CC BY
28
ISSN 1810-0198. Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки
Том 23, № 123
2018
DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-123-524-530 УДК 517.92
О ФОРМАЛЬНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДРОБНОГО ПОРЯДКА
> Г. Г. Петросян
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный педагогический университет» 394043, Российская Федерация, г. Воронеж, ул. Ленина, 86 Е-таЛ: [email protected]
Аннотация. В докладе приводится формальное представление решений не скалярных полулинейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с помощью функции Маттаг-Леффлера.
Ключевые слова: дифференциальное уравнение; функция Миттаг-Леффлера; гамма-функция; банахово пространство
Введение
В последние десятилетия большой интерес математиков во всем мире привлекают дифференциальные уравнения и включения дробного порядка (см. |1-3]), для разрешения которых одними из самых эффективных методов являются методы теории топологической степени для уплотняющих операторов (см. монографию [4]).
Рассмотрим задачу Коши для скалярного полулинейного дифференциального уравнения дробного порядка:
с№)£+[ Хх)Ш (1)
с начальным условием
х)1+[ х0, (2)
где 1 < д < : ,А 0 М, / =| 1, Т\ е М- непрерывная функция. Решением данной задачи называют функцию х =\1,Т\ <Е М, удовлетворяющую начальному условию (2), для
Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации в рамках проектной части государственного задания (проект № 1.3464.2017 / 4.6).
которой дробная производная Капуто сОчх также непрерывная функция, удовлетворяющая уравнению (1). Известно (см., например, [5]), что единственное решение данной задачи есть функция
х)£+[ Ед)ХРЪо0 [ )£ з^1Ечл)\)1 ИЧЛ^НА (3)
.'о
где Еаф)г-\- функция Миттаг-Леффлера.
В случае, если мы поставим данную задачу в банаховом пространстве Е
с№)£+[ Ах)Ш /)Н (4)
х)1+[ х0, (5)
где А =0)А-\—>Е € Е- линейный ограниченный замкнутый оператор в Е, порождающий ограниченную С0- полугруппу }[/)£+ , £ С 1, / =] 1,Т\ е Е- непрерывная функция, то интегральное решение определяют в виде функции (см. статьи [6-8])
х)Щ / )1 я-ГЧ)* £д]1,Т1,
■/о
reo рос
C)t+[ / £q)e-V)tq0W, {)i+[ q / (G)
J 0 J 0
-e-'-h «)fl_1/4 (7)
! Я)9Ц -У) : :+ g R+. (8)
7Г —' Tl(
Здесь функцию ! q называют функцией Райта. У многих авторов и читателей возникает вопрос о сходимости ряда, определяющего функцию Райта, так как в источниках такую информацию не получается найти, кроме того, интересна связь между представлением решения в банаховом пространстве и решения в скалярном случае. Мы в работе разъясним эти вопросы.
1. Основные понятия
Определение 1. Функция вида
°° п
называется функцией Миттаг-Леффлера.
Отметим, что Ед)г+[ ЕчЛ)г-\г
Определим еще одну функцию, которая тесно связана с функцией Миттаг-Лсффлера:
00 1 Д-Р
М)9,дЦ ' , Ч> (9)
Ряд, стоящий в формуле для последней функции, абсолютно сходится при всех д > : , кроме того, если мы обозначим символом Т преобразование Лапласа, справедливы равенства (см., например, [5,9])
Т)М)в,дЦз+[ ЕчЛ) з^ 7)вдМ)в,дф+[ Ечл) (10)
В дальнейшем нам пригодятся следующие свойства гамма^ функции:
)д+): д+[ (11)
га пд
)д0 :-К д )д+ (12)
2. Основные результаты
Чтобы установить переход от интегрального решения в банаховом пространстве к решению в скалярном случае, преобразуем операторы { , для этого подставим (8) в (7), а затем результат подстановки в (6), тогда мы имеем:
С)г-К Г — У*) : +
{)Щ д{ в— V) : -р-1^"-1 : + д )шгдЧЕПРв^Ю.
Дальнейшие преобразования приведем для оператора для оператора { все выводится аналогично. Воспользовавшись свойствами (11) и (12), мы имеем:
С)г+[ Г — V) 1+ [
Л п(
гоо , °°
' I
-10П-1 )Щ0 ■+ тг
п( )пд+): пд+
/•ОО , ""
[ / —У!)
п( ) пд+ )пд+ ) пд+
/ —У") : -р-1^-1 / " ' и)т^В
л ^г; " '
1-1/111-1 ) ТГ'Ь п( )
гсо . °°
' 9~р -щтмв
п{ ) пд+
/
J о
ч
Таким образом, мы получили следующие представления:
рОО гОО
£)£+[ / M)0,qjJ)t4QJ(W, {)£+[ / eqM)9,q4J)tqe+m. J о Jo
Теперь, используя тот факт, что в скалярном случае U)tq9-\-[ eXt"e, мы имеем:
pea гоо
C)t+[ / M)e,q4J)tWMe [ / е-(-х*УМ)0, qM9 [ Т)М)9,ЧЦ Af<4[ EqA)Xt^ Jo Jo
roo roo
{ )£-f{ / eqM)9,q4f)tqeW[ / e ( ^)eeqM)0,qW [ T)9qM)9,q-H) Л£«+[ Eq,q)\t Jo Jo
Таким образом, если мы обобщим функцию Миттаг-Леффлера для случая линейного ограниченного оператора в банаховом пространстве, то мы можем переписать решение задачи (4) - (5) в следующем, более простом, виде:
x)t+[ Eq)tqA-fro 0 [ )t s-TlEq,q))t Jo
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Kamenskii M., Obukhovskii V., Petrosyan G., Yao J.-C. On semilinear fractional order differential inclusions in banach spaces // Fixed Point Theory. 2017. Vol. 18. № 1. P. 269-292.
2. Kamenskii M., Obukhovskii V., Petrosyan G., Yao J.-C. Boundary value problems for semilinear differential inclusions of fractional order in a Banach space 11 Applicable Analysis. 2017. Vol. 96. P. 1-21.
3. Обуховский В.В., Петросян Г.Г. О задаче Коши для функционально-днфференциально-го включения дробного порядка с импульсными характеристиками в банаховом пространстве // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2013. № 1. С. 192-209.
4. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных оторбажений и дифференциальных включений. Изд. 2-е, испр. и доп. М.: Книжный дом «Либроком», 2011.
5. Kilbas A. A., Srivastava Н.М., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier Science B.V., 2006.
6. Петросян Г.P., Афанасова M.C. О задаче Коши для дифференциального включения дробного порядка с нелинейным граничным условием // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2017. № 1. С. 135-151.
7. Петросян P.P. О нелокальной задаче Коши для функционально-дифференциального уравнения с дробной производной в банаховом пространстве // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2012. № 2. С. 207-212.
8. Петросян P.P. On the structure of the solutions set of the Cauchy problem for a differential inclusions of fractional order in a Banach space // Некоторые вопросы анализа, алгебры, геометрии и математического образования. Воронеж, 2016. С. 7-8.
9. Mainardi F., Paradisi P., Gorenflo R. Probability Distributions Generated by Fractional Diffusion Equations. N. Y.: Cornell University, 2007. 46 p.
Поступила в редакцию 20 апреля 2018 г. Прошла рецензирование 23 мая 2018 г. Принята в печать 19 июня 2018 г.
Петросян Гарик Гагикович, Воронежский государственный педагогический университет, г. Воронеж, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, e-mail: [email protected]
Для цитирования: Петросян Г.Г. О формальном представлении решений дифференциальных уравнений дробного порядка // Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки. Тамбов, 2018. Т. 23. № 123. С. 524-530. БОТ: 10.20310/1810-0198-2018-23-123-524-530
О ФОРМАЛЬНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 529
DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-123-524-530
ON THE FORMAL REPRESENTATION OF SOLUTIONS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS OF FRACTIONAL ORDER
G. G. Petrosyan
Voronezh State Pedagogical University 86 Lenin St., Voronezh 394043. Russian Federation E-mail: [email protected]
Abstract. The paper presents a formal representation of solutions of non-scalar semilinear differential equations in Banach spaces by means of the Mattag-Leffler function.
Keywords: differential equation; Mittag-Leffler function; gamma function; Banach space
REFERENCES
1. Kamenskii M., Obukhovskii V., Petrosyan G., Yao J.-C. On semilinear fractional order differential inclusions in banach spaces. Fixed Point Theory, 2017, Vol. 18, no. 1, pp. 269-292.
2. Kamenskii M., Obukhovskii V., Petrosyan G., Yao J.-C. Boundary value problems for semilinear differential inclusions of fractional order in a Banach space. Applicable Analysis, 2017, vol. 96, pp. 1-21.
3. Obukhovskiy V.V., Petrosyan G.G. O zadache Koshi dlya funktsional'no-differentsial'nogo vklyucheniya drobnogo poryadka s impul'snymi kharakteristikami v banakhovom prostranstve [On the Cauchy problem for functional differential inclusions of fractional order with impulsive characteristics in a Banach space]. Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Fizika. Matematika - Proceedings of Voronezh State University. Series: Physics. Mathematics, 2013, no. 1, pp. 192-209. (In Russian).
4. Borisovich Yu.G., Gelman B.D., Myshkis A.D., Obukhovskiy V.V. Vvedenie v teoriyu mnogo-znachnykh otorbazheniy i different si al 'nykh vklyucheniy [Introduction to the Theory of Many-Valued Separations and Differential Inclusions]. Moscow, Book House "Librokom" Publ., 2011. (In Russian).
5. Kilbas A.A., Srivastava H.M.. Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Eguations. Amsterdam, Elsevier Science B.V., 2006.
6. Petrosyan G.G., Afanasova M.S. O zadache Koshi dlya differentsial'nogo vklyucheniya drobnogo poryadka s nelineynym granichnym usloviem [On the Cauchy problem for a differential inclusion of fractional order with nonlinear boundary conditions]. Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Fizika. Matematika - Proceedings of Voronezh State University. Series: Physics. Mathematics, 2017. no. 1, pp. 135-151. (In Russian).
7. Petrosyan G.G. O nelokal'noy zadache Koshi dlya funktsi on al' no- differ entsial'nogo uravneniya s drobnoy proizvodnoy v banakhovom prostranstve [On a nonlocal Cauchy problem for functional
The work is supported by the Ministry of Education and Science of the Russian Federation in the frameworks of the project part of the state work quota (Project № 1.3464.2017 / 4.6).
530
r. r. neTpocaH
differential equations with fractional derivative in the Banach space]. Vestnik Voronezhskogo gosu-darstvennogo universiteta. Seriya: Fizika. Matematika - Proceedings of Voronezh State University. Series: Physics. Mathematics, 2012, no. 2, pp. 207-212. (In Russian).
8. Petrosyan G.G. On the structure of the solutions set of the Cauchy problem for a differential inclusions of fractional order in a Banach space. Nekotorye voprosy analiza, algebry, geometrii i matematicheskogo obrazovaniya [Some Questions of Analysis, Algebra, Geometry and Mathematical Education]. Voronezh, 2016, pp. 7-8.
9. Mainardi F., Paradisi P., Gorenflo R. Probability Distributions Generated by Fractional Diffusion Equations. New York, Cornell University, 2007, 46 p.
Received 20 April 2018 Reviewed 23 May 2018 Accepted for press 19 June 2018
Petrosyan Garik Gagikovich, Voronezh State Pedagogical University, Voronezh, the Russian Federation, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Higher Mathematics, e-mail: [email protected]
For citation: Petrosyan G.G. O formal'nom predstavlenii resheniy differentsial'nyh uravneniy drobnogo poryadka [On the formal representation of solutions of differential equations of fractional order]. Vestnik Tambovskogo universiteta,. Seriya: estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2018, vol. 23, no. 123, pp. 524-530. DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-123-524-530 (In Russian, Abstr. in Engl.).
