstein A. I., Telyakovskii D. S. On functions of van der Waerden type. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2023, vol. 23, iss. 3, pp. 339-347 (in Russian). https://doi.org/10.18500/1816-9791-2023-23-3-339-347, EDN: BUXAKG This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0)

Пусть функция w(t) на отрезке [0; 1] удовлетворяет критерию С. М. Никольского модуля непрерывности в пространстве непрерывных функций

0 = ^(0) < ш(t) при t> 0; u(t1) ^ u(t2), ш(t1 + t2) ^ ш(t1) + ш(t2) при t2 ^ t1 > 0;

и

Нш = {f (х) : uf(5) = sup I/(ж + h) - f (х)\ = 0(ш ^ 0<h^8

0^x<x+h^1

— класс Никольского - Гельдера. Будем рассматривать только такие ш(t), что

lim ^ = (2)

i^+0 t

Как показал С. Б. Стечкин1, для любого модуля непрерывности w(t) существует выпуклая вверх функция Co(t) такая, что w(t) ^ &(t) ^ 2u(t). Очевидно, что w(t) удовлетворяет условиям (1). Поэтому, не ограничивая общности, функцию w(t) можно считать выпуклой вверх.

В настоящей работе строится пример функции Уш(х) £ Нш типа функции ван дер Вардена2, которая при некотором положительном значении с удовлетворяет условиям

(^ + h) - Уш(ж)| limsup -т—jr- > с при всех х £ [0; 1];

h^0,x+he[0;1] ^(|h|) (3)

r . f \Ущ(x + h) - Уш(Ж)| n ()

liminf J—--T7TT\-^^ = 0 при всех x£ 10; 11.

h^0,x+he[0;1] ^(|h|)

В работе А. И. Рубинштейна [5] был построен пример функции f (х) £ Нш, для которой в каждой точке выполнено первое из условий (3) и доказано, что при предположении (2) второе из условий (3) выполняется почти всюду для любой функции из Нш. В работе [5] соответствующий пример, как и в классическом примере К. Вей-ерштрасса [6] непрерывной нигде не дифференцируемой функции, был получен как сумма равномерно сходящегося лакунарного тригонометрического ряда. Пример из

1 Лемма С. Б. Стечкина с согласия ее автора была впервые опубликована в работе А. В. Ефимова [1, с. 78, лемма 4].

2Похоже, что первый пример непрерывной нигде не дифференцируемой функции принадлежит Б. Больцано [2] (Boltsano, около 1830 г.). Используя ту же идею, что и Б. Больцано, но независимо от него и друг от друга, примеры непрерывных нигде не дифференцируемых функций дали Т. Такаги [3] (Takagi, 1903 г.) и ван дер Варден [4] (van der Waerden, 1930г.). Наибольшую известность получил пример ван дер Вардена.

настоящей работы получен как сумма лакунарного ряда пилообразных функций и следует примеру ван дер Вардена. Аналог функции Уш(ж), построенной в настоящей работе, использовался в работе Д. С. Теляковского [7] по теории моногенности. Примеры функций, которые удовлетворяют условию, аналогичному первому из условий (3), были получены в работах А. С. Белова [8] и Ю. С. Мишуры, А. Шида [9], при этом у А. С. Белова соответствующий пример дает сумма лакунарного тригонометрического ряда, а в работе Ю. С. Мишуры и А. Шида — лакунарного ряда пилообразных функций типа Такаги - ван дер Вардена.

Для построения функции Уш(ж) покажем сначала, что существует строго возрастающая последовательность натуральных чисел {п^}, для которой при каждом к > 1 выполнены неравенства

к-1 1 , (2-пк \ ж 1

Е2М2-"*) < к - Е < (2-"к)• (4)

в=к+1

Последовательно определим числа п^. Положим п1 := 1. Пусть числа п8 при

к-1

всех номерах 5 < к уже определены. Определим величину щ. Сумма ^^2-Пв)

"(2-Пк) 8 = 1 имеет конечное значение, а величина —2^к ^ при пк ^ го. Поэтому для всех

достаточно больших п^ выполнено первое неравенство (4).

При рассмотрении второго неравенства (4) надо иметь в виду, что стоящее в правой части неравенства (4) значение п^ должно быть определено до того, как определены величины п8, стоящие в левой части (4). Это возможно, если номера п^ удовлетворяют некоторым дополнительным условиям. Определим эти условия.

При каждом натуральном к > 1 второе неравенство (4) можно записать так:

(2-"к) = к (ЕЙ "(2-Пк) = ¡Е > £ " (2-"') = £ "(2-"к+'),

Ь' = 1 ' 3 = 1 8=к+1 3=1

т. е.

к £ "2Р > £ "(2-).

3=1 3=1

Поэтому для выполнения при каждом к второго неравенства (4) достаточно, чтобы для всех к и выполнялось

1 " (2 — Пк )

> "(2-"к+-<)• (5)

Номера п^ в левой части неравенства (5) меньше номеров в правой части (5), поэтому, если обозначить т := то эти соотношения примут вид

" (2—Пт) <--(-:-^, 1 = 1-...-т — 1, к е М,

т — ] 2^

а после замены т на к и т - на эти соотношения запишутся так:

1 " (2—'пз)

"(2—"к) <- -2^, з = 1,...,к — 1, ке N. (6)

(7)

Для каждого номера к получено к неравенств, которым должны удовлетворять величины ш(2-Пк) для того, чтобы были выполнены условия (4). Это самое первое неравенство (4), которое выполнено при всех достаточно больших значениях щ и система из к - 1 неравенства (6), каждое из которых тоже выполнено при достаточно больших Пк. Поэтому, если выбрать щ достаточно большими, то все неравенства (4) будут выполнены.

Существование строго возрастающей последовательности натуральных чисел {щ}, для которой при каждом к > 1 выполнены неравенства (4), установлено.

Функцию Vu(х) определим, используя последовательность {щ}. Положим

V„(х) vk(х), х £ [0; 1],

ken

где при ж £ [0; 2 • 2-Пк]

vk(х) := u(2-nk)2nfc(2-Пк - \х - 2-Пк \ vk (2-(nfc-1) j + х) := vk (х) при j = 1,..., 2Пк-1,

т.е. на отрезке [0;2-(nfc-1)] график функции Vk(х) является равнобедренным треугольником высотой и(2-Пк) и основанием 2-(пк-1), далее периодически продолженным на весь отрезок [0; 1] с периодом 2-(пк-1) (рис. 1, жирными линиями выделены первые периоды функций v1(x) и V2 (х)).

Сначала проверим, что так определенная функция Vu(х) принадлежит классу Нш. Для этого оценим модуль приращения \VU(х+h)-Уш(ж)| при ж, ж + h £ [0; 1], будем считать, что h > 0. Найдем номер к, при котором (рис. 2)

2-Пк+' <h < 2-Пк, (8)

и представим приращение Vu(x+h)-Vu(х) в следующем виде:

Рис. 1. Первые периоды функций Vk (ж) Fig. 1. The first periods of the functions Vk (ж)

k-1

Vu(x + h) - V„(x) = ^(x + h) - (x)) + (vk(x + h) - vk(x)) +

s=1

+ £ (vs(X + h) - ,s ф) ^ ^ + £(2) ь + £(3) ь .

s=k+1

Сначала оценим сумму (1) к. Имеем

k-1

42) ,k

43) ,k

(9)

E(1), * <E \ к(x +h) - ^(*) \.

S=1

Каждая функция V8(х) является кусочно-линейной и угловые коэффициенты звеньев ее графика равны ±2Пзш(2-Пз). Поэтому

%(х + К) - у8(х)| < ) • К

Отсюда, по первому неравенству (4), получаем

IE

(i),k

<

(£ 2-й/(2-)) ■ h <

< 2-nk) ■ h. Л

Так как 2Пкс(2-Пк) — угловой коэффициент отрезка, вписанного в график функции с(£) и лежащего над [0;2-Пк], и К ^ 2-Пк, то в силу выпуклости с(£) вверх выполняется неравенство 2Пкс(2-Пк) • К ^ с(К) (см. рис. 2) и, значит,

IE,

41), к

Аналогично (см. рис. 2)

^ 1 ц/0.

(10)

(0(h)

a>(2-"f)

2-%u

2Пк(о(ТПк)к

h

2nk

Рис. 2. Сравнение величины u(h) со значениями £ш, £{2)]к и £,3)tk

Fig. 2. Comparing the value u(h) with the values Y,(i),k, E(2),fc, and E(3),fc

| ^ (2) ь = Ь (х + К) - ^ (х) | < 2Пкс(2-Пк) • К < с (К). (11)

Теперь оценим сумму ^(3) к. Для этой суммы выполнены неравенства

| Е3)кЕ (х + к) -".(®)1 < Е (К(х+к)1 + к.(®)0 <

^ (12)

те те / те \ 4 '

< 2 £ I«.(х)1 = 2 £ 2-"*) = 2 с(2-"к+0 + £ с(2-"«) .

в=к+1 [ ' ] в=к+1 \ в=к+2 )

К сумме в последнем члене цепочки этих соотношений применим второе неравенство (4) при к + 1. Учитывая, что 2-Пк+1 < К, отсюда получаем (см. рис. 2)

1 £(3) ,к 1 < К1 + кгг)с(2-"к+1) < 20 + кТг)с(К). (13)

Таким образом, из соотношений (10), (11) и (13) для каждых 0 ^ х < х + К ^ 1 при к, удовлетворяющем (8), следует оценка приращения

| Vu(ж + h) -Vu(ж)| ^ 1 + ! + 2 + (h) ^ (h). (14)

Принадлежность функции Уш(х) классу Н [0; 1] установлена.

Теперь проверим, что для каждой точки х е [0; 1] выполнено первое соотношение (3). Для этого покажем, что найдется такое с > 0, одно и то же для всех х е [0; 1], что при каждом номере к на расстоянии не больше 2-Пк и не меньше 2-(пк+1) от точки х найдется точка х^ е [0; 1], в которой выполнено неравенство

^) (х)| >С. (15)

-х|)

Точку хк определим по функции ук. Графиком кусочно-линейной функции ук является ломаная со звеньями равной длины и угловыми коэффициентами, равными ±2Пки(2-Пк), знаки угловых коэффициентов чередуются. Каждое звено лежит над отрезком длины 2-Пк. Обозначим [с; тот из отрезков, который содержит точку х, если точка х лежит на границе двух отрезков, то отрезок [с; — любой из них. В качестве точки хк возьмем конец отрезка [с; который лежит дальше от х, если х — середина [с; то в качестве хк берем любой из концов [с; По неравенству треугольника

(хк) - Уш (ж)| > I Е(2) ,к I - I Е(1) ,к I - I Е(3) ,к |

ш([хк - х\) ш([хк - х\)

П - (Хк) - Уш(х)1 | |

Для получения нижней оценки J—^-значение I > (2), I оценим снизу, а

и(\хк - х\) 1 (2)'

значения | 2(1), к | и 12(3),к | — сверху.

Точки х и хк лежат под одним звеном ломаной, являющейся графиком функции ук(х), и для х и хк точек выполнено 2-Пк > \х - хк| > 2-(пк+1), поэтому

I Е(2)* | = I Ч(Хк) - "к(®) I = 2"'ш(2""' - >

> 2Пкш(\хк - х\)2~(Пк+1> = 2ш(\хк - я\).

При к = хк - х из неравенства (10) следует оценка | 2т к | ^ \ ш(\хк - х\). При

получении соотношений (12) была получена оценка 12(3) к | ^ 2 2<^=к+1 ^(2—Пз), откуда, учитывая второе неравенство (4), при к = хк - х получаем, что

| ^ 2 2 4

I Е(3)^ < 2^ "(2-П°) < 1"(2-Пк) < Ти(2\хк - х\) < -ш(\хк - х\).

к к к

з=к+1

Следовательно, на расстоянии не больше 2 Пк и не меньше 2 (пк+1) от каждой точки х £ [0; 1] найдется точка хк £ [0; 1], для которой

|К; (Хк) - Уш (Х)\ >

Е(2) ,к Е(1) ,к Е(3) ,к

1 1 4 >-----.

ш(\хк - х\) и(\х" - х'|) 2 к к

Поскольку хк ^ х при к ^ ж, то отсюда следует, что

^+ к) - У. ^ > 1

н^о Ш (|к|) 2

и первое из соотношений (3) выполнено при с = 1.

2

Теперь проверим выполнение второго соотношения (3). Возьмем произвольную точку х £ [0; 1]. Обозначим хк какую-либо точку отрезка [0; 1], лежащую на расстоянии 2 -(пк-1) от х. Поскольку период функции ук(х) равен 2 "(пк-1), то

к— 1 те

Уш (хк) - Уш (х) = {у*(хк) - У8 (х)) + ^ (у8(%к) - У8 (х)) .

в=1 в=к+1

Отсюда, используя неравенства (4), получаем, что

к—1 ж

\ уш(хк) - уш(х)\ < ^\vs(xk) - Vs(х)\ + 2 mm^axxvs(x) <

e=i s=k+i [0'1]

k—1 ж

2-ш(2—)|xfc -x| + 2 £ ш(2—) <

s=1 s=k+1

< 12Пкш(2—Пк) • 2—{nk—1) + 2 1 ш(2—nk) = 4ш(2—nk) < 4ш(х^ -

к 4 y к 4 y к 4 y к 4

Поскольку h = Хк — x ^ 0 при к ^ то, то отсюда получаем, что

i;minf у (х + h) — к, (х)| =о.

hio ^(jhj)

Второе соотношение (3) также доказано.

Так как limo ^^ = то, то, если бы в некоторой точке х функция У^(х) имела

й б г У (х + h) — Уш (х)|

производную, в этой точке выполнялось бы равенство lim-——- = 0,

hio ^(|h|)

что противоречит первому соотношению (3). Следовательно, функция У^(х) не дифференцируема ни в одной точке.

Все анонсированные свойства функции У^(х) типа ван дер Вардена проверены.

Все сказанное остается справедливым для рядов, полученных следующим образом. Пусть

'х на [0, 4],

01 (х) = { 1 — х на [3; 4], х — 1 на [3; 1].

График 0 (х) есть ломаная с вершинами в точках (0;0), (4; 4), (4; — 4), (1; 0) и

(х) := 4л/301 (х), т.е. (x)||la(о;1) = 1.

Определим систему (х) := (2ш-1х) как периодическую с периодом 1. Очевидно, что

срт(х) =4^2 i rm+1 (i)di, 0

где rj(ж) = sign (sin2%ж) — система Радемахера (см. например [10]).

В работе [11] А. И. Рубинштейн, в частности, показал, что система (ж)} слабо мультипликативна, т. е.

/ (рк1 (ж)... (ж) =0 при 1 Oi < • • • < К Jo

и [12] для нее при любом р > 2

fr 1 п р V / n \ 2

u (х) dx) ^(Е4)

— Зр-система — неравенство Хинчина, установленное впервые для системы Радемахера, кроме того, Зр-система является системой Банаха

(Ё 4)

4=i 7

^ Вг

^k (ж)

k=1

dx.

i

о

Как показал В. Ф. Гапошкин [12], ряд 2 скФк(%) почти всюду безусловно сходится

k=i

при {ск} £ 12 и почти всюду расходится при {ck} £ 12.

Для системы Радемахера сходимость почти всюду при {ск} £ 12 доказал Радемахер в 1922 г., а расходимость почти всюду при {ск} £ 12 — Хинчин и Колмогоров в 1925 г.

В настоящей работе речь идет как раз о рядах по системе (ж)}.

Список литературы

1. Ефимов А. В. Линейные методы приближения непрерывных периодических функций // Математический сборник. 1961. Т. 54 (96), вып. 1. С. 51-90.

2. Bolzano B. Functionenlehre // Bolzano B., Petr K., Rychlik K. Bernard Bolzano's Schriften. Band 1. Praha, Kralovska Ceska spoleCnost nauk v Praze, 1930. P. 80-184.

3. Takagi T. A simple example of a continuos function without derivative // Tokyo Sugaku-Butsurigakkwai Hokoku. 1901. Vol. 1. P. 176-177. https://doi.org/10.11429/subutsuhokoku 1901.1.F176

4. van der Waerden B. L. Ein einfaches Beispiel einer nicht-differenzierbaren stetigen Funktion // Mathematische Zeitschrift. 1930. Vol. 32. P. 474-475. https://doi.org/10.1007/ BF01194647

5. Рубинштейн А. И. Об и-лакунарных рядах и о функциях классов Нш // Математический сборник. 1964. Т. 65 (107), вып. 2. С. 239-271.

6. Weierstrass K. Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die fur keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen // Ausgewahlte Kapitel aus der Funktionenlehre: Vorlesung, gehalten in Berlin 1886 Mit der akademischen Antrittsrede, Berlin 1857, und drei weiteren Originalarbeiten von K. Weierstrass aus den Jahren 1870 bis 1880/86. Wiesbaden : Vieweg+Teubner Verlag, 1988. P. 190-193. https://doi.org/10.1007/978-3-322-91273-2_5

7. Теляковский Д. С. Об условиях моногенности // Современные проблемы теории функций и их приложения : материалы 21-й междунар. Саратовской зимней школы (Саратов, 31 января-4 февраля 2022 г.). Саратов : Саратовский университет [Издание], 2022. Вып. 21. С. 289-293. EDN: CZHBTY

8. Белов А. С. О локальных свойствах некоторых функций из класса Гельдера // Известия вузов. Математика. 1992. № 8. С. 13-20.

9. Mishura Y., Schied A. On (signed) Takagi - Landsberg functions: pth variation, maximum, and modulus of continuity // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2019. Vol. 473, iss. 1. P. 258-272. https://doi.org/10.1016/j-.jmaa.2018.12.047

10. Качмаж С., Штейнгаус Г. Теория ортогональных рядов. Москва : ГИФМЛ, 1958. 507 с.

11. Рубинштейн А. И. Об одном множестве слабо мультипликативных систем // Математические заметки. 2019. Т. 105, вып. 3. С. 471-475. https://doi.org/10.4213/mzm11856, EDN: VWDTVI

12. Гапошкин В. Ф. О сходимости рядов по слабо мультипликативным системам функций // Математический сборник. 1972. Т. 89 (131), вып. 3 (11). С. 355-365.

References

1. Efimov A. V. Linear methods of approximating continuous periodic functions. Matematiches-kii Sbornik. Novaya Seriya, 1961, vol. 54 (96), iss. 1, pp. 51-90. (in Russian).

2. Bolzano B. Functionenlehre. In: Bolzano B., Petr K., Rychlik K. Bernard Bolzano's Schriften. Band 1. Praha, Kralovska ceska spolecnost nauk v Praze, 1930, pp. 80-184.

3. Takagi T. A simple example of a continuos function without derivative. Tokyo Sugaku-Butsurigakkwai Hokoku, 1901, vol. 1, pp. 176-177. https://doi.org/10.11429/subutsuhokoku 1901.1.F176

4. van der Waerden B. L. Ein einfaches Beispiel einer nicht-differenzierbaren stetigen Funktion. Mathematische Zeitschrift, 1930, vol. 32, pp. 474-475 (in German). https://doi.org/10. 1007/BF01194647

5. Rubinshtein A. I. On u-lacunary series and functions of the classes Нш. Matematicheskii Sbornik. Novaya Seriya, 1964, vol. 65 (107), iss. 2, pp. 239-271 (in Russian).

6. Weierstrass K. Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die fur keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen. In: Ausgewahlte Kapitel aus der Funktionenlehre: Vorlesung, gehalten in Berlin 1886 Mit der akademischen Antrittsrede, Berlin 1857, und drei weiteren Originalarbeiten von K. Weierstrass aus den Jahren 1870 bis 1880/86. Wiesbaden, Vieweg+Teubner Verlag, 1988, pp. 190-193. https://doi.org/10.1007/978-3-322-91273-2_5 (in German).

7. Telyakovskij D. S. On monogeneity conditions. Contemporary Problems of Function Theory and Their Applications: Materials of the 21st International Saratov Winter School (Saratov, January 31-February 4, 2022). Saratov, Saratov State University Publ., 2022, iss. 21, pp. 289-293 (in Russian). EDN: CZHBTY

8. Belov A. S. Local properties of some functions in the Holder class. Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika), 1992, vol. 36, iss. 8, pp. 10-17.

9. Mishura Y., Schied A. On (signed) Takagi - Landsberg functions: pth variation, maximum, and modulus of continuity. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2019, vol. 473, iss. 1, pp. 258-272. https://doi.org/10.1016/jjmaa.2018.12.047

10. Kaczmarz S., Steinhaus H. Theorie der Orthogonalreihen. Chelsea Publishing Company, 1951. 296 p. (Russ. ed.: Moscow, GIFML, 1958. 507 p.).

11. Rubinshtein A. I. On a Set of Weakly Multiplicative Systems. Mathematical Notes, 2019, vol. 105, iss. 3, pp. 473-477. https://doi.org/10.1134/S0001434619030192

12. Gaposhkin V. F. On the convergence of series of weakly multiplicative systems of functions. Mathematics of the USSR-Sbornik, 1972, vol. 18, iss. 3, pp. 361-372. https://doi.org/10. 1070/SM1972v018n03ABEH001818

Поступила в редакцию / Received 26.04.2022 Принята к публикации / Accepted 04.11.2022 Опубликована / Published 31.08.2023