О форме отрывных зон на входе в раструб Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 523.5.031; 697.921.42

О ФОРМЕ ОТРЫВНЫХ ЗОН НА ВХОДЕ В РАСТРУБ

В.Н. ПОСОХИН, Н.Б. САЛИМОВ , Р.Г. САФИУЛЛИН

В рамках теории течений идеальной жидкости со свободными поверхностями рассчитываются формы отрывных зон на входе во всасывающие щелевые патрубки.

Входные участки многих теплоэнергетических и пылеочистных агрегатов выполняются в виде патрубков-раструбов, через которые рабочая среда засасывается в аппарат.

В потоках вблизи всасывающих отверстий (стоков) образуются отрывные зоны, внутри которых происходит слабое вихревое движение. Отрывные зоны формируются в местах, где границы имеют изломы и, тем самым, обуславливают физически невозможную кривизну линий тока.

В этой статье рассчитываются очертания отрывной зоны на входе в плоский раструб с углом раскрытия 2Д Расход удаляемой жидкости - Ь, длина раструба - I, полуширина патрубка - В. Схема симметричной половины течения в физической плоскости г = х + гу приведена на рис. 1,а. В точке С поток срывается с острой кромки, образуя отрывную зону, ограниченную свободной линией тока СМД. Далее в точке Е снова происходит отрыв потока и формируется вторая отрывная зона, ограниченная свободной линией тока ЕР. Существует некоторая критическая длина раструба 1Кр, такая, что при I < 1Кр обе отрывные зоны

сливаются в одну - «короткий раструб». Анализ такого течения проделан ранее в работе [1]. Здесь рассматриваются “длинные раструбы”, у которых I > 1Кр.

Следуя основным положениям теории течений со свободными поверхностями, будем считать, что вдоль них модули скоростей постоянны: VI на СМД и V2 на ЕР [2]. На бесконечном удалении в точке Р скорость по сечению сжатой струи неизменна, равна V2 и направлена вдоль оси х. Ширина струи на бесконечности — Ь = еВ и значит Ь = 2Bsv2 (е- коэффициент сжатия струи).

Введем в рассмотрение функцию Жуковского

, 1 Ш , VI -л • ,14

Х = 1п------= ш^-1- — ю = и + га, (1)

V2 dz V2

V .

где и = 1п —; а=—в; W = ф + - комплексный потенциал течения; ф и ^ -

соответственно потенциал и функция тока; —— = vx — IVу - сопряженная

йі

комплексная скорость; V и а - модуль и аргумент комплексной скорости.

Области течения в плоскостях W и х приведены на рис. 1,б,в. С помощью формулы Кристоффеля-Шварца отобразим эти области на верхнюю полуплоскость ^с указанным на рис. 1,б,в,г соответствием точек.

© В.Н. Посохин,|Н.Б. Салимов^ Р.Г. Сафиуллин Проблемы энергетики, 2003, № 3-4

в)

C £ 1(п+в) in E F u

H N

1 1 А ! м ] D

J

l VN Vj ln— ln — V2 ln V2

г) n , ‘ ©

-1 e dm h n 1 Є

FE D M C HN А

to

В результате получим

dW = . L ; <2)

dZ -1); < )

xZ)=K[^JB—nn)B^s==+invvl+iB,+p), <з)

где К, п, m, e, d, h - неизвестные параметры отображения; ^ - переменная интегрирования.

Из равенства (1) следует, что

^ = у2 • ехр^)]. (4)

dz

Объединяя уравнения (2), (4), получим формулу отображения областей z и £ друг на друга

^ ^ й?ж = L • ехр[- х(£)] (5)

dZ dw' dZ яу2' £2 -1 '

Последнее соотношение может быть записано и в следующем виде:

(Г

z(C) = — J exp2 xX\t + i(B +1 sin в). (6)

п2 о t2-1

Уравнения (3)-(6) дают решение поставленной задачи, так как они связывают комплексные скорость и координату с помощью параметрической переменной Z Необходимо еще определить шесть параметров отображения X = X(Z) и скорости vi, v2 .

Вычисляя вычеты функции dx/d£ в особых точках Н = (Z = h), A(Z = 1), получаем:

р B - h)(h - m ; (7)

Kn yl(h + 1 )h — e) — d )h (l — h)

K = ЩB3)(—«. (8)

(1 — n )1 — m)

Запишем еще два уравнения для определения параметров отображения X = Х(0:

в = к I

(, — п) - т)

dt

—17(+Тхё—7)^—Щ (,—hXt—1)’

(9)

1п V! = — Кг ( — п) — т) л .

у2 ^Т(7+^7—е)</—7)^(—hXt—О'

(10)

Первое из этих равенств отображает тот факт, что длина отрезка ЕР в плоскости х равна г'Р, а второе определяет длину отрезка БЕ, которая в плоскости П

X равна 1п:

v2

Четыре недостающих уравнения вытекают из известной геометрии области г (рис. 1,а).

Длина отрезка СН

dz

dt

Л = — \ ехр[— Ие х(7 )]—^-2 ™2 0 1 — 72

(11)

Координаты точек Е и Н совпадают и, следовательно:

к. 1т е еХР[Х—7 = — ^ в;

(12)

к

Ке е ехр[—х(7)] Л, = -1 с в

п>2 0 Г — 1

(13)

Расстояние по вертикали между полупрямыми НА и АР равно В, опуская математические сложности, связанные с вычислением вычета функции dz|dZ в особой точке Л(£ = 1), выпишем конечный вид соответствующего уравнения

к

VI =-------

1 2В

1—к < h >

\—

в

п е-Х1(1)

2 п 1 — h

+ х'(1)

(14)

где х1 (1)=}

К/ (, )+

в / (,)— / (h) + 1 / (,)— / (1)

+

Л, ;

х(1)= К/(1)+ I /(1)— /^ + т;

п/ (h) 1 — h / (1)

/ (, )=

ф (, — е), — Л+1)

/ (1)=

л/2(1 — е)1 — Л) ’

1

1

1 ; f,(.,) 12(1 - d )(2 - e)+(l - e)3 - d).

Vh(h - eXh - d Xh +l) 2 [2(1 - e)l - d)—2

f (h) =

Система уравнений (7)-(14) решается методом Ньютона. В результате определяются параметры отображения К, п, т, е, й, к и скорости VI, V2 . Далее по уравнениям (4), (6) рассчитываются значения скоростей и координаты

соответствующих точек.

Определим, в частности, очертания границы отрывной зоны на входе в раструб-кривая СМД, где й <£ = $< 0;

$

х($) = -ІК } / (7 )й + 1п + і(п + в);

0 ”2

fl (t )=

(t - п) - m)

( - к) -1)|7(7 + 1Хе - 7Хй - 7) Отсюда следует, что

$

exp[-x(I)]=- —exp v1

- Ів • e г .

ІК ] / ( )й7

о _

Детализируя это выражение, находим

v1

Г I , 1 Г i , \

соз К J f (t )dt СОЗ в + ЗІП К J f (t )dt зіп в +

V 0 > V 0 У

Г I \ Г I \

+ i зіп ж '•f СО»в- СОЗ ж '•f in si

V o У V о У

.^2

v1

[l (I)+ iJ2 (I)].

Подставляя это равенство в уравнение (б), получим

г =—J [Jl(I) +iJ21|)]-| + i(1 +l sin в) .

nv1 о I2 -1

(15)

Разделив действительную и мнимую части, найдем параметрические уравнения для координат границы СМБ:

x

= _ _L_ J Jl(I)dI ^10 I2 -1 ’

(1б)

Вычисления удобно построить следующим образом. Для заданного угла раскрытия раструба выбираем значение параметра ккр < И < Нпр. При значении

Н > Ипр решения системы уравнений (7)^(14) не существует, а при Н < Нкр мы

имеем «короткий раструб», то есть реализуется течение с одной отрывной зоной. Значение Нпр определяется из выражения

Нпр =

'в2 я

+1

-1

(18)

Для определения Нкр можно воспользоваться следующей формулой, очень точно аппроксимирующей аналитическое решение:

Нкр = 0,906

(19)

1

2

2

Далее по формулам (7)-(14) определяются значения параметров К, п, т, е, й, У1, г2, длина раструба I и по формулам (16), (17) - координаты свободной границы СМД.

На рис. 2 приведены графики зависимостей I = — = I

В

Значения

Н = НКр соответствуют критической длине раструба, которая с большой точностью может быть определена с помощью следующей аппроксимации:

Iкр = 7,56 ехр(- 7,25 в . (20)

о —

Отсюда, в частности, следует, что для — = 0,5, I кр = 0,2 и значит течение

я

вблизи щелевого отверстия с фланцем небольшой высоты (?)0,2) можно приближенно отождествлять с течением вблизи щели в безграничной стенке. При Н ^ Нпр I неограниченно возрастает.

На рис. 3 показаны рассчитанные границы первой по ходу отрывной зоны для разных раструбов. Видно, что размеры зон весьма значительны, в частности, длины отрывных зон не намного меньше длин раструбов. Отметим, что полученное решение позволяет рассчитывать очертания отрывных зон и для «обратных раструбов» при в > я/2 .

0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 h

Рис.2.

На рис. 4 показана связь между координатами точки Б ( конец первой по ходу отрывной зоны) и параметрами раструба. Длина этой зоны тем больше, чем длиннее раструб и меньше угол его раскрытия. При Р/я = 0,5, естественно,

—й = = 0 . Координата уа = ■У^ увеличивается с возрастанием I и Р .

ВВ

Зависимость «эффективной ширины» у1 = — от геометрии раструба

В

иллюстрируется рисунком 5. При значении Р » 0,35п функция имеет максимум при всех длинах 1)1 кр, то есть при Р» 60о относительная ширина отрывной зоны на входе в раструб минимальна.

Рис.4.

Выводы

Отрывные зоны на входе во всасывающие патрубки имеют значительные размеры, сильно сужают «эффективную площадь» всасывания и приводят к значительным потерям давления на вход. Профилирование входных участков щелевых патрубков-раструбов по очертаниям отрывных зон позволит существенно снизить энергоемкость аппаратов.

Summary

The form of whirlwind zone border forming on the sharp edge at flowing offluid into the chink exhaust branch-pipe - socket is calculated. Analysis is carried out within of usual suppositions of theory of ideal flow offluids with free surfaces.

Литература

1. Посохин В.Н., Гуревич И. Л. К расчету течения вблизи всасывающей щели с раструбом // Изв. вузов. Технология текстильной промышленности. - 1981. -№ 3. - С. 84-88.

2. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. 2-е изд., перераб. и доп.- М.: Наука, 1979. - 636с.