CC BY
16
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Асимптотика движения контрастной структуры типа всплеска в уравнении реакция-диффузия
H.H. Нефедов0, Ю. В. Божевольнов0, В. А. Пыркин
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра математики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2. E-mail: а nefedov@phys.msu.ru, ь justislav@gmail.com
Статья поступила 17.04.2011, подписана в печать 28.06.2011
Построено асимптотическое приближение движущейся контрастной структуры типа всплеска для уравнения реакция-диффузия. Полученные результаты применены для важного случая кубической нелинейности.
Ключевые слова: контрастная структура, контрастная структура типа всплеска, асимптотика, асимптотическое приближение, уравнение реакция-диффузия.
УДК: 51-7. PACS: 02.30.Jr., 02.40.Хх.
1. Постановка задачи. Основные условия
Рассмотрим следующую задачу:
=^и'х'е)' (*.0€(-1,1)х(0(+оо),
и'{± М,е) = 0, и(х,0,е) = итц(х,е), (1)
е > 0 — малый положительный параметр.
Будем считать ¡(и,х,е) достаточно гладкой для проводимых ниже построений. Известно, что при определенных условиях баланса на нелинейность уравнение в (1) имеет стационарные решения типа всплеска — решения, которые близки к некоторому решению вырожденного уравнения ¡(и,х,0)=0 за исключением асимптотически малых (по е) окрестностей некоторых точек. Этот результат был получен в [1]. В работе [2] было показано, что такое решение является неустойчивым. В дальнейшем эти исследования были распространены на многомерные по пространственной переменной задачи [3, 4]. Из работы [4], в частности, следует, что стационарные всплески в (1) неустойчивы с индексом неустойчивости 1 или 2. Целью настоящей работы является асимптотическое описание движущегося всплеска, если в начальный момент времени он сформирован (начальная функция и\пц(х,е) представляет собой всплеск). При этом полученное решение можно интерпретировать как траекторию, соединяющую две точки покоя с разными индексами неустойчивости. Нами показано, что движение происходит в естественном направлении - от менее устойчивого стационарного положения к более устойчивому.
Задача рассматривается при следующих условиях.
У1. Пусть вырожденное уравнение ¡(и,х,0) = 0 имеет относительно переменной и корень и = (р(х), причем ¡и(1р(х),х, 0) > 0 при х е [0,1].
Известно, что для существования всплеска нужно, чтобы на фазовой плоскости присоединенного уравнения была сепаратриса в виде петли, что может быть сформулировано в виде следующего требования [1].
У2. Пусть существует функция ф(х) такая, что
ф(х)
f(u,x, 0) du = 0,
<р(х)
и для х G [0,1]
¡(ф(х),х,0) < 0, причем Vs е (ip(x), ф(х)), х е [0,1]:
s
f(u,x,0) du > 0.
<р(х)
Точку, характеризующую положение всплеска, обозначим x(t,e). Эта точка заранее не известна — она находится в процессе построения асимптотики. Будем определять ее из следующего условия:
JLu(Z(t,e),e)= 0. (2)
2. Алгоритм построения асимптотики 2.1. Структура асимптотики
Введем растянутую переменную вблизи х:
(3)
с
Асимптотику решения ищем в виде
и(х, t, е) = й(х, е) + Q(f, t, е) + П(С, е). (4)
Здесь й(х,е) — регулярная часть асимптотики, Q(£,t,e) — функции всплеска, служащие для описания контрастной структуры типа всплеска в малой окрестности точки х, и n(Ci,2>e) — функции пограничного слоя (см., например, [5]). Пограничные функции определяются стандартно, и на их построении в данной работе мы останавливаться не будем.
Каждое слагаемое в представлении (4), а также точка всплеска х{1, г) ищутся в виде ряда по степеням малого параметра е:
1{х, е) = ]Г щ{х)ек, i, s) = £ Qk& 0s*
fr=0 ОС
k=0 OC!
(5)
П(С, с) = *{t, г) = £ .t*(0s*.
к=0
¿•=0
Договоримся обозначать точкой над величиной производную по времени I и штрихом производную по пространственной переменной (по .г для регулярной величины и по £ для величин, описывающих всплеск). Введем обозначение у0(0 = *о(0-
-1
*i(e)
щ(рс,Е
а(х)
v0>0
x*(t, е) х2(е) 1
и2(х, е)
и(х, t, е) "'I-
Движение всплеска u(x,t,e) вправо: от стационарного «2(х,е) с индексом неустойчивости 2 к стационарному И|(х,е) с индексом неустойчивости 1
2.2. Уравнения для определения членов асимптотики
Коэффициенты в разложениях (5) определяются по методу пограничных функций, при этом при действии параболического оператора на функции всплеска используется замена переменных {х,1) на (£,£)> которая приводит этот оператор к виду
д2
д
д
д
dt
dt
df
(6)
Представляя правую часть уравнения (1) по методу пограничных функций и используя (6), получим уравнения, которые используются для последовательного определения членов асимптотического приближения (5):
г2й"{х, t, г) - г2й{х, t, г) = / (й,х, г),
U е) + гк{1, s)Q'(6 t,e)- e2Q = = f (й{х + l,s) + Q{£,l, г),х + г) - (7) -fm.t,eU + et,e) = Qf{t,t,e), eu'{x,l,S)+Q'{0,l) = 0, к которым нужно добавить условие убывания функций
всплеска
Q,(±oc) = 0.
(8)
2.3. Нулевое приближение
Используя представление (7), а также (2) и (8), получаем задачи для определения членов асимптотики.
Нулевой член регулярной части асимптотики, согласно условию У1, щ = {р(х).
Коэффициент <Э0. описывающий всплеск в нулевом приближении, определяется из следующей задачи:
<Зо = / ("о(*о) + <Эо. 0) - / (й0(.г0), .г0,0) =
= /(йо(-Го) + Оо.-*о.О), (9)
0^(0, о = о, (2о(±^) = о.
Из анализа на фазовой плоскости [1] следует, что задача (9) в силу условия У2 имеет нетривиальное решение. Отметим, что функция (Эо(<0 является четной. Коэффициент лго(0 остается пока произвольной функцией.
2.4. Высшие приближения
Коэффициент при первой степени £ регулярной части асимптотики определяется из уравнения:
/„ (й0(х),х, 0)«, (.г) + (й0(х),х, 0) = 0.
Разрешимость гарантируется условием У1. Аналогично определяются щ(х) для
Приравнивая коэффициенты при первой степени £ в уравнении для функций всплеска, получаем задачу для <2,(£):
ОГ (£. 0 - и ("о(.го) + <2о (а, -Го. 0) (3, (£, 0 = Ч\ (£, о,
0{(0,0 + йо(.*о) = 0, 01(±ос,0 = 0, (10)
где
+ /„(«(£). *о.О) (¿М*о) ■
- /«("о (*о). 0) («1(*о)
™ {х{
и й(0 = и0(х0) +Яо(0-
Так как однородное уравнение с условиями на бес конечности имеет нетривиальное решение О
задача (10) имеет решение в случае условие разрешимости
•/е(й(Я,.го.О) -
^й'0{х0){х1 +0) -
О — /е ("О(JCo), Jfo. 0) ,
ТО
если выполнено
qdOQoiOcl^O.
(П)
Функция (Эр является нечетной по аргументу
Очевидно, что слагаемые в являющиеся
четными (по £) функциями, дают нулевой вклад в данный интеграл. Учитывая это, а также то, что
/и(яо)"о(*о) + ¡х(хо) = 0 (это равенство получается при дифференцировании по х вырожденного уравнения), условие разрешимости можно переписать в виде
НоТО + (ШН(хо) + Ш) С) Я'о(0 ас=О,
(12)
где производные /„(£) и вычисляются в точке
(й(а*о,0).
Это выражение можно упростить, т.к интегрированием по частям можно показать, что интеграл от первого слагаемого подынтегральной функции равен нулю.
Окончательное выражение для и0(х0) следующее:
+оо
I мао^а^е
Х0 = Уо(*о) =
(13)
I то) ас
Таким образом, для определения лс0(0 получается дифференциальное уравнение, для которого задается начальное условие лсо(О), определяющее положение всплеска в начальный момент времени. Отметим, что х\({) в этом приближении остается произвольным. Эта функция определится при рассмотрении функции всплеска О-
Для определения Ог(а^) приравняем коэффициенты при второй степени е в равенстве для (2-функций из (7):
0 + "1(*о) +*1"о(*о) = 0. Ог(±оо, 0 = 0.
(14)
где О/г (С, 0 — коэффициент при е2 разложения функции Qf(Z,t,e):
ома=Што + (ш - ш о)) Ыъ) +
+ (1и(0йо(хо) + }х(0) х2 - (]и(хо)щ(х0) +}х(х0)) х2 +
+ (Ш - 1и(хо)) йЦШХ1 + О2/2 + + (1и(ОЧи(Хо)) й[(Хо)(Х1+0 + (1ии(ОЧии(хо)) (щ(Хо))2 +
+ 1иит1(02/2+(1ии(д^1ии(Хо)) (й'0(Х0))2(Х1+О2/2 + + (/их (0 - ]их(х о)) й'0(Хо)(Х1 + О2 + + (]хх(С) ~ 1хх(Хо)) (Х{ + а2/2 + {Ш ~ 1ее(хо)) /2 + + (]ии(0 - ]ии(хо)) й'0(х0)щ (х0)(х1 + О +
+ (ЫОй'0(х0) + ЫО) 01 (£)(*1 + а +
+ (]их(0 ~ ]их(хо)) Щ (Х0)(Х{ + О +
+ (ЫО-Ыхо)) ^(хо)(х{ +0+1ии(Ощ(хо)Я1(0 +
+ ЫОЯх (С) + (Ш - 1ие(хо)) Щ (Хо) +
+ (1хе(0^1хе(Хо)) (*1+£).
Учитывая представление для Qf2(C,t), перепишем (14) в виде
0|(0, О + ы', (л:о) + (*о) = 0, Ог(±оо, 0 = 0.
Эта задача аналогична задаче (10). Условие разрешимости этой задачи аналогично условию (11): правая часть Ц2 должна быть ортогональна <2ц:
+оо
?2№(£М£ = о.
(16)
Поступая точно так же, как и на предыдущем шаге, т.е. сохраняя под интегралом (16) только четные функции, получим, что от (¡2 надо оставить нечетную составляющую — нечетная функция). Из представления для (¡2 можно получить, что коэффициент при х2 — четная функция. Учитывая эти факты, после несложных преобразований получим линейное дифференциальное уравнение для определения х\(О
+оо
I
й2
ЯШас
XI =х{-
+ 00
I ДО) ас
I ь(с,шосас
— ос
+ОС 9 '
I ДО) ас
(17)
где Ь\ — известная функция
Ьх (а = ^Оо( + (Ысн(х о) - иле)) О! (а +
+ (Ыо - ]и(хо)) и[ (*о) + (1ии(С) - ]ии(хо)) йЬ(х0)щ (л:0) + + (]их(С) - ]их(хо)) Щ (ЛГ0) + (]ие(С) - ]ие(хо)) й'0(х0) +
Решение этого уравнения с нулевым начальным условием можно выписать в явном виде.
Если функция / достаточно гладкая, то процесс определения членов асимптотического представления может быть продолжен. При этом полученная частичная сумма порядка п в задаче по невязке с точностью 0(е"+1), что следует из способа ее построения.
3. Случай кубической нелинейности
Рассмотрим важный для многих приложений случай кубической нелинейности:
/(ы,л:) = («2-1)(«-аМ), — 1 < а(х) < 1. (18)
Задача (1) с правой частью (18) принимает следующий вид:
{ д2 д \ е2 [ —^и - т-ы ) = (и2 - 1 ){и - а(х)), \дх2 & )
€ (-1,1) х (0,+ос), и'{± 1, е) = 0, и(х, 0,е) = и-тц(х, е).
3.1. Стационарные решения
Стационарные решения задачи (19) есть решения следующей задачи:
е2и"(х) = (и2 -\){и-а{х)), *€(-1,1), и'(± 1) = 0.
(20)
Очевидно, что вырожденное уравнение имеет решения и(х) = ± 1 и и(х) = а(х).
Замечание. Изветсно [5], что в задаче могут возникать внутренние переходные слои. Положение стационарных внутренних переходных слоев определяется корнями функции а(х). Ниже будет показано, что положения контрастной структуры типа всплеска определяются экстремумами а(х).
Рассмотрим случай а(х) <0 при х е (—1,1). В этом случае переходных слоев нет.
Чтобы сформулировать условия существования контрастной структуры типа всплеска в уравнении (20), мы используем результаты работ [1] и [4] .
Лемма 1. При введенных условиях и достаточно малых е для стационарной задачи (20) выполняется: существует решение в виде контрастной структуры типа всплеска ие(х,х) в каждой точке х, где а'{х.) = 0, не существует других решений в виде контрастной структуры типа всплеска.
Результаты леммы 1, приведены в [1], где были построены стационарные решения произвольного порядка точности (по е).
Прямой подстановкой в задачу (20) можно удбедить-ся, что и = — 1 является решением, и в данном случае это регулярная часть асимптотики.
Замена
й(а=<?о(£ы (21)
и подстановка в задачу (9) с конкретным видом правой части (18)
^(й2 -1)(й-а(* + е£))=0, й(±оо) = — 1, й'(0) = 0
(22)
позволяет описать семейство решении — всплесков, сосредоточенных в точках х. Покажем, что точки х определяются условием а'(х) = 0.
Условие разрешимости (11) в данном случае имеет вид
3.2. Устойчивость стационарных всплесков
Устойчивость по Ляпунову стационарных контрастных структур типа всплеска задачи (19) может быть исследована на основании рассмотрения задачи на собственные значения
е2т" ^1и(уе(х,х),х)т = Аш, *е(-1,1), ш'(±1) = 0,
где ие(х,х) — контрастная структура типа всплеска.
Неустойчивость стационарных всплесков была установлена в [2]. Точнее, там было показано, что при достаточно малых е задача на собственные значения имеет главное собственное значение Ао(е) такое, что оно больше некоторой положительной величины, поэтому контрастная структура типа всплеска стационарной задачи неустойчива.
В работах [4] и [6] были рассмотрены многомерные по пространственной переменной аналоги задачи (19). Применение результатов этих работ к одномерному случаю приводит нас к следующей лемме.
Лемма 2. Для каждого стационарного всплеска ие(х,х) задача на собственные значения дает единственное собственное значение с
Кроме того,
lim(Ai(e)) = 0. £->0
Л,(е) = 0(е2)
Ai (е) > 0, V'(x)>0,
Ai(er) < 0, V'(x)<0.
Следовательно, мы получаем для индексов неустойчивости I(ve):
I(Ve) =
1 для четного номера вспллеска,
2 для нечетного номера всплеска.
V(x)
ï(x)(û2(o^i)&dt=o.
Результаты леммы 2 позволяют дать важную для приложений интерпретацию формулы (23) — полученное решение можно интерпретировать как траекторию, соединяющую две точки покоя с разными индексами неустойчивости. Движение происходит в естественном направлении — от менее устойчивого стационарного положения к более устойчивому.
Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ, проект № 10-01-00319.
Принимая во внимание, что £й(£) <0 для всех £ ^ 0 и и2 — 1 <с 0, получаем, что корни У(х) совпадают с корнями а'(х).
Замечание. В нестационарном случае (19) скорость движения всплеска определяется выражением (13), которое в данном случае имеет вид
v0 = -a'(x о):
J (й2(£Ь1 )îu'di
+оо
j m2 ai
(23)
Список литературы
1. Бутузов В. Ф., Васильева А. Б. 11 Матем. заметки. 1987. 42. № 6. С. 831.
2. Васильева А. Б. // Матем. моделирование. 1991. № 4. С. 114.
3. Нефедов H.H. // Докл. РАН. 1992. 327, № 1. С. 16.
4. Нефедов H.H. 11 Фундам. и прикл. математика. 2006. 12, № 5. С. 121.
5. Васильвева А.Б., Бутузов В.Ф., Нефедов H.H. 11 Фундам. и прикл. матем. 1998. 4, № 4. С. 899.
6. Nefedov N. N., Sakamoto К. // Hiroshima Math. J. 2003. 33, N 3. P. 391.
Asymptotic approximation of the moving spike type contrast structure in reaction diffusion quation
N.N. Nefedov", U.V. Bozhevolnov', V.A. Pyrkin
Department of Mathematics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.
E-mail: a nefedov@phys.msu.ru, b justislav@gmail.com.
Asyrnptitic approximation of the spike type contrast structure has been developed. Acheived results have been applyed to an important case of third degree nonlinearity.
Keywords: contrast structrure, spike type contrast structure, reaction-diffusion equations, asimptotic approximation.
PACS: 02.30.Jr., 02.40.Xx. Received 17 April 2011.
English version: Moscow University Physics Bulletin 5(2011).
Сведения об авторах
1. Нефедов Николай Николаевич — докт. физ.-мат. наук, профессор; тел.: (495) 939-48-59, e-mail: nefedov@phys.msu.ru.
2. Божевольнов Юстислав Владиславович — канд. физ.-мат. наук, преподаватель; тел.: (495) 939-48-59, e-mail: justislav@gmail.com.
3. Пыркин Владимир Андреевич — студент; тел.: (495) 939-48-59, e-mail: pyrkinv@gmail.com.
