О формировании и распространении резких переходных слоев в параболических задачах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958.226

О ФОРМИРОВАНИИ И РАСПРОСТРАНЕНИИ РЕЗКИХ ПЕРЕХОДНЫХ СЛОЕВ В ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ

В. Ф. Бутузов, Н. Н. Нефёдов, К. Р. Шнайдер*)

(.кафедра математики)

Исследован вопрос о том, как в сингулярно возмущенном параболическом уравнении из начальной функции общего вида формируется решение с резким переходным слоем. Описаны возможные сценарии поведения переходного слоя с течением времени.

Введение

Рассмотрим нелинейное параболическое уравнение типа реакция-диффузия

е2(ихх^щ) = /(«,М)- (1)

Такие уравнения служат математическими моделями многих физических, химических и биологических процессов. Во многих задачах множитель е2 оказывается малой величиной. В таком случае уравнение (1) называется уравнением с малым параметром при старших производных, или сингулярно возмущенным уравнением. Физическая природа малого параметра в разных задачах различна. Множитель е2 может быть малым коэффициентом диффузии или температуропроводности в задачах массо- или тепло-переноса; величиной, обратной константе скорости быстрой реакции, в задачах химической кинетики и т.д.

Одним из наиболее интересных явлений, описываемых уравнением (1) при малых е, являются контрастные диееипативные структуры, характеризующиеся узкими внутренними переходными слоями, в которых происходит резкое (скачкообразное) изменение решения и(х, е) уравнения (1). Теория дие-еипативных структур (этот термин был предложен лауреатом Нобелевской премии И. Пригожиным) является существенной частью синергетики — науки о процессах самоорганизации в природе. Разработке асимптотических методов исследования математических моделей контрастных диееипативных структур посвящен большой цикл работ, выполненных авторами, их коллегами и учениками [1-6].

В настоящей работе рассматривается вопрос о том, как из начальной функции достаточно общего вида, заданной для уравнения (1), с течением времени формируется контрастная структура, т.е. решение с резким внутренним переходным слоем, и описываются возможные сценарии дальнейшего поведения этого переходного слоя.

1. Постановка задачи

Будем рассматривать уравнение (1) в области Б = {0 < х < 1, £ > 0} с начальным условием

«(ж, 0, е) = и°(х), 0<®<1 (2)

и краевыми условиями второго рода (условиями непроницаемости границы)

ия(0,*,е) = «*(М,е)=0, ¿>0. (3)

Функции /(«, ж, ¿) и и°(х) считаем достаточно гладкими. Если положить в уравнении (1) е = 0, то получим вырожденное уравнение

/(«,яг,*) =0, 0<®<1, ¿<0. (4)

Пусть функция /(и,ж,*) является нелинейностью кубического типа, что характерно для многих прикладных задач. Более точно, пусть выполнено условие

(Ах). Уравнение (4) имеет в области О = {и ^ и ^ ^ 0 ^ ж ^ 1, ¿>0; и,й — некоторые постоянные} три корня относительно и: « = £), ¿ = 0,1,2, причем

и < <рг(х, ¿) < ц>а(х, ¿) < ц>2(%, < й

при (ж, ь) е -О = {о < х < 1, г ^ о}, /и(<л(ж>> 0 для ¿ = 1,2 и (ж,Ь)сВ.

Начальную функцию и°(х) из условия (2) подчиним следующему требованию:

{А2). Существует число жо € (0,1), такое, что

и < и°(х) < щ(х, 0) при 0 < х < ха, и°(х о) = т(хо,0),

<Ро(х, 0) < и°(х) < й при Ж0 < X < 1.

Это условие показывает, что график начальной функции и = и°(х) имеет ровно одну точку пересечения с графиком корня и = <ра(х,0) уравнения (4) при £ = 0. Как мы увидим дальше, именно в окрестности точки жо будет происходить формирование резкого внутреннего переходного слоя. Если таких точек несколько, то появится несколько переходных слоев и формирование каждого из них можно описать так же, как формирование слоя в окрестности точки жо- В следующем пункте мы покажем, что формирование переходного слоя происходит за короткий промежуток времени порядка 0(е211пе|).

Ше^в^аавв^пвМШ (\VIAS), ВегНп, Оегтапу.

2. Асимптотика решения на временном промежутке 0 ^ t ^ Ае2\ 1пе|

Прежде всего отметим, что вопрос о существовании решения задачи (1)-(3) при условиях (Ах) и (А2) решается весьма просто. Постоянные функции, равные соответственно и и и, являются нижним и верхним решениями задачи (1)-(3) и, следовательно, существует (единственное) решение и(х, t, е) задачи (1)-(3), и справедливы неравенства

и < и(х, t, е) < й при ® < 1, t ^ 0.

Для построения асимптотики решения на временном промежутке 0 ^ t ^ ¿л = Ае2\ 1пе| (число А уточним ниже) сделаем замену переменных / ?2 г. Задача (1)-(3) примет вид («(ж, г, е) = и(х, е2т, е))

£2йхх = /(«, х, е2г), 0 < х < 1, г > 0, (5)

«(ж, 0, е) = и°(х), 0 < ж < 1, (6)

«я(0,т,е) = «я(1,т,е)=0, г > 0. (7) При е = 0 из (5),(6) получаем задачу

-üT = /(ü,®,0), т> 0, ü(®,0)=u°(®), (8)

в которую х входит как параметр.

Из условий (Ai) и {А2) следует, что для любого х е [0,1] решение й(х, т) задачи (8) является монотонной функцией г, причем

(<pi(x,0) при 0 ^.Х < Xq, lim и\х, т) = < (У)

[у>2(®,0) при ж0 < х < 1,

й(®о, т) = щ(хо, 0) при т ^ 0.

Возьмем любое положительное число 8, столь малое, что

8 < mm(®0! 1 — XQ). (10)

Тогда в силу (9) для любого числа т] > 0 найдется такое т§ = т§(г]), что будут выполнены неравенства

\й(х, т) — ifil(x, 0)1 < Г] при 0 < X < Xq — 8, Т ^ Tg, \Ü(x, т) — ifi2(x, 0)1 < Г] при Xq + 8 < X < 1, Т ^ Tg.

(11)

Введем обозначение

min^ min fu(<pi(x, 0), ж, 0),

min fu((p2(x,0),x,0)} =2m.

0<ж<1

(12)

Из условия (Ах) следует, что тп > 0. Поэтому существует число щ > 0 такое, что для любого х е [0,1] выполнено неравенство

fu(u,x, 0) ^ тп при - y>i(®,0)| щ и - у2(х,Щ < щ.

(13)

Отсюда следует, что предельный переход (9) имеет экспоненциальный характер. Более точно, справедлива

Лемма 1. Пусть т и щ — числа, определенные в (12) и (13). Тогда для любого положительного 8 > 0, удовлетворяющего (10), существует такое т§ > 0, что

|Ü(X,T) -y>i(®,0)| ^ щ ехр{^т(т — т^)} При 0 ^ X ^ Xq — 8, Т ^ Tg,

|й(х,т) -<р2(х, 0)1 ^ щ ехр{^тп(т — т^)} при Xq + 8 ^ X ^ 1, Г ^ Tg.

(14)

(15)

Доказательство. Для любого 8 > 0 возьмем тб = тд(щ) > Для которого выполнены неравенства (11) при г] = щ, и представим правую часть уравнения (8) при О^ж^жо^ в виде

/(й(ж,г)ж,0) = = /(¥>1(®, 0), 0) + /* (й(х, т) - щ{х, 0)) =

= /*(«(®,т) -¥>1(®,0)),

где /* обозначает производную, взятую в промежуточной точке, а само уравнение (8) запишем в виде

д_

дт

(й(х, т) - ipx{ж, 0)) = -/* (й(х, т) - ipx{ж, 0))

(16)

В силу (11) и (13) \й(х,т) — <¿>1 (ж, 0)| < щ, /* ^ тп при 0 ^ ж ^ жо ^ т ^ тg. Отсюда и из (16) непосредственно следует оценка (14). Оценка (15) доказывается таким же образом. Лемма 1 доказана.

В дальнейшем нам понадобятся оценки производных решения й(х, г) задачи (8). Введем обозначение /„(ж, г) = /и(й(ж, г), ж, 0). Так как и < й(х,т) < й при т^О и /„(и,ж,0) — ограниченная

функция при то существует

такое число р > 0, что

—/ипри 0 < ® < 1, г 0. (17)

Продифференцировав теперь (8) по ж, получим линейное дифференциальное уравнение относительно йх(х,г), откуда на основе (17) сразу же получается оценка

\йх(х, т)| ^ сехр{рг}, 0 ^ ж ^ 1, г ^ 0, (18)

где буквой с здесь и далее обозначается подходящее положительное число, не зависящее от е. Аналогичным образом после двукратного дифференцирования (8) по ж получаем оценку для йхх(х,г):

|«яя(®,т)| <сехр{2рт}, 0, (19)

Оценка (19) нам понадобится при доказательстве следующей леммы.

Лемма 2. Пусть выполнены условия (Ах), (Аъ) и пусть А — любое число из интервала (0,1 /р), где р определено неравенством (17). Тог-

да для решения и(х,т,е) задачи (5)-(7) имеет место представление

где

и(х, т, е) = й(х, т) + 0(ег рА), 0<®<1, 0<T<TA = A|lne|.

Доказательство. Введем функцию U(ж, т, е) = й(х, т) + R{x, т, е),

R(x,T,e) = е йх(0, т)а(х) expj^ — j —

(20)

(21)

сг(х) — срезающая функция, равная единице при 0 ^ х ^ 8 и нулю при 28 ^ х ^ 1, 8 — сколь угодно малое фиксированное (не зависящее от е) число. Используя оценку (19), нетрудно проверить, что

/- Г = е2ихх -Щ- /(и, х, е2т) = 0(еП

при 0 < X < 1, 0 < Т < ТА-

Кроме того, 17х(0, т, е) = 17х(1, т, е) = 0, 17(х,0,е) = = и°(х).

Сделаем теперь в задаче (5)-(7) замену переменных:

и(х, т,е) = U(ж, т, е) + w(x, т, е) ехр{рт}. Тогда для ги(х,т,е) получим задачу

e2wxx -wT-(p + h(x, т, e))w =

= ехр{—рт }LeU = О (s),

0 < x < 1, 0 < t ta, wx(0, r, e) = «^(1, r, e) = 0, w(x, 0, e) = 0,

(22)

(23)

где h(x, r, e) = f fu(U + s«;exp{pr}, ж, е2т) ds > —p. о

Так как коэффициент p + h{ж, r, e) в уравнении (23) положителен, в силу принципа максимума имеем:

w{ж, т, е) = 0{е) при 0 < ж < 1, 0 < т < та, и, следовательно, из (22) получаем

«(ж, т,е) = U (ж, г) + О(е) ехр{рт} =

= U(x,T,e) + <Э(е1-РА), (24)

А поскольку из (18) и (21) следует оценка

R( ж, т, е) = 0(е ехр{рт}) = 0(е1_,м),

то

U(x, т, е) = й(х, т) + R(х, т, е) = й(х, т) + 0(ег^рА) и равенство (24) переходит в (20). Лемма 2 доказана.

Из лемм 1 и 2 вытекает следующее утверждение о формированиии контрастной структуры.

Теорема 1. Пусть выполнены условия (Ах), {А2) и пусть тир — числа из (13) и (17), а 8 — любое число, удовлетворяющее неравенст-

ву (10). Положим А =

г = -7^—. Тогда при

р+т' р+т'

достаточно малых е для решения и(ж, е) задачи (1)-(3) в момент времени £ = *л(е) = Ае2|1пе| справедливы представления

и(х, е) = ^(ж, 0) + 0(еТ) при 0 ^ ж ^ жо — 8,

и(х, ¿л(е), е) = (®) 0) + 0(ег) при жо + 8 < ж < 1.

(25)

Доказательство. В силу леммы 2 и( х,гА(е),е) =й(х ,тА(е),е) = = й(х, тА) + 0{е1^рА) = й(х, тА) + 0(ег), а в силу Леммы 1

\й(х,ТА) ~ VI (®, 0)1 < щ ехр{^т(тА — Тй)} = 0(етА) = 0(ег) при 0 < ж < ж — 8.

Поэтому

и(х, *л(е), е) = <рг(х, 0) + 0(ег) при 0 < ж < жо — 8.

Аналогично доказывается второе равенство в (25). Теорема1 доказана.

Равенства (25) показывают, что в момент времени

¿л(е) = Ае2\ 1пе|, где А = —-—

р + т

решение и(ж, е) задачи (1)-(3) вне ¿-окрестности точки жо отличается от щ{х, 0) слева от жо и от 922 (®;0) справа от жо на величину порядка 0(ег), т.е. к этому времени контрастная структура с переходным слоем в окрестности точки жо сформировалась.

3. Движение переходного слоя при £ ^

Введем теперь новый масштаб времени / и рассмотрим уравнение («(ж, 5, е) = и(ж, ев, е))

е2йхх -ещ = ¡(й,х,ез) (26)

на конечном интервале нового времени

где ^л(е) = = Ае|1пе|, А = ^^ — число, введенное в теореме 1. К уравнению (26) добавим начальное условие

й(х, вА(е), е) = Ц>а(х, е) при 0 < ж < 1

и граничные условия

йх(0,5, е) = «^(1,5, е) = 0 при зА(е)

где ил(х, е) = и(х, ¿л(е), е) — решение задачи (1)-(3) в момент времени £ = (в этот момент справедливы равенства (25)).

Дальнейшее поведение переходного слоя связано со знаком функции

¥>2 (я,*)

1{х,г)= J /(и,®, *)<*«. (27)

<Р1(х,г)

(Аз). Пусть существует число х\ е (®о, 1]> такое,

что

1{х, 0) > 0 при ж0 ^ х < Ж1.

Рассмотрим две вспомогательные краевые задачи на полупрямых:

= 1(Мх,0) + Я(-\х,0), р< 0,

ар ар

д(-)(0) = <р0(ж,0) д(-)(-оо)=0; (28)

+ = 1(Мх,0) + Я(+\х,0), р> 0,

ар ар

<5(+)(0) = ¥Ч)(яг, 0) -¥>2(®,0), дМ(+оо)=0; (29)

где V и х — параметры.

В [7] доказано, что при условии (Аз) для любого х е [жо,жх] и для любого V из некоторого интервала краевые задачи (28) и (29) имеют решения и (¿(+\р,у,х), удовлетворяющие неравенствам < сехр{^&|р|}, где к — некоторое положительное число, и для каждого х е [жо,жх] существует единственное значение = уо(х)), такое, что

——(0, р0(х),х) = ——(0,г!0(ж),ж). ар ар

В силу этого равенства функция

Я^Кр, щ(х),х) + <р1(х,0), р < 0, ж0 < х < хг, <2(+)(р, г!0(ж),ж) + у2{х,$), р ^ 0, жо ^ ж ^ х\,

Q(p,v0( ж), ж) = <

является гладкой в области {^оо < р < +оо, ж0 ^ ж ^ х\]. Функция уо(х) удовлетворяет соотношению (см. [7])

Vq(X) =

1(х, 0)

I

SQ др

(р,г;о(ж),ж) dp

(30)

которое можно расматривать как уравнение для нахождения уо(х).

Будем считать, что функция уо(х) определена, и рассмотрим уравнение

dx

— =vq(X), s^sA(e)

(31)

с начальным условием

x(sA(e)) =ж°

(32)

Из условия (Аз) и выражения (30) следует, что Уа(х) > 0 при жо ^ ж ^ х\. Поэтому решение ж = х(з) задачи (31), (32) существует и является монотонно возрастающей функцией 5 по крайней мере в интервале за(е) ^ я ^ зх, где «1 определяется равенством ®(«х) = х\.

Функция ж = х(з) описывает движение фронта переходного слоя на интервале за(е) ^ з ^ зх- Обоснование этого проводится с помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств, различные аспекты применения которого можно найти в [2]. Этот метод положен в основу исследования дальнейшего поведения фронта. Используя результаты работы [5], можно рассмотреть ряд задач о выходе фронта решения задачи (1)-(3) на стационарные режимы, в частности о выходе на периодический режим. Иллюстрации этого и посвящен заключительный раздел статьи.

4. Возможные сценарии поведения

переходного слоя при больших временах

а) Пусть /(«,ж,¿) является Т-периодической по времени функцией. Рассмотрим уравнение (1) с граничными условиями (3), заменив начальное условие условием периодичности

и{х,г)=и{х,г + Т). (33)

В работе [4] показано, что при выполнении условия (Ах) задача (1), (3), (33) имеет два асимптотически устойчивых Т-периодических решения, одно из которых и\{х,1,е) при малых е близко к щ{х, ¿), а другое и2(х,1,е) — к ^р2{х, Ь). Существование Т-периодичекого решения с внутренним переходным слоем связано со следующим условием.

(А4). Уравнение /(ж,¿) = 0, где /(ж,¿) — функция, введенная соотношением (27), имеет единственное Т-периодическое решение ж = ж°(£), причем 0 < ж°(£) < 1 и 1Х(ж°(£),£) < 0 при всех

В этом случае существует Т-периодическое асимптотически устойчивое решение «з(ж, е) с внутренним переходным слоем, удовлетворяющее предельному соотношению.

{щ(х, ¿) при 0 < ж < ж°(£), <р2(М) при ®°(*)<®<1.

Выход решения и(х, е) начально-краевой задачи (1)-(3) на один из периодических режимов щ(х, е) (¿ = 1,2,3) связан с условием (А3) либо (А4).

Пусть условие (А3) (/(ж, 0) >0) выполняется при всех ж е [0,1]. В этом случае внутренний слой, сформировавшийся вблизи точки жо, за время порядка е приближается к правой границе, где он разрушается,

а решение u(x,t,e) остается в дальнейшем вблизи Т-периодического решения ui(x,t,e). Более точно, справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть выполнены условия (Ах)-(Аз). Тогда при достаточно малых е существует единственное решение и(х, t, е) начально-краевой задачи (1)-(3), такое, что

lim [и(х, t, е) — щ(х, t, е)] = 0. (34)

t—5-0О

Если /(ж, 0) < 0 при х е [0,1], то в равенстве (34) ui(x,t,e) нужно заменить на U2(x, t, е).

Если выполнены условия (Ai), (А2) и (A4), то сформировавшийся в окрестности точки xq фронт быстро (за время порядка е) приблизится к фронту переходного слоя решения из(х, t, е), локализованному вблизи периодически движущейся точки х = x°(t), и в дальнейшем будет оставаться вблизи него.

б) Если правая часть / уравнения (1) не зависит от времени, т.е. / = /(и, х), то при выполнении условий (Ai), (А2) и (A4), в котором I(x,t) = 1{х), существует стационарное решение us(x,e) задачи (1), (3) с внутренним переходным слоем, локализованным вблизи точки ж0, где ж0 — корень уравнения /(ж) =0. Сформировавшийся в окрестности точки жо фронт внутреннего переходного слоя решения u(x,t,e) задачи (1)-(3) приблизится за время

порядка е к фронту переходного слоя стационарного решения us(ж, е), и это стационарное решение будет пределом при t ^ оо решения u(x,t,e) [6].

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант 04-01-00710) и РФФИ-ННО (грант 03-01-04001).

Литература

1. Бутузов В.Ф., Васильева A.B., Нефедов H.H. // Автоматика и телемеханика. 1997. № 7. С. 4.

2. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б., Нефедов H.H. // Фундаментальная и прикладная математика. 1998.4, № 3. С. 799.

3. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б., Нефедов H.H. // Ломоносовские чтения. Сборник расширенных тезисов докладов. Физ. фак. МГУ, 2003. С. 33.

4. Нефедов H.H. // Дифференциальные уравнения. 2000. 36, №2. С. 262.

5. Nefedois N.N., Radzinus М., Schneider K.R., Vasil'eva A.B. 11 J. Comp. Math. Math. Phys. 2005. 45. № 1.

6. Бутузов В.Ф., Неделько H.B. // Матем. сборник. 2001. 192, №5. С. 13.

7. Fife P.C., Hsio L. // Nonlinear Anal. Theory Methods Appl. 1988. 12, № 1. P. 19.

Поступила в редакцию 03.11.04